2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题答案
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湖南师大附中!"#$%!"!"学年度高二第一学期第一次阶段性检测
数学参考答案
一!选择题
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湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附中2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2019—2020学年度第一学期高二年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） （一）单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2.如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r表示NM u u u u r，则NM u u u u r等于（ ）A. 1()2a b c -++r r rB. 1()2a b c +-r r rC. 1()2a b c -+r r rD. 1()2a b c --+r r r【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本运算求解即可.【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B .【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型. 3.设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +…B. 4a …C. 2a …且2b … D. 4b <-【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D .【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.在101)的展开式中，x 项的系数为（ ） A. 45- B. 90-C. 45D. 90【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理公式分析求解即可.【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C .【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ）A. 8080-B. 4040-C. 8080D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7.袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.考点：条件概率8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A. 4B. 12C. 16D. 24.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可.【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种； 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B .【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.（二）多选项择题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的图像意义判定即可.【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10.设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C. 存在点P ，使12PF PF ⊥D. 1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可.【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=…,则12PF F ∆B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11.下列命题中为真命题的是（ ） A. (0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B. 2000,2x R x x ∃∈+=-C. 220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D. 13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；①曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ） A. 直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B. 直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =C. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =,.由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处切线方程_________________.【答案】20x y -= 【解析】 【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】 【分析】的根据数学期望的求法列式求解即可.【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为7的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,BF c BP =,所以tan PAB ∠=由27a c =+,解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________（2）球O 的体积为_____________.【答案】 (1).32 (2). 6【解析】【分析】 (1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可.【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=.因为DB DC ==则BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD .因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得112sin 60DE ︒=⨯=.在Rt OED ∆中,OD ==,所以34326V π⎛=⋅= ⎝⎭球.故答案为：(1). 32 (2). 6【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin 10A =；1c = 【解析】【分析】 (1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可.【详解】（1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C , 又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因1sin 2ABC S ab C ∆=,且s in sin 2ABC S A B ∆=,所以1sin sin 2ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18.已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】【分析】 (1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可.【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=,又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=,又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L ,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L , 则211111137(45)(41)22222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 两式相减,得211111134(41)22222n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 11147341(41)7222n n n n n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19.如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF .因为平面PAB ⋂平面DEF MN =,则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP ,所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥.因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE .此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 60CG ︒==又1GH =,则23CG PC GH==, 从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点,直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,AB OH OC ===则点(1,0,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,(1,0,0)CH HE OB ===u u u ru u u ru u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r ,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得111(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则m =u r设CP t =则点)P t ,从而)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r ,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ,得222010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,n t =r .因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r ,得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE . 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20.在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）23（2）详见解析 【解析】【分析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为： 123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21.如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r .（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）【解析】【分析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d === 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅= 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22.已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩… 【解析】【分析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()x x x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()x x x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学答案
设 "%&2!'2&!由0('"1#"(',!得* +&2110$&+! ,'21'$+!
数学参考答案!!"
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又因为 .%1槡#!所以 %51槡#!所以 %3".5! 于是分别以 3.!3%!3- 为& 轴!' 轴!: 轴建立如图所示空间直角坐 标系!
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当()!= 时;&3+所以/&在区间+上单调递增
当!=&(&"时由于;&在区间 +上 单 调 递 减所 以 存 在 &+ . +使 ;&+1+且 当 &.+&+时;&#+所以/&在区间+&+上单调递增当&.&+时;&&+ 所以/&在区间&+上单调递减与已知不符! 故所求的(的取值范围是!4!=4"04! "#分
2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ）A．B．C．D．2．（5分）对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．33．（5分）写出命题p：“∃x 0∈R，使得”的否定并判断￢p的真假，正确的是（ ）A．￢p是“”且为真B．￢p是“∃x 0∈R，使得”且为真C．￢p是“”且为假D．￢p是“∃x 0∉R，使得”且为假4．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，135．（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当x＝7时的预测值是28，则实数m的值为（ ）x23456y3712m23A．18B．20C．21D．226．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，已知a2+a18＝32，则S14﹣S5＝（ ）A．2S10B．144C．288D．5（a1+a14）7．（5分）“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A．“m＝7”B．“7＜m＜9”C．“5＜m＜9”D．“5＜m＜9”且“m≠7”8．（5分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示A的对立事件，表示B的对立事件）：①，②F＝AB，③F ＝A+B，④G＝A+B，⑤，⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正确的关系式的个数是（ ）A．3B．4C．5D．69．（5分）已知圆，定点F2（1，0），点P在圆F1上移动，作线段PF2的中垂线交PF1于点M，则点M的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）A．随P点变化而变化B．2C．4D．511．（5分）如图，椭圆的左右焦点分别是F1，F2，点P、Q 是C上的两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆过定点（1，1），则的最大值是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．14．（5分）设a，b∈R，则“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）15．（5分）设函数f（x）＝x2﹣3x+a，已知∃t0∈（1，3]，使得当x∈[1，t0]时，f（x）≤0有解，则实数a的取值范围是 ．16．（5分）设数列{a n}满足，则：（1）a1+a3+a5+…+a2019＝ ；（2）数列中最小项对应的项数n为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a•sin C＝c•sin2A．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．18．（12分）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．19．（12分）设双曲线时，正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是Γ上的点．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）记，是否存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．20．（12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价x（元）99.51010.5118销售量y（元）111086514.2（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？＜注：利润＝销售收入一成本＞．参考数据：．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣）21．（12分）已知椭圆经过点（0，1），且离心率为．（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点Q（0，m），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）若命题：“∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，求a的取值范围；（2）若a＝2，x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，求f（x1）+f（x2）的最小值；（3）若，函数f（x）在区间[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】根据随机抽样时每个个体被抽到的概率相等，即可得出结论．【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查了随机抽样的应用问题，是基础题．2．（5分）对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】①随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③一种彩票买一张中奖的概率是，买这种彩票一千张也有可能不会中奖；④根据古典概型的概率特征判断即可．【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，出现一正一反的概率是P＝，∴②错误；对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误．综上知，正确的个数是0．故选：A．【点评】本题考查了随机事件的概率应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．3．（5分）写出命题p：“∃x 0∈R，使得”的否定并判断￢p的真假，正确的是（ ）A．￢p是“”且为真B．￢p是“∃x 0∈R，使得”且为真C．￢p是“”且为假D．￢p是“∃x 0∉R，使得”且为假【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，且命题p与它的否定命题￢p一真一假，由此判断正误．【解答】解：由sin x+cos x＝sin（x+）≤＜，所以命题p：“∃x 0∈R，使得”是假命题；所以该命题的否定￢p：“”，它是真命题．故选：A．【点评】本题考查了全称量词命题与存在量词命题的否定与真假性判断问题，是基础题．4．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，13【分析】根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可．【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3＝13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置，即中位数为10+（15﹣10）×＝13．故选：D．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，要求熟练掌握中位数和平均数的定义以及计算方式．5．（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当x＝7时的预测值是28，则实数m的值为（ ）x23456y3712m23A．18B．20C．21D．22【分析】由已知求出样本点的中心的坐标，然后结合题意列关于a与m的方程组求解．【解答】解：，，则，①又28＝5×7﹣a，②联立①②解得：a＝7，m＝20．故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，已知a2+a18＝32，则S14﹣S5＝（ ）A．2S10B．144C．288D．5（a1+a14）【分析】利用等差数列{a n}的通项公式求出a1+9d＝16，由此能求出S14﹣S5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，a2+a18＝32，∴a1+d+a1+17d＝32，解得a1+9d＝16，∴S14﹣S5＝（14a1+）﹣（）＝9（a1+9d）＝9×16＝144．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前14项和与前5项和之差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A．“m＝7”B．“7＜m＜9”C．“5＜m＜9”D．“5＜m＜9”且“m≠7”【分析】由椭圆的定义可列出m满足的不等式组，从而求出m的取值范围，注意9﹣m≠m﹣5，再结合选项选出必要不充分条件．【解答】解：因为方程的曲线是椭圆，则由椭圆的定义可知：，解得：5＜m＜9且m≠7，所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“5＜m＜9且m≠7”，所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“5＜m＜9”．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件，必要条件，充要条件的判定，做题时注意9﹣m≠m﹣5的限制，还需注意要选的是必要不充分条件而不是充要条件，是基础题．8．（5分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示A的对立事件，表示B的对立事件）：①，②F＝AB，③F ＝A+B，④G＝A+B，⑤，⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正确的关系式的个数是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，在①中，事件E是指事件A与事件B同时不发生，∴，故①正确；在②中，事件F表示事件A和事件B至少有一个发生，故F＝A+B，故②错误；在③中，F＝A+B，故③正确；在④中，，故④错误；在⑤中，，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得P（F）＝1﹣P（E），故⑥正确；在⑦中，由互斥事件概率计算公式得P（F）＝P（A）+P（B），故⑦正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）已知圆，定点F2（1，0），点P在圆F1上移动，作线段PF2的中垂线交PF1于点M，则点M的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．【分析】先确定F1、F2的坐标，再根据线段PF2的中垂线与PF1交于M点，结合双曲线的定义，可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，从而可得点M的轨迹C的方程．【解答】解：由题意得，F1（﹣1，0），则F2（1′，0），圆F1的半径|PF1|＝4，且|MF2|＝|MP|，|MF1|+|MF2|＝|PF1|＝4＞2＝|F1F2|；∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中实轴2a＝4，焦距2c＝2，则虚半轴b＝，椭圆的方程为：．．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线方程的求法，是中档题．10．（5分）已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）A．随P点变化而变化B．2C．4D．5【分析】由题设条件结合等腰三角形的性质可得|PH|＝|PF2|，由双曲线的定义推出PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，由中位线定理可得|OM|＝a，由双曲线的方程可得所求值．【解答】解：双曲线的左右焦点分别是F1，F2，延长F2M交PF1于H，∵PM是∠F1PF2的角平分线，∴|PH|＝|PF2|，∵P在双曲线上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，∵O是F1F2的中点，M是F2H的中点，∴OM是△F2F1H的中位线，∴|HF1|＝2|OM|，即|OM|＝a，双曲线中a＝4，则|OM|＝4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用等腰三角形的性质和中位线定理，考查推理能力，属于中档题．11．（5分）如图，椭圆的左右焦点分别是F1，F2，点P、Q是C上的两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的性质和正弦定理求出e．【解答】解：设QF2的倾斜角α，延长QF2到P'，显然PP'关于O对称，根据椭圆的极坐标方程P'F2＝，F2Q＝，由，e cosα＝，又根据正弦定理e＝，所以e sinα+e cosα＝1，的e sinα＝，所以e2cos2α+e2sin2α＝，e2＝，e＝．故选：A．【点评】本题利用椭圆在交点处的极坐标方程，还用了正弦定理，中档题．12．（5分）已知椭圆过定点（1，1），则的最大值是（ ）A．B．C．D．【分析】代入（1，1），再利用基本不等式求出．【解答】解：把（1，1）代入得，则＝≤，当且仅当成立，即a2＝，b2＝4，故选：C．【点评】考查椭圆的性质，基本不等式的用法，基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．【分析】根据红灯持续时间结合几何概率公式，即可求出至少需要等待10秒才出现绿灯的概率．【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为P＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型，是基础题．14．（5分）设a，b∈R，则“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【分析】由log2（a﹣b）＞0可得出a＞b，然而由a＞b，只能得到a﹣b＞0，得不到a﹣b＞1，故推不出log2（a﹣b）＞0，从而“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的充分不必要条件．【解答】解：由log2（a﹣b）＞0可知，a﹣b＞1，所以a﹣b＞0，从而得出a＞b，然而由a＞b，只能得到a﹣b＞0，得不到a﹣b＞1，故推不出log2（a﹣b）＞0，所以“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，是基础题．15．（5分）设函数f（x）＝x2﹣3x+a，已知∃t0∈（1，3]，使得当x∈[1，t0]时，f（x）≤0有解，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2] ．【分析】二次函数的值域问题需要三步走：一、判断开口方向；二、得出对称轴；三、判断对称轴与区间端点的位置关系，结合草图得出结论．【解答】解：∵f（x）的对称轴为x＝，所以，当t0∈（1，]时，x∈[1，t0]位于对称轴左侧，草图如下：此时f（x）min＝f（t0）＝，又对于任意t0∈（1，]均成立，因此a≤﹣（）min＝2；又，当t0∈（，3]时，x∈[1，t0]越过对称轴，草图如下：此时f（x）min＝f（）＝+a≤0，解得a≤；综上，a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题属于基础题，掌握二次函数值域的求解是关键．16．（5分）设数列{a n}满足，则：（1）a1+a3+a5+…+a2019＝ 1010 ；（2）数列中最小项对应的项数n为 9或10 ．【分析】（1）当n为奇数时，可得奇数项的值都为1，从而求出前2020项奇数项的和为1010．（2）当n为偶数时，a n+2﹣a n＝2n，属于累加法的题型，运用累加法求出a n，从而求出，再结合均值不定式求出最小项，注意n的取值．【解答】解：（1）数列{a n}满足，则：＝1，，……，，所以a1+a3+a5+…+a2019＝．故答案为：1010．（2）由题意知：，因为n为偶数，所以a n+2＝a n+2n，整理得a n+2﹣a n＝2n，a n﹣a n﹣2＝2（n﹣2），……，a6﹣a4＝2×4，a4﹣a2＝2×2，累加得：a n+2﹣a2＝2（2+4+…+n），整理得：，所以：（n为偶数），从而得到，由于，又因为n∈N*且n为偶数，所以当n＝18或20时，的值最小．所以数列中最小项对应的项数n为9或10．故答案为：9或10．【点评】考查了由数列的递推公式求通项公式的常用方法累加法，又与均值不等式结合到一起考查最值问题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a•sin C＝c•sin2A．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简即可求解；（2）利用余弦定理求解c，即可求解△ABC的面积．【解答】解：（1）因为知a•sin C＝c•sin2A．由正弦定理：sin A•sin C＝sin C•sin2A．因为sin2A＝2sin A cos A，sin A•sin C≠0，所以cos A＝．因为0＜A＜π，所以A＝．（2）因为a＝，b＝2，A＝．由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2cb cos A得c2﹣6c+5＝0，解得：c＝1或c＝5，均适合题．当c＝1时，△ABC的面积．为S＝bc sin A＝．当c＝5时，△ABC的面积．为S＝bc sin A＝．【点评】本题考查正、余弦定理和面积公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，∴这40辆小型汽车车速的众数为：＝77.5（km/h）．由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）×5＝0.35，[75，80）对应的频率为：0.060×5＝0.3，∴中位数的估计值为：＝77.5（km/h）．（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5＝0.15，∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40＝6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40＝2辆，车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40＝4辆，∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数n＝，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m＝＝8，∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p＝＝．【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19．（12分）设双曲线时，正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是Γ上的点．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）记，是否存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【分析】（1）由题意可得得x n2﹣x n﹣12＝1，即有{x n2}为首项和公差均为1的等差数列，由等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得＝＝﹣，运用数列的裂项相消求和可得S n，假设存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线，求得双曲线的渐近线，解方程可得m，即可判断存在性．【解答】解：（1）正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是双曲线上的点，可得x n2﹣x n﹣12＝1，即有{x n2}为首项和公差均为1的等差数列，可得x n2＝1+n﹣1＝n，即x n＝；（2）＝＝﹣，则＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1，假设存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线，即有y＝±x与y＝±x相同，可得＝，即S m＝99，即﹣1＝99，解得m＝9999，则存在正整数m＝9999，使得与Γ有相同的渐近线．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查数列的裂项相消求和，以及存在性问题解法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．（12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价x（元）99.51010.5118销售量y（元）111086514.2（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？＜注：利润＝销售收入一成本＞．参考数据：．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣）【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；根据回归直线方程，计算x＝8时对应的y数值，判断回归直线方程是否理想；（3）求销售利润函数W，根据二次函数的图象与性质求最大值即可．【解答】解：（1）（9+9.5+10+10.5+11）＝10，×（11+10+8+6+5）＝8，＝＝﹣3.2，则＝8﹣（﹣3.2）×10＝40，于是y关于x的回归直线方程为；取x＝8，得，∵|14.4﹣14.2|＝0.2＜0.5，∴所求得的回归直线方程是理想的；（2）令销售利润为W，则W＝（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）＝﹣3.2x2+48x﹣100（2.5＜x＜12.5），当x＝7.5时，W取最大值80．∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是综合题．21．（12分）已知椭圆经过点（0，1），且离心率为．（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点Q（0，m），求实数m的取值范围．【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆E的方程，再利用点差法求直线的方程；（2）由题意设出直线l的方程，设出A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程得韦达定理，根据A、B的坐标得到线段AB的垂直平分线方程，用t表示出m，再求m的范围．【解答】解：设椭圆的焦距为2c，由题意，，解得，∴椭圆E的标准方程为，（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式作差得，由点P为MN的中点得直线的斜率k＝，∴该直线的方程为：，化简得一般式方程为：2x﹣2y+1＝0；（2）由椭圆的方程可得F（1，0），由题意可设直线l的方程为x＝ty+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，由韦达定理得，，易求得线段AB的垂直平分线的方程为，由x＝0得：m＝，①当t＝0时，m＝0；②当t≠0时，，当t＜0时，，，当t＞0时，，，综上：实数m的取值范围是．【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，注意对直线的设法，属于中档题．22．（12分）已知函数．（1）若命题：“∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，求a的取值范围；（2）若a＝2，x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，求f（x1）+f（x2）的最小值；（3）若，函数f（x）在区间[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）由题意可知在定义域上单调递减，由∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，可知f（x）max＞1，可求（2）由题意可知f（x）＝，然后结合基本不等式和对数的运算性质即可求解（3）由函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，可知f（t）﹣f（t+1）≤1，然后结合函数的性质可求．【解答】解：（1）∵在定义域上单调递减，∵∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，∴f（x）max＝f（1）＝log2（1+a）＞1，∴a+1＞2，∴a＞1，a的取值范围（1，+∞）；（2）若a＝2，f（x）＝，∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，∴＝，∴≥4，∴f（x1）+f（x2）＝，＝＝≥4，即最小值4；（3）∵，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，故f（t）﹣f（t+1）≤1，∴≤1，即，∴＝，设1﹣t＝r，则r，∴＝＝当r＝0时，0＝，当r≠0时，＝，根据对勾函数的单调性可知，当r＝，时，r+取得最小值，∴≤，∴．故a的取值范围[，+∞）．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．。
2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( ) A ．110B ．3353C ．35353D ．33502．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； ②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题． 其中正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是()A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，135．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．226．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．511．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 ．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= ；（2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i ii ix y x====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x，1)y，2(x，2)y，(nx⋯，)ny，其回归直线ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为()A．110B．3353C．35353D．3350【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为35353P=．故选：C．2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，出现一正一反的概率是12P=，∴②错误；对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是1 1000，则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误． 综上知，正确的个数是0． 故选：A ．3．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是( )A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠【解答】解：由sin cos )4x x x π+=+<…所以命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=所以该命题的否定p ⌝：“,sin cos x R x x ∀∈+≠，它是真命题． 故选：A ．4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，13【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2， 第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3， 则平均数为7.50.212.50.517.50.313⨯+⨯+⨯=，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的35的位置，即中位数为310(1510)135+-⨯=．故选：D ．5．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．22【解答】解：2345645x ++++==，371223955m my ++++==+，则9545ma +=⨯-，① 又2857a =⨯-，②联立①②解得：7a =，20m =． 故选：B ．6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，21832a a +=， 111732a d a d ∴+++=，解得1916a d +=， 14511141354(14)(5)22S S a d a d ⨯⨯∴-=+-+ 19(9)916144a d =+=⨯=．故选：B ．7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”【解答】解：因为方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：59m <<且7m ≠，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“59m <<且7m ≠”，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“59m <<”． 故选：C ．8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次， 设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”， 在①中，事件E 是指事件A 与事件B 同时不发生，∴E AB =，故①正确； 在②中，事件F 表示事件A 和事件B 至少有一个发生， 故F A B =+，故②错误； 在③中，F A B =+，故③正确； 在④中，G AB AB =+，故④错误； 在⑤中，G AB AB =+，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得()1P F P =-（E ），故⑥正确； 在⑦中，由互斥事件概率计算公式得()P F P =（A ）P +（B ），故⑦正确． 故选：C ．9．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 【解答】解：由题意得，1(1,0)F -，则2(1,0)F '， 圆1F 的半径1||4PF =，且2||||MF MP =， 12112||||||42||MF MF PF F F +==>=；∴点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中实轴24a =，焦距22c =，则虚半轴b =，椭圆的方程为：22143x y +=．．故选：C ．10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【解答】解：双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ， 延长2F M 交1PF 于H ，PM 是12F PF ∠的角平分线，2||||PH PF ∴=， P 在双曲线上，12||||2PF PF a ∴-=， 11||||||2PF PH F H a ∴-==，O 是12F F 的中点，M 是2F H 的中点， OM ∴是△21F F H 的中位线，1||2||HF OM ∴=，即||OM a =，双曲线22:1169x y C -=中4a =，则||4OM =． 故选：C ．11．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )ABCD【解答】解：设2QF 的倾斜角α，延长2QF 到P '，显然PP '关于O 对称， 根据椭圆的极坐标方程221cos b a P F e α'=-，221cos b a F Q e α=+， 由221cos 21cos P F e QF e αα'+==-，1cos 3e α=， 又根据正弦定理12122sin 902sin cos F F c e a PF PF αα︒===++， 所以sin cos 1e e αα+=，的2sin 3e α=， 所以22225cos sin 9e e αα+=， 259e =，e =故选：A ．12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34【解答】解：把(1,1)代入得22111a b +=， 则22222222111211192()()22216b ab a b a b +++=+=…，当且仅当221112a b =+成立，即243a =，24b =， 故选：C ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 4． 【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为40103404P -==， 故答案为：34． 14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )【解答】解：由2log ()0a b ->可知，1a b ->，所以0a b ->，从而得出a b >， 然而由a b >，只能得到0a b ->，得不到1a b ->，故推不出2log ()0a b ->， 所以“2log ()0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ． 【解答】解：()f x 的对称轴为32x =， 所以，当0(1t ∈，3]2时，[1x ∈，0]t 位于对称轴左侧，草图如下：此时2000()()30min f x f t t t a ==-+…，又对于任意0(1t ∈，3]2均成立，因此200(3)2min a t t --=…；又，当03(2t ∈，3]时，[1x ∈，0]t 越过对称轴，草图如下：此时399()()0242min f x f a ==-+…，解得94a …； 综上，2a …．故答案为：(-∞，2]．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= 1010 ； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．【解答】解：（1）数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-， 则：1311(1)11a a =++-=，3533(1)31a a =++-=，⋯⋯，2017201920172017(1)20171a a =++-=，所以135********10102a a a a +++⋯+==． 故答案为：1010．（2）由题意知：22180,(1)n n n a a a n n +==++-， 因为n 为偶数，所以22n n a a n +=+， 整理得22n n a a n +-=， 22(2)n n a a n --=-， ⋯⋯， 6424a a -=⨯， 4222a a -=⨯，累加得：222(24)n a a n +-=++⋯+， 整理得：2211802n a n n +=++， 所以：21180(2n a n n n =-+为偶数），从而得到 ()18012n a n n n n=+-为偶数，由于18018022n n n n n+==当且仅当即…， 又因为*n N ∈且n 为偶数，所以当18n =或20时，na n的值最小． 所以 数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为9或10．故答案为：9或10．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．【解答】解：（1sin sin 2C c A =．sin sin sin 2A C C A =． 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos A =． 因为0A π<<， 所以6A π=．（2）因为a =b =6A π=．由余弦定理：2222cos a b c cb A =+- 得2650c c -+=，解得：1c =或5c =，均适合题．当1c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==当5c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80)对应的小矩形最高， ∴这40辆小型汽车车速的众数为：758077.5(/)2km h +=． 由频率分布直方图知[60，75)对应的频率为： (0.0100.0200.040)50.35++⨯=， [75，80)对应的频率为：0.06050.3⨯=，∴中位数的估计值为：(0.50.35)75577.5(/)0.3km h-+⨯=．（2）车速在[60，70)内频率为(0.0100.020)50.15+⨯=，∴车速在[60，70)内的车辆有0.15406⨯=辆，其中车速在[60，65)内的车辆有：0.0105402⨯⨯=辆，车速在[65，70)内的车辆有：0.0205404⨯⨯=辆，∴从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数2615n C==，车速在[65，70)内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数11428m C C==，∴车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率815mpn==．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【解答】解：（1）正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是双曲线22:13yxΓ-=上的点，可得2211n nx x--=，即有2{}nx为首项和公差均为1的等差数列，可得211nx n n=+-=，即nx=；（2）11n nx x+==+，则1223111111 nn nSx x x x x x+=++⋯+=+-+-=+++，假设存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线，即有y=与y==，即99m S =199-=， 解得9999m =，则存在正整数9999m =，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线． 20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y 关于z 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i i i i x y x ====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 【解答】解：（1）1(99.51010.511)105x =++++=，1(1110865)85y =⨯++++=，23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯， 则ˆˆ8( 3.2)1040ay bx =-=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为ˆ 3.240y x =-+； 取8x =，得ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， |14.414.2|0.20.5-=<，∴所求得的回归直线方程是理想的；（2）令销售利润为W ，则2( 2.5)( 3.240) 3.248100(2.512.5)W x x x x x =--+=-+-<<，当7.5x =时，W 取最大值80．∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：设椭圆的焦距为2c ，由题意，222211b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=，（1）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得121212122()y y x x x x y y -+=--+， 由点P 为MN 的中点得直线的斜率231123k -=-=，∴该直线的方程为：1163y x -=+，化简得一般式方程为：2210x y -+=； （2）由椭圆的方程可得(1,0)F ，由题意可设直线l 的方程为1x ty =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)210t y ty ++-=，由韦达定理得12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 易求得线段AB 的垂直平分线的方程为202ttx y t +-=+， 由0x =得：22tm t =+， ①当0t =时，0m =； ②当0t ≠时，12m t t=+，当0t <时，2t t +-…，0m <，当0t >时，2t t+…0m <…综上：实数m的取值范围是[． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解答】解：（1）21()log (),0f x a a x=+>在定义域上单调递减，0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题， ()max f x f ∴=（1）2log (1)1a =+>， 12a ∴+>， 1a ∴>，a 的取值范围(1,)+∞；（2）若2a =，21()(2)f x log x =+，10x >，20x >，121x x +=， ∴212121()24x x x x +=…， ∴1214x x …，12221211()()(2)(2)f x f x log log x x ∴+=+++， 122212121223(4)(4)4x x log log x x x x ++=+=+…，即最小值4；（3）1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +上单调递减，故()(1)1f t f t -+…，∴2211()()11log a log a t t +-++…，即112()1a a t t +++…， ∴1211(1)ta t t t t --=++…， 设1t r -=，则1[0,]2r ∈，∴21(1)(1)(2)32t r rt t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032rr r =-+，当0r ≠时，212323r r r r r=-++-，根据对勾函数的单调性可知，当r =，12时，2r r +取得最小值92， ∴22323r r r -+…， ∴23a …．故a 的取值范围2[3，)+∞．。
湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学第一次阶段性检测数学试卷(word无答案)
湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学第一次阶段性检测数 学命题：黄祖军、刘伟才、邓云时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.学校要从353 名学生干部中任意选取35 名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ） A.101 B.3533 C.35335 D.35032.对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是31；③若一种彩票买一张中奖的概率是10001，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题． 其中正确的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.33. 写出命题:p “R x ∈∃0，使得3cos sin 00=+x x ”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是（ ） A.p ⌝是“3cos sin ,≠+∈∀x x R x ”且为真 B.p ⌝是“R x ∈∃0，使得3cos sin 00≠+x x ”且为真 C.p ⌝是“3cos sin ,=+∈∀x x R x ”且为假D.p ⌝是“R x ∉∃0，使得3cos sin 00≠+x x ”且为假4.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ） A.12.5，12.5 B.13.5，13 C.13，12.5 D.13,135.已知下表所示数据的回归直线方程为a x y -=5ˆ，且由此得到当7=x 时的预测值是28，则实数m 的值为（ ）A.18B.20C.21D.226.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知32182=+a a ，则=-514S S （ ） A.102S B.144 C.288 D.()1415a a +7.“方程15922=-+-m y m x 的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A.“7=m ”B.“97<<m ”C.“95<<m ”D.“95<<m ” 且“7≠m ”8.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件=A “甲击中靶”，事件=B “乙击中靶”，事件=E “靶未被击中”，事件=F “靶被击中”，事件=G “恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①B A E =,②AB F =，③B A F +=，④B A G +=，⑤B A B A G +=，⑥()()E P F P -=1，⑦()()()B P A P F P +=.其中正确的关系式的个数是（ ）A.3B.4C.5D.69.已知圆()161:221=++y x F ，定点()0,12F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为（ ）A.14322=+y xB.191622=+y xC.13422=+y xD.13422=-y x 10.已知双曲线1916:22=-y x C 的左右焦点分别是21,F F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作21PF F ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则=MO （ ） A.随P 点变化而变化 B. 2 C. 4 D. 511.如图，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点分别是21,F F ，点Q P 、是C 上的两点，若212QF PF =,且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为（ ）A.35 B.37 C.55 D.5712.已知椭圆12222=+b y a x 过定点()1,1，则22222ba b +的最大值是（ ）A.165 B.21 C.169 D.43二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 .14.设R b a ∈,，则“()0l og 2>-b a ”是“b a >”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）15.设函数()a x x x f +-=32，已知(]3,10∈∃t ，使得当[]0,1t x ∈时,()0≤x f 有解，则实数a 的取值范围是 .16.设数列{}n a 满足()n n a a a a nn n 1,180,1221-++===+，则：（1）=+⋅⋅⋅+++2019531a a a a ；（2）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 22中最小项对应的项数n 为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知A c C a 2sin sin 3⋅=⋅． （1）求角A 的大小；（2）若32,7==b a ，求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h ）分成六段：[)[)[)[)[)[)90,85,85,80,80,75,75,70,70,65,65,60后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)70,60内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)70,65内的车辆至少有一辆的概率．19.（本小题满分12分）设双曲线时13:22=-Γy x ，正项数列{}n x 满足11=x ，对任意的*∈≥N n n ,2，都有()13,-n n x x 是Γ上的点.（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记13221111+++⋅⋅⋅++++=n n n x x x x x x S ，是否存在正整数m ，使得13322=-x S y m 与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．20.（本小题满分12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出关于的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是 2.5 元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本> ． 参考数据:5.502,39225151=∑=∑==i i i i i x y x .参考公式:对于一组数据()()()n n y x y x y x ,,,,,2211⋅⋅⋅,其回归直线a x b yˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为:()()()x b y a xx yy x x x n x y x n y x b i n i i i ni i ni i i n i ˆˆˆ,ˆ2112211-=-∑--∑=-∑⋅-∑=====.21.（本小题满分12 分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x E 经过点()1,0，且离心率为22. （1）设过点⎪⎭⎫⎝⎛-61,31P 的直线与椭圆E 相交于N M 、两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A,B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(), m Q 0，求实数m 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数()0,1log 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a a x x f . （1）若命题：“[]()1,4,100>∈∃x f x ”是真命题，求a 的取值范围； （2）若1,00,22121=+>>=x x ,x x a ，求()()21x f x f +的最小值；（3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀1,21t ，函数()x f 在区间[]1,+t t 的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．。
湖南四大名校内部资料试卷-2019-2020-湖南师大附中高二上第一次月考
湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学期第一次阶段性检测数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动.若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( )A.110B.3353C.35353D.33502.对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； ②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13； ③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典型概率问题. 其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.33.写出命题:p “0x ∃∈R ，使得00sin cos 3x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是( )A.p ⌝是“x ∀∈R ，sin cos 3x x +≠”且为真B.p ⌝是“0x ∃∈R ，使得00sin cos 3x x +≠”且为真C.p ⌝是“x ∀∈R ，sin cos 3x x +=”且为假D.p ⌝是“0x ∃∉R ，使得00sin cos 3x x +≠”且为假4.如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A.12.5，12.5B.13.5，13C.13，12.55.已知下表所示数据的回归直线方程为$5y x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A.18B.20C.21D.226.设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则146S S -=( )A.102SB.144C.288D.()1145a a +7.“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A.“7m =”B.“79m <<”C.“59m <<”D.“59m <<且7m ≠”8.甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F =“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件)：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+.其中正确的关系式的个数是( )A.3B.4C.5D.69.已知圆()221:116F x y ++=，定点()21,0F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程是( )A.22134x y +=B.221169x y += C.22143x y +=D.22143x y -= 10.已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点(不是顶点)，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则MO =( )A.随P 点变化而变化B.2C.4D.511.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =u u u u r u u u r ，且120F P F P ⋅=u u u r u u u u r，则椭圆C 的离心率为( )A.53B.73C.55D.7512.已知椭圆22221x y a b+=过定点()1,1，则22222b a b +的最大值是( )A.516B.12C.916D.34二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为__________.14.设,a b ∈R ，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的__________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)15.设函数()23f x x x a =-+，已知(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解，则实数a 的取值范围是__________.16.设数列{}n a 满足11a =，2180a =，()21nn n a a n n +=++-，则：(1)1352019a a a a ++++=L __________. (2)数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为__________. 三、解答题(本大题共70分) 17.(本小题满分10分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3sin sin 2a C c A ⋅=⋅.(1)求角A 的大小； (2)若7a =，23b =，求ABC ∆的面积.“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h )分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；(Ⅱ)若从车速在[)60,70内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率.19.(本小题满分12分)设双曲线22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ≥，*n ∈N，都有()1n n x -是Γ上的点.(1)求数列{}n x 的通项公式；(2)记12231111n n n S x x x x x x +=++++++L ，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由.某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：(1)根据1至5月份的数据，先求出y 关于x 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据.若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的.试问所求得的回归直线方程是否理想？(2)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从(1)中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润=销售收入-成本).参考数据：51392i ii x y==∑，5211502.5i x ==∑.参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线$$y bxa =+$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>经过点()0,1，且离心率为2.(1)设过点11,36P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；(2)过右焦点F 的直线l (与x 轴不重合)与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,Q m ，求实数m 的取值范围.22.(本小题满分12分) 已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0a >. (1)若命题：“[]01,4x ∃∈，()01f x >”是真命题，求a 的取值范围； (2)若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求()()12f x f x +的最小值；(3)若1,12t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.。
湖南师大附中高二上学期第一次阶段性检测数学(理)试题含解析
湖南师大附中2018-2019高二第一学期第一次阶段性检测（数学理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知，都是实数，那么“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.2.如图，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】，故故选3.对于程序：试问，若输入，则输出的数为（）A. 9B. -7C. 5或-7D. 5【答案】D【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y的函数值．【详解】由图可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值．当输入时，输出的是：．故选：．【点睛】本题主要考查了条件结构的程序语句及分段函数的解析式，属于基础题.4.定义运算，若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由已知得，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由题意，，∴，则，∴在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．5.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。
【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。
6.某城市有连接8个小区和市中心的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区前往小区，则他经过市中心的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此人从小区A前往H的所有最短路径共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为共4个．由此能求出他经过市中心的概率．【详解】此人从小区A前往H所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4条．∴，即他经过市中心的概率为，故选：B．【点睛】本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本道题结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题及答案
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题及答案一、单选题1．设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】 因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2．如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===，用,,a b c 表示NM ，则NM 等于（ ）A ．1()2a b c -++B ．1()2a b c +-C ．1()2a b c -+ D ．1()2a b c --+【答案】B【解析】利用空间向量的基本运算求解即可. 【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+11()22OA OC OB OA =-+-1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型.3．设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a b+B ．4aC ．2a 且2bD ．4b <-【答案】D【解析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型. 4．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5．在101)的展开式中，x 项的系数为（） A ．45- B ．90- C ．45D ．90【答案】C【解析】根据二项式定理公式分析求解即可. 【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k k kkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k ,故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型. 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ） A ．8080- B ．4040- C ．8080 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ）A ．14 B ．12C ．13D ．34【答案】A【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.【考点】条件概率.8．某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A ．4 B ．12 C ．16 D ．24【答案】B【解析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可. 【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种；第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B . 【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.二、多选题9．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近【答案】ABC【解析】根据正态分布的图像意义判定即可. 【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10．设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6 B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD【解析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可. 【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c =.据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==. 因为003y b <=,则12PF F ∆项正确.由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =, 则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=；当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD . 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型.11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．(0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+> B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+= D ．13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD【解析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=, 又1sin 1x -,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真；B项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sin cos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x=在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD . 【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:lnC y x = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD【解析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可. 【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线. 当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； B 项,1y x '=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-.令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -,即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误；C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.三、填空题13．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+，可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2，则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=．故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________【答案】12【解析】根据数学期望的求法列式求解即可. 【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =. 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为337的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3【解析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=, 则2,3BF c BP c ==,所以3tan cPAB ∠=. 333c =解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16．已知ABC ∆是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________ （2）球O 的体积为_____________.【答案】3213136π【解析】(1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可. 【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=. 因为3DB DC ==,则3BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD . 因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD . 取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得1312DE ==.在Rt OED ∆中,OD ==所以34326V π⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭球.故答案为：(1). 32(2). 【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.四、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--. （1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆的面积为sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】(1)根据面积公式与余弦定理求解即可. (2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =再利用面积公式与正弦定理化简求解即可. 【详解】（1）因为in 12s S ab C =,所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--,即222sin cos 2c a b C C ab --==-,所以tan 1=-C ,又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=.（2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=, 所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因为1sin 2ABC S ab C ∆=,且in sin ABC S A B ∆=,所以1sin sin sin 22ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =. 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型. 18．已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n 时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】(1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可. 【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=, 又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=, 又因为13a =,所以21n a n =+. （2）因为）11222n n n b b b na -+++=,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n 时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭,则211111137(45)(41)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减,得211111134(41)22222n nn S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11147341(41)7222n nnn n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19．如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN平面CDE；（2）求当PF为何值时，平面PAB⊥平面CDE.【答案】（1）证明见解析（2）2PF=【解析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN即可. (2)分别取线段,AB DE的中点,G H,再根据题意分析PG⊥平面CDE时的点P,根据三角形的全等与相似的关系求得PF的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE,AB在平面DEF外,则//AB平面DEF.因为平面PAB⋂平面DEF MN=,则//AB MN,从而//DE MN.因为MN在平面CDE外,所以//MN平面CDE.（2）解法一：分别取线段,AB DE的中点,G H,则//GH CP, 所以,,,P C G H四点共面.因为Rt PCA Rt PCB∆≅∆,则PA PB=,所以PG AB⊥.因为//AB DE,则PG DE⊥.若PG CH⊥,则PG⊥平面CDE,从而平面PAB⊥平面CDE.此时,CPG HCG∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC∆是边长为2的正三角形,则2sin603CG︒==又1GH =,则23CGPC GH ==,从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点, 直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 由已知,2,1,3AB OH OC ===则点(1,0,0),3,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,3,1),(1,0,0)CH HE OB =-==设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得111(3)010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则3)m =设CP t =,则点3,)P t ,从而(0,3,)OP t =设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得2223010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,3)n t =-.因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=, 得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.（2）详见解析【答案】（1）23【解析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A , 则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21．如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--.（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）82【解析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可.【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py =-⎧⎨=-⎩,得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk+=+-=--. 所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk+=++=---因为(4,12)OA OB +=--,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩ 故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离5d ===. 由2222y x x y =-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ===故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅=. 解法二：由2222y x x y =-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ===设点21,(222P t t t ⎛⎫---<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =,此时点(2,2)P --.故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅=. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22．已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数.（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩ 【解析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()xx x f x e ++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()xx x a f x e ----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f e x -'-=, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-； 当()222121e a e -<+时,(1)(1)f f -,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --,即2a 时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩ 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题(含答案解析)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题一、单选题1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（）A．110B．3353C．35353D．3350【答案】C【解析】每位同学被选中的概率都相等，为35 353.【详解】由题：甲被选中，必须首先要没有被剔除，然后再被选中，所以其概率为3503535 353350353⨯=.故选：C【点睛】此题考查概率的计算，其本质反映了采取此种抽样方法对每个个体公平. 2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】概率与试验重复的次数无关，抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是1 2，若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张仍然不一定中奖，姚明投篮的结果中与不中概率不相等.【详解】随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是12，所以②错误； 若一种彩票买一张中奖的概率是11000，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；“姚明投篮一次，求投中的概率”， 姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误． 故选：A 【点睛】此题考查概率及相关概念的辨析，涉及古典概型的辨析，对基本事件的认识.3．写出命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=的否定并判断p ⌝的真假，正确的是（ ）A ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠且为真B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠且为真C ．p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +=且为假D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠且为假 【答案】A【解析】根据特称命题的否定方式写出命题，并判断真假. 【详解】命题:p “0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定：p ⌝是“x R ∀∈，sin cos x x +≠，sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭p ⌝是真命题.故选：A 【点睛】此题考查特称命题的否定，并判断命题的真假，关键在于准确写出命题的否定，结合三角函数相关知识判断真假.4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A ．12.5,12.5B ．13.5,13C ．13,12.5D ．13,13【答案】D【解析】根据频率分布直方图的平均数与中位数的计算方式即可求解. 【详解】由题：第一组面积50.040.2⨯=，第二组面积50.10.5⨯=，所以第三组面积0.3 平均数为：0.27.50.512.50.317.5 1.5 6.25 5.2513⨯+⨯+⨯=++=， 设中位数为x ，()0.2100.10.5x +-⨯=，解得13x =. 故选：D 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求平均数和中位数，关键在于熟练掌握频率分布直方图相关数据的计算方法，准确计算.5．已知下表所示数据的回归直线方程为$5y x a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为（ ）x2 3 4 56 y3712m23A ．18B ．20C ．21D ．22【答案】B【解析】根据当7x =时的预测值是28，求出7a =，求出样本点的中心，根据平均数求解. 【详解】当7x =时的预测值是28，2835a =-， 得7a =，4x =，可得13y =，∴()371223513m ++++÷=，得20m =．此题考查根据回归直线特征求已知数据中的值，关键在于准确掌握回归直线必过的点，建立等式求解.6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145S S -=（ ） A ．102S B ．144C ．288D ．()1145a a +【答案】B【解析】根据等差数列求和公式表示出145S S -，根据21832a a +=结合等差数列性质求解. 【详解】由题：等差数列中：()()614218145671499 (14422)a a a a S S a a a ++-=+++===．故选：B 【点睛】此题考查等差数列求和公式和等差数列性质的综合应用，熟练掌握相关性质可以减少计算量.7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A ．“7m =”B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<且7m ≠”【答案】C【解析】先解出曲线表示椭圆的充要条件，再结合选项求解. 【详解】考虑：方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆，则：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即()()5,77,9m ∈U ，A 是其既不充分也不必要条件，B 是其充分不必要条件，C 是其必要不充分条件，D 是其充要条件.此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据曲线表示椭圆准确求解参数的范围，准确辨析必要不充分条件的集合表示关系.8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F=“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据事件关系，靶为被击中即甲乙均未击中；靶被击中即至少一人击中，分为恰有一人击中或两人都击中，依次判定即可. 【详解】由题可得：①E AB =，正确；②事件F=“靶被击中”，AB 表示甲乙同时击中，F AB AB AB =++，所以②错误；③F A B =+，正确，④A B +表示靶被击中，所以④错误；⑤G AB AB =+，正确；⑥,E F 互为对立事件，()()1P F P E =-，正确；⑦()()()()P F P A P B P AB =+-，所以⑦不正确． 正确的是①③⑤⑥． 故选：B 【点睛】此题考查事件关系和概率关系的辨析，需要熟练掌握事件的关系及其运算，弄清事件特征及其概率特征准确辨析.9．已知圆()221:116F x y ++=，定点()21,0F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．22134x y +=B ．221169x y +=C ．22143x y +=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据线段2PF 的中垂线上的点到两端点距离相等，转化成12MF MF +为定值，即可得到椭圆. 【详解】因为线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，2MF MP =，则点M 满足：1211242MF MF F P F F +==>=，故点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，且24a =，22c =，所以椭圆的方程为22143x y +=．故选：C 【点睛】此题考查根据定义方法判定曲线轨迹为椭圆，需要熟练掌握平面图形的几何特征，根据几何关系判定曲线轨迹.10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是12,F F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||MO =（ ） A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【答案】C【解析】根据题意作出图形，由几何知识可知，()1121122MO DF PF PF a ==-=，即可求出． 【详解】如图所示：延长F 2M 交PF 1于D由几何知识可知，PM 垂直平分2DF ，而4a =，所以()11211422MO DF PF PF a ==-==． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义应用，属于基础题．11．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =u u u u r u u u r，且120F P F P ⋅=u u u r u u u u r ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．5B ．7 C ．5 D ．7 【答案】A【解析】延长2QF 交椭圆C 于点M ，在1Rt F MQ ∆和12Rt F MF ∆两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几何性质建立等量关系求解. 【详解】延长2QF 交椭圆C 于点M ，得1Rt F MQ ∆，12Rt F MF ∆，设2QF m =，则122PF MF m ==，据椭圆的定义有12QF a m =-，122MF a m =-，在1Rt F MQ ∆中，()()()22222323a a m m a m m -+=-⇒=，在12Rt F MF ∆中，()()222225222459c a m m c a c e a -+=⇒=⇒==． 故选：A【点睛】此题考查根据椭圆中焦点三角形结合几何意义求解离心率，关键在于准确找出其中的几何关系，列方程求解.12．已知椭圆22221x y a b+=过定点()1,1，则22222b a b +的最大值是（ ）A ．516B ．12C ．916D ．34【答案】C【解析】根据椭圆经过的点得出等量关系22111a b +=，根据22222211122b a b a b +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭构造基本不等式或换元法构造二次函数求解最值. 【详解】由题意有22111a b +=，2222222211121119222216b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+≤= ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦．当221112a b =+时取得等号，即2114b =时，取得最大值. 故选：C 【点睛】此题考查根据椭圆上的点的坐标建立等量关系，利用基本不等式或二次函数求解最值，需要注意求最值一定考虑最值成立的条件能否取到.二、填空题13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为______． 【答案】34【解析】至少需要等待10秒才出现绿灯说明该行人在红灯亮起前30秒内到达该路口，根据几何概型求解. 【详解】行人在红灯亮起30秒内到达该路口，则至少需要等待10秒才出现绿灯， 根据几何概型的概率公式可知，所求事件的概率303404P ==．故答案为：34【点睛】此题考查几何概型，关键在于准确识别概率模型，利用长度求解概率.14．设,R a b ∈，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要【解析】()2log 0a b ->一定能推出a b >，但是a b >不能推出1a b ->，所以不能得出()2log 0a b ->，即可得解. 【详解】“()2log 0a b ->”的充要条件是1a b ->，1a b ->是a b >的充分不必要条件，则“()2log 0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握其中的逻辑关系，正确识别其中能否相互推出.15．设函数()23f x x x a =-+，已知(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题可得：()0f x ≤有解，只需()min 0f x ≤即可，根据题意求出最小值解不等式得解. 【详解】依题意，只需[]01,3x ∃∈，()00f x ≤，即()min 39024f x f a ⎛⎫==-≤⎪⎝⎭， 就一定(]01,3t ∃∈，使得当[]01,x t ∈时，()0f x ≤有解， 故94a ≤． 故答案为：9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】此题考查根据不等式关系求参数范围，属于能成立问题即有解问题，需要区分清楚能成立与恒成立求参数之间的差别，避免出现混淆.16．设数列{}n a 满足11a =，2180a =，()21nn n a a n n +=++-，则：（1）1352019...a a a a ++++=______； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为______． 【答案】1010 9或10【解析】（1）根据递推关系：当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==，即可求解； （2）当n 为偶数时，()22241k k a a k -=+-结合()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-求出公式，即可得解. 【详解】（1）当n 为奇数时，211n n a a a +==⋅⋅⋅==， 即21211k k a a +-==，1352019...1010a a a a ++++=．（2）由()22241k k a a k -=+-，知()()2242222...n n n a a a a a a -=+-++-()()180412...118021n n n =++++-=+-⎡⎤⎣⎦，于是()21802190122n n n a n n n n+-==+-，由对勾函数的性质知，9n =或10． 故答案为：（1）1010；（2）9或10. 【点睛】此题考查根据数列的递推关系进行数列求和以及求通项公式，求数列的最小项，关键在于根据递推关系合理变形，找准利于解题的关系或代数特征.三、解答题17．ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin sin 2C c A ⋅=⋅. （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积.【答案】（1）6π；（2. 【解析】（1）应用正弦的二倍角公式结合正弦定理可得cos A ，从而得A ．（2）用余弦定理求得c ，再由三角形面积公式可得三角形面积． 【详解】（1sin sin 2C c A ⋅=⋅，sin sin sin 2A C C A ⋅=⋅， 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos 2A =. 因为0A π<<， 所以6A π=.（2）因为a =b =6A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得2650c c -+=， 解得1c =或5c =，均适合题.当1c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==.当5c =时，ABC ∆的面积为1sin 22S bc A ==. 【点睛】本题考查二倍角公式，正弦定理，余弦定理，考查三角形面积公式．三角形中可用公式很多，关键是确定先用哪个公式，再用哪个公式，象本题第（2）小题选用余弦定理求出c ，然后可直接求出三角形面积，解法简捷．18．“中秋节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法，抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km /h ）分成六段：[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[)60,70内的车辆中任意抽取2辆，求车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率．【答案】（1）77.5，77.5 （2）1415【解析】（1）众数的估计值是最高组的中间值，寻找中位数的估计值为x ，使其左右两侧频率相等，列方程求解；（2）求出车速在[)60,65有2辆，车速在[)65,70有4辆，根据古典概型求解概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知众数的估计值为77.5． 设中位数的估计值为x ，由()50.010.020.040.350.5⨯++=<，0.350.0650.650.5+⨯=>，得7580x <<． 所以()0.350.06750.5x +⨯-=，解得77.5x =， 即中位数的估计值为77.5．（2）从题图中可知，车速在[)60,65内的车辆数为0.015402⨯⨯=， 车速在[)65,70内的车辆数为0.025404⨯⨯=．记车速在[)60,65内的两辆车为,a b ，车速在[)65,70内的四辆车为,,,c d e f ， 则所有的基本事件有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a f ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b f ，(),c d ，(),c e ，(),c f ，(),d e ，(),d f ，(),e f ，共15个，其中车速在[)65,70内的车辆没有一辆的基本事件只有一个：(),a b ，所以车速在[)65,70内的车辆至少有一辆的概率为11411515P =-=． 【点睛】此题考查根据频率分布直方图求众数和中位数，结合直方图的特征求解频数，利用古典概型求解概率，考查基础知识.19．设双曲线22:13y x Γ-=，正项数列{}n x 满足11x =，对任意的2n ≥，*N n ∈，都有()1n n x -是Γ上的点． （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记12231111...n n n S x x x x x x +=++++++，是否存在正整数m ，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）n x = （2）存在，9999m =【解析】（1）根据曲线方程求出2211n n x x --=，得出等差数列{}2n x 的通项公式即可求解；（2）使用裂项相消求和，求得n S ，结合渐近线方程求解. 【详解】 （1）由题，)21213n nx --=，即2211n n x x --=，2n ≥，*N n ∈，故{}2n x 是以211x =为首项，1为公差的等差数列，故2n x n =，又0n x >，于是n x =．（2）由11n n x x +==+得)12231111...1 (1)n n n S x x x x x x +=+++=+++=+++，Γ的渐近线方程为y =，22133m y x S -=的渐近线方程为y =，故333mS =，即199m S ==，故9999m =． 【点睛】此题考查圆锥曲线与数列的综合应用，涉及数列通项的求法，数列的裂项求和，与双曲线几何性质的综合使用.20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的数据，先求出y 关于x 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润＝销售收入－成本）． 参考数据：51392i ii x y==∑，521502.5i i x ==∑．参考公式：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑u r$，a y bx =-$$．【答案】（1）$ 3.240y x =-+，理想 （2）单价定为7.5元/件时，获得的利润最大 【解析】（1）求出平均数，根据公式求解回归直线方程，结合给定数据检验是否理想； （2）根据单价和销量得出利润关于单价的函数关系，根据函数求解最值. 【详解】 （1）因为()199.51010.511105x =++++=，()1111086585y =++++=， 所以23925108 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯$，则$()8 3.21040a =--⨯=，于是y 关于x 的回归直线方程为$ 3.240y x =-+． 由6月数据有：8x =，此时，$ 3.284014.4y =-⨯+=，则$14.414.20.20.5y y -=-=<， 所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的． （2）令销售利润为W ，则()()()22.5 3.240 3.2481002.512.5W x x x x x =--+=-+-<<，因为()2153.215100 3.2100802x x W x x -+⎛⎫=-+-≤⨯-= ⎪⎝⎭，当且仅当15x x =-+，即7.5x =时，W 取最大值． 所以该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大． 【点睛】此题考查求线性回归直线方程，并检验回归直线是否理想，关键在于根据公式准确计算，建立函数模型，求解利润最大的问题.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1，且离心率为2．（1）设过点11,36P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,Q m ，求实数m 的取值范围．【答案】（1）102x y -+= （2）,44⎡-⎢⎣⎦【解析】（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程，结合点差法解决中点弦问题，求出直线斜率，求解直线方程；（2）设直线AB 的方程，联立直线和椭圆，根据交点坐标关系，求出线段AB 的垂直平分线方程，得出m 的表达式，利用函数关系求解取值范围. 【详解】（1）由题意，得2222112b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆E 的标准方程是2212x y +=．设点()11,M x y ，()22,N x y ，则221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 两式相减得()()()()1212121220x x x x y y y y +-++-=， 又1223x x +=-，1213y y +=，代入得1212x x y y -=-，即1MN k =， 故所求直线的方程是1163y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即102x y -+=． （2）（i ）当直线l 与x 轴垂直时，0m =，符合题意．（ii ）当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为()1y k x =-，0k ≠．联立方程()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，可得()()2222124210kxk x k +-+-=，易知>0∆．设()33,A x y ，()44,B x y ，线段AB 的中点为C ，则2342412k x x k +=+，()23422112k x x k-⋅=+， 所以()343422212ky y k x x k-+=+-=+， 所以线段AB 的中点C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．由题意可知，AB CQ ⊥，0k ≠，故直线QC 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0x =，得212k y k =+，即212km k =+．当0k >时，得21011242k m k k k<==≤++，当且仅当2k =时等号成立； 当k 0<时，得()21014122k m k k k -≤==-<+⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，当且仅当2k =时等号成立．综上所述，实数m的取值范围为⎡⎢⎣⎦． 【点睛】此题考查求椭圆方程，利用点差法解决中点弦问题，讨论直线与椭圆形成弦的中垂线与坐标轴交点坐标的取值范围，此题也可设直线l 的方程为1x ty =+求解． 22．已知函数()21log f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，0a >． （1）若命题：“[]01,4x ∃∈，()01f x >”是真命题，求a 的取值范围；（2）若2a =，1>0x ，20x >，121x x =+，求()()12f x f x +的最小值；（3）若1,12t ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【答案】（1）1a >；（2）4 ；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）[]01,4x ∃∈，()01f x >，结合单调性只需()()max 10f x f =>即可求解； （2）化简()()122221212113log 2log 2log 4f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭结合基本不等式求解最值；（3）根据单调性()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，转化为()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，即可求解．【详解】（1）依题，当120x x <<时，12110a a x x +>+>，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+?上单调递减．故()()max 10f x f =>，即21log 11a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，解得1a >．（2）由1>0x ，20x >，121x x =+及基本不等式得，()21212144x x x x+≤=，故()()1222212121111log 2log 2log 22f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1222121212121111log 24log 24x xx x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤+=+++=++⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()22123log 4log 3444x x ⎛⎫=+≥⨯+= ⎪⎝⎭，等号当且仅当1212x x ==时成立． 故()()12f x f x +的最小值为4． （3）由（1）知()f x 在()0,+?上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题考查对数型复合函数相关知识，涉及单调性讨论最值，利用基本不等式求最值，根据不等式恒成立求参数最值，综合性强.。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ．22ac bc >【答案】C【解析】根据不等式性质，结合特殊值即可比较大小. 【详解】对于A ，当1,2a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，所以A 错误； 对于B ，当,0a b c >≤时，不满足ac bc >，所以B 错误；对于C ，由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式符号不变”，所以由a b >可得a c b c ->-，因而C 正确；对于D ，当,0a b c >=时，不满足22ac bc >，所以D 错误. 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式大小比较，不等式性质及特殊值的简单应用，属于基础题. 2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【考点】三视图与表面积．4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m nB ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥I ，，，则n β⊥D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D【解析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D . 【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.5．已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=r r r r r ，则向量a r 与向量b r的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】试题分析：根据已知可得：2.2.3a b a a b -=⇒=rrr rr ，所以.1cos ,2.a b a b a b 〈〉==r r r rr r ，所以夹角为3π，故选择C【考点】向量的运算6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ． B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.【考点】直线与圆位置关系7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤ B ．2a ≥ C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩V 或或或或 当022a ∆<⇒-<< 综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．8．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC V 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由a b cosB cosA =，利用正弦定理可得sinA sinBcosB cosA=，进而可得sin2A=sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵a b cosB cosA=， ∴由正弦定理可得sinA sinBcosB cosA= ∴sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A +2B=π ∴A=B 或A +B=2π ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选D ． 【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.9．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，()()1618n n n S n T +=+．若nna Zb ∈，则n 的取值集合为（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,5} D ．{1,2,3,6}【答案】D【解析】首先根据()()1618n n n S n T +=+即可得出n nS T ，再根据前n 项的公式计算出nn b a 即可。