正方形判定
八年级正方形的性质和判定
正方形的性质和判定1、互动探索正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角，因此它既是矩形又是菱形，那么今天我们看下面图形来研究下它的性质和判定方法。
知识点一（正方形的性质和判定）【知识梳理】1、定义：有一组邻边并且有一角是的形叫做正方形。
2、性质：①正方形的四个角都是，四条边都。
②正方形的两条对角线，并且互相，每条对角线。
3、判定：①的矩形是正方形。
②的菱形是正方形。
③两条对角线，且互相垂直平分的四边形是正方形。
④两条对角线相等，且互相垂直的平行四边形是正方形。
4.面积：①正方形面积=边长的平方 S=a×a(S表示正方形的面积，a表示正方形的边长)②对角线乘积的一半5.周长：正方形周长=边长×4 用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则C=4a【例题精讲】例1.1、如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边重点连线EF为边的正方形EFGH的周长为。
（第1题）（第2题）2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，正方形ABCD的边长为3，则△ECF的周长为。
3、如图，正方形ABCD的边长为7，点E、F分别在AB、BC上，AE=3，CF=1，P是对角线AC上的个动点，则PE+PF的最小值。
（第3题）（第4题）4、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为。
【课堂练习】1、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是。
2、如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠BCP度数是。
（第1题）（第2题）（第3题）3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为。
5.3正方形的判定(一)(学生版)
5．3 .1正方形的判定正方形的定义：有一组邻边相等并且的平行四边形叫做正方形．正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．一、正方形的概念1．如图1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；图1(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．二、正方形的判定2．学习了正方形之后，王老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角；乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等；丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等．上述四名同学的说法中，正确的是( )A．甲、乙B．甲、丙C．乙、丙、丁D．甲、乙、丙、丁3．如图2，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF.若使四边形ADCF是正方形，则应在△ABC中再添加一个条件为____．图24.如图3，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB.图3(1)求证：▱ABCD是矩形；(2)请添加一个条件使矩形ABCD为正方形并说明理由．5．如图4，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED. 求证：四边形ABCD是正方形．图4 第5题答图1．下列说法正确的是( )A．有一个角是直角的四边形是正方形B．有一组邻边相等的四边形是正方形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形2．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了( ) A．1次B．2次C．3次D．4次3．在▱ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下列给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是____．4．如图5－3－1所示，已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠BAO＝∠DAO.(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)请添加一个条件使菱形ABCD为正方形．图5－3－15.如图5－3－2，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图5－3－26．已知：如图5－3－3，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．图5－3－37．如图5－3－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连结CD，BE.(1)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；(2)在(1)的条件下，当∠A＝____时四边形BECD是正方形．图5－3－41. 下列命题错误的是（）A．有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形B．有一组邻边相等的矩形是正方形C．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形2. 已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D=90°B． AB=CDC． AD=BC D． BC=CD3. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A. BC=ACB. CF⊥BFC. BD=DFD. AC=BF4. 顺次连结四边形ABCD各边中点所组成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线（）A．互相垂直但不相等 B．相等且互相垂直C．相等但不互相垂直 D．互相平分5. 如图是甲，乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是 .7. 如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是 .8. 矩形各内角的平分线所构成的四边形是形．9. 在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件. 下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD，其中正确的序号是 .10. 如图所示，在Rt△ABC中，CF为∠ACB的平分线，FD⊥AC于D，FE⊥BC于点E，试说明四边形CDFE是正方形.11.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED. 点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F. 求证：四边形ABCD是正方形.。
正方形的判定与性质
A
D
M O
N
BE
C
2四边形ABCD中AC与BD交于O ，据下列条件判断四边形ABCD的形状
①AB∥CD，AD∥BC ③AD∥BC 且AD=BC ⑤OA=OC＝OB=OD
⑦AC=BD且□ABCD
⑨∠A=∠C=∠B=∠D
⑾ ∠A=90°且□ABCD
⒀ AB=AD且矩形ABCD
；②AB=CD，AD=BC
；④∠A=∠C，∠B=∠D
证明：在正方形ABDE中， AE=AB，∠EAB=90°， 又在正方形ACFG中， AG=AC，∠GAC=90°，
∴∠EAB=∠GAC=90°.
∵∠EAC=∠EAB+∠BAC， ∠GAB=∠GAC+∠BAC，
∴∠EAC=∠GAB， ∴△EAC≌△GAB， ∴EC=GB．
如右图，正方形纸片ABCD的BC边上有一点E，AE=10cm，若把纸片 沿AE的中垂线折叠，使点E和点A重合，你能求出纸片上折痕MN的
；⑥AB=AD且□ABCD
；⑧AC⊥BD且矩形ABCD ； ⑩∠A=90°且菱形ABCD
； ⑿ AC⊥BD且□ABCD
；⒁AC=BD且菱形ABCD
； ；
； ； ； ； ；
3 ①正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是_______; ②正方形对角线长是3，那么它的边长是_______;
4E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD和 ∠ECD
菱 形 对边平行 对角相等， 四边都相等 邻角互补
正方形 对边平行 四个角 四边都相等 都是直角
对角线
互相平分
相等且互相平分
互相垂直平分，每条 对角线平分一组对角 互相垂直、平分且相 等，每条对角线平分 一组对角
正方形的判定
练习1、已知：如图，点A’、B’、C’、D’分
别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'＝BB'＝CC' ＝DD‘. 求证：四边形A'B'C'D' 是正方形. 小结：证明一
个四边形是正 方形关键在于 能否证明既是 矩形又是菱形.
2、如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别作 3个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？
图③
例2、如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别 从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、 CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动. （1）试判断四边形PQEF是正方形并证明； （2）PE是否总过某一定点，并说明理由. （3）四边形PQEF的顶点分别位于何处时， 其面积最小，最大？各是多少？
在下列结构图中填上适当的条件:
1、判断：
①两条对角线互相垂直的矩形是正方形. ②两条对角线相等的菱形是正方形. (√) (√) (×)
③两条对角线垂直பைடு நூலகம்相等的平行四边形是正方形.(√) ④两条对角线垂直且相等的四边形是正方形. ⑤一个角是直角且对角线互相平分且相等的四边形 是正方形.（×）
例题1、如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、 BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边 三角形. （1）求证：四边形ABCD是菱形. （2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正 方形.
中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE。 (不需要证明) (1) 如图②，若点 E 、 F 不是正方形ABCD 的边 BC 、的延长线和 CD的中点，但 (2) 如图③，若点 E 、 F 分别在正方形 ABCD 的边 CP DC的 满足 CE=DF。则上面的结论①、②是否仍然成立？ (请直接回答“ 延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若 成立”或“不成立” ) 成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。
正方形的性质和判定
正方形的性质与判定1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3.面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；（3）一组邻边相等的矩形是正方形（4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形随堂练习1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相垂直C ．对角线互相平分D ．对角线平分一组对角2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( )A ．选①②B ．选②③C ．选①③D ．选②④3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）A ．BC ＝ACB ．CF ⊥BFC ．BD ＝DF D ．AC ＝BF第3题 第4题 第5题 第6题4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．75°5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ）A ．（1﹣， +1）B ．（﹣， +1）C ．（﹣1，+1） D ．（﹣1，）6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（）A． B． C．1 D．1﹣7.正方形ABCD中E为线段BC上的动点如图①，过A作AF⊥DE，F为垂足，延长AF交DC于G如图②，①求证：AG＝DE②连接BF，当E为BC中点时，求证：AB＝FB．巩固提升1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）A．①② B．②③C．①③ D．②④2.如图，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于R，则PQ+PR的值为（）A． B． C．D．第2题第3题第4题3.如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A.2B.3C.23 D 34.一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3 (x)上，已知正方形A 1B 1C 1D 1的边长为1，∠B 1C 1O ＝60°，B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C 3…，则正方形A 2019B 2019C 2019D 2019的边长是（ ）A.()201821B ．()201921C ．()201833D ．()2019335.如图，正方形CEFG 的边GC 在正方形ABCD 的边CD 上，延长CD 到H ，使DH ＝CE ，K 在BC 边上，且BK ＝CE ，求证：四边形AKFH 为正方形．。
正方形的判定
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法：
• 1、一组邻边相等且有一个角是直角的平行 四边形是正方形
（对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形）
• 2、有一组邻边相等的矩形是正方形 • 3、有一个角是直角的菱形是正方形
判断四边形是正方形有哪些方法？
△CMD≌△ADF
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以 AC、BC为正方形的一边在同一侧作正 方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长 BD交AF于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB (2) BH⊥AF
证明：
如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，那 么线段AE和DG有什么大小关系？请说明理由。
１、先说明它是矩形，再说明这个矩形 （邻边相等的矩形是正方形） 有一组邻边相等．
２、先说明它是菱形，再说明这个菱形 （有一个角是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的菱形是正方形） 有一个角是直角．
３、先说明它是平行四边形，再说明有 一组邻边相等，并且一个角是直角。
（对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形）
巩固练习：判断下列命题是否正确，不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形？ • • • • • • 四个角都相等的四边形是正方形； 四条边都相等的四边形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形； 对角线垂直且相等的四边形是正方形; 四边相等，有一个角是直角的四边形 是正方形. (×) (×) (√ ) (√ ) (×)
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1＝∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的 菱形是矩形）．
1.3.7 正方形的判定
小结
• 正方形的判定方法有哪些？
正方形
矩形
菱形
菱形
矩形
1.3正方形的判定
知识回顾
• 1.正方形的定义
• 2.正方形的性质
动手操作
(1)用直尺和圆规作正方形； (2)把长方形的纸片通过折纸，剪 出一个正方形纸片.
说说你作图和剪纸的理由.
正方形的判定
有一组邻边相等并且有一个角
平行四边形
正
是直角的平行四边形叫做正方形.
矩形
矩形
方
形
菱形
菱形
正方形
菱形
矩形
,B,C,D,的面积是9， 若正方形A
则AB=______.
拓展延伸2：
• 若点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各 边上，且AE=BF=CG=DH，则四边形是正 方形吗?证明你的结论.
拓展延伸3：
• 已知:如图，正方形ABCD和CEFG，点K在 BC上，延长CD到H使DH＝CE＝BK. • 求证：四边形AKFH是正方形．
H A D
G B K C
F E
练习：
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD 平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分 别为E、F，试说明四边形DECF是正方形.
A E D
C
F
B
练习：
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的 中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、 F. • (1)求证：DE＝DF； • (2)只添加一个条件: ,使四边 形EDFA是正方形，并说明理由.
5、正方形ABCD的边长为8cm,M在DC 上且DM=2cm,N是AC上一动点，则 DN+MN的最小值是多少？
6、正方形ABCD,M是CD上的中点，E是CD 上的一点，且∠BAE=2∠DAM. 求证:AE=BC+CE
例说正方形的判定方法
例说正方形的判定方法正方形是一种特殊的四边形，它具有多个独特的性质和判定方法。
本文将详细介绍正方形的判定方法，帮助读者更好地理解和识别正方形。
首先，我们需要明确正方形的定义。
正方形是一种具有四条边等长、四个角度均为直角的四边形。
基于这个定义，我们可以从不同角度和属性判定是否为正方形。
首先，可以通过边长是否相等来判定一个四边形是否为正方形。
如果一个四边形的四条边的长度都相等，那么它就是一个正方形。
这是最直观且常见的判定方法。
我们可以通过测量四边的长度，比较它们是否相等。
如果它们均相等且为正数，则可以确定为正方形。
第二，可以通过角度来判定正方形。
正方形的四个角度均为直角，即90度。
因此，如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个正方形。
我们可以使用角度测量仪或其他角度测量工具来测量每个角度，并确保它们均为90度。
除了以上两种直接的判定方法外，我们还可以利用正方形的性质进行判定。
正方形的对角线互相垂直且长度相等。
如果一个四边形的对角线相等且互相垂直，那么它就是一个正方形。
我们可以通过测量四边形的对角线的长度，并使用垂直工具检查它们是否互相垂直。
正方形的对角线将其划分为两个等腰直角三角形。
如果一个四边形的对角线互相垂直且划分的两个三角形均为等腰直角三角形，那么它就是一个正方形。
正方形具有对称性。
如果一个四边形具有对称性，即将它沿任意一条对角线折叠后能完全重合，那么它就是一个正方形。
正方形的每条边都是其对角线的正中线。
如果一个四边形的每条边都是其对角线的正中线，那么它就是一个正方形。
正方形的面积公式为边长的平方，即A=a^2、如果可以计算出一个四边形的面积，并且面积等于边长的平方，那么它就是一个正方形。
我们可以通过测量或计算四边形的面积，并使用边长的平方根来验证是否为正方形。
除了以上的判定方法，还有其他一些辅助性的方法可以用于判定正方形。
正方形的周长公式为P=4a，其中a为边长。
如果可以计算出一个四边形的周长，并且周长等于4倍的边长，那么它就是一个正方形。
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19.2.3正方形（第二课时）学案
学习目标
1．掌握正方形的定义性质和判定方法．
2．能正确区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系。
3.能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明。
学习重点
掌握正方形的判定条件。
学习过程
一、在问题情境带着悬念中进入新课的学习
二、在探索中思考
探究：
你有什么方法判定一个四边形是正方形呢
1、讨论：平行四边形，矩形，菱形，正方形之间有怎样的包含关系？
2、温故知新
（1）要使一个平行四边形成为正方形需增加的条件是
（填上一个条件即可）
（2）要使一个矩形成为正方形需增加的条件是
（填上一个条件即可）
（3）要使一个菱形成为正方形需增加的条件是
（填上一个条件即可）
讨论：
你有什么方法判定一个四边形是正方形呢？
三、在应用中理解
1、判断下列说法是对还是错：
（1）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形。
（）（2）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形。
（）
（3）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形。
（）
2、典型例题
在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上，
且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH
是正方形吗?为什么?
四、一展身手
1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
2．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是（）
A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形
3、下列命题正确的是（）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
五、总结提高
对角线的矩形是正方形。
对角线的菱形是正方形。
对角线的平行四边形是正方形。
对角线的四边形是正方形。
六、应用与创新
画一个正方形，使它的对角线长为30cm，并说明画法的依据
七、拓展延伸
在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF
点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
(1)试说明:DE=DF(2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)
C
八、谈谈收获
通过这节课，你学到了什么？
说出来我们共分享。