溶质运移理论-水动力弥散方程的解析解法
地下水水质的数学模拟(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应用
地下水水质的数学模擬(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应
用
地下水水质的数学模拟是地下水地下水水质保护的重要方法之一。
在地下水水质模拟中，水动力弥散方程是一个重要的方程，可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散。
下面是水动力弥散方程的解析解法及其应用:
一、水动力弥散方程的解析解法
1. 欧拉法
欧拉法是一种经典的求解水动力弥散方程的方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个积分方程，然后通过欧拉方法来求解积分方程。
欧拉法的基本思路是将时间域问题转化为频域问题，并使用频率分析方法来求解。
2. 拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日平动理论的解析方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个拉格朗日方程，然后通过拉格朗日方程来求解水动力弥散方程。
拉格朗日法适用于求解非线性水动力弥散方程。
二、水动力弥散方程的应用领域
1. 地下水污染控制
水动力弥散方程可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散，从而帮助人们掌握地下水的污染状况，并为地下水污染控制提供科学的决策支持。
2. 水文地质勘探
水动力弥散方程也可以用来求解水文地质勘探中的勘探参数，从而帮助人们掌握地下水的分布情况，为水文地质勘探提供科学的决策支持。
溶质运移及其基本微分方程
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
Ds ( ) D0
或
Ds 取决于土壤含
Ds ( ) D0 ae
b
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
3. 溶质的机械弥散 c 由机械弥散引起的溶质通量： J h Dh (v)
z
Dh (v) v ，为渗透速度的线性函数。
式中：λ为与土壤质地、结构有关的经验常数。 分子扩散与机械弥散同时存在，机理不同，表 达式相似，但难于区分。因此，将二者综合 水动力弥散。
c J Dsh (v, ) qc z
根据质量守恒定律，在z方向流入和流出单 元体的溶质通量之差为：
J x y z t z
单元体内溶质的质量变化率为：
( c) x y z t t
若忽略x、y两方向的溶质质量变化，则
( c) J t z
c s RTk w g
c
（cm）
式中： 为以mol表示的溶质浓度 (mol cm3 ) µ 为溶质的摩尔质量（g/mol）数值上＝分 子量；c为单位体积溶液中含有的溶质质量 （g/cm3）；R＝8.31*106Pa· cm3/(mol· K)
当只考虑一维垂直流动时，土壤水分通量
第五节 溶质运移问题的简单解析解
第五节 溶质运移问题的简单解析解由第二节的对流弥散方程可知，溶质运移问题比地下水运动问题更复杂，更难求得解析解。
只有当含水层为均质各向同性，而且计算区域几何形状简单时，才有可能求得解析解。
下面介绍几种简单的解析解。
一. 一维问题简单的解析解实验室中的土柱试验就是一个简单的一维问题。
一个土柱中装满砂，用水饱和并且让水以固定的速度向下流动。
水中的示踪剂浓度为0。
试验开始时土柱上部换装示踪剂浓度为C 0的溶液，一直保持到试验结束。
如果不考虑吸附、化学反应和放射性衰变，取流向为x 轴，则对流弥散方程（6-91）简化为x c u xc D t c x L ∂∂-∂∂=∂∂22 （6-184） 初始条件00)0,(≥=x x c边界条件⎩⎨⎧≥=∞≥=00),(0),0(0t t c t c t c 该问题的解为（Ogata 和Banks ，1961）：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)2()exp(22),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-185） 式中 )(e r f c—余误差函数； )e x p (—指数。
在天然情况下，一维运动往往出现在有一段平直的被污染的河流或渠道，河水渗漏补给地下水，地下水以固定速度u 作一维流动，如图6—25图6—25渠道渗漏作为一个线源引起的地下水污染Sauty （1980）求得该情况下的解为⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢+--=)2()exp()2(2),(0t D t u x erfc D x u t D t u x erfc c t x c L x L x L x （6-186） （6—185）式和（6—186）式在第二项前面符号不同。
当Peclet 数Lx D xu Pe = 相当大时，上二式第二项比第一项小得多，故近似有)2(2),(0t D t u x erfc c t x c L x -=（6-187） 公式（6—187）适用10≥Pe 的情况。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程共34页
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率
或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
20
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体 时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓 度区域平均化的现象
4
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
1
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
16
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
17
六、水动力弥散方程
18
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程-精选文档
Fick定律
8
五、流体参数
流体的密度
d m d m dm 1 dV dV dV 1 1
N N N
多相分流体速度
N N
组分流速
1 N
C C x ,y , z , 0 0 x ,y , z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向
某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C
~
R 1 d
b
n
K d
只是用 R d 去除以水动力弥散系数 D 和流速u，由于Rd 1 ，因 ~ 1 此吸附作用产生的后果，相对于 D 和 u 均减小 R ，起到减缓
d
弥散的作用。所以把 R d 称为：减缓因子。
26
七、源汇项：抽水与注水
如果含水层当中有抽水或注水井，含水层中示踪剂
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水
吸附
解吸 (源)
离子交换 (源、汇)
多相流体可混溶流体石油污染物在水体或含水层中的运移不可混溶流体不同性质溶体之间无明显的突变界不同性质溶体之间有明显的突变界惰性示踪剂理想示踪剂两种或不与地下水发生化学反应不与多孔介质发生反应天然示踪剂天然水中的环境同位素人工示踪剂离子化合物有机染料放射性同位素水动力弥散现象多孔介质中当存在两种或两种以上可混溶的流体时在流体运动作用下期间发生过渡带并使浓度区域平均化的现象水动力弥散分子扩散机械弥散由浓度高的方向向浓度底的方向运动趋于均一由于微观多孔介质中流速分布的不均一而引起的示踪剂水质点浓度在地下水含水层中不均匀分布的现象
土壤中反应溶质运移的对流—弥散模型及其解析解
土壤中反应溶质运移的对流—弥散模型及其解析解土壤是地球上最重要的自然资源之一，它对于生态环境和农业生产都具有不可替代的作用。
但是，随着人类活动的不断加剧和气候变化的影响，土壤污染问题已经日益严重。
因此，研究土壤中污染物的迁移和转化规律具有重要意义。
本文将介绍土壤中反应溶质运移的对流—弥散模型及其解析解。
1.模型的假设和基本方程对于土壤中反应溶质的运移，我们可以采用对流—弥散模型进行描述。
该模型主要假设：1）土壤介质是均质、各向同性的；2）外场中的污染物浓度为恒定的；3）污染物的分布仅与时间和空间坐标有关，而与物质的特性无关。
在该假设下，可以得到以下模型方程：(1)对流项：∂C/∂t+u∂C/∂x，其中u为流速；(2)弥散项：D∂^2C/∂x^2，其中D为溶质扩散系数；(3)反应项：-kC，其中k为反应速率常数，C为污染物浓度。
将上述三项相加，得到土壤中反应溶质的运移方程：∂C/∂t+u∂C/∂x=D∂^2C/∂x^2-kC2.求解过程在得到模型方程后，我们可以进行求解。
下面介绍一种常用方法——分离变量法。
先假设C(x,t)=X(x)T(t)，代入模型方程中，得到：X(x)T'(t)+uX'(x)T(t)=DX''(x)T(t)-kX(x)T(t)将左边式子拆开，得到：X(x)/X'(x)=-u/[D(T(t)/T'(t))+kT(t)] 左边式子仅与x有关，右边式子仅与t有关，故它们的值必须等于一个常数，设为λ，则有：X(x)/X'(x)=-u/(Dλ+kT(t)/T'(t))将上式两边同时积分，得到：X(x)=C1exp[λx/(u+Dλ)]+C2exp[-λx/(u+Dλ)]其中C1、C2为常数。
此时，应根据求解问题的实际边界条件来确定C1、C2和λ的具体值。
将求得的X(x)和T(t)代回C(x,t)=X(x)T(t)，得到最终的解析解。
水动力弥散方程PPT文档48页
谢谢！
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
水动力弥散方程
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风景澈。来自7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
考虑吸附和降解时溶质在土壤中运移的对流-弥散模型及其准解析解
考虑吸附和降解时溶质在土壤中运移的对流-弥散模型及其准解析解张德生;张建丰;沈冰【摘要】[目的]了解吸附性溶质在土壤中的运移规律,为土壤溶质运移机理研究和应用提供理论支持.[方法]利用溶质运移的对流-弥散理论、Laplace变换、超几何方程和特征有限元法,对溶质在土壤中的运移规律进行理论研究和数值模拟.[结果]给出了稳定流条件下,考虑随深度变化的一阶降解和随深度变化的线性平衡吸附时,一维溶质运移的对流一弥散方程;在初始浓度为0,半无限一维空间内第一类边界条件下,推导出了溶质相对浓度的准解析表达式;用特征有限元法建立了相应的数值模型.[结论]对比数值解和准解析解的计算数据可以看出,本研究所得准解析解是正确的;同时,数值计算所产生的误差很小,所得数值模型能满足实际工作对计算精度的要求,可用于实际工作.【期刊名称】《西北农林科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(037)003【总页数】6页(P187-192)【关键词】溶质运移;对流-弥散方程;准解析解;特征有限元法【作者】张德生;张建丰;沈冰【作者单位】西安理工大学,理学院,陕西,西安,710048;西安理工大学,水利水电学院,陕西,西安,710048;西安理工大学,水利水电学院,陕西,西安,710048【正文语种】中文【中图分类】S153.5溶质在土壤中运移时，常发生溶质与溶质之间、溶质与固相物质之间的相互作用，如沉淀与溶解、吸附与解吸、交换等过程，此外还会发生生物化学反应等[1-2],这些都会影响溶质在土壤中运移时溶质的组成和数量变化。
在土壤中，局部的反应过程(如吸附、降解等)常常与土壤中有机质的数量和类型以及土壤中微生物的活性有关。
例如：散落在土壤中的农药以及污染物,首先吸附在土壤内的有机质中,土壤内化学物质降解的速度往往与土壤内微生物的活性有关。
对于土壤内有机质的含量以及微生物的活性,人们进行了很多研究，Frobisher等[3]给出了肥沃土壤中细菌数目随土壤深度变化的规律；Buyanowski[4]研究了农药在土壤中经过潜伏后随有机质及微生物活动降解转化的规律。
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若存在一维稳定流动，流速为
u
。
某点o处瞬时注入示踪剂m。
取o点为坐标原点，x轴平行 u于 ，且方向相同。
43
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
对弥散系数D来说是各向异性的，它属于二度各向
异性，即
，弥散方程写成
44
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
通过坐标变换变成各向同性，令 则
有
得
45
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
25
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε =1/2，表示 ε =1/2的点与u同速度推进。
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
式（4-3）通解为
利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
33
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
通过动坐标以及变换x、y坐标尺度的方法，与基本解 产生联系 令 则
同理
34
得
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
记 引入动坐标
令 套用基本解，有
整理得
35
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
当t与C为定值时，上式为常数，记为-A，并设 X=x-ut，上式变为
为中心坐标（ut，0）,
经两重换元并化简后，得
38
连续注入示踪剂-平面连续点源
平面稳定连续注入点源的解
当t较长，简化为
39
注入拟稳定条件下示踪剂的径向弥散
设在水平、等厚（B）、无限展布的均质各项同 性承压含水层中有一口完整井，井径rw。通过井向其 连续注入定流量Q且示踪剂浓度C0的水。忽略天然流 速，井的附近形成拟稳定二维径向流。 以井为中心，任意半径为r的圆周通量
随着Dl或者t的增大，浓度 越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
，流体密度为常数；
（3）t=0时，在原点处瞬时注入质量为m的溶质；
2
（4）瞬时点源位置为坐标原点；
一、基本解
浓度C对称于原点分布
对流弥散方程简化成 D表示多孔介质分子扩散系数 取半径为R和R+dR的两个球面所构成的单元体为均 衡段，根据质量均衡得
3
一、基本解
略去高阶变量 问题写成
4
一、基本解
对于式（4-11），令
8
一、基本解
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
（4-15）
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点
随时间增加，原点处浓度减少
由于
或
，浓度为原点的1%
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
对于边界简单的情况，可用反映法转化为y无' 限空
间问题在叠加求解
C n
0
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0)
对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
18
二、一维水动力弥散问题
设有一无限长均质砂柱，原有溶液浓C0=0，在t=0， x=0处瞬时注入质量为m的示踪剂，取砂柱中心轴为x 轴，流速方向为正，求浓度C(x,t) 分布
因DL>DT,a是x的长半轴
的椭圆
36
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
某浓度等值线所围面积随t的变化，先是增大然后变 小。低浓度所围面积随时间增大的持续时间长，而高 浓度持续时间短
37
连续注入示踪剂-平面连续点源
连续点源的作为视为无数瞬时点源之和 设单位时间注入示踪剂的质量为ml(=C0Q)，dt’注 入示踪剂质量为mldt’有
t’时刻于坐标原点处注入示踪剂质量 空间瞬时点源的解：
48
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间稳定连续点源 解得
（具体求解过程见P52-54）
式中
49
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
当 t ,e( r ) f0 c ,e( r ) f1 故 式子变成
50
平均流速
40
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
转换成极坐标，令 代入式
有 对于均质各向同性介质，无 即 天然流速，弥散是对称的
41
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
有 其中
若忽略分子扩散模型，则
其近似解
用于确定实测的纵向弥散度 L
42
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间瞬时点源
渗透系数K为均质各向同性，
采用动坐标，令 方程改成 套用基本解，得
，记
进行坐标反变换，得
46
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
讨论： （1）随时弥散维数的增 加，浓度C衰减速度也加 快。 （2）对式进行变换，得
椭球方程。等浓度面为一个旋转椭 球面，呈橄榄球桩，长轴沿x方向
47
三、一维稳定流动三维水动力弥散问题
空间稳定连续点源 假定：示踪剂注入并不改变渗流场的原始特征，即 示踪剂是理想的，且保持原来的一维稳定流动。 设单位时间注入示踪剂的质量为ml 连续点源视为无数瞬时点源组成，注入时间记为t’。
地下水溶质运移理论及模型
第四章 水动力弥散方程的解析解法
中国地质大学环境学院 2019春
一、基本解
基本解
将瞬时注入点源问题的解称为基本解。由基本 解出发，利用叠加原理到处线源、面源、多点源及 连续注入问题的解。
三维空间瞬时点源
（1）均质各向同性；
（2）静止流场 0，弥散系数为常数，即
略去高阶变量 问题写成
5
一、基本解
将m、n合并成新变量m/n，得 根据因次分析中的π定理设
和
对该问题，有两个独立的π参数，依π定理有
π1、π2可有多种组合， 但上述组合可得到最简 单的常微分方程，即
6
一、基本解
（4-11）7
一、基本解
将定解条件做适当变换
通过Boltzmann变换，将偏微分变成常微分
31
瞬时注入示踪剂-平面瞬时点源
均质各项同性、等厚的承压含水层中存在一维稳定流 动，孔隙平均流速为u，取x坐标轴平行地下水流向， 产生，在x方向为纵向弥散系数DL，在y方向为横向弥 散系数DT。
32
三、一维稳定流动二维水动力弥散问题
假定（1）示踪剂的注入不改变地下水渗流状态 或（2）取样点离注入井足够远 数学模型为
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 dmf Cndx'的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
根据线性叠加的思想，将线源作用视为点源的连续分布
13
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
令
解得
空间瞬时无限线源的基本解
C和z无关，Z方向不产生弥散
平面瞬时点源基本解
14
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
厚度为M的承压完整井中瞬时注入示踪剂：
线源长度为M，若瞬时注入示踪剂质量为 m M ,则
29
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
进一步求解 得
30
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
该式可用于地表水体。如一条均匀的长渠道， 在x=0处定浓度C0,并以稳定速度u流动，只需讲Dl 改成Dm
余补误差函数erfc（η）随着η的增大而减少，当x 足够大或t足够长，右端第二项可忽略不计，即
随时间推移，弥散 晕范围逐步扩大
11
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
一口承压完整井中瞬
时注入示踪剂，求浓
映射
度时空分布规律
三维空间一条无 限长瞬时线源
12
一、基本解-空间瞬时无限线源与平面瞬时点源
取三维空间上z轴与瞬时线源重合，假定单位长度线 源瞬时注入示踪剂的质量为ml，在线源上任意位置 z ' 处 取一分为线源段 d z '，将其视为点源的作用，其瞬时注入 示踪剂质量为 mldz'，在瞬时点源空间上任意点（x,y,z） 产生的微分浓度
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0；