高考数学(文)二轮专题复习课件：第1部分 专题八 选考系列4-4、4-5 1-8-2

[ 自我挑战] 2.(2017· 高考全国卷Ⅱ)已知 a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)证明：因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2 3a＋b2 3a＋b3 ＋ 4 (a＋b)＝2＋ 4 ， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
于是 a＝3.
1．用零点区分法解绝对值不等式的步骤： (1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的 不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端 点值． 2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得 代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 3 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、a2、…、 a1＋a2＋…＋an n an 为 n 个正数， 则 ≥ a1a2…an， 当且仅当 a1＝a2＝… n ＝an 时，等号成立．
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 3．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号 成立． a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
1．不等式的证明常利用综合法、分析法、反证法、放缩法、 基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法． 2．证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法： (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再 证明； (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|进行证明； (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
[ 自我挑战] 1.已知函数 f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式 f(x)≥x2－8x＋15 的解集．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5| －3，x≤2， ＝2x－7，2＜x＜5， 3，x≥5. 当 2＜x＜5 时，4＜2x＜10，∴－3＜2x－7＜3. 所以－3≤f(x)≤3.
4．柯西不等式 (1)设 a，b，c，d 为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当 且仅当 ad＝bc 时等号成立． n 2 n 2 n (2)若 ai，bi(i∈N )为实数，则( ∑ ai )( ∑ bi )≥( ∑ aibi)2，当 i ＝ 1 i ＝1 i＝1
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且仅当 bi＝0(i＝1,2， …， n)或存在一个数 k， 使得 ai＝kbi(i＝1,2， …， n)时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则 |a|· |β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
(2)由(1)可知， 当 x≤2 时，f(x)≥x2－8x＋15 的解集为空集； 当 2＜x＜5 时，f(x)≥x2－8x＋15 的解集为{x|5－ 3≤x＜5}； 当 x≥5 时，f(x)≥x2－8x＋15 的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式 f(x)≥x2－8x＋15 的解集为{x|5－ 3≤x≤6}．
毕业论文答辩模板
G R A D U AT I O N T H E S I S
汇报人：安妮
专题八
选考系列(4－4、4－5)
解题必备
解题方略
走进高考
限时规范训练
考点二
不等式选讲
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当 且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
类型一 绝对值不等式的解法 [典例 1] (2017· 安徽合肥高三质量检测)已知函数 f(x)＝|x－a|， 其中 a＞1. (1)当 a＝2 时，求不等式 f(x)≥4－|x－4|的解集； (2) 已 知 关 于 x 的 不 等 式 |f(2x ＋ a) － 2f(x)|≤2 的 解 集 为 {x|1≤x≤2}，求 a 的值．
(2)记 h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)， －2a，x≤0， 则 h(x)＝4x－2a，0＜x＜a， 2a，x≥a. a－1 a＋1 由|h(x)|≤2，解得 2 ≤x≤ 2 . 又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2}， a－1＝1， 2 所以 a＋1 ＝2 ， 2
类型二 不等式的证明 [典例 2] 1 1 设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝a＋b，证明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立．
1 1 a＋b 解：证明：由 a＋b＝a＋b＝ ab ，a＞0，b＞0，得 ab＝1. (1)由基本不等式及 ab＝1，有 a＋b≥2 ab＝2，即 a＋b≥2. (2)假设 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 同时成立，则由 a2＋a＜2 及 a ＞0 得 0＜a＜1； 同理， 0＜b＜1， 从而 ab＜1， 这与 ab＝1 矛盾． 故 a2＋a＜2 与 b2＋b＜2 不可能同时成立．
－2x＋6，x≤2， 解：(1)当 a＝2 时，f(x)＋|x－4|＝2，2＜x＜4， 2x－6，x≥4. 当 x≤2 时，由 f(x)≥4－|x－4| 得－2x＋6≥4， 解得 x≤1； 当 2＜x＜4 时，f(x)≥4－|x－4|无解； 当 x≥4 时，由 f(x)≥4－|x－4|得 2x－6≥4，解得 x≥5； 所以 f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}．