溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程
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溶质在水体和多孔介质中迁移的研究进展
溶质在水体和多孔介质中迁移的研究进展
张富仓
西北农林科技大学 水利与建筑工程学院
溶质在水体和多孔介质中迁移的研究进展
溶质运移研究的是溶于水体或多孔介质中的溶质运移的过 规律和机理。多孔介质中的液相部分不是纯水， 程、规律和机理。多孔介质中的液相部分不是纯水，是含有 各种无机、有机溶质的溶液。 各种无机、有机溶质的溶液。这些物质在多孔介质中的运移 状况不仅与多孔介质中水的流动有关， 状况不仅与多孔介质中水的流动有关，而且与溶质的性质及 在随水移动过程中所发生的物理、 在随水移动过程中所发生的物理、化学和生物化学过程有密 切关系。因此， 切关系。因此，对溶质运移的研究不仅是土壤物理学研究内 容的一部分，也是土壤化学的研究对象之一。因此， 容的一部分，也是土壤化学的研究对象之一。因此，也可以 说土壤溶质运移所涉及的学科范围， 说土壤溶质运移所涉及的学科范围，是属于土壤学科中土壤 物理和土壤化学两个分支的交叉。 物理和土壤化学两个分支的交叉。从水文和水文地质学科角 则属于土壤水文学或包气带水文学的范畴。 度，则属于土壤水文学或包气带水文学的范畴。从环境科学 角度，则环境土壤或环境水文学的研究对象。 角度，则环境土壤或环境水文学的研究对象。
上式为稳态水流情况下土壤溶质运移的基本方程
∂ (θ C ) ∂J =− ∂t ∂x
qw = vθ
溶质在多孔介质中迁移理论的发展概况
二、溶质运移的研究方法
活塞流（ 活塞流（Piston flow） ）
NaCl溶液
NaCl
水
水
NaCl溶液
NaCl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
水
水
NaCl溶液
NaCl
溶质在多孔介质中迁移理论的发展概况
dx ∂〈c〉 ∂〈c〉 ∂ 2 〈 c〉 = Dij −〈 i〉 ∂t ∂xi ∂x j dt ∂xi 1 dX ij Dij = 2 dt
张富仓
西北农林科技大学 水利与建筑工程学院
溶质在水体和多孔介质中迁移的研究进展
溶质运移研究的是溶于水体或多孔介质中的溶质运移的过 规律和机理。多孔介质中的液相部分不是纯水， 程、规律和机理。多孔介质中的液相部分不是纯水，是含有 各种无机、有机溶质的溶液。 各种无机、有机溶质的溶液。这些物质在多孔介质中的运移 状况不仅与多孔介质中水的流动有关， 状况不仅与多孔介质中水的流动有关，而且与溶质的性质及 在随水移动过程中所发生的物理、 在随水移动过程中所发生的物理、化学和生物化学过程有密 切关系。因此， 切关系。因此，对溶质运移的研究不仅是土壤物理学研究内 容的一部分，也是土壤化学的研究对象之一。因此， 容的一部分，也是土壤化学的研究对象之一。因此，也可以 说土壤溶质运移所涉及的学科范围， 说土壤溶质运移所涉及的学科范围，是属于土壤学科中土壤 物理和土壤化学两个分支的交叉。 物理和土壤化学两个分支的交叉。从水文和水文地质学科角 则属于土壤水文学或包气带水文学的范畴。 度，则属于土壤水文学或包气带水文学的范畴。从环境科学 角度，则环境土壤或环境水文学的研究对象。 角度，则环境土壤或环境水文学的研究对象。
上式为稳态水流情况下土壤溶质运移的基本方程
∂ (θ C ) ∂J =− ∂t ∂x
qw = vθ
溶质在多孔介质中迁移理论的发展概况
二、溶质运移的研究方法
活塞流（ 活塞流（Piston flow） ）
NaCl溶液
NaCl
水
水
NaCl溶液
NaCl
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
水
水
NaCl溶液
NaCl
溶质在多孔介质中迁移理论的发展概况
dx ∂〈c〉 ∂〈c〉 ∂ 2 〈 c〉 = Dij −〈 i〉 ∂t ∂xi ∂x j dt ∂xi 1 dX ij Dij = 2 dt
地下水水质的数学模拟(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应用
地下水水质的数学模擬(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应
用
地下水水质的数学模拟是地下水地下水水质保护的重要方法之一。
在地下水水质模拟中，水动力弥散方程是一个重要的方程，可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散。
下面是水动力弥散方程的解析解法及其应用:
一、水动力弥散方程的解析解法
1. 欧拉法
欧拉法是一种经典的求解水动力弥散方程的方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个积分方程，然后通过欧拉方法来求解积分方程。
欧拉法的基本思路是将时间域问题转化为频域问题，并使用频率分析方法来求解。
2. 拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日平动理论的解析方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个拉格朗日方程，然后通过拉格朗日方程来求解水动力弥散方程。
拉格朗日法适用于求解非线性水动力弥散方程。
二、水动力弥散方程的应用领域
1. 地下水污染控制
水动力弥散方程可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散，从而帮助人们掌握地下水的污染状况，并为地下水污染控制提供科学的决策支持。
2. 水文地质勘探
水动力弥散方程也可以用来求解水文地质勘探中的勘探参数，从而帮助人们掌握地下水的分布情况，为水文地质勘探提供科学的决策支持。
水动力弥散方程PPT文档48页
谢谢！
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
水动力弥散方程
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风景澈。来自7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
第十章-溶质运移基本理论
第十章 溶质运移基本理论
文章 博士
2012春季学期
wenzhangcau@
第十章 溶质运移基本理论
参考书 （1）杨金忠，蔡树英，王旭升. 地下
水运动数学模型. 科学出版社，2009 （2）陈崇希, 李国敏. 地下水溶质运
移理论及模型.中国地质大学出版社, 1996.
第十章 溶质运移基本理论
水动力弥散系数—尺度效应
目前的研究方法有： （1）确定性方法
从微观尺度研究溶质在空隙介质中运移的物理机制，重新检验对流－ 弥散基本方程的可行性，尤其是空隙介质中引入Fick扩散定律的可靠性。
（2）随机方法 其基本依据是含水层非均的事实。在非均质含水层的物理性质、水力
性质和溶质运移性质按某种随机模型分布的假定下，建立溶质运移随机方 程和水动力弥散系数的表达式。
4、中深部埋藏的咸水对上层淡水的影响的问题；特别是在开采条件下咸淡水的相 互作用规律。如我国华北平原为改造咸水体的“抽咸换淡”问题。 5、水文地球化学找矿；通过研究弥散晕的扩展及运移规律，协助我们找到“污染 源”——金属矿床。 6、土壤盐渍化改造； 7、石油开采问题。一是用水注入油田，将石油从空隙中驱替出来；二是注入可溶 性溶剂，减小石油的粘滞性，将石油和溶剂一起抽出。
u = u' = q / n
α组分的质点流速相对于平均流速有一个偏差，这个偏 差定义为组分质点的质量扩散速度：
uˆα = uα − u
4
基本参数
（5）流体的通量：流体通过单位面积时的流体质量称为质 量通量。用流体的密度和流速的乘积表示。
α组分的质量通量 Jα = ρα uα
α组分相对与溶体质量平均流速的质量扩散通量
M = As /V
As：固体颗粒的总表面积； V：所研究的多孔介质的体积 ；
文章 博士
2012春季学期
wenzhangcau@
第十章 溶质运移基本理论
参考书 （1）杨金忠，蔡树英，王旭升. 地下
水运动数学模型. 科学出版社，2009 （2）陈崇希, 李国敏. 地下水溶质运
移理论及模型.中国地质大学出版社, 1996.
第十章 溶质运移基本理论
水动力弥散系数—尺度效应
目前的研究方法有： （1）确定性方法
从微观尺度研究溶质在空隙介质中运移的物理机制，重新检验对流－ 弥散基本方程的可行性，尤其是空隙介质中引入Fick扩散定律的可靠性。
（2）随机方法 其基本依据是含水层非均的事实。在非均质含水层的物理性质、水力
性质和溶质运移性质按某种随机模型分布的假定下，建立溶质运移随机方 程和水动力弥散系数的表达式。
4、中深部埋藏的咸水对上层淡水的影响的问题；特别是在开采条件下咸淡水的相 互作用规律。如我国华北平原为改造咸水体的“抽咸换淡”问题。 5、水文地球化学找矿；通过研究弥散晕的扩展及运移规律，协助我们找到“污染 源”——金属矿床。 6、土壤盐渍化改造； 7、石油开采问题。一是用水注入油田，将石油从空隙中驱替出来；二是注入可溶 性溶剂，减小石油的粘滞性，将石油和溶剂一起抽出。
u = u' = q / n
α组分的质点流速相对于平均流速有一个偏差，这个偏 差定义为组分质点的质量扩散速度：
uˆα = uα − u
4
基本参数
（5）流体的通量：流体通过单位面积时的流体质量称为质 量通量。用流体的密度和流速的乘积表示。
α组分的质量通量 Jα = ρα uα
α组分相对与溶体质量平均流速的质量扩散通量
M = As /V
As：固体颗粒的总表面积； V：所研究的多孔介质的体积 ；
溶质运移理论-水动力弥散方程的解析解法
式（4-3）通解为
利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
随着Dl或者t的增大，浓度 越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
25
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε =1/2，表示 ε =1/2的点与u同速度推进。
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0；
采用动坐标，令 方程改成 套用基本解，得
利用边界条件确定系数A、B。将（4-45）代入(4-46’)
常微分方程两相异实根r1>0,r2<0，上式右端第二项为 0，且 er1 ，必有A=0
28
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
将边界条件（4-44）代入(4-46’)，考虑A=0，有 故 作关于t的Laplace逆变换
随着Dl或者t的增大，浓度 越来越分散；
曲线在 x处为拐点，
拐点浓度 C 0 .6C 0m7
一维弥散Cmax衰减比二、三 维要慢
22
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
一无限长均质砂柱，速度u做稳定流动，且初试浓 度呈阶梯状分布，数学模型为：
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
讨论一阶的情况，进行积分分解并换元求解得
相对浓度
25
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
由于erfc（0）=1，故x=ut处，相对浓度ε =1/2，表示 ε =1/2的点与u同速度推进。
26
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
坐标轴与数学模型如下：
作关于t的Laplace变换
27
半无限长多孔介质柱体，一端为定浓度边界
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令
则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比 浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当 x 时，C0；
采用动坐标，令 方程改成 套用基本解，得
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程-精选文档
C C x ,y , z , 0 0 x ,y , z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向
某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C
CC e 0
t
C t C e c 0 t
C C div D C u c ij t x x j i
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率 21 或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
即
div u 0 t 若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可 改写为： 多组分流体体系中α div u I 组分的质量守恒方程 t
13
控制方程：质量守恒定理（续）
div u I t
x x , y,z 2
ux
x x , y,z 2
y z t
uy
x, y
y ,z 2
uy
y x z t x, y ,z 2
z x, y,z 2
uz x , y , z z uz 2 x y z
的质量就会发生变化，而且抽水与注水导致源汇项的变
化不同。当抽水时：
I W C n
表示失去的溶质
孔隙率
为抽水点处的溶质浓度
假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为 W。
27
溶质运移理论
水环境与生态工程学（上）
溶质运移理论
几个概念
浓度 C（体积浓度）
——单位体积水体中所含污染物的质量
M C lim V 0 V
单位：mg/L或g/L 量纲：[ML-3]
稀释度 S
——反映纳污水体被污染的程度 S= 1: 未稀释 样品总体积 S 样品中所含污水体积 S=∞: 未污染
例：为水质研究的一项内容，需要评估一种新型荧光染剂的 扩散特性。为完成该任务，需要在实验水箱（h＝40cm）中做 染剂研究。在深度20cm 处释放100g 染剂（在水箱区域内均 匀地扩展）并且观察它随时间的演化。水箱中染剂浓度的垂 直剖面在下图中给出；x 轴代表深度，y 轴代表荧光计读数。 试求：
1 扩散的基本原理
菲克定律（Fick’s law） ——在各向同性的介质中，在一定方向上单位时间内通过
单位面积扩散输运的物质与断面上的浓度梯度成正比，并
且是反梯度方向的。
X 2 C C qx A DA 质量/时间 2 t x x
质量通量
C dA 扩散通量 Dn n
控制体积CV, 表面积CS
2 物质质量守恒原理
应用实例：电厂温排水充分混合后的温升计算
Cd CV nd A D c s c s t cv
C pT d Cp TV n A d D c v c s c s t
2 物质质量守恒原理
未充分混合河段 排放口
2 物质质量守恒原理
应用实例：河流温升梯度计算 在x＝0处，一条浅河从树木茂密的蔽日区域，流入一个开 放的平原中。一旦进入开阔区域（ x>0 ），河流就开始接 收太阳的辐射， Hs ＝ 800J/(s∙m2) 。已知河流从森林中流出 的时候其温度是常温T0，河流深度h＝1m，宽度b＝10m， 流 速 u ＝ 1m/s 。 扩散系数是均匀的和各项同性的 ， D ＝ 0.1m2/s。求解当x>0时，沿河流的温度梯度∂T/∂x。
溶质运移理论
几个概念
浓度 C（体积浓度）
——单位体积水体中所含污染物的质量
M C lim V 0 V
单位：mg/L或g/L 量纲：[ML-3]
稀释度 S
——反映纳污水体被污染的程度 S= 1: 未稀释 样品总体积 S 样品中所含污水体积 S=∞: 未污染
例：为水质研究的一项内容，需要评估一种新型荧光染剂的 扩散特性。为完成该任务，需要在实验水箱（h＝40cm）中做 染剂研究。在深度20cm 处释放100g 染剂（在水箱区域内均 匀地扩展）并且观察它随时间的演化。水箱中染剂浓度的垂 直剖面在下图中给出；x 轴代表深度，y 轴代表荧光计读数。 试求：
1 扩散的基本原理
菲克定律（Fick’s law） ——在各向同性的介质中，在一定方向上单位时间内通过
单位面积扩散输运的物质与断面上的浓度梯度成正比，并
且是反梯度方向的。
X 2 C C qx A DA 质量/时间 2 t x x
质量通量
C dA 扩散通量 Dn n
控制体积CV, 表面积CS
2 物质质量守恒原理
应用实例：电厂温排水充分混合后的温升计算
Cd CV nd A D c s c s t cv
C pT d Cp TV n A d D c v c s c s t
2 物质质量守恒原理
未充分混合河段 排放口
2 物质质量守恒原理
应用实例：河流温升梯度计算 在x＝0处，一条浅河从树木茂密的蔽日区域，流入一个开 放的平原中。一旦进入开阔区域（ x>0 ），河流就开始接 收太阳的辐射， Hs ＝ 800J/(s∙m2) 。已知河流从森林中流出 的时候其温度是常温T0，河流深度h＝1m，宽度b＝10m， 流 速 u ＝ 1m/s 。 扩散系数是均匀的和各项同性的 ， D ＝ 0.1m2/s。求解当x>0时，沿河流的温度梯度∂T/∂x。
溶质运移理论-(三)水动力弥散方程的解析解法-文档资料
23
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
求解思路：
初始浓度的分布视为沿x轴连续分布的瞬 时变强度点源，利用点源基本解积分求取
取浓度坐标与阶梯相重合，线源的坐标用x’表示，有
C表示示踪剂浓度，n为有效 孔隙率；ω 为砂柱横截面积
24
无限长多孔介质砂柱，初试示踪剂呈阶梯函数分布
考虑与u等速的动坐标系，在位于x’处强度为 ' dm C n dx f 的瞬时点源作用下，任意点处的微分浓 度为：
对于式（4-11），令
8
一、基本解
（4-15）
代入（4-15）
讨论并计算得 代入得最终结果
9
一、基本解
（4-20）
空间瞬时点源的解
分析上式得 等浓度面为圆心位于原点处的球面； 浓度空间分布情况如图所示；
10
一、基本解
任何时刻处浓度最大值在原点 随时间增加，原点处浓度减少 由于
或
对于式
19
二、一维水动力弥散问题
此时有
简化成 采取动坐标，令 则
比静止流场多了一个对流项
，让坐标原点跟着流速一起前进
20
二、一维水动力弥散问题
将X、T反变换
21
二、一维水动力弥散问题
与正态分布密度函数对比
浓度曲线出现峰值的x坐标
曲线在点 ut处对称；
当x 时， C 0；
积分得
浓度与y、z无关，实质为一维弥散问题
17
一、基本解-有限空间（平面）问题
' y 对于边界简单的情况，可用反映法转化为无限空 间问题在叠加求解
，相当于水流问题中的隔水边界。假设点(x0,y0) 对半无限含水层中瞬时注入质量为m的示踪剂
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t
divu
I
C t
divC
u
divDm
grad C
I
稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程
应用条件： 1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
15
对流—扩散方程
对于一维流动二维水动力弥散：
C t
x
Dxx
C x
Dxy
10
控制方程：质量守恒定理（续）
α 设 , ux , uy , uz 分别表示 组分密度、x,y,z方向的速度
分量。
ux
x x , y, z 2
ux
x x , y,z 2
yzt
uy
x, y y ,z 2
uy
为边界B2上某点（x， y，z）处的外法线方 向上的单位向量
已知函数， 定义在B2上
32
八、边界条件
第三类边界条件:指已知边界上溶质通量随时间变化 规律的边界条件，或称之为Cauchy边界条件。
已知函数
Cu DgradC n B3 f3x, y, z
孔隙平均流速
33
t
div
u
u
t
div
u
div
u
t
div
u
div
J
u u u
14
控制方程：质量守恒定理+Fick定律
J Dm grad C
七、源汇项：放射性生物化学反应
若研究对象是地下水中某种放射性物质作为示踪剂，
则它的浓度分布受对流和弥散的影响外，还将受到其自身
的放射性衰变的影响。
C C0et
C t
C0et
c
C t
div Dij
C x j
xi
C u c
4
二、水动力弥散
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体
时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓度 区域平均化的现象
5
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
30
八、边界条件
边界条件指的是研究区边界上的溶质浓度分布和变化 情况或边界上流入（或流出）研究区的浓度分布和变化情 况。 主要有以下三类情况：第一类、第二类与第三类。
第一类边界条件：也叫给定浓度边界，即已知边界 上浓分布的边界。
C B1 f1x, y, z,t x, y, z B1,t 0
流体通量J
J
J
9
控制方程：质量守恒定理
在多组分组成的流体体系中任取一点P (x, y, z),以P为中 心取一微小的质量平衡体，其侧面分别平行与3个坐标面， 边长分别为△x、△y、 △z。
质量守恒原理:在时间 △t内，组分α在这个 单元体中的净流出 （或流出）量（暂不 考虑起内部有质量产 生和消失），应等于 这个单元中α组分的 质量变化
I W C n
表示失去的溶质 孔隙率 为抽水点处的溶质浓度
假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为 W。
27
七、源汇项：抽水与注水
当注水时 若向含水层中注入含有示踪剂的水（示踪剂浓度C0）
I
W n
C0
C t
xi
Dij
C x j
xi
Cui
改写为：
t
divu
I
多组分流体体系中α 组分的质量守恒方程
13
控制方程：质量守恒定理（续）
t
divu
I
I 是多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。
I
t
div
u
为B1上的已知函数
为研究区D的第一类边界
31
八、边界条件
第二类边界条件：给定弥散通量边界,指已知边界弥散通 量随时间变化规律的边界条件，或者称之为Neumann 边界条件，
水动力弥散系数
研究区上的第二类边界
D gradC n B2 f2x, y, z,t x, y, z,t B2,t 0
Cx,y,z,0 C0x,y,z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向 某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C （x，y，z）=0。如：在弥散试验时，可将示踪剂注入前浓度分布视 为初始状态。又如设计治理地下污水方案时，可将现状污染物分布 视为初始条件。
ux
x x , y,z 2
ux
x x , y,z 2
/
x
uy
x, y y ,z 2
uy
x, y y ,z 2
/ y
uz
x, y,z z 2
uz
x, y,z z 2
/ z
C y
y
Dyx
C x
Dyy
C y
x
C
ux
I
对于一维流动一维水动力弥散：
C t
x
Dxx
C x
x
C
ux
I
16
六、水动力弥散方程
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
t
12
控制方程：质量守恒定理（续）
再对方程两端取极限，即令 x 0, y 0, z 0, t 0
即有：
ux uy uz
x
y
z
t
即
t
div
u
0
若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可
x, y y , z 2
xzt
uz
x, y,z z 2
uz
x, y, z z 2
xyt
xyz
11
控制方程：质量守恒定理（续）
其中： 经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
将上式左右两端同除以 xyzt 得：
8
五、流体参数
流体的密度
N
N
1
N dm 1 dV
dm
1
dV
dm dV
多相分流体速度 组分流速
N
N
1 N
1
1
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
17
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
18
六、水动力弥散方程
19
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
1） 放射性密度与化学、生物化学反应 2） 吸附与解吸 3） 抽水与注水
20
地下水流溶质运移理论及模型
第一章 水动力弥散的基本概念 第二章 水动力弥散方程
中国地质大学环境学院 2014春
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
（i）对于非均衡吸附作用：
I K f C KrC
吸附作用常数 A A
解析作用常数 A A
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七、源汇项：吸附与解吸
对于均衡吸附作用：
平衡常数
C
C
t
b
C t
b
Kd
C t
对于饱水多孔介质 θ=n=C（孔隙率）
C t
b
n
Kd
C t
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七、源汇项：吸附与解吸
1
b
n
Kd
C t
xi
Dij
C xi
xi
Cui
C t
xi
Dij Rd
C x j
xi
C
ui Rd
Rd
2
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
石油污染物在水体 或含水层中的运移