溶质运移理论水动力弥散数的计算方法
第三章 求解水动力弥散方程的有限差分法2
第三章 求解水动力弥散方程的有限差分法在符合定解条件的情况下，水动力弥散方程的解析解，可求得计算区域任一点的溶质浓度及其随时间的变化，可分析多种因素对溶质运移过程的影响，利用实测资料可反求溶质运移有关参数，还可用以验证数值方法的可靠程度等。
但对于较复杂的初边值条件或非稳定水流运动中的溶质运移问题，一般很难求得解析解。
即使通过一定简化求得解析解，也由于公式过于繁琐以致难以实际应用。
实践中，对这类问题，常用数值方法求解。
求解水动力弥散方程的数值方法，主要有有限差分法和有限单元法。
考虑到前面有关章节对这两种数值方法已做过详细介绍，三、四两章将主要讨论几种对求解水动力弥散方程较为有效和实用的方法第一节 有限差分计算中出现的跳动和数值弥散根据前面章节所述差分法的一般概念，可以直接写出水动力弥散方程的差分方程。
一般情况下，一维弥散问题隐式格式可用追赶法求解，二维弥散问题常用交替方向隐式差分格式（ADI 法）求解。
具体解法与一般地下水运动差分方程的解法类同，此处不再赘述。
但值得注意的问题是，由于对流项的存在和差分过程中截断误差的影响，使水动力弥散问题的一般差分解法常遇到两个数值困难，即跳动（过量）和数值弥散。
所谓跳动是指在浓度峰面处，用数值法求得的相对浓度大于或小于l ；而数值弥散是指在浓度峰面处，数值法求得浓度的曲线形状比实际界面平缓。
为了解释数值跳动和数值弥散产生的原因，现以均质各向同性含水层一维弥散问题为例加以说明]7[。
此时水动力弥散方程为x cv xc D t c ∂∂-∂∂=∂∂22 （3-3-1） 根据差分法的基本概念，可直接写出其相应隐式差分方程为xC C vx C C CD tC C k i k i k i k i k i k i k i∆--∆+-=∆-+-++++++-+2)2(11112111111（3-3-2）式中，1+k iki C C 、分别为时段始、末的结点i 的溶液浓度。
令2x tr ∆∆=，上式整理后为 ki k i i k ii k i i C rC D C B C A 111111=++++++- （3-3-3） 式中，。
溶质运移理论水动力弥散数的计算方法
13
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
实际中，仅用3组数组求出的参数具有一定随机 性甚至失去物理意义，故需要一些列C-t数据。可先 去掉不符合物理意义的数值，再将其余参数算术平均 值即可视作待求参数的近似值。如下表：
14
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
2.直线图解法
（5-23）
15
一、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
若观测孔位于x轴上，（5-23）可简化成
有 改写式子 令
可通过求u来求DL
（5-27）
则
（5-30）
综合（5-27）（5-30）
16
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
通过证明可得出下式（过程略）：
（5-32）
取
（5-32）写成
参数计算的具体步骤 1.从实测的C-t数据序列中找出Cm、tm值，当观测数据 较少时，可先作出C-t曲线后，从曲线上查出Cm、tm值 2.计算两组X、Y，绘在直角坐标系中，两轴比例一致， 17 再量取R
27
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
28
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
参数计算步骤：
（2）若流向不确定 计算方法改变，用（x1，y1）（x2,y2）两个观测孔
解得
29
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
4.弥散晕面积求参法
前面已证
弥散晕为椭圆，圆心为（ut，0），以孔隙平均流速 向前移动，长轴a和短轴b之比 (4-68) 以浓度C为等值线的椭圆面积为
6
一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂
1 2 故 DL x0.1587 x0.8413 8t
若固定x，在不同时刻测定 浓度C，如图，有
7
地下水溶质运移数值模拟弥散问题再探
０ 引 言
求解 地下 水溶 质运 移 问题 的主 要数值 方法 是 有 限
涛。
（．三 峡 大 学 土 木 水 电 学 院 ， 北 宜 昌 ４ ３ ０ ；．西 安 理 工 大学 水 电 学 院 ， 西 西 安 ７０ ４ ；．四 Ｊ 大 学 水 电 学 １ 湖 ４０２２ 陕 １０８３ Ｉ ｌ
［ 摘 要］ 将 水动 力 弥散 方程 用有 限差分 法进 行 离散 后 编程 ， 过一 具 体 实例 验 证其 正 确性 ， 通 使之
ｕ ｕ ｅ ｏ ｅ ｔｏ ｄ ｍ ｉ ａ ｅ ｔ ａ ｓ ｏ ｔ Ｎｅ ｆ ｒ ｘ ｅ ｓ ｖ ｖ ｌ ｅ， ｆｕ ｔ ａ ｉ ｇ ａｎ ｄｉｐ ｒ ｉ ｎ ｈ — ｅ ｎｄ ｒ ｃ ｎｖ ｃ ｉｎ ｏ ｎ ｔ ｄ ｒ ｎ ｐ ｒ ． ｘｔ ｏ ｅ ｃ ｓ ｉ ｅ ａ ｕ ｌ ｃ ｕ ｔｎ ｄ ｓ ｅ ｓｏ ｐ ｅ ｎ ｍｅ ｏｎ，ｉ ｎｔ ｏ ｃ ｓ ｔ ｏ ｏ ｎ ｔｉ ｒ ｄｕ ｅ ｈｅ ｃ ｍｍｏｎ ｍ ｅ ｈｏ ｓ ｏ ｍｐｒ ｖｉｇ ｏ ｌｍ ｉ ｔｎ ｈ ａ ｕ ｓ ｒ ｉｎ，ｐｕｔ ｏ — ｔ ｄ ｆｉ ｏ ｎ ｒ ｅｉ ｎａ ｉ ｇ ｔ ｅ ｖ ｌ ｅｄｉｐｅ ｓｏ ｓｆ ｒ ｗａ ｄ ａ ｎ ｗ ｔ ｏｄ ｗｈｉｈ ｂ ｇ ｎｓｗｉｈ ｔ ｅ ｃ ａ ｇｅ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｏ ａ ｕ ｆｅ ｉ ｔ ｐ，ｔ ｒ ｇ ｈ ｒ ｅ ｍｅ ｈ ｃ ｅ ｉ ｔ ｈ ｈ ｎ ｄ ｃ ａ ａ ｔｒｓ ｉ ｆｖ ｌ ｅ ａ ｔ ｒａ ｔｍｅ ｓｅ ｈ ｏｕ ｈ ｔ ｅ ｓ ｍｅ ｅ ａ ａ ｘ ｍｐｌ ｏ ｐｒ ｅ ｉｓｅ ｅ ｕ ｉｅ，ａ ａ ｔ ｎａｙｚ ｓａ ａ ａ ｓａ ｅ ｅ ｔ ｈｅ ｍｅ ｈ ｄ． ｅ ｔ ｏｖ ｔ ｘ ｃ ｔｖ ｔｌ ｓ ，ａ ｌ ｅ ｄｖ ｎｔ ｇｅ ｎｄ ｄ ｆ ｃ ｓｏｆｔ ｔ ｏ Ｋｅ ｒ ：ｆｎｉｅ ｄｉｆ ｒ ｎ ｅ；ｃ ｎｖ ｃ ｉ ｏ ｉ ｔ ｄ；ｄ ｓ ｒ ｉ ；ｍｐ ｏｖ ｎ ｔ ｄ ｙ ｗｏ ｄｓ ｉ ｔ ｆｅ ｅ ｃ ｏ ｅ ｔｏｎ ｄ ｍ ｎａ ｅ ｉｐｅ ｓｏｎ ｉ ｒ ｉ ｇ ｍｅ ｈｏ ｓ
水动力弥散方程
水动力弥散方程水体中的物质运移和扩散往往会受到水流的影响，因此涉及到水动力弥散方程。
水动力弥散方程是描述物质在水动力作用下在水体中弥散和扩散的方程。
在环境保护、污染防治、水资源利用和水力工程等领域中，水动力弥散方程非常重要。
弥散的基本概念在介绍水动力弥散方程之前，需要先了解一些基本概念。
弥散弥散是指物质在水中因为分子热运动而发生的无规则传递过程。
在水中，物质均呈现出弥散的现象，即物质会沿着水流的方向不断扩散。
扩散扩散是指物质在稳定均匀的介质中自发地运动，使得物质的浓度分布趋于均匀的传递过程。
对流对流是指流体中由于温度等差的非均匀性而引起的流动。
水动力域中，对流一般指水流的流动。
分子扩散分子扩散是指物质在介质中因分子热运动而发生的扩散过程。
水动力弥散方程的构建在水动力弥散方程中，要考虑物质的对流和扩散。
如果仅考虑扩散，则十分简单，其方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}=D\ abla^2c$$其中，c表示物质的浓度，t表示时间，D为扩散系数。
但实际上，流体内部还会存在对流影响，所以在含有对流的情况下，水动力弥散方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}+v\ abla c=D\ abla^2c$$其中，v表示水流的速度。
这个方程告诉我们随着时间的推移，浓度c会发生变化。
变化是由扩散和对流两种机制引起的，从而影响水体中物质的分布情况。
水动力弥散方程的本质意义是用数学语言描述了物质在水动力作用下如何弥散和扩散。
物理解释物理上，扩散作用是由分子的玻尔兹曼方程描述的，而对流作用是由沃滕变换描述的。
弥散过程是扩散和对流两种作用的综合体现。
在弥散过程中，对流所起的作用是将物质从一处地方迅速“输送”到其他地方，从而影响弥散的速率。
对流作用越强，同样的物质浓度分布会更快地发生变化；反之，扩散作用相对于对流影响变弱，则物质的浓度分布变化更缓慢。
溶质运移及其基本微分方程
DD Dh (v) Ds ( )＝Dsh (v, )
4. 水动力弥散 溶质通量
JD
c Dsh (v, ) z
水动力弥散系数既和水的渗透速度有关，又 与土壤含水率有关。其值常需实验确定，或用 经验公式表示之。
二、溶质运移基本方程
由前面的分析可知，溶质总通量为对流通量 与水动力弥散通量之和。即 ：
水动力 弥散
( c) c (qc) [ Dsh (v, ) ] t z z z
对流
该式称为溶质运移的一维对流－弥散型方程。 若考虑介质中溶质的化学、生物变化，则加 入源汇项Se。
( c) c (qc ) [ Dsh (v, ) ] Se t z z z
式中 ： Se为单位时间、单位体积土壤中生 成或消失的溶质质量。
S e S ei S ej
i 1 j 1
n
m
对于二维和三维的溶质运移问题，可将一
维方程扩展，但应注意水动力弥散系数的各向
异性。（横向弥散系数和纵向弥散系数不同）
三、土壤中溶质运移与水分运动的关系
土壤中的溶质运移是以水分运动为基础的。 溶质的对流和机械弥散均与水分运动有关，同时， 溶质势亦是水分运动的驱动力。
一、溶质运移的对流和水动力弥散
1.溶质的对流运移 1）溶质浓度c：单位体积土壤水溶液中所含 有的溶质质量。 2）溶质通量Jc：单位时间内通过土壤单位截 面积的溶质质量。设土壤水分的通量为q， Jc q c 则： 若以 v q 表示土壤水的平均孔隙流速，
为体积含水率，则 Jc v c
Ds ( ) D0
或
Dsb
水率θ和D0，与c 无关。a,α和 b 均为经验常数。
地下水流-热-质(或污染物、示踪剂)迁移数值方法
不可混溶流体
污 染 物
水
不同性质溶体之间无明显的突变界
石油污
油
染物在
含水层
水
中运移
不同性质溶体之间有明显的突变界
4
二、溶质（污染物）运移理论方法
1、可混溶流体迁移机理
对流作用-由于孔隙平均速度引起引起的溶质迁移。 弥散作用-由于浓度梯度作用引起的溶质迁移。包 括分子扩散和机械弥散作用。
5
二、溶质（污染物）运移理论方法
C C n1
n1
i1, j,k i, j,k
x
]zyt
[C n1 i1/ 2,
j,k
vn xi1/ 2,
j,k
C n1 i1/ 2,
j,k
vn xi1/
2,
j
,k
]zyt
[Dyi, j1/ 2,k
C C n1
n1
i, j1,k i, j,k
y
Dyi, j1/ 2,k
C n1 i, j1,k y
1、水动力弥散理论
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
6
二、溶质（污染物）运移理论方法
1、水动力弥散理论：机械弥散原因
1. 同一空隙中不同部位的流速分布不均匀 2. 不同空隙的流速大小不同 3. 固体骨架导致流速分布的不均匀
t tn1 tn 内的质量守恒。均衡区为由连接节
点i，j，k的六条线段的垂直平分面围成的区域。
根据能量守恒原理，可得显示格式：
[x
T T n1
水动力弥散系数
水动力弥散系数一、基本概念在研究地下水溶质运移问题中，水动力弥散系数是一个很重要的参数。
水动力弥散系数是表征在一定流速下，多孔介质对某种污染物质弥散能力的参数，它在宏观上反映了多孔介质中地下水流动过程和空隙结构特征对溶质运移过程的影响。
水动力弥散系数是一个与流速及多孔介质有关的张量，即使几何上均质，且有均匀的水力传导系数的多孔介质，就弥散而论，仍然是有方向性的，即使在各向同性介质中，沿水流方向的纵向弥散和与水流方向垂直的横向弥散不同。
一般地说，水动力弥散系数包括机械弥散系数与分子扩散系数。
当地下水流速较大以致于可以忽略分子扩散系数，同时假设弥散系数与孔隙平均流速呈线性关系，这样可先求出弥散系数再除以孔隙平均流速便可获取弥散度。
分子扩散系数D '与介质的性质有关。
经验证明：T D D d ⋅=' (6-25)式中 d D ——溶质在静水中的分子扩散系数，它主要取决于溶质分子的特性和温度；T ——多孔介质的弯曲度。
机械弥散系数D ''是一个与地下水流速有关的量。
在各向同性介质中，经试验证明为：UU U U D ji T L ij T ij )(ααδα-+='' (6-26)式中 ij δ——Kronecker 记号，当j i =时，1=δ，当j i ≠时，0=δ；L α——纵向弥散度； T α——横向弥散度；U ——地下水实际速度，i U 、j U 为实际速度的分量；二、水动力弥散系数确定的试验方法水动力弥散系数可通过室内或现场弥散试验确定。
弥散系数的计算方法一般分两类：一是利用解析公式直接或间接求解；二是采用标准曲线对比法。
1.一维室内弥散试验测定水动力弥散系数 （1）试验原理以人工配制的均质各向异性岩样，进行示踪剂注入实验。
具体假设及要求如下： ①. 试验流场为均质不可压缩的稳定的一维流场，渗流为定水头补给的一维弥散； ②. 多孔介质是均质的，渗透系数，孔隙度和弥散系数都是常数； ③. 流体是不可压缩的均质液体，密度、粘滞度为常数，温度不变； ④. 试验土柱（或砂柱）及其中之流体，示踪剂的初始浓度为一定值。
考虑弥散系数尺度效应的溶质运移模型研究
摘 要 ： 于 多空介质溶质运 移的基本方程 ， 用ｅ ｃ ） 基 利 ｒ （ 的近似公式反求地下水溶质 运移 的纵 向弥散参数 ， ｉ 分析 了其与 尺度之 间的相关关 系， 并运用分维理论确定 了尺度效应 的分维数 ， 出了弥散 参数的表达 式。 果表 明： 弥散 系数 与 导 结 ①
尺度之 间呈幂相关关 系； 考虑弥散 系数尺度效应的方法可较好地模 拟均质的溶质迁移。 ②
2考虑弥散系数尺度效应的溶质运移模拟为了揭示滨海地带地下水浓度与海水浓度的关系和简化计算考虑稳态情况下的地下水浓度分布即海水与地下水的混合达到了平衡状态此时警o方程变为若不考虑弥散系数尺度效应则dl为一常量方程的解为c菇clc2e瓦考虑仇具有分维性且d
第 ３ 第 １ 期 Ｏ卷 １
２０ ０ ８年 １ １月
关 键 词 ：分 维 理论 ；微 元 法 ；溶 质 运 移 模 型 ；尺 度 效 应 ；弥散 系数 ；地 下 水
中 图分 类 号 ：Ｐ ４ ６１
文 献 标 识码 ： Ａ
文 章 编 号 ：００ １７ （０ ８ ｌ— ０ ００ １０ —３ ９ ２ ０ ） １ ０６ － ３
滨 海 地 区的 地下 水都 会 受 到 海 水 或 多 或 少 的 影 响 ， 是 一 这
下水溶质运移及 同住素水文学。
Ｅ ｉａｌｗ ｎ ｙ ｎ ｓｎ ｈ ｕ ｅ ｕ ｃ － ｉ！ ａ ｇ ｏ ｇｅ ＠ ｈ ． ｄ ． ｎ ｎ
第 １ 期 １
１ ，
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运 移量为Ｆ ：一Ｄ ０， 在 处 和 ＋Ａ ＿， １ － ， ｘ处的运移量 分别 为 Ｆ
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收稿 日期 ：０ ７ １２ ２０ 一ｌ －６
：
一
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有
DL求解步骤：
C x
1.对于固定的时刻t，绘制 C 0 曲
线，定义x0.8413与x0.1587之间距离为e，
因 故ex =0 .25 σ u ,x 0 .8 t4 u 1 3 t ,x 0 .15 u 8 7 t
于是 1 /2 x 0 .15 x 0 8 .87 4 ,而 1 32 D L t
12
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
瞬时投放示踪剂 1.逐点求参法
3个时刻t1、t2、t3对应浓度C1、C2、C3 ，由式
（4-65）
当y=0时，有
（5-16）
联立，
13
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
若只考虑（5-16）式 则
令y=0，由（4-65）导出横向弥散系数
理论上，每3组浓度-时间数据可求出u、DL、DT
(4-68)
以浓度C为等值线的椭圆面积为
(5-61)
31
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
4.弥散晕面积求参法
表明t时刻的一系列浓度与对应的椭圆面积在半对数
14
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
实际中，仅用3组数组求出的参数具有一定随机 性甚至失去物理意义，故需要一些列C-t数据。可先 去掉不符合物理意义的数值，再将其余参数算术平均 值即可视作待求参数的近似值。如下表：
15
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
2.直线图解法
（5-23）
16
一、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
9
一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂
通常在砂柱末端取样测定浓度C，该处还可以测量
水出流的体积V，又
，即
则
10
一、一维水动力弥散-浓度曲线线性化求参
浓度曲线线性化求参 式
可写成
11
t和ζ呈线性关系
一、一维水动力弥散-浓度曲线线性化求参
则绘出其曲线图后，可根据斜率和截距求出弥散系数
运用全部试验资料
18
再量取R
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
3.代入上述公式求DL、u 4.利用不在x轴上的观测孔资料，求出其tm’，根据
(5-23)求出DT
19
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
算例 在某次瞬时投放示踪剂室内弥散试验中，测得一 距投放井80cm且位于x轴上的观测点处的电导率和时 间数据（见课本P62），相应的实测曲线见图5-5
7
一 2 0.1587 0.8413
若固定x，在不同时刻测定 浓度C，如图，有
8
一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂
因为 故
两式相减后取 平方再求解得 一般来说，过渡带宽度和砂柱长相比很小，有
t 0.1587 和 t 0.8413 可由 t 0 .5 代替，此时
溶质运移理论水动力弥散数的计算方法
地下水溶质运移理论及模型
第五章 水动力弥散系数的计算方法
中国地质大学环境学院 2019春
第五章 水动力弥散系数的计算方法
假设： （1）地下水流速较大，可忽略分子扩散系数； （2）弥散系数与孔隙平均流速呈线性关系，可先 求弥散系数再除以孔隙平均流速而获取弥散度或反 之。
参数计算步骤： （1）若已知流向
在注入孔正下游设一取样孔（x1,0）,偏离正下游 设孔（x2，y2）
27
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
参数计算步骤： 1.作lgCD-lgt实测曲线； 2.与标准曲线拟合，得rD1和rD2； 3.根据（5-45）、（5-42）与（5-43），易知
若观测孔偏离流向，会出现弥散度偏低
计算方法： （1）利用解析公式直接或间接求解； （2）采用不标讨准论曲三线维弥对散比的法情况
3
一、一维水动力弥散
利用正态分布函数性质求参 （1）瞬时注入示踪剂 其解为
4
一、一维水动力弥散
DL求解步骤：
1.确定Cmax的值及其对应的数学期望，xut
2.取0.607 Cmax，从浓度曲线上找出拐点位置，求
直线法将高斯浓度 转化为简单直线。 不足： 1.两个观测孔资料，其 中一个位于x轴； 2.转化X、Y数据时，计 算量大
22
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
3.标准曲线法 若分子扩散可忽略，有 式 改成
若y=0（主流线上）
当 时，
因
,故计算得u偏大。
23
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
x是测得Cm的位置，此时
出对应 xu t，求出均方差σ
3.依均方差公式
2DLt，得到
DL
2 4t
利用浓度曲线上出现方差σ的时间t，代入即可。
利用 C20.13C5ma，x 可类似求解出DL C30.01C1max
5
一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂
（2）连续注入示踪剂 其解为
当t较大或者x较长时，
换元，令
得
6
一、一维水动力弥散-连续注入示踪剂
20
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
在表5-2中得出特征数据如下：
根据式
求出X、Y
ρ-t曲线的上升段与下降段分别对应X-Y曲线的两条直 线段。理想情况下，两直线重合，实际中其交角的大小 反映了理论模型与实际模型的偏离程度，分别量取斜率 R1和R2，提出DL和u后平均，再求取DT。
21
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
(5-42) (5-43)
(5-45)
24
(5-46)
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
式中 CD是rD和tD函数，可作标准曲线求参
25
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
由(5-42)得
对给定rD，K为定值。故CD-t与W-tD两
26
曲线相似，可利用曲线拟合求参
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
若观测孔位于x轴上，（5-23）可简化成
有
可通过求u来求DL
改写式子
（5-27）
令
则
（5-30）
综合（5-27）（5-30）
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二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
通过证明可得出下式（过程略）： 取
（5-32）
（5-32）写成 参数计算的具体步骤
1.从实测的C-t数据序列中找出Cm、tm值，当观测数据 较少时，可先作出C-t曲线后，从曲线上查出Cm、tm值 2.计算两组X、Y，绘在直角坐标系中，两轴比例一致，
28
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
29
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
参数计算步骤： （2）若流向不确定
计算方法改变，用（x1，y1）（x2,y2）两个观测孔
解得
30
二、二维水动力弥散-瞬时投放示踪剂
4.弥散晕面积求参法
前面已证
弥散晕为椭圆，圆心为（ut，0），以孔隙平均流速
向前移动，长轴a和短轴b之比