最大公因数和最小公倍数的应用
最大公因数和最小公倍数的应用
4、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都可以，上体育 课的至少有多少人？ 已知份数，求总数，应用公倍数的知识。
5、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都少1人，上体育课 的至少有多少人？ 〖3、5、6〗=30 30－1=29（人）
6、暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。7月7日她米的长方形木条
拼成正方形，正方形的边长至少是多少？至 少要用这样的木条多少块？
已知每份数，求总数，应用公倍数的知识。 用每块长12厘米，宽8厘米，要把它们拼成一个正方形， 正方形的边长既是12的倍数也是8的倍数，要拼成最小 的正方形，就是边长是12和8的最小公倍数，求出边长 看每边有几个长，几个宽，就得出一共几块这样的长方 形木条． 解：12的倍数有：12，24，36，48，60…， 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…， 12和8的最小公倍数是24，即拼成的最小的正方形的边 长是24厘米， 24÷12=2（块）， 24÷8=3（块）， 需要块数：2×3=6（块）；
例4.两个数的最大公因数是4，最小公倍数是
252，其中一个数是28，另一个数是多少？
利用“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数 与最小公倍数的乘积”）
252×4÷28=36
横着看，每行（ ）个， 共有（ ）个。每份数 是（ ）。
竖着看，每列（ ）个，有（ ）列，共有（
）个。每份数是（
）。
12是3的倍数，也是4的倍数，是3和4的公倍数。
=216÷36 =6（个） =3×2=6（个） 答：小正方形的边长最大是6厘米，可以剪6个．
举一反三
贝贝用一块长6分米、宽4分米的长方形纸板
裁成若干个边长是整分米数的小正方形，小 正方形的边长最大是多少？可以裁成多少块？
最大公因数最小公倍数的应用
再 见
6、动物园的饲养员给三群猴子分香 蕉，如果只分给第一群猴子，则每只 猴子可得12个；如果只分给第二群猴 子，则每只猴子可得15个；如果只分 给第三群猴子，则每只猴子可得20个， 那么香蕉同时分给三群猴子，平均每 只猴子可得多少个？
7、去医院看病一般经过“挂号”、“就 诊”、“取药”三大环节，在看病高峰 期，担任“挂号”工作的护士每小时可 以给30个病人挂号；为病人诊断病情的 医生每小时可以给12位病人诊断；发放 药品的药剂师能在1小时给20名患者配 发药品，为了在这些过程中不产生病人 排队等待现象，各个环节协调进行，每 个环节分别需要安排多少名相关工作人 员？
42厘米
30厘米
3、有12分米长的铁丝8根，18分 米长的铁丝7根，要把它们截成一 样长的铁丝，不能浪费，如果截下 的铁丝最长，那么可以截得多少根？
4、兔妹和兔兄两人计划，哥哥每30 天回家看望父母一次，妹妹每20天 回家看望父母一次，至少多少天以后 哥哥和妹妹同时回家看望父母？
5、 植树节，老师带领18名女生和24 名男生到植物园种树。老师把同学分 成人数相等的若干小组，每个小组中 的男生人数都相等。请问，这42名同 学最多能分成几组？
1、求42和30的最大公因数和最 小公倍数.
解:
2 42 7
30
Байду номын сангаас3 21
15 5
42和30的最大公因数是6； 42和30的最小公因数是210.
2、小丽要邀请小朋友到广场玩游 戏,她想用长42厘米,宽30厘米的垫 子在广场铺成一块正方形的地面, 至少需要这样的垫子多少块?
2 42 3 21 7
30 15 5
最大公因数和最小公倍数的应用
一、最大公因数的应用1、有三根铁丝，长度分别为18、24、30。
现要把它们截成长度相等的小段若干段，每根都不允许有剩余，问每一小段最长是多少厘米？一共截了多少段？2、把20个梨和25个苹果平均分给若干个小朋友，分完后发现剩下2个梨，缺两个苹果，问最多有多少个小朋友？3、把一个2002×847的长方形分解成若干个完全相同的小正方形且没有剩余，则最少可以分解出多少个这样的小正方形？4、求435、783、928的最大公因数？5、将2004×1169×334的长方体，分成一些完全相同的小正方体，那么至少可以分成多少个？6、有三根铁丝分别长336厘米，444厘米，516厘米，把它们截成等长且尽可能长的整厘米小段（无剩余）。
若把这些整厘米小段铁丝焊接成正方体框架，能得到多少个这样的正方体框架？二、最小公倍数的应用1、动物园里的饲养员给三群猴子分花生。
如果只分给第一群猴子，则每只猴子可分得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可分得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可分得20粒；那么，把花生同时分给三群猴子，平均每只猴子最少可分得花生多少粒？2、文化补习班的教材不够，暂时每两人用一本语文课本，每三人用一本数学课本，每四人用一本英语课本，全班共用了91本课本，问全班有多少人？3、加工一种零件有三道工序，第一道工序每个工人每小时完成48个零件；第二道工序每个工人每小时完成32个零件；第三道工序每个工人每小时完成28个零件；问每道工序至少要安排多少名工人，才能搭配合适，使每道工序不产生积压和停工等等？4、A、B、C三匹马在一个环形跑马场上同时同地出发，A每2分钟跑一圈，B每3分钟跑一圈，C每4分钟跑一圈，那么它们多久以后能再同时经过出发点？5、有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯，则下一次既响铃又亮灯是几点？6、甲、乙、丙三人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米，已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后三人可以首次相聚？。
最大公因数与最小公倍数
最大公因数与最小公倍数在数学中，最大公因数与最小公倍数是两个非常常见且重要的概念。
它们在数论、代数以及其他许多数学领域都有广泛的应用。
本文将详细解释最大公因数与最小公倍数的概念及其性质，以及它们在实际问题中的应用。
一、最大公因数最大公因数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是指能够同时整除两个或多个整数的最大正整数。
例如，对于整数12和18来说，它们的最大公因数是6，因为6既能整除12也能整除18，而且没有其他大于6的数同时能整除这两个数。
最大公因数有一些重要的性质：1. 任何整数都能被1整除，所以任何两个整数的最大公因数都至少是1。
2. 如果两个数中有一个为0，那么它们的最大公因数就是另一个数的绝对值。
3. 如果两个整数的最大公因数是1，我们称这两个数为互质（或互素）。
计算最大公因数有多种方法，其中最常用的方法是欧几里得算法，也称辗转相除法。
该方法基于一个简单的原理：如果a能整除b，那么a也一定能整除a和b的余数。
利用这个原理，我们可以迭代地求解出最大公因数。
二、最小公倍数最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是指能够被两个或多个整数整除的最小正整数。
例如，整数4和6的最小公倍数是12，因为12既能被4整除，也能被6整除，并且没有比12更小的数能同时能被4和6整除。
最小公倍数也有一些性质：1. 任何整数的最小公倍数与其最大公因数的乘积等于这两个整数的乘积。
即，对于任意整数a和b，有LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)。
2. 最小公倍数也可以通过计算数的因子来求解，但它需要考虑到数的所有因子。
最小公倍数与最大公因数之间有一个重要的关系，即LCM(a, b) =(a * b) / GCD(a, b)。
这个公式在求解最小公倍数时非常有用。
三、最大公因数和最小公倍数的应用最大公因数和最小公倍数在实际问题中有着广泛的应用。
最大公因数与最小公倍数的实际应用
最大公因数和最小公倍数基础知识与实际应用相关基础知识几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
最大公因数和最小公倍数的性质（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：（a，b）x [a，b]=a x b。
6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。
36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。
这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。
两个数A, B,①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B,最小公倍数是A; ②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B;欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。
《九章算术》更相减损术找最大公因数短除法找最大公因数与最小公倍数短除符号就是除号倒过来。
短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商， 之后再除，以此类推，直到结果互质为止 （两个数 互质，最大公因数是 1的两个数叫互质数，如8和9）。
而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。
直到剩下每两个都是互质关系。
求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。
（公因数：如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”；公因数中最大的称为最大公因数。
） 图1 图2实际应用例：有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。
如果把这块木 头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个 数各是多少？2 1218 3 69 2 3最大公约数 2作6解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公因数。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际应用题。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际应用题。
利用最大公因数和最小公倍数解决实际应用题最大公因数和最小公倍数是数学中的重要概念，它们在解决实际应用题中起着重要的作用。
本文将介绍如何利用最大公因数和最小公倍数解决实际应用题，并提供一些示例。
最大公因数（GCD）利用最大公因数可以解决一些问题，例如：1. 求两个数的最大公因数：对于给定的两个数，可以使用辗转相除法或欧几里得算法来求它们的最大公因数。
2. 化简分数：将分数的分子和分母同时除以它们的最大公因数，可以得到最简分数。
3. 问题实例：假设甲、乙两个人分别有一些坚果，甲有a个坚果，乙有b个坚果，想要将这些坚果平分成相同的份额。
此时，需要确定最大公因数GCD(a, b)，如果GCD(a, b)大于1，那么无法平分坚果。
最小公倍数（LCM）利用最小公倍数可以解决一些问题，例如：1. 求两个数的最小公倍数：对于给定的两个数，可以使用求解最大公因数的方法来求得最小公倍数。
2. 问题实例：假设甲、乙两个人分别有a本书和b本书，想要将这些书放在几个格子中，使得每个格子中放的书的数目相同且达到最小。
此时，可以使用最小公倍数LCM(a, b)来确定最小的格子数。
示例下面通过一些示例来说明利用最大公因数和最小公倍数解决实际应用题的方法。
示例一甲、乙两人分别有16本书和24本书，并想要将这些书放在几个格子中，使得每个格子中放的书的数目相同且达到最小。
求最小的格子数。
解题思路：首先，可以计算16本书和24本书的最大公因数GCD(16, 24)。
使用欧几里得算法可以求得GCD(16, 24) = 8。
然后，可以计算16本书和24本书的最小公倍数LCM(16, 24)。
可以通过最大公因数来求解，LCM(16, 24) = (16 × 24) / GCD(16, 24) = 48。
最后，最小的格子数即为最小公倍数LCM(16, 24)的值，即48。
因此，甲、乙两人需要将书放在48个格子中，才能使每个格子中放的书的数目相同且达到最小。
最大公因数与最小公倍数的实际应用
6、把一些学生分组， 可以分成6人一组，也 可以分成9人一组，都 正好分完，如果这些学 生的总人数在40人以 内，可能是多少人？
7、3路汽车，每隔6分 钟发一次车；5路汽车， 每隔8分钟发一次车， 如果它们8：10同时发 车，下次同时发车是在 几点？
8、爸爸3分钟跑一圈， 妈妈4分钟跑一圈，小红 6分钟跑一圈，如果他们 同时起跑，至少多少分钟 后三人在起点再次相遇？ 这时他们分别跑了几圈？
11、一块正方形的布料， 既可以剪成边长是6厘米 的正方形，又可以剪成边 长是8厘米的正方形，都 没有剩余。这块正方形的 布料的边长至少是多少厘 米？
12、妈妈准备了一盒 糖，不超过40粒，平 均分给2个小朋友或4 个小朋友或6个小朋友， 都正好分完，这盒糖可 能有多少粒？
13、有一车饮料，如果3 箱分成一组，还剩1箱； 如果5箱分成一组，还剩 1箱；如果7箱分成一组， 还剩1箱。这车饮料至少 有多少箱？
9、现有三根铁丝，一根 长12米，一根长16米， 一根长32米，要把三根 铁丝截成同样长的若干段， 且三根铁丝都不许有剩余， 每段最长多少米，一共截 成多少段？
10、王叔叔买了一些观 赏热带鱼，花了48元， 李叔叔也买了一些同样的 热带鱼，花了54元。如 果这些热带鱼的单价都相 同，单价最高是多少元？ （单价是整数）
1、我家的贮藏室长16dm， 宽12dm，如果要用边长是 整分米数的正方形地砖把贮 藏室的地面铺满（使用的地 砖必须都是整块），可以选 择边长是几分米的地砖？边 长最长是几分米？
有一种墙砖长3dm,宽 2dm，如果用这种墙砖 铺一个正方形（用的墙 砖必须都是整块），正 方形边长可以是多少分 米？最小是多少分米？
3、月季每4天浇一次 水，君子兰每6天浇一 次水，李阿姨5月1日 给月季和君子兰同时浇 了水，下一次再给这两 种花同时浇水应是5月 几日？
(完整版)最小公倍数和最大公因数的应用题归纳
最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。
如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。
最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。
如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。
补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。
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❖ 例1：用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数 最大是多少？
分析 ∵ 要求的数去除30、60、75都能整除， ∴ 要求的数是30、60、75的公因数。 又∵ 要求符合条件的最大的数， ∴ 就是求30、60、75的最大公因数。 解：（30，60，75）＝15 所以，这个数最大是15。
（1）两人下一次在敬老院相遇是几月几日？ 〖2、3〗=6 7＋6=13 答：两人下一次在敬老院相遇是7月13日。
（2）从7月7日到8月底，她们一起去敬老院的日子有几次？
A、可以用列举法解答
B、24＋31=55（天） 55÷6=9（次）……1（天）
=216÷36 =6（个）
=3×2=6（个）
答：小正方形的边长最大是6厘米，可以剪6个．
举一反三
❖ 贝贝用一块长6分米、宽4分米的长方形纸板 裁成若干个边长是整分米数的小正方形，小 正方形的边长最大是多少？可以裁成多少块？
3、有一些长15厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体积木，用它们拼一个大 正方体，正方体的棱长最小是多少？至少要用多少块积木？
〖15、12、10〗=60 60求的是什么？
（60×60×60）÷（15×12×10）=120块
❖ 将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体 木块锯成完全一样的尽可能大的立方体，不 能有剩余，每个立方体的体积是多少？一共 可锯多少块？
25、20、15的最大公约数是：5 所以立方体的最大边长是5分米,体积是：5*5*5=125立方分米 共可以锯：（25*20*15）/125=60个
❖ 例4.两个数的最大公因数是4，最小公倍数是 252，其中一个数是28，另一个数是多少？
利用“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数 与最小公倍数的乘积”）
252×4÷28=36
横着看，每行（ ）个， 共有（ ）个。每份数 是（ ）。
竖着看，每列（ ）个，有（ ）列，共有（ ）个。每份数是（ ）。 12是3的倍数，也是4的倍数，是3和4的公倍数。
❖ 例1.明明用长12厘米，宽8厘米的长方形木条 拼成正方形，正方形的边长至少是多少？至 少要用这样的木条多少块？
已知每份数，求总数，应用公倍数的知识。
用每块长12厘米，宽8厘米，要把它们拼成一个正方形， 正方形的边长既是12的倍数也是8的倍数，要拼成最小 的正方形，就是边长是12和8的最小公倍数，求出边长 看每边有几个长，几个宽，就得出一共几块这样的长方 形木条． 解：12的倍数有：12，24，36，48，60…， 8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56…， 12和8的最小公倍数是24，即拼成的最小的正方形的边 长是24厘米， 24÷12=2（块）， 24÷8=3（块）， 需要块数：2×3=6（块）；
举一反三
❖ 明明用一些长6分米、宽4分米的长方形纸板拼成了 一个正方形，正方形的边长至少是多少？要用多少 块小长方形纸板？
❖ 2、把一张长18厘米、宽12厘米的长方形剪成边长 是整厘米数且同样大小的正方形，小正方形的边长 最大是多少厘米？可以剪多少个？
已知总数、求每份数，应用最大公因数的知识。
解：小正方形的边长最大值是18、12的最大公约数， 18=2×3×3，12=2×2×3 所以18、12的最大公约数是：2×3=6， 即小正方形的边长最大是6厘米； （18×12）÷（6×6）或（18÷6）×（12÷6）
❖ 分析 ∵ 要截成相等的小段，且无剩余， ❖ ∴ 每段长度必是120、180、300的公因数； ❖ 又∵ 每段要尽可能长， ❖ ∴ 要求的每段长度就是120、，300）＝60， ∴ 每小段最长 60厘米。
❖ 120÷60＋180÷60＋300÷60=2＋3＋5＝10（段） ❖ 答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。
❖ 例2：一个数用3、4、5除都能整除，这个数 最小是多少？
❖ 分析 由题意可知，要求求的数是3、4、5的 公倍数，且是最小公倍数。
❖ 解：∵ [3，4，5] ＝60， ❖ ∴ 用3、4、5除都能整除的最小的数是60。
❖ 例3：有三根铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和 300厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不 能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少 段？
4、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都可以，上体育 课的至少有多少人？
已知份数，求总数，应用公倍数的知识。
5、五1班上体育课，站成长方形队伍，排成3行、5行、6行都少1人，上体育课 的至少有多少人？
〖3、5、6〗=30 30－1=29（人）
6、暑假期间，贝贝和明明去敬老院照顾老人。7月7日她们都去了敬老院， 并约定以后贝贝每隔2天去一次，明明每隔3天去一次。