倒立摆模型
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。
倒立摆系统的建模(拉格朗日方程)
系统的建模及性能分析倒立摆系统的构成及其参数1倒立摆系统的基本结构本设计所用到的倒立摆模型直线一级倒立摆系统。
整个系统是由6大部分所组成的一个闭环系统，包括计算机、数据采集卡、电源及功率放大器、直流伺服电机、倒立摆本体和两个光电编码器等模块。
如图2.1所示：图2.1 倒立摆系统的结构组成示意图Fig 2.1 Structure of the linear single inverted pendulum system2系统主要组成部分简介直线一级倒立摆装置如图2.2所示[13]：图2.2直线一级倒立摆装置Fig 2.2 Straight linear 1-stage inverted pendulum device Quanser倒立摆系统包含倒立摆本体、数据采集电控模块以及控制平台等三大部分，其中控制平台是由装有Quanser专用实时控制软件的通用PC机组成。
1．直线倒立摆主体倒立摆主体是由Quanser直线运动控制伺服单元IP02与直线一级摆杆组成，并配有专用的小车直线轨道。
这里主要介绍下Quanser直线运动控制伺服单元IP02(即倒立摆运动小车)及导轨的组成：图2.3伺服单元IP02的组成Fig 2.3 Servo unit IP02 parts编号名称英文(01)IP02小车IP02 Cart(02)不锈钢滑轨Stainless Steel Shaft(03)齿轮导轨Rack(04)小车位移齿轮Cart Position Pinion(05)小车电机传动齿轮Cart Motor Pinion(06)小车电机传动齿轮轴Cart Motor Pinion Shaft(07)摆杆传动轴Pendulum Axis(08)IP02小车位移编码器IP02 Cart Encoder(09)IP02摆杆角度编码器IP02 Pendulum Encoder(10)IP02小车位移编码器接口IP02 Cart Encoder Connector(11)IP02摆杆角度编码器接口IP02 Pendulum Encoder Connector(12)电机接口Motor Connector(13)直流伺服电机DC Motor(14)变速器Planetary Gearbox(15)直线滑轨支撑轴Linear Bearing(16)摆杆连接套Pendulum Socket(17)IP02配重模块IP02 Weight图2.4系统导轨结构图Fig 2.4 System guide rail structure编号名称英文(22)导轨末端挡板Rack End Plate(23)导轨固定螺丝Rack Set Screw(24)小车运动限位Track Discontinuity直线一级倒立摆系统的倒立摆的摆杆连接在IP02小车的摆杆连接套上，IP02小车由电机通过齿轮传动机构在导轨上来回运动，保持摆杆平衡。
倒立摆姿态控制模型
倒立摆倒立摆百度文库解释：倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。
直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。
作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。
当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。
为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。
倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。
倒立摆模型
摆杆/小车铰接点与摆杆质心的距离
l 0.25m
摆杆绕其质心的转动惯量
I 0.0034kg m2
备注：可忽略了空气阻力以及小车与摆杆之间铰接点上的摩擦力矩。
表 1. 实验装置参数
现基于现代控制理论，按照如下步骤实现对研究直线一级倒立摆的控制方 法：1）建立直线一级倒立摆的运动方程；2）推导状态空间方程；3）分析能控
F
M
g
a. 小车的受力分析
b. 摆杆的受力分析
图2. 小车与摆杆的受力分析
小车在水平方向运动，则通过对小车的水平受力分析，可以得到以下方程：
(1) 摆杆作平面运动，可以分解为质心的平动和绕质心转动，由水平方向的受力 分析，可以得到下式：
即，
(2)
带入方程（1）得：
(3) 再由摆杆的垂直方向的受力分析，得到下式：
即， 又由摆杆对质心的力矩平衡方程有：
2
(4) (5)
直线一级倒立摆控制方法
由于
，所以等式左边有负号。最后，整理方程 (4)，(5)，可得： (6)
由于 ，则有
. 用 u 代表输入，也就是作用在
小车上的作用力，整理方程(3)，(6)可以得到一级倒立摆的运动方程
(7) 2. 系统的状态空间方程
为求系统的状态空间方程，对方程（7）进行拉氏变换，得到：
1
直线一级倒立摆控制方法
及能观性；4）计算状态反馈矩阵及状态观测矩阵；5）通过离线仿真分析验证上 述控制算法的有效性；6）通过上机实验观察其实际控制效果。 1. 建立直线一级倒立摆的运动方程
对小车和摆杆进行受力分析如图 2，其中，N 和 P 为小车与摆杆相互作用力 的水平和垂直两个方向的分量。
N
P
倒立摆数学模型(word文档良心出品)
1单级倒立摆的数学模型的建立：小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。
轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
图1 单级倒立摆系统数学模型倒立摆系统的模型参数如下[]：M 小车质量 1.096Kg ；m 摆杆质量 0.109Kgb 小车摩擦系数 0.1N/m /secI 摆杆质量 0.0034kg*m*ml 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mT 采样频率 0.005s下面N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：N x b F x M --=&&& (1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：()θθθθθsin cos sin 222&&&&&ml ml x m N l x dtd m N -+=+= （2） 把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：()F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos 2&&&& （3）为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进行分析，得到下面的方程：()θcos 22l dtd m mg P =- θθθθcos sin 2&&ml ml mg P --=- （4）力矩平衡方程如下：θθ&&I Nl Pl =--cos sin （5）方程中力矩的方向，由于φπθ+=，θφθφsin sin ,cos cos -=-=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： ()θθθcos sin 2x ml mgl ml I &&&&-=++ （6）假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1〈〈φ，则可进行近似处理：0,sin ,1cos 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=dt d θφθθ用u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+u ml x b x m M x ml mgl ml I φφφ&&&&&&&&&2（7）对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+)()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X m M s s mlX s mgl s s ml I φφφ （8）（推到时假设初始条件为0）则，摆杆角度和小车位移的传递函数为： mgl s ml I mls s X s -+=222)()()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s X s φ摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为： ()mgl s ml I mls A s -+=22)()(φ将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：26705.00102125.002725.0)()(22-=s s s A s φ摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：22432222()()()()()()ml s s q b I ml M m mgl bmgl F s s s s s q q qq M m I ml m l φ=+++--⎡⎤=++-⎣⎦将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：32()2.35655()0.088316727.9169 2.30942s s F s s s s φ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：222222222201000()00()()()00010()00()()()x x I ml b m gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml u mlb mgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：0100000.08831670.62931700.8831670001000.23565527.82850 2.356551000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：'0100000001000103300044x x x x u gl l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&&&&&& '1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&& 将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：0100000001000100029.4031000000100x x x x u x x x y u φφφφφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦&&&&&&&&&& 2系统的可控性、可观测性分析对于连续时间系统：Bu AX X+=& Du CX y +=系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B A AB B n 1,...,,-是线性无关的，或n ×n 维矩阵[]B A AB B n 1-M ΛM M 的秩为n 。
倒立摆模型数学模型推导
倒立摆模型数学模型推导倒立摆模型是一种经典的数学模型，它可以用来描述倒立摆的运动规律。
倒立摆是一个由一个质点和一个固定在一根杆上的支点组成的系统，其特点是质点可以在杆的竖直方向上自由运动。
倒立摆模型的推导过程可以帮助我们更好地理解倒立摆的运动行为。
我们需要确定倒立摆模型中的各个物理量。
倒立摆模型包括杆的长度l、质点的质量m、杆与竖直方向夹角θ以及杆与竖直方向的角速度ω。
我们假设杆是质量均匀分布的，忽略空气阻力和摩擦力的影响。
根据牛顿第二定律和力的平衡条件，我们可以得到倒立摆的运动方程。
首先考虑沿杆方向的受力平衡，可以得到以下方程：m * l * ω^2 * sinθ = m * g * sinθ进一步考虑垂直于杆方向的受力平衡，可以得到以下方程：m * l * ω * cosθ = m * g * cosθ + T其中，T表示杆对质点的拉力。
由于杆是刚性的，因此可以认为杆上各点的速度相同，即杆的线速度为v = l * ω。
根据牛顿第二定律，可以得到以下方程：m * l * ω * cosθ = m * g * cosθ + T = m * a其中，a表示质点的加速度。
将上述方程带入到沿杆方向的受力平衡方程中，可以得到以下方程：m * l * ω^2 * sinθ = m * g * sinθ + m * a * sinθ进一步化简上述方程，可以得到倒立摆的运动方程：l * ω^2 + g * sinθ = a * sinθ倒立摆的运动方程是一个非线性微分方程，可以通过数值解或近似解的方法求解。
在实际应用中，可以利用控制理论和控制算法来实现倒立摆的控制。
倒立摆模型的推导过程可以帮助我们更好地理解倒立摆的运动规律。
通过倒立摆模型，我们可以研究倒立摆的稳定性、控制方法以及应用领域等问题。
倒立摆模型不仅在物理学和工程学中有广泛的应用，也成为了控制理论和控制工程的经典案例之一。
总结起来，倒立摆模型是一种用数学方法描述倒立摆运动规律的模型。
倒立摆的动力学模型
倒立摆的动力学模型倒立摆是一个经典的物理实验，同时也是控制系统领域中的一个重要研究对象。
本文将介绍倒立摆的动力学模型以及相关的理论背景。
一、背景介绍倒立摆是由一个杆和一个连接在其上方的质点组成的，它在重力作用下呈现出不稳定的平衡状态。
倒立摆的动力学模型可以通过建立质点与杆之间的力学关系来描述。
二、质点的动力学方程假设质点质量为m，位置用x表示，杆的最低点为平衡位置，根据牛顿第二定律，可以得到质点的动力学方程：m * d^2x / dt^2 = Fg + Fc其中Fg表示质点受到的重力，Fc表示质点受到的摩擦力。
重力可以表示为：Fg = -mg * sinx摩擦力一般可以近似为：Fc = -b * dx / dt其中b为摩擦系数。
将上述方程带入质点的动力学方程中，可以得到：m * d^2x / dt^2 + b * dx / dt + mg * sinx = 0这就是质点的动力学方程。
三、杆的动力学方程杆的运动可以由转动惯量和力矩平衡来描述。
假设杆的质量为M，长度为l，转动惯量为I，杆绕其一端的转动中心转动，可以得到杆的动力学方程：I * d^2θ / dt^2 = -Mgl * sinθ其中θ表示杆的角度。
四、控制方法倒立摆的控制方法可以分为开环和闭环控制。
开环控制是通过输入外部力或力矩来控制摆的位置或角度，而闭环控制是通过测量摆的位置或角度，并根据目标位置或角度来调整输入力或力矩。
闭环控制往往使用PID控制器。
PID控制器是一种经典的控制器，可以根据目标位置与当前位置之间的差异来调整输入力或力矩，从而实现对倒立摆的控制。
五、应用领域倒立摆的研究在控制系统领域具有广泛的应用。
例如，在工业自动化中，倒立摆可以用来模拟和控制各种平衡问题。
此外，倒立摆还可以用于教育和科普领域，帮助人们更好地理解动力学和控制原理。
六、结论倒立摆的动力学模型是控制系统领域中一个重要的研究对象。
通过建立质点与杆之间的力学关系，可以得到质点和杆的动力学方程。
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模
直线一级倒立摆的牛顿—欧拉方法建模首先，我们需要定义系统的坐标和状态变量。
在这个问题中，我们可以选择将质点的位置和角度作为系统的状态。
令x表示质点的水平位置，θ表示摆杆与竖直方向的夹角。
其次，我们需要确定系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和欧拉定理，可以得到如下的动力学方程：m * x'' = -m * g * sin(θ) - c * x';I * θ'' = m * g * cos(θ) * L - J * θ'其中，m是质点的质量，g是重力加速度，c是摩擦系数，L是摆杆的长度，I是质点关于摆杆固定点的转动惯量，J是摆杆的转动惯量。
最后，我们可以采用数值方法来求解这个动力学方程。
牛顿-欧拉方法是一种常用的数值方法，它基于一阶泰勒级数展开近似，并使用离散时间步长来进行数值计算。
具体步骤如下：1.将时间t离散化为n个时间步长Δt的序列：t_0,t_1,...,t_n。
2.初始化系统的状态变量：x(0),θ(0),x'(0),θ'(0)。
3.对于每个时间步长i，计算状态变量的更新：a. 计算加速度：x''(i) = (1/m) * (-m * g * sin(θ(i)) - c * x'(i))θ''(i) = (1/I) * (m * g * cos(θ(i)) * L - J * θ'(i))b.使用泰勒级数展开逼近位置和速度：x(i+1)=x(i)+Δt*x'(i)+0.5*Δt^2*x''(i)θ(i+1)=θ(i)+Δt*θ'(i)+0.5*Δt^2*θ''(i)c.使用泰勒级数展开逼近速度和加速度：x'(i+1)=x'(i)+Δt*x''(i)θ'(i+1)=θ'(i)+Δt*θ''(i)d.根据实际情况对状态进行调整，如质点位置不能超过摆杆范围等。
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（3）
为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力Biblioteka 行分析，得到下面的 方程：1
d2 P mg m 2 l cos dt
sin ml 2 cos P mg ml
力矩平衡方程如下： （4）
Pl sin Nl cos I
（7）
对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到：
2 2 2 I ml ( s) s mgl ( s) mlX ( s) s （8） 2 2 M m X ( s) s bX ( s) s ml ( s) s U ( s)
（推到时假设初始条件为 0）则， 摆杆角度和小车位移的传递函数为：
x x 1 0 0 0 x 0 ' y u 0 0 1 0 0
将上述参数代入，以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：
x 0 x 0 0 0
0 0 x 2 I ml 0 x I ( M m) Mml 2 u 1 0 ml 0 2 I ( M m) Mml
x x 1 0 0 0 x 0 y u 0 0 1 0 0 将上述参数代入，以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为：
5
可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。因此接下来， 我要进行控制器的设计。
6
以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式：
3
0 x x 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 3g 4l
0 0 x 0 x 1 ' 1 0 u 3 0 4l
方程中力矩的方向，由于
（5）
， cos cos , sin sin ，故等
（6）
式前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：
mgl sin ml cos I ml x
2
假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即 1，则可进行近似处理：
1 单级倒立摆的数学模型的建立：
小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器 和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置 （线位移和角位移） 。 导轨截面成 H 型， 小车在轨道上可以自由滑动， 其在轨道上的有效运行长度为 1 米。轨道两端装有 电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
带入数值得：
令 SI A 0 得系统的开环特征方程为（0，0，5.42，-5.42）
系统状态可控性矩阵的秩=4=系统的状态变量的维数，系统的输出完全可控 性矩阵的秩=2=系统输出向量 y 的维数，所以系统可控。可观测性矩阵的秩=4= 矩阵 A 的维数，所以系统可观测。系统有一个极点位于 s 又半平面上，有两个极 点位于坐标原点。 所以系统不稳定。因此可以对系统进行控制器的设计，使系统 稳定。
将上述参数代入，摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
2
( s)
0.02725 s 2 A( s) 0.0102125 s 2 0.26705
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数： ml 2 s (s) q b( I ml 2 ) 3 ( M m)mgl 2 bmgl F (s) 4 s s s s q q q
F bx N M x
(1)
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
d2 N m 2 x l sin dt cos ml 2 sin ml N m x
（2）
把这个等式代入（1）式中，得到系统的第一个运动方程：
2 sin F bx ml cos ml M m x
图 1 单级倒立摆系统数学模型 倒立摆系统的模型参数如下[]： M 小车质量 1.096Kg； m 摆杆质量 0.109Kg b 小车摩擦系数 0.1N/m /sec I 摆杆质量 0.0034kg*m*m 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m l T 采样频率 0.005s 下面 N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：
2 系统的可控性、可观测性分析
对于连续时间系统：
AX Bu X y CX Du
系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组 B, AB,..., An1 B 是线性无关的，或 n×n 维矩阵 B AB An1 B 的秩为 n。 系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵
0 x 0 0 x 1 u 0 0 1 0 0 29.4 0 3 x x 1 0 0 0 x 0 y u 0 0 1 0 0 1 0 0 0
CBCABCA BCA
2
n 1
B D 的秩等于输出向量 y 的维数。
应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进 行可控性分析：
0 0 A 0 0
1 0 0 0 0 0 0 29.4
0 0 1 0
0 1 B 0 3 1 0 0 0
1 0 0 x 0 x 0 x 0 0.0883167 0.629317 0 x 0.883167 u 0 0 0 1 0 0 0.235655 27.8285 0 2.35655 x x 1 0 0 0 x 0 y u 0 0 1 0 0
2 2 2 q ( M m)( I ml ) m l
将上述参数代入，摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
( s)
F ( s)
2.35655s s 0.0883167 s 2 27.9169s 2.30942
3
以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为： 1 0 0 x ( I ml 2 )b m 2 gl 2 0 x I ( M m) Mml 2 I ( M m) Mml 2 0 0 0 mlb mgl ( M m) 0 2 I ( M m) Mml I ( M m) Mml 2
2.3 系统阶跃响应分析
上面已经得到系统的状态方程，先对其进行阶跃性分析，在 Matlab 中键入以下指令： >> clear; A=[0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0]; B=[0 1 0 3]';C=[1 0 0 0; 0 1 0 0]; D=[0 0]'; >> step(A,B,C,D) 得到如下图：
mls 2 X ( s) ( I ml 2 ) s 2 mgl
将上述参数代入，摆杆角度和小车位移的传递函数为：
(s)
0.02725 s 2 X ( s) 0.0102125 s 2 0.26705
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
( s)
( s)
A( s)
ml I ml 2 s 2 mgl
d cos 1, sin , 0 dt 用 u 代表被控对象的输入力，线性化后两个运动方程如下：
2 mgl ml x I ml u bx ml x M m
2
1 0 0 0 C 0 0 1 0
0 D 0
带入上式，计算得：
0 1 2 3 S B : AB : A B : A B 0 0
0 0 0 0 1 0 29.4 0
4
rankS 4
2 3 V C : CA : CA : CA rankV 4