水动力弥散方程
第三章 求解水动力弥散方程的有限差分法2
第三章 求解水动力弥散方程的有限差分法在符合定解条件的情况下，水动力弥散方程的解析解，可求得计算区域任一点的溶质浓度及其随时间的变化，可分析多种因素对溶质运移过程的影响，利用实测资料可反求溶质运移有关参数，还可用以验证数值方法的可靠程度等。
但对于较复杂的初边值条件或非稳定水流运动中的溶质运移问题，一般很难求得解析解。
即使通过一定简化求得解析解，也由于公式过于繁琐以致难以实际应用。
实践中，对这类问题，常用数值方法求解。
求解水动力弥散方程的数值方法，主要有有限差分法和有限单元法。
考虑到前面有关章节对这两种数值方法已做过详细介绍，三、四两章将主要讨论几种对求解水动力弥散方程较为有效和实用的方法第一节 有限差分计算中出现的跳动和数值弥散根据前面章节所述差分法的一般概念，可以直接写出水动力弥散方程的差分方程。
一般情况下，一维弥散问题隐式格式可用追赶法求解，二维弥散问题常用交替方向隐式差分格式（ADI 法）求解。
具体解法与一般地下水运动差分方程的解法类同，此处不再赘述。
但值得注意的问题是，由于对流项的存在和差分过程中截断误差的影响，使水动力弥散问题的一般差分解法常遇到两个数值困难，即跳动（过量）和数值弥散。
所谓跳动是指在浓度峰面处，用数值法求得的相对浓度大于或小于l ；而数值弥散是指在浓度峰面处，数值法求得浓度的曲线形状比实际界面平缓。
为了解释数值跳动和数值弥散产生的原因，现以均质各向同性含水层一维弥散问题为例加以说明]7[。
此时水动力弥散方程为x cv xc D t c ∂∂-∂∂=∂∂22 （3-3-1） 根据差分法的基本概念，可直接写出其相应隐式差分方程为xC C vx C C CD tC C k i k i k i k i k i k i k i∆--∆+-=∆-+-++++++-+2)2(11112111111（3-3-2）式中，1+k iki C C 、分别为时段始、末的结点i 的溶液浓度。
令2x tr ∆∆=，上式整理后为 ki k i i k ii k i i C rC D C B C A 111111=++++++- （3-3-3） 式中，。
【MODFLOW】第二讲 地下水流-热-质(或污染物、示踪剂)迁移数学模型
Dxx
C x
y
Dyy
C y
x
C
ux
y
C uy
I
基本方程
3.含水层中地热迁移规律控制方程
热对流扩散机理
c
T t
x
xx
T x
y
yy
T y
x
cw
wT
ux
y
cwwT uy
f
Fourier定律
基本方程 18
二、溶质运移数学模型：绪论
随着经济的快速发展，地下水被污染的程度日益严 重，并引起了人们的广泛关注，目前仍然存在很多问 题题，迫切需要解决：
在Dupuit 假定下，忽略垂向水流，可以导出潜水二维 流微分方程。考虑一底面边长为dx, dy的潜水含水层柱 体，计算侧向静流入量和垂向补给量，分别有：
X方向流入-流出
(vx (H
Z )y) |x
(vx (H
Z )y) |xx
(vx (H Z )y) x
|
x
y方向流入-流出
(vy (H
Z )x) |y
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
23
二、溶质运移数学模型
1、水动力弥散理论：机械弥散原因
1. 同一空隙中不同部位的流速分布不均匀 2. 不同空隙的流速大小不同 3. 固体骨架导致流速分布的不均匀
（1）
（2）
（3）
地下水质点运动速度的差异是产生水动力弥散的根本原因
x方向流出
( v ) | x (xx, y,z,t) yzt
9
一、地下水运动基本方程
3、三维流基本微分方程（续1）
水动力弥散方程
水动力弥散方程水体中的物质运移和扩散往往会受到水流的影响，因此涉及到水动力弥散方程。
水动力弥散方程是描述物质在水动力作用下在水体中弥散和扩散的方程。
在环境保护、污染防治、水资源利用和水力工程等领域中，水动力弥散方程非常重要。
弥散的基本概念在介绍水动力弥散方程之前，需要先了解一些基本概念。
弥散弥散是指物质在水中因为分子热运动而发生的无规则传递过程。
在水中，物质均呈现出弥散的现象，即物质会沿着水流的方向不断扩散。
扩散扩散是指物质在稳定均匀的介质中自发地运动，使得物质的浓度分布趋于均匀的传递过程。
对流对流是指流体中由于温度等差的非均匀性而引起的流动。
水动力域中，对流一般指水流的流动。
分子扩散分子扩散是指物质在介质中因分子热运动而发生的扩散过程。
水动力弥散方程的构建在水动力弥散方程中，要考虑物质的对流和扩散。
如果仅考虑扩散，则十分简单，其方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}=D\ abla^2c$$其中，c表示物质的浓度，t表示时间，D为扩散系数。
但实际上，流体内部还会存在对流影响，所以在含有对流的情况下，水动力弥散方程为：$$\\frac{\\partial c}{\\partial t}+v\ abla c=D\ abla^2c$$其中，v表示水流的速度。
这个方程告诉我们随着时间的推移，浓度c会发生变化。
变化是由扩散和对流两种机制引起的，从而影响水体中物质的分布情况。
水动力弥散方程的本质意义是用数学语言描述了物质在水动力作用下如何弥散和扩散。
物理解释物理上，扩散作用是由分子的玻尔兹曼方程描述的，而对流作用是由沃滕变换描述的。
弥散过程是扩散和对流两种作用的综合体现。
在弥散过程中，对流所起的作用是将物质从一处地方迅速“输送”到其他地方，从而影响弥散的速率。
对流作用越强，同样的物质浓度分布会更快地发生变化；反之，扩散作用相对于对流影响变弱，则物质的浓度分布变化更缓慢。
地下水动力学概念总结
地下水动力学概念总结---- King Of Black Spider 说明：带下划线的是重点，重点116个，次重点22个，共138个。
第0章地下水动力学：Groundwater dynamics研究地下水在孔隙岩石、裂隙岩石和岩溶（喀斯特）岩石中运动规律的科学，它是模拟地下水流基本状态和地下水中溶质运移过程，对地下水从数量上和质量进行定量评价和合理开发利用，以及兴利除害的理论基础。
主要研究重力水的运动规律。
第1章渗流：Seepage flow是一种代替真实地下水流的、充满整个岩石截面的假想水流，其性质（密度、粘滞性等）与真实地下水相同，充满整个含水层空间（包括空隙空间和岩石颗粒所占据的空间），流动时所受的阻力等于真实地下水流所受的阻力，通过任一断面及任一点的压力或水头均与实际水流相同。
越流：Leakage 当承压含水层与相邻含水层存在水头差时，地下水便会从水头高的含水层流向水头低的含水层的现象。
对于指定含水层来说，水流可能流入也可能流出该含水层。
贮水系数：storativity又称释水系数或储水系数，指面积为一个单位、厚度为含水层全厚度M的含水层柱体中，当水头改变一个单位时弹性释放或贮存的水量，无量纲。
μ* = μs M。
既适用于承压含水层，也适用于潜水含水层。
导水系数：Transmisivity 是描述含水层出水能力的参数；水力坡度等于1时，通过整个含水层厚度上的单宽流量；亦即含水层的渗透系数与含水层厚度之积，T=KM。
它是定义在一维或二维流中的水文地质参数。
单位：m2/d。
非均质介质：如果在渗流场中，所有点不都具有相同的渗透系数，则称该岩层是非均质的。
各向异性介质：渗流场中某一点的渗透系数取决于方向，渗透系数随渗流方向不同而不同。
达西定律：Darcy’s Law 是描述以粘滞力为主、雷诺数Re< 1~10的层流状态下的地下水渗流基本定律，指出渗流速度V与水力梯度J成线性关系，V=KJ，或Q=KAJ，为水力梯度等于1时的渗流速度。
地下水水质的数学模拟(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应用
地下水水质的数学模擬(三)——水动力弥散方程的解析解法及其应
用
地下水水质的数学模拟是地下水地下水水质保护的重要方法之一。
在地下水水质模拟中，水动力弥散方程是一个重要的方程，可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散。
下面是水动力弥散方程的解析解法及其应用:
一、水动力弥散方程的解析解法
1. 欧拉法
欧拉法是一种经典的求解水动力弥散方程的方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个积分方程，然后通过欧拉方法来求解积分方程。
欧拉法的基本思路是将时间域问题转化为频域问题，并使用频率分析方法来求解。
2. 拉格朗日法
拉格朗日法是一种基于拉格朗日平动理论的解析方法。
该方法的主要思想是将水动力弥散方程转化为一个拉格朗日方程，然后通过拉格朗日方程来求解水动力弥散方程。
拉格朗日法适用于求解非线性水动力弥散方程。
二、水动力弥散方程的应用领域
1. 地下水污染控制
水动力弥散方程可以用来模拟地下水的水流和污染物的扩散，从而帮助人们掌握地下水的污染状况，并为地下水污染控制提供科学的决策支持。
2. 水文地质勘探
水动力弥散方程也可以用来求解水文地质勘探中的勘探参数，从而帮助人们掌握地下水的分布情况，为水文地质勘探提供科学的决策支持。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程共34页
若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率
或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。
20
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水动力弥散现象 多孔介质中，当存在两种或两种以上可混溶的流体 时，在流体运动作用下，期间发生过渡带，并使浓 度区域平均化的现象
4
三、 水动力弥散现象
水动力弥散
分子扩散
两部分
机械弥散
由浓度高的方 向向浓度底 的方向运动， 趋于均一
由于微观多孔介质中流 速分布的不均一而引起 的示踪剂（水质点）浓 度在地下水含水层中不 均匀分布的现象。
一、流体类型
可混溶流体 两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存
在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水 入侵地下淡水。（示踪剂） 不可混溶流体
多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空 间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、 水或其它有机物流体。（多相流体）
1
一、流体类型
可混溶流体
不可混溶流体
简化成
（1）
多孔介质中溶质的分子扩散通量
（2）
多孔介质分子扩散系数，数值上小于
溶质的对流量
机械弥散通量
联立上述两式，得
16
六、水动力弥散方程
将所有平均号“-”略去
17
六、水动力弥散方程
18
七、源汇项
源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反 应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组 分质量的速率。
溶质运移理论-(一)水动力弥散的基本概念与弥散方程-精选文档
Fick定律
8
五、流体参数
流体的密度
d m d m dm 1 dV dV dV 1 1
N N N
多相分流体速度
N N
组分流速
1 N
C C x ,y , z , 0 0 x ,y , z
初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时 刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问 题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向
某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C
~
R 1 d
b
n
K d
只是用 R d 去除以水动力弥散系数 D 和流速u，由于Rd 1 ，因 ~ 1 此吸附作用产生的后果，相对于 D 和 u 均减小 R ，起到减缓
d
弥散的作用。所以把 R d 称为：减缓因子。
26
七、源汇项：抽水与注水
如果含水层当中有抽水或注水井，含水层中示踪剂
七、源汇项：吸附与解吸
在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表 面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这 些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合 到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则， 称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。
水
吸附
解吸 (源)
离子交换 (源、汇)
多相流体可混溶流体石油污染物在水体或含水层中的运移不可混溶流体不同性质溶体之间无明显的突变界不同性质溶体之间有明显的突变界惰性示踪剂理想示踪剂两种或不与地下水发生化学反应不与多孔介质发生反应天然示踪剂天然水中的环境同位素人工示踪剂离子化合物有机染料放射性同位素水动力弥散现象多孔介质中当存在两种或两种以上可混溶的流体时在流体运动作用下期间发生过渡带并使浓度区域平均化的现象水动力弥散分子扩散机械弥散由浓度高的方向向浓度底的方向运动趋于均一由于微观多孔介质中流速分布的不均一而引起的示踪剂水质点浓度在地下水含水层中不均匀分布的现象
水动力弥散系数
水动力弥散系数一、基本概念在研究地下水溶质运移问题中，水动力弥散系数是一个很重要的参数。
水动力弥散系数是表征在一定流速下，多孔介质对某种污染物质弥散能力的参数，它在宏观上反映了多孔介质中地下水流动过程和空隙结构特征对溶质运移过程的影响。
水动力弥散系数是一个与流速及多孔介质有关的张量，即使几何上均质，且有均匀的水力传导系数的多孔介质，就弥散而论，仍然是有方向性的，即使在各向同性介质中，沿水流方向的纵向弥散和与水流方向垂直的横向弥散不同。
一般地说，水动力弥散系数包括机械弥散系数与分子扩散系数。
当地下水流速较大以致于可以忽略分子扩散系数，同时假设弥散系数与孔隙平均流速呈线性关系，这样可先求出弥散系数再除以孔隙平均流速便可获取弥散度。
分子扩散系数D '与介质的性质有关。
经验证明：T D D d ⋅=' (6-25)式中 d D ——溶质在静水中的分子扩散系数，它主要取决于溶质分子的特性和温度；T ——多孔介质的弯曲度。
机械弥散系数D ''是一个与地下水流速有关的量。
在各向同性介质中，经试验证明为：UU U U D ji T L ij T ij )(ααδα-+='' (6-26)式中 ij δ——Kronecker 记号，当j i =时，1=δ，当j i ≠时，0=δ；L α——纵向弥散度； T α——横向弥散度；U ——地下水实际速度，i U 、j U 为实际速度的分量；二、水动力弥散系数确定的试验方法水动力弥散系数可通过室内或现场弥散试验确定。
弥散系数的计算方法一般分两类：一是利用解析公式直接或间接求解；二是采用标准曲线对比法。
1.一维室内弥散试验测定水动力弥散系数 （1）试验原理以人工配制的均质各向异性岩样，进行示踪剂注入实验。
具体假设及要求如下： ①. 试验流场为均质不可压缩的稳定的一维流场，渗流为定水头补给的一维弥散； ②. 多孔介质是均质的，渗透系数，孔隙度和弥散系数都是常数； ③. 流体是不可压缩的均质液体，密度、粘滞度为常数，温度不变； ④. 试验土柱（或砂柱）及其中之流体，示踪剂的初始浓度为一定值。
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ux
x x , y,z 2
yzt
uy
x, y y ,z 2
uy
x, y y , z 2
xzt
uz
பைடு நூலகம்
x, y,z z 2
uz
x, y, z z 2
xyt
xyz
其中： ——经过△t时间后，质量均衡体中 的变化量。
将上式左右两端同除以xyzt 得：
ux
x x , y , z 2
ux
x x , y , z 2
x
uy
x, y y , z 2
uy
x, y y , z
2
y
uz
x, y , z z 2
uz
x, y , z z 2
z
t
再对方程两端取极限，即令 x 0, y 0, z 0, t 0
即有：
ux uy uz
2-1 水动力弥散方程的有关参数
2-1-1 流体的密度（ρ）
所谓的流体密度指的是单位流体体积的 质量，常用ρ 表示，量纲[ML-3]。 多组分流体的密度
实际上对于非均质的多组分流体而言， 其密度是随着组成它的各种组分的浓度 不同而变化的。
假设某多组份流体共有N种组分其某一组分称为α ，取该液体中一
div J I
u是α组分的质量通量 u的 对流分量。
J
是α组分的质量通量 u的扩散分量。
对于上有溶质、溶剂两种组分构成的二元体系，α组分在等温
条件（忽略热扩散）相对于质量平均速度 u Fick定律得出：
的扩散通量 J可 依
Dm
J Dm
表示溶质的分子扩散系数：
grad
C t
divC
因此，必须对上述方程的各变量在典型单元体上取平均值，也就 是从微观水平上的研究过渡到比较粗的宏观水平上来研究多孔介 质中所发生的现象。
的质量扩散通量
v J
：
v J
uv
(uv
uv)
对流体体系来说，显然有：
N v
J
0
1
这是因为
N
v J
N
uv uv
N
uv
N
uv
uv uv N
0
1
1
1
1
1
2-2 溶液中α组分的质量守恒方程
（连续介质）
在多组分组成的流体体系中任取一点P(x,y,z),以P为中心取 一微小的质量平衡体（如图2-1），其侧面分别平行与3个坐标面， 边长分别为△ x、△y、 △z，
质量守恒原理:
在时间△t内，组分α 在这个单元体中的净流 出（或流出）量（暂不 考虑起内部有质量产生 和消失），应等于这个 单元中α组分的质量变 化用方程的形式可表示 为：
质量守恒方程（连续介质）
设 , ux , uy , uz 分别表示
α组分密度、x,y,z方向的速度
分量。
ux
x x , y, z 2
浓度定义为单位体积流体某种溶质的质量。
2-1-2 多组分流体的流速 u
对α组每分种的多质组点分流流速体来u看溶—平液—均中是速各指度种在，组也d分v就内的是α速各组度个分是分的不子各相的个等速分的度子。之的和统除计
以分子的个数。
流体体系的质点流速: 流体体系中各组分的质量平均速度 u
一速般u情况是下不，相等α的组，分两的者质存点在流一速个偏u差：与流体体系的质量平均流
u
div
Dm
grad
C
I
——二元体系中α组分的对流—扩散方程
对于低浓度溶液，浓度C的改变并不明显地影响 ，于是
可视为常量，Dm 也可视为常数。则：
J Dm grad C
C t
divC
u
divDm
grad C
I
——稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程
将上述对流—扩散方程加上适当的边界条件和初始条件。即可 用来解决流动的地表水中α组分的分布及变化规律（例如地表水体 中污染物质的迁移）。
x
y
z
t
即
t
divu
0
若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可改写为：
t
div
u
I
——多组分流体体系中α组分 的质量守恒方程
I
—多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化 学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。
上述质量守恒方程中，至少包括 , ux , uy , uz 4个未知变
u u u或 u u u
u 称为α组分质点相对于质量平均速度 u 的扩散速度。
2-1-3 流体的v通量
v J
流体的质量通量 J ：v流J体在单位时u间内通过单位面积的流体的质量
α组分的质量通量 J
J
——单位时间内通过与流体方向垂直的单位
面积 u上的α组分的质量。
ur α组分相对与溶体质量平均流速
量 与
I有有时关可，以如独吸立附给作出用（、如溶抽解、作注用、，示不踪能剂简的单速的率给）定，，但因有此时上也述
方程不能单独求解，还必须引入通量与驱动力之间的关系式，即质
量通量与α组分密度间的关系。
2-3 α组分的对流—扩散方程（连续介质）
在多组分组成的溶体体系中，一种组分的运移受两个因素的驱动：
应用条件： 1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；
2-4 多孔介质中水动力弥散方程
上述对流—扩散方程是对流体连续介质建立的，若从这种微 观水平上来研究多孔介质中的溶质输运，则需把多孔介质的骨架 作为问题的边界。
u 方程中微观变量C、 ，都是相对于流体的质点而言的，而实际
工作中都是取它们在典型单元体上的平均值。
一是受流体的流动的控制，即该组分按平均流速随这个流体体系
的运移， 即对流； 二是该组分的自身分子扩散，即由浓度梯度引起的相对于平均流速
运移的分子扩散。
下面在α组分质量守恒方程基础上建立α组分的对流—扩散方程：
I
t
div
u
t
div
u
u
t
div
u
引入α组分的质量扩散通量
t
divu
Jd则iv上 式可 u写成 ：
第二章 水动力弥散方程
用来描述地下水系统当中溶质运移规律的数学方程 （微分方程）。本章主要内容有： 2-1. 水动力弥散方程的有关参数
1、流体的密度、浓度； 2、多组分流体的流速； 3、流体的通量。
2-2. 溶液中α组分的质量守恒方程 2-3. α组分的的对流—扩散（Fick方程） 2-4. 多孔介质中水动力弥散方程 2-5. 源汇项 2-6. 初始条件与边界条件
体积为dv的微元，其质量为dm，该液体中在dv微元中α组分的质量
为dmα则 α组分的质量密度： dm dv
若将所有N种组分的质量密度进行求和：
N
1 2
N
N dm 1 dv
dm
1
dv
dm dv
就等于该溶体的体系密度。
某一组分的质量的密度：实际上就是水化学中学过的某一组分的浓 度。