单级倒立摆
单级倒立摆稳定控制
单级倒立摆稳定控制摘要单级倒立摆是一种受控系统，在工业控制和机器人技术中有着广泛的应用。
这篇文档将介绍单级倒立摆的结构、原理和控制方法，特别是借助PID控制系统来实现单级倒立摆的稳定控制。
单级倒立摆是一种类人形机器人，它通常由一个水平旋转的轮子和一个通过电机传动的滑移杆组成，最后再由摆杆上的陀螺控制实现倒立。
这种结构使得单级倒立摆成为了机器人应用领域中的一个挑战问题。
为了实现单级倒立摆的稳定控制，需要在控制系统中引入一个合适的控制机制。
PID控制算法是一种最为通用的控制算法之一，常被用于像单级倒立摆这样的机器人平衡控制。
PID控制PID控制是一种基于反馈的控制系统，在工业和机器人技术中得到了广泛的应用。
PID控制通过比较实际的输出值与期望的输入值之间的差异，来作出对输出值的控制。
PID控制可以对输出值的稳定性、可靠性和精度进行控制，适用于不同类型的工业和机器人控制系统。
PID控制通常由三个部分组成：比例(P)、积分(I)和微分(D)控制。
比例控制反馈调整输出值，使得实际输出值逼近期望输入值。
积分控制记录过去所有误差，并将这些误差相乘来调整输出值。
微分控制通过记录过去的误差变化率，来防止输出值的快速变化。
在单级倒立摆稳定控制中，采用PID控制可以较好地解决因摩擦力、惯性、重心偏移等因素导致的系统不稳定问题，进而实现系统的平衡控制。
单级倒立摆的稳定控制实现单级倒立摆的稳定控制需要进行以下步骤：步骤1：系统建模将单级倒立摆系统建模，根据运动学和动力学原理，得到系统的运动方程。
步骤2：PID参数调节通过对PID控制算法中比例、积分、微分三个部分的参数进行调整，得到较好的控制效果。
步骤3：PID控制实现将PID控制器与单级倒立摆系统进行连接，实现单级倒立摆的稳定控制。
本文档介绍了单级倒立摆的结构、原理和控制方法，分析了PID控制算法在单级倒立摆稳定控制中的应用。
通过对步骤进行深入的解析，得到了单级倒立摆的稳定控制方法。
单级倒立摆课程设计
单级倒立摆课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握单级倒立摆的基本概念、原理和数学模型；2. 使学生了解单级倒立摆在实际工程中的应用和价值；3. 引导学生运用物理知识分析单级倒立摆的动态特性及稳定性。
技能目标：1. 培养学生运用数学、物理知识解决实际问题的能力；2. 提高学生动手实践能力，学会设计、搭建和调试单级倒立摆控制系统；3. 培养学生团队协作、沟通表达及分析问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对物理科学研究的兴趣，培养创新意识和探索精神；2. 引导学生关注我国在倒立摆技术领域的发展，增强国家认同感；3. 培养学生严谨的科学态度和良好的学习习惯。
课程性质：本课程为物理学科实验课程，旨在通过实践操作，让学生深入理解单级倒立摆的原理和应用。
学生特点：本课程针对高中学生，他们在数学、物理基础知识方面有较好的储备，具备一定的动手能力和探究精神。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，引导学生主动参与，提高综合运用知识解决实际问题的能力。
将课程目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆的基本概念、原理及数学模型；- 倒立摆系统的动态特性分析；- 倒立摆稳定性判据及控制方法。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验装置；- 设计并实现单级倒立摆控制系统；- 调试优化控制系统，实现倒立摆的稳定控制。
3. 教学大纲：- 第一周：单级倒立摆基本概念、原理及数学模型学习；- 第二周：倒立摆系统的动态特性分析；- 第三周：稳定性判据及控制方法学习；- 第四周：实践操作，搭建实验装置；- 第五周：设计并实现单级倒立摆控制系统；- 第六周：调试优化控制系统，总结交流。
教材章节：本教学内容参考课本第十章“自动控制”，具体涉及第1节“倒立摆控制”和第2节“倒立摆控制系统设计”。
教学内容安排和进度：按照教学大纲，每周安排一次课，共计6周。
理论教学与实践操作相结合，保证学生充分理解并掌握单级倒立摆相关知识。
单级倒立摆系统建模(单页)
单级倒立摆系统建模倒立摆倒立摆(Inverted Pendulum)作为一个被控对象，是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统，必须施加强有力的控制手段才能使之稳定。
许多新的实时控制理论，都通过倒立摆控制试验来加以验证。
从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很大的相似性。
小车倒立摆系统建模图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应的平衡条件是和。
人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状态控制没有本质差异。
0)(=t θ0d /d =tθ图1 手持倒立摆小车倒立摆动力学分析(3)单级旋转倒立摆系统结构单级旋转倒立摆系统结构表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位M驱动臂的总质量 0.285kg 1M摆杆的总质量 0.175kg 2G转动力矩与控制电压之比 0.0508Nm/V 0U控制输入电压VJ驱动臂对其质心处的转动惯量 0.00185kgm²1J摆杆对其质心处的转动惯量 0.00137kg m²2L驱动臂的质心到转轴的距离0.119m1L摆杆的质心到转轴的距离 0.24m2表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位L从关节到转轴的距离0.127m12F转轴处的摩擦阻力矩系数0.05Nms1F关节处的摩擦阻力矩系数 0.0026 Nms 2f驱动臂与摆杆作用力的水平分力N1xf驱动臂与摆杆作用力的垂直分力N1yθ驱动臂相对垂直线的角位移rad1θ摆杆相对垂直线的角位移rad2g重力加速度9.8m/s²。
单级倒立摆系统课程设计
单级倒立摆系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单级倒立摆系统的基本原理，掌握其数学模型和动力学特性；2. 学会分析单级倒立摆系统的稳定性，并掌握相应的控制策略；3. 掌握利用传感器和执行器实现单级倒立摆系统的实时控制方法。
技能目标：1. 能够运用所学的理论知识，设计并搭建单级倒立摆实验系统；2. 能够编写程序，实现对单级倒立摆系统的实时控制，使系统保持稳定；3. 能够分析实验数据，优化控制参数，提高系统性能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理系统控制原理的兴趣，激发学生探索科学技术的热情；2. 培养学生的团队协作意识和解决问题的能力，增强学生的自信心；3. 引导学生关注科技创新，认识到所学知识在实际应用中的价值。
课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，旨在帮助学生将所学的理论知识应用于实际系统中，提高学生的实践能力和创新能力。
学生特点：学生具备一定的物理、数学基础，对控制原理有一定了解，但实践经验不足。
教学要求：注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
在教学过程中，注重引导学生自主学习，培养学生的创新意识和团队协作精神。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际系统，提高自身综合素质。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆系统的基本原理及数学模型；- 单级倒立摆系统的稳定性分析；- 控制策略及控制算法在单级倒立摆系统中的应用；- 传感器和执行器在单级倒立摆系统中的作用及选型。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验系统；- 编写程序实现实时控制；- 调试优化控制参数；- 分析实验数据，提高系统性能。
3. 教学大纲：- 第一周：介绍单级倒立摆系统基本原理，学习数学模型，进行稳定性分析；- 第二周：学习控制策略及控制算法，探讨其在单级倒立摆系统中的应用；- 第三周：了解传感器和执行器，学习其在单级倒立摆系统中的作用及选型；- 第四周：分组搭建单级倒立摆实验系统，进行程序编写和实时控制；- 第五周：调试优化控制参数，分析实验数据，提高系统性能。
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计小组成员：武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一．倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。
由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。
由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。
1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。
目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。
二．系统建模1．单级倒立摆系统的物理模型图1：单级倒立摆系统的物理模型单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。
倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。
倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。
在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
单级倒立摆
倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
常见的单级倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成。如下图
• 单级倒立摆的数学模型
图中u是施加于小车的水平方向的作用力，x是小车的位移，θ是摆的倾斜角。 若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现 偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持 在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。
xG x L sin yG L cos
则根据牛顿定律，建立水平和垂直运动状态方程。 摆杆围绕其重心的转动运动可用力矩方程来描述
J VL sin HL cos
式中，J为摆杆围绕其重心的转动惯量。
..
• 摆杆重心的水平运动由下式描述
d2 m 2 ( x L sin ) H dt
..
m gL J mL x u 2 2 ( M m) J MmL ( M m) J MmL
.. 2 2 2
式中， J
1 mL2 12
• 令
x (1) , x (2) , x (3) x, x (4) x
.
.
.
则上述单级
倒立摆方程可表示为
x Ax Bu
.. ..
• 由以上各式可得：
( M m) x mL u ( J mL ) mL x mgL
2 .. ..
..
..
• 将上述两式化简求解得பைடு நூலகம்级倒立摆方程
m(m M ) gL mL u 2 2 ( M m) J MmL ( M m) J MmL
为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设: ①倒立摆与摆杆均为匀质刚体。 ②可忽略摆与载体,载体与外界的摩擦，即忽略摆轴、轮轴、轮与接触 面之间的摩擦力等。 控制力u作用于小车上。摆杆长度为2L，质量为m，小车的质量为M， 小车瞬时位移为x，由以上假设可知，摆杆的重心位于其几何中心。 设输入为作用力u，输出为摆角θ,同时规定摆杆重心的坐标为 ( xG , yG ) ，则
基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种控制方法，旨在实现单级倒立摆的控制。
T-S模糊控制又称为模糊控制器，是一种具有适应性的控制方法，可以应对非线性系统。
单级倒立摆是指一个质量集中在底部的刚性杆，这个杆可以绕着水平轴旋转，并在其顶端悬挂一个质量。
单级倒立摆是一种经典的非线性控制问题。
极点配置是一种控制系统设计方法，它是基于控制系统的极点位置来调整控制器参数，以达到预期的控制性能。
在基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制中，控制器的设计包括两个部分。
第一部分是基于极点配置的控制器设计，这个部分主要是确定控制器的极点位置，以实现所需的控制性能。
第二部分是基于T-S模糊控制的控制器设计，这个部分主要是设计模糊规则和隶属函数，以实现在不同状态下的控制。
总体来说，基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种创新性的控制方法，它可以应对非线性系统的控制问题，并具有良好的控制性能。
单级倒立摆LQR控制方法的鲁棒稳定性分析
ｐ ｎ ｕ ｕ ｓ ｓｅ ， ｅ ｄ ｌｍ ｙ ｔｍ ＬＱＲ ｏ ｔｏ ｔ ｏ ｓ ｄ ｂ ＡＴＬＡＢ ｉ ｌｔ ｎ ｕ ｄ ｒａ ｘ ｅ ｉ ｎ ａ ｎ ｉｏ ｍｅ ｔ ｃ ｎｒ ｌ ｍｅ ｈ ｄ ｕ ｅ ｙＭ ｓｍｕａ ｉ ｎ ｅ ｎ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ｌ ｖｒ ｎ ｎ ， ｏ ｅ
单级倒立摆 Ｌ ＱＲ 控 制 方 法 的鲁 棒 稳 定 性 分 析
刘微微 ， 张 静
（ 尔 滨 理 工 大 学 自动化 学 院 ，哈 尔 滨 １ ０ ８ ） 哈 ５ ０ ０
摘
要： 鲁棒稳定性是控制系统 的一个重要指标 ， 针对单级倒立摆 系统 ， 采用 Ｌ ＱＲ最优控制方法 ， 通过 ＭＡＴＩ ＡＢ实验环境下 的仿 真， 得到了 良好的控制效果 。重点对该控制方法 的鲁棒稳定性做 了详细分析 ， 通过增加 系统 自身的扰动 及 Ｌ ＱＲ控制器 中 加权阵 Ｒ的改变考察该控制方法 的鲁棒稳定性 ， 比仿真结 果表明该控 制方法鲁棒稳定性 良好 ， 对 进一步验证 了 Ｌ ＱＲ控制
Ｄｉｔ ｒ ａ ｃ ｙ ｉ ｃｅ ｓｎ ｈ ｙ ｔｍ ｔｅｆａ ｄ ｔ ｅＬＱＲ ｏ ｔｏ ｌｒ ｏ ｃ ａ ｇ ｈ ｉｈ ｉｇ ｍａｒｘ Ｒ，ｔ ｓ ｉ ｌ ｎ ｈ ｓ ｃ ｎ ｒ ｌ ，ｔ ｈ ｎ ｅ ｔ ｅｗｅｇ ｔｎ ｔｉ ｅ ｏ
ｈ ｖ ｏ ｄｃ ｎ ｒ ｌ ｆｅ ｔ ａ ｅａｇ ｏ ｏ ｔｏ ｆｃ．Ｆｏ ｕ ｎ ｔ ｅｒ ｂ ｓ ｔｂｌｔ ｆ ｈ ｏ ｔｏ ｅ ｈ ｄｈ ｓｄ ｎ ｅ ａｌｄ ａ ａｙ ｉ． ｅ ｃ ｓｏ ｈ ｏ ｕ ｔｓａ ｉ ｙｏ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｔ ｏ ａ ｏ ｅａｄ ｔ ｉ ｎ ｌ ｓｓ ｉ ｔ ｍ ｅ
ｓｕ ｙ ｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｔ ｏ ｆｒ ｂ ｓ ｔ ｂｌ ｙ ｃ ｍ ｐ ｒｎ ｉ ｕ ａ ｉｎ ｒ ｓ ｌｓｔ ｅ ａｇ ｏ ｏ ｕ ｔｓａ ｉ ｔ ｆ ｔ ｄ ｈ ｏ ｔｏ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｕ ｔｓａ ｉ ｔ ， ｏ ａ ｉ ｇ ｓｍ ｌｔ ｅ ｕｔ ｏ ｂ ｏ ｄ ｒ ｂ ｓ ｔｂ ｌ ｙ ｏ ｉ ｏ ｉ ｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｅ ｈ ｄ ｈ ｏ ｔｏ ｔ ｏ ．Ｆｕ ｔ ｅ ｅ ｉ ｈ ｄ ａ ｔ ｇ ｓｏ ｈ ｏ ｔｏ ｔ ｏ ｏ ｈ ｖ ｒｅ ｅ ｄ ｌ ｍ ｕ ｈ ｍ ｒ ｈ ｒｖ ｒｆ ｔ ｅａ ｖ ｎ ａ ｅ ｆｔ ｅｃ ｎ ｒ ｌ ｙ ｍｅ ｈ ｄ ｆｒｔ ｅｉ ｅ ｔ ｄｐ ｎ ｕｕ ｉ ｓ ｃ ｎ ｎ
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2011级自动化1班 杨辉云 P111813841一级倒立摆的模糊控制一．倒立摆的模型搭建1. 单级倒立摆系统的数学模型对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数fc=0.1。
摆杆θ传送带导轨直线单级倒立摆2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。
一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为L （q ，。
.q ）=V （q ，。
q ）—G （q ，。
q ） （1）式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。
dt d x ∂∂L — x ∂∂L + x∂∂D= fi （2）式中：D 是系统耗散能，fc为系统的第i 个广义坐标上的外力。
一级倒立摆系统的总动能为：V=θθcos x ml ml 32)(21222。
+++x m M （3）一级倒立摆系统的势能为：G=θcos mgl θ （4）一级倒立摆系统的耗散能为：D=221。
x fc（5）一级倒立摆系统的拉格朗日方程为：0=∂∂+∂∂-∂∂θθθDL L dt d (6) F XDX L X L dt d =∂∂+∂∂-∂∂ (7)将（1）到（5）式带入（6）式得到如下：0sin sin sin cos m 3422=-+。
——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8）（M+m ）F x ml ml x fc=++θθθθsin cos 2。
— （9）一级倒立摆系统有四个变量：。
，，，θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得到系统的状态空间模型如下：=。
X ⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000189.000748.01-- 579.20386.00⎥⎥⎥⎥⎦⎤0100+x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-8173.007467.00Y= ⎢⎣⎡01 010 ⎥⎦⎤00x二．倒立摆特性分析1. LQR 控制器的设计系统的能控性是控制器设计的前提，所以在设计前进行能控性分析，根据能控性矩阵[B TO =，AB ，B A 2，]B A 3，利用Matlab 中的rank 命令，可以得到r amk （TO ）=4。
由此可知，因为能控性矩阵满秩，所以系统是完全可控的，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
线性二次型调节器的控制对象时线性系统，这个线性系统必须是状态空间的形式，其表示方式如下Bu Ax X +=。
Du Cx Y +=通过确定最佳控制量U=R —1BTPX= —KX 的矩阵，使性能指标为一下方程[]dt U R U QX X J T+=⎰τ21上式的值很小，其中，加权矩阵Q 和R 是用来平衡状态变量和输入变量的圈重；P 是Recite 方程的解，Recite 方程如下：PA + 01=+--Q P B PBR P A TT可以得到P 的值以及最有反馈增益矩阵的K 值：K=P B R T1-LQR 用于单级的原理图如下所示R +_KCxY Bu Ax X =+=。
Y综合上述考虑得知，现在取Q=drag（[110，110，110,110]），R=1，利用MATLAB 提供的LQR函数，可得控制器的增益矩阵：K=[00024.- 8 250.312 0 158.534 ]- 0 210.10通过算法即可确定使目标函数值最小加权矩阵Q中优化元素的值，从而确定反馈控制规律的向量K。
三．合计方案方案一：由于倒立摆有4个输入量，对于一个多输入多输出（MIMO）系统，为了获得满意的控制精度和响应速度，通常需要在输入输出空间的每一维上定义多个语言变量使模糊语言规则数显著增加，而且由于各规则之间的耦合作用，使某一条规则的修改给整个模糊控制器带来的影响难以控制。
而模糊模型可以显著减少模糊语言变量和隐含条件句的数目，而且便于对控制系统进行分析、调试、和控制。
单级倒立摆是一个多输入多输出系统，因此选用拉格朗日方程建立模糊模型。
方案二：由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需要一个四输入的模糊控制器。
对于多变量模糊控制系统，由于可能的控制规则数目是输入变量数的指数，但模糊规则的建立给系统的设计带来了很大难度，为此，系统采用双闭环的模糊控制器控制策略。
采用Mamdani模糊模型，分别设计角度和位移模糊控制器。
1.控制器设计模糊控制理论是建立在模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理基础上的一种计算机数字控制理论。
‘模糊控制是一种非线性控制，属于智能控制的范畴，目前它己经成为智能控制的一种重要而有效的形式。
模糊控制是通过模拟人脑的模糊思维方法, 从而实现被控系统的控制的。
模糊控制器和模糊控制规则是设计的核心环节。
模糊控制器由4部分组成：模糊化、知识库、模糊推理、清晰化。
图示表示了模糊控制器的基本结构。
图中，R为系统设定值(精确量)；e,e分别为系统误差与误差变化率(精确量)；反映系统误差与误差变化的语言变量的模糊集合(模糊量)；u为模糊控制器输出的控制作用(精确量)：y为系统输出(精确量)。
含模糊控制器的系统基本方框图系统采用双闭环的模糊控制器控制，分别设计角度和位移模糊控制器。
图中，e ø,ec1分别为倒立摆的摆角偏差和摆角偏差变化率，作为角度模糊控制器的输入，分别为倒立摆的位移偏差和位移偏差变化率，作为位移模糊控制器的输入，控制系统在第一阶段先控制摆杆摆角的平衡，所以当输出量摆角|φ |≥5°时，a=1，控制量u=u 1，当摆杆接近平衡范围时系统进入第二控制阶段，即输出量摆角|φ |<5°时，控制量u=au1=(1-a )u2，逐渐将输出量位移控制在平衡点。
双闭环模糊控制器系统结构2.角度模糊控制器模糊推理系统中e1和e2为控制器输入，控制电压u 1为控制器的输出。
取输入e和输出u 1的模糊子集{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB}，其中论域为[-0.526,0.526]，论域为[-1,1]，u1论域为[-6,6]。
选择输入量、输出u1的隶属函数为三角形(trimf)。
根据电机输出力的大小与摆杆角度、角速度的关系，确定角度控制的模糊规库如表所示。
在设计控制规则时，有些特殊情况必须予以考虑，如倒立摆摆杆出现最大偏角时，不再考虑角速度的变化，应及时输出最大控制力使摆杆不倒。
控制器的搭建表 1 角度模糊规则表3.位移模糊控制器小车位移模糊控制器的两个输入变量为位移偏差ex和位移偏差变化率，其中论域为 [-0.3,0.3]，论域为[-1,1]，分别定义5个模糊子{NB,NS,ZE,PS,PB}，输出u 2控制论域为[-2，4，2 ，4 ] ，分割成5级模糊子集，分别为{ NB,NS ,ZE ,PS ,PB }，量化等级为{-2.4,-1.2,0,1.2,2.4}。
选择输入量的隶属函数为三角形（trimf）。
输出u2的隶属函数为单点常数。
根据电机输出力的大小与小车位移、速度的关系，小车位移模糊控制规则库如表所示，考虑到有些情况不允许发生，不设定模糊规则，如小车位移为NB的同时小车速度为NB的状态不可控，应预先加以调整。
设定模糊决策采用Mamdani型推理算法，解模糊用重心平均法。
表2 位移模糊控制器四．建模仿真用Simulink来搭建角度模糊控制器和位移模糊控制器[3-6]，其仿真框图如图所示。
通过模糊控制器模块，可以和包含模糊控制器的fis文件联系起来，还可以随时改变输入输出论域，隶属度函数以及模糊规则，方便仿真和调试。
双闭环模糊控制在simulink环境下构建模糊控制系统，完成系统中各参数的整定，即系统中加权系数a取0.3，比例因子ke,kecku对控制效果的影响很显著,因而对量化因子的优化设计就显得非常重要[8]，经过大量仿真实验，不断调整角度模糊控制器输入比例因子kφ、keφ，输出比例因子ku1。
以及位移模糊控制器输入比例因子kx、kex，输出比例因子ku2。
根据实际系统参数及状态方程，在matlab 环境下编写控制程序，进行仿真试验研究，双模糊控制器的输出权重经过不断地试验得到，仿真后的系统输出曲线如下所示。
情况一：通过实验，保持输入比例因子不变，仅改变输出比例因子ku1、ku2时，角度和位移响应曲线如图所示。
随着输出比例因子(ku1、ku2)增大，上升速率加快,响应时间减小。
通过仿真还可得知: Ku1、Ku2 过大时,系统输出上升速率过大，从而产生过大的超调乃至振荡和发散,严重时将会影响系统的稳态工作；而Ku1、Ku2 过小时,系统的增益很小,系统输出上升速率较小,调节速度变慢,即系统的过渡过程较长。
输出比例因子较大的仿真曲线分析：输出比例因子增大后，角度的响应曲线一直震荡，位移的响应曲线不在收敛，超调过大，以致系统发散而不稳定。
输出比例因子较小的仿真曲线分析：调小输出比例因子，系统的超调量减小，但过渡时间较长。
在20s左右，系统趋于稳定。
由仿真曲线可知，摆杆随后一直处于倒立位置,角度偏差几乎为零，小车位置保持在平衡位置附近。
情况二：保持输出比例因子不变，仅改变输出比例因子k、k时，角度和位移响应曲线如图5-4、5-5所示。
K增大, 反应变迟钝,调节时间变短,超调量增大; K减小, 反应加快, 上升速率小, 调节时间长, 超调量小. 通过仿真还可发现, K过小时, 调节时间就会过长, 严重时系统无法稳定工作。
分析：减小输入比例因子，降低了对误差和误差变化率的分辨能力，超调量较小，但调节时间较长，反应较慢，调节惰性加大，稳定精度降低。
摆角稳定在10左右。
输入比例因子较小的仿真曲线输入比例因子增大的仿真曲线五．仿真结果与分析去Q=diag（[110，110，110，110]），R=1时，得到的一级倒立摆仿真波形如图所示。
由图可知，小车经过 s时达到平衡，二摆角经过 s达到平衡。
对Q阵优化后系统响应超调量减少，响应速度加快，调节时间减少，系统的静差特性和动态特性都得到改善，如图所示六．结论利用拉格朗日方程建立了只想的单级倒立摆控制系统数学模型，在此基础上分析了该系统的控制性能，同时利用LQR控制器进行控制，通过仿真结果表明，LQR控制器对该系统具有良好的控制作用。
倒立摆系统作为典型的快速、多变量、非线性的系统，对控制性能的要求不断提高,传统控制理论对解决复杂系统效果不好.该论文将人工智能中的模糊控制引入控制系统,以提高控制要求,改善控制精度.通过仿真实验表明这种控制思路是可行的,其效果良好。