2019年广州市高二水平测试数学试题
2019-2020学年广州市名校数学高二第二学期期末监测试题含解析
2019-2020学年广州市名校数学高二第二学期期末监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数221z ii=+-+所对应的点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】化简复数，找到对应点，判断象限.【详解】复数221232 1z i i i i i=+-=-+-=-+对应点为：(3,2)-在第四象限故答案选D【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.2．有7张卡片分别写有数字1,1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出不同的四位数个数为（）A．78B．102C．114D．120【答案】C【解析】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.详解：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；此时有4424A=种顺序，可以排出24个四位数.②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有233C=种取法，安排在四个位置中，有2412A=种情况，剩余位置安排数字1，可以排出31236⨯=个四位数同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有246C=种情况，剩余位置安排两个2，则可以排出616⨯=个四位数；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，有133C =种取法，安排在四个位置中，有14C 4=种情况，剩余位置安排1，可以排出3412⨯=个四位数，则一共有243636612114++++=个四位数，故选C.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 3．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥【答案】C 【解析】对于A 、B 、D 均可能出现//l β，而对于C 是正确的．4．221x y +=经过伸缩变换23x xy y ''=⎧⎨=⎩后所得图形的焦距（ ）A．B．C ．4 D ．6【答案】A 【解析】 【分析】用x ′，y '表示出x ，y ，代入原方程得出变换后的方程，从而得出焦距． 【详解】由23x x y y ''=⎧⎨=⎩得2 3x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22 149x y ''+=，∴椭圆的焦距为=A ． 【点睛】本题主要考查了伸缩变换，椭圆的基本性质，属于基础题． 5．函数f （x ）＝（x 2﹣2x ）e x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据函数值的正负，以及单调性，逐项验证. 【详解】20()(2,)x x f x x x e e =->，当0x <或2x >时，()0f x >，当02x <<时，()0f x <，选项,A C 不正确，2()(2)x f x x e '=-，令()0,2f x x '==当()0,2f x x '><或2x >当()0,22f x x '<<<()f x 的递增区间是(,2)-∞，2,)+∞，递减区间是(2,2)-，所以选项D 不正确，选项B 正确. 故选:B. 【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的单调性和函数值，属于基础题.6．已知11a =，1()n n n a n a a +=-（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式是 （ ） A ．21n - B ．11()n n n-+ C ．nD ．2n【答案】C 【解析】由()1n n n a n a a +=-，得：()11n n n n a a ++=，11n na a n n+=+ ∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，即111n a a n ==，故n a n =故选C7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，那么表中t 的值为（ ） A ．3 B ．3.15C ．3.5D ．4.5【答案】A 【解析】 【分析】先求出这组数据的样本中心点，样本中心点是用含有t 的代数式表示的，把样本中心点代入变形的线性回归方程，得到关于t 的一次方程，解方程，得到结果． 【详解】 ∵a y bx =-由回归方程知0.350.7y x =-=2.54 4.534560.744t ++++++-⨯，解得t=3， 故选A ． 【点睛】】本题考查回归分析的初步应用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错．8．定义在(1,)+∞ 上的函数f x （）满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x ∈+∞ 恒有22f x f x =（）（） 成立；（2）当(1,2]x ∈ 时，2f x x =-（） ；记函数()()(1)g x f x k x =-- ，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,2) B ．[1,2]C ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f （x ）＝﹣x+2b ，x ∈（b ，2b]，又因为f （x ）＝k （x ﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可 【详解】因为对任意的x ∈（1，+∞）恒有f （2x ）＝2f （x ）成立， 且当x ∈（1，2]时，f （x ）＝2﹣x ；f （x ）＝2（22x-）=4﹣x ，x ∈（2，4]， f （x ）＝4（24x-）=8﹣x ，x ∈（4，8]，…所以f （x ）＝﹣x+2b ，x ∈（b ，2b]．（b 取1，2，4…）由题意得f （x ）＝k （x ﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示只需过（1，0）的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合）k PA 2021-==-2，k PB 404413-==-， 所以可得k 的范围为423k ≤＜ 故选：C ．【点睛】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具． 9．设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <.据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R 都有()(3)f x f x =-，当3(0,)2x ∈时，2()log (3)f x x =+则(2018)(2019)f f +=（ ）A ．3B ．2C ．2-D ．3-【答案】C 【解析】 【分析】根据()(3)f x f x =-得出周期3T =，通过周期和奇函数把(2018)f 化在3(0,)2上，再通过周期和奇函数得()()201900f f ==． 【详解】由()()()(3)3f x f x f x f x =-⇒+=，所以函数的周期3T =因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()(2019)673300f f f =⨯==所以()()()(2018)6733111f f f f =⨯-=-=-因为当3(0,)2x ∈时，2()log (3)f x x =+，所以()21log 42f == 所以(2018)(2019)202f f +=-+=-．选择C 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性质以及周期．若()f x 为奇函数，则()f x 满足：1、()()f x f x -=-，2、定义域包含0一定有()00f =．若函数满足f x Tf x ，则函数周期为T ．属于基础题．11．已知随机变量ξ~B （n ，p ），且E ξ=2.4，D ξ=1.44，则n ，p 值为（ ） A ．8，0.3 B ．6，0.4C ．12，0.2D ．5，0.6【答案】B 【解析】2.40.4(1) 1.446np p np p n ==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩ ，选B. 12．已知0a <，若4(2x 的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（ ） A ．1 B ．8C ．24D ．32【答案】B 【解析】 【分析】通过各项系数和为1，令1x =可求出a 值，于是可得答案. 【详解】根据题意，在4(2x 中，令1x =，则4(2)81a -=，而0a <，故1a =-，所以展开式中常数项为3142=8C ，故答案为B.【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.二、填空题：本题共4小题13．已知直线l 经过点(2,1)P -，且点(1,2)A --到ll 的方程为____ 【答案】250x y -+=或20x y += 【解析】 【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，不成立；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为210kx y k -++=，由点(1,2)A --到l2k =或12k =-，由此能求出直线l 的方程。
广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(wd无答案)
广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题(★★★) 1. 复数z 满足 ，则A ．B ．C ．D ．(★) 2. 已知随机变量 ，那么随机变量 的均值 （）A ．B ．C ．D ．(★) 3. 为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得的结论是：有______把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”附表：A ．B ．C ．D ．(★★) 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （）A ．B ．C ．D ．(★) 5. 设函数 的图象与 轴相交于点 ，则曲线 在点 处的切线方程（）A．B．C．D．(★★) 6. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，我国古代的数学家赵爽创制了一幅“股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成大正方形，若直角三角形中较小的锐角的正切值为，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形概率是（）A．B．C．D．(★★) 7. 现有、、、、五人，随意并排站成一排，那么、相邻且在左边的概率为（）A．B．C．D．(★) 8. 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．(★) 9. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知某三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，正视图如图所示．若该三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．(★★) 11. 在正方体的个顶点中，以任意个顶点为顶点的三棱锥，共有（）A．个B．个C．个D．个(★★★) 12. 设函数是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 某高中的三个年级共名学生，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为的样本．已知高一年级有名学生，高二年级有名学生，则在高三年级应抽取______名学生．(★★★) 14. 在的展开式中，含项的系数是 _______________ . (★★) 15. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为_______．① ② ③ ④三、双空题(★★) 16. 设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的实部为______，虚部为_______．四、解答题(★★) 17. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．(★★★) 18. 如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，求点到平面的距离．(★★) 19. 如图是某地区2000年至2019年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2019年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型①：；根据2010年至2019年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．(★★★★) 20. 如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面 平面 ，如图2．图1图2 （1）证明： 平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．(★★★) 21. 某超市计划在九月订购一种时令水果，每天进货量相同，进货成本每个 元，售价每个元（统一按个销售）．当天未售出的水果，以每个 元的价格当天全部卖给水果罐头厂根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关.如果最高气温不低于 ，需求量为 个；如果最高气温位于区间，需求量为个；如果最高气温低于，需求量为 个．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求九月份这种水果一天的需求量 （单位：个）的分布列．（2）设九月份一天销售这种水果的利润为 （单位：元）．当九月份这种水果一天的进货量（单位：个）为多少时， 的数学期望达到最大值？(★★★) 22. 已知函数．（1）当时，判断函数是否有极值，并说明理由；（2）若函数 有两个极值点 ，，且，证明：．。
2019学年广东广州市高二12月测试数学试卷【含答案及解析】
2019学年广东广州市高二12月测试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知全集，集合，，则（）A．_________ B．______________ C．______________D．2. 已知点，，若向量，则实数（）A．2____________________ B．3________ C．4______________ D．-23. 已知直线过点，且与直线平行，则的方程为（） A．___________ B．______________C．______________ D．4. 已知角的始边为轴的正半轴，点是角终边上的一点，则（）A．-3____________________ B．______________ C. ____________________ D．35. 已知函数，则的值是（）A．1____________________ B．______________ C.-1____________________ D．-26. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A．3____________________ B．4______________ C. 5______________ D．67. 下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（）A．______________ B．______________C. ______________ D．8. 已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A．____________________ B．______________ C.____________________ D．9. 若是函数与的图象交点的横坐标，则属于区间（）A．____________________ B．________ C.______________ D．10. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若，，则______________ B．若，，则___________C. 若，，则______________ D．若，，则11. 在区间上随机取两个数，记为事件“ ”的概率，为事件“ ”的概率，则（）A．______________ B．______________ C.____________________ D．12. 已知数列满足，，则数列的前100项和为（）A．4950____________________ B．5050______________ C.5100____________________ D．二、填空题13. 函数的定义域是__________.14. 函数（其中为常数，）的部分图象如图所示，则 _______.15. 已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，侧棱长为，则这个四棱锥的内切球的表面积为__________.16. 在平面四边形中，，，四个内角的角度比为，则边的长为__________.三、解答题17. 已知向量设 .（1）求函数的对称轴方程；（2）若，求的值.18. 从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率.19. 已知数列满足，且点在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和 .20. 一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.（1）请将字母标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）在长方体中，判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；（3）在长方体中，设的中点为，且，，求证：平面 .21. 已知直线被圆所截得的弦长为8.（1）求圆的方程；（2）若直线与圆切于点，当直线与轴正半轴，轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点的坐标.22. 设函数 .（1）当时，求函数在上的最大值的表达式；（2）当时，讨论函数在上的零点个数.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。
【高中会考】2019年高二数学会考测试题(word版含答案)
2019年高二数学会考测试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,4,6,8A =，{}1,2,3,6,7B =，则=)(B C A U （ ） A ．{}2,4,6,8 B ．{}1,3,7 C ．{}4,8 D ．{}2,6 20y -=的倾斜角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π3．函数y = ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情 况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为（ ） A ．14、12 B ．13、12C ．14、13D ．12、145．在边长为1的正方形ABCD 内随机取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为（ ） A ．4π B ．14π- C ．8π D ．18π- 6．已知向量a 与b 的夹角为120，且1==a b ，则－a b 等于（ ） A ．1 BC ．2D ．37．有一个几何体的三视图及其尺寸如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积．．．为（ ）A ．212cm π B. 215cm π C. 224c m π D. 236cm π 8．若23x <<，12xP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log Q x =，R =P ，Q ，R 的大小关系是（ ）A ．Q P R <<B ．Q R P <<C ．P R Q <<D ．P Q R <<主视图6侧视图图2图19．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的图像如图3所示，则函数)(x f 的解析式是（ ） A ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．10()2sin 116f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 10．一个三角形同时满足：①三边是连续的三个自然数；②最大角是 最小角的2倍，则这个三角形最小角的余弦值为（ ）AB ．34CD ．18 11.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和9S 等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．9 12.函数xe xf x1)(-=的零点所在的区间是（ ） A ．)21,0( B ．)1,21( C ．)23,1( D ．)2,23(二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 13．圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 ．14．如图4，函数()2xf x =，()2g x x =，若输入的x 值为3，则输出的()h x 的值为 .15．设不等式组0,02036x y x y x y -+-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥，表示的平面区域为D ，若直线0kx y k -+=上存在区域D 上的点，则k 的取值范围是 ．图316．若函数()()()2213f x a x a x =-+-+是偶函数，则函数()f x 的单调递减区间为 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若()sin A B +=sin A 的值．18．（本小题满分12分）某校在高二年级开设了A ，B ，C 三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A ，B ，C 三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人） （1）求x ，y 的值；（2）若从A ，B 两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B 的概率．19．（本小题满分12分）如图5，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，点E 是PD 的中点．（1）求证：//PB 平面ACE ；（2）若四面体E ACD -的体积为23，求AB 的长．20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 的前n 项和2n S n =．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．21.（本小题满分12分）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）． （1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值．22.（本小题满分12分）已知函数()213f x ax x a =+-+()a ∈R 在区间[]1,1-上有零点，求实数a 的取值范围．数学试题参考答案及评分标准分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．13．()22225x y ++=（或224210x y y ++-=） 14．915．()0,+∞（或[)0,+∞） 16．122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，三、解答题17．本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力．满分12分． 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=，由角A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+． 解得3B π=．（2）方法1：由()sin 2A B +=，即()sin 2C π-=，得sin 2C =． 所以4C π=或34C π=． 由（1）知3B π=，所以4C π=，即512A π=． 所以5sin sinsin 1246A πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 4646ππππ=+12222=+⨯ 4=．方法2：因为A ，B 是△ABC 的内角，且()sin 2A B +=，所以4A B π+=或34A B π+=． 由（1）知3B π=，所以34A B π+=，即512A π=．以下同方法1．方法3：由（1）知3B π=，所以sin 32A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．即sin cos cos sin 332A A ππ+=．即1sin 22A A +=sin A A =．即223cos 2sin A A A =-+．因为22cos 1sin A A =-， 所以()2231sin 2sin A A A -=-+．即24sin 10A A --=．解得sin A =． 因为角A 是△ABC 的内角，所以sin 0A >．故sin 4A =． 18．本小题主要考查统计与概率等基础知识，考查数据处理能力．满分12分． 解：（1）由题意可得，3243648x y==， 解得2x =，4y =． （2）记从兴趣小组A 中抽取的2人为1a ，2a ，从兴趣小组B 中抽取的3人为1b ，2b ，3b ，则从兴趣小组A ，B 抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共10种．设选中的2人都来自兴趣小组B 的事件为X ，则X 包含的基本事件有()12,b b ，()13,b b ，()23,b b 共3种． 所以()310P X =． 故选中的2人都来自兴趣小组B 的概率为310．19．本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．满分14分．（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，因为ABCD 是正方形，所以点O 是BD 的中点． 因为点E 是PD 的中点，所以EO 是△DPB 的中位线．所以PBEO ．因为EO ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， 所以PB平面ACE ．（2）解：取AD 的中点H ，连接EH ， 因为点E 是PD 的中点，所以EHPA ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以EH ⊥平面ABCD ．设AB x =，则PA AD CD x ===，且1122EH PA x ==． 所以13E ACD ACD V S EH -∆=⨯ 1132AD CD EH =⨯⨯⨯⨯3111262123x x x x ===． 解得2x =．故AB 的长为2．20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分14分． 解：（1）因为数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． 因为数列{}n b 的前n 项和2n S n =．所以当2n ≥时，1n n n b S S -=-()22121n n n =--=-，当1n =时，111211b S ===⨯-，所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-．（2）由（1）可知，1212n n n b n a --=． 设数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ， 则 213572321124822n n n n n T ----=++++++， ① 即111357232122481622n n n n n T ---=++++++， ② ①－②，得2111112111224822n n n n T --=++++++-11121211212n nn -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+-- 2332n n +=-， 所以12362n n n T -+=-．故数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12362n n -+-． 21．本小题主要考查直线与圆、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分． 解：（1）当0k =时，直线方程为y b =，设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由224x b +=，解得12x =，21AB x x =-=所以12S AB b==22422b b +-=≤． 当且仅当b =，即b =S 取得最大值2．（2）设圆心O 到直线2ykx =+的距离为d，则d =．因为圆的半径为2R =，所以2AB ===． 于是241121k S AB d k=⨯===+，即2410k k -+=，解得2k =．故实数k的值为2+2-，2-+2-22．本小题主要考查二次函数、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分14分． 解法1：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，函数()f x 在区间[]1,1-上有零点分为三种情况： ①方程()0f x =在区间[]1,1-上有重根， 令()14130a a ∆=--+=，解得16a =-或12a =． 当16a =-时，令()0f x =，得3x =，不是区间[]1,1-上的零点． 当12a =时，令()0f x =，得1x =-，是区间[]1,1-上的零点． ②若函数()y f x =在区间[]1,1-上只有一个零点，但不是()0f x =的重根， 令()()()114420f f a a -=-≤，解得102a <≤． ③若函数()y f x =在区间[]1,1-上有两个零点，则()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<-<->++-=∆>.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 或()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<-<->++-=∆<.01-,01,1211,01412,02f f a a a a 解得a ∈∅．综上可知，实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．解法2：当0a =时，()1f x x =-，令()0f x =，得1x =，是区间[]1,1-上的零点．当0a ≠时，()213f x ax x a =+-+在区间[]1,1-上有零点⇔()231x a x +=-在区间[]1,1-上有解⇔213x a x -=+在区间[]1,1-上有解． 问题转化为求函数213xy x -=+在区间[]1,1-上的值域． 设1t x =-，由[]1,1x ∈-，得[]0,2t ∈．且()2013ty t =≥-+．而()214132ty t t t==-++-．设()4g t t t =+，可以证明当(]0,2t ∈时，()g t 单调递减． 事实上，设1202t t <<≤，则()()()()121212121212444t t t t g t g t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由1202t t <<≤，得120t t -<，1204t t <<，即()()120g t g t ->． 所以()g t 在(]0,2t ∈上单调递减． 故()()24g t g ≥=．所以()1122y g t =≤-．故实数a 的取值范围为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
2019-2020学年广东省广州市数学高二下期末质量检测试题含解析
2019-2020学年广东省广州市数学高二下期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)2cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（） A ．14- B ．14 C ．12- D ．12【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解.【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)2cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14. 【点睛】 本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题.2．已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0x ≥，都有()()2f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20172018f f -+的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．1 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性转化求解即可．【详解】因为f （x ）是奇函数，且周期为2，所以f （﹣2 017）+f （2 018）=﹣f （2 017）+f （2 018）=﹣f （1）+f （0）．当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x+1），所以f （﹣2 017）+f （2 018）=﹣1+0=﹣1．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．3．设方程2|lg |x x -= 的两个根为12,x x ，则 （ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．1201x x <<【答案】D【解析】【分析】画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案。
2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题及参考答案
广东省广州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
广东省广州市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），n m s =,若任取(),a b A∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2e B．1e C ．e 2e - D ．e 1e- 【答案】C【解析】由题意得，n s e =，则m e =，即0a e <<，01b <<，如图所示，作曲线()101a b b=<<，交直线1,b a e ==于点()11A ，，1,B e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则满足事件1ab >的实验区域为曲边形ABC ，其面积为111112e S e dx e e x ⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭⎰，所以所求概率为221e e P e e --==⨯，故选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入的16n =，则输出的i ，k 的值分别为（ ）A ．3，5B ．4，7C ．5，9D ．6，11【答案】C【解析】 执行第一次循环后，11s =+，2,3i k ==，执行第二次循环后，112316s =+++<，3,5i k ==，执行第三次循环后，11233516s =+++++<，4,7i k ==，执行第四次循环后1123354716s =+++++++>，此时5,9i k ==，不再执行循环体，故选C .点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.3．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．3B ．-6C ．10D ．12【答案】C【解析】 试题分析：当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，； 当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，； 当时，输出． 考点：程序框图．4．一个正方形花圃，被分为5份A 、B 、C 、D 、E ，种植红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花,则不同的种植方法有（ ）．A ．24 种B ．48 种C ．84 种D ．96种【答案】D【解析】【分析】区域A 、C 、D 两两相邻，共有34A 24=种不同的种植方法，讨论区域E 与区域A 种植的花的颜色相同与不同，即可得到结果.【详解】区域A 、C 、D 两两相邻，共有34A 24=种不同的种植方法，当区域E 与区域A 种植相同颜色的花时，种植B 、E 有122⨯=种不同的种植方法，当区域E 与区域A 种植不同颜色的花时，种植B 、E 有212⨯=种不同的种植方法，∴不同的种植方法有()34A 2296⨯+=种， 故选D【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与分析、运算及求解能力，属于中档题． 5．已知i 为虚数单位，若复数1()1ai z a R i -=∈+的实部为-2，则z =（ ） A ．5B ．5C ．13D ．13【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算得到z ，进的得到z . 详解：由题复数()11ai z a R i -=∈+的实部为-2，()()()()()11111,1112ai i a a i ai z i i i -⋅---+-===++⋅-Q 12,5,2a a -∴=-= 则()1123,13.2a a i z i z --+==--∴= 故选C.点睛：本题考查复数的除法运算及复数的模，属基础题.6．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3 【答案】D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差7．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（ ）① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数；A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①【答案】C【解析】分析：根据三段论的一般模式进行排序即可．详解：由题意知，“一切偶数都能被2整除”是大前提，“2018是偶数”是小前提，“2018能被2整除”是结论．故这三句话按三段论的模式排列顺序为②③①．故选C ．点睛：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断．8．由曲线2y x = ，3y x =围成的封闭图形的面积为（ ）A ．13B ．14C ．112D ．712【答案】C【解析】围成的封闭图形的面积为13423100111()()343412x x x x dx -=-=-=⎰，选C. 9．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A ．-55B ．-61C ．-63D ．-73 【答案】D【解析】【分析】令得到所有系数和，再计算常数项为9，相减得到答案.【详解】令，得，而常数项为，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为，故选D.【点睛】 本题考查了二项式系数和，常数项的计算，属于常考题型.10．若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．直线D ．线段【答案】D【解析】【分析】根据复数的几何意义知，复数z 对应的动点P 到,i i -对应的定点12(0,1),(0,1)F F -的距离之和为定值2，且12||2F F =，可知动点的轨迹为线段.【详解】设复数z ，,i i -对应的点分别为12,,P F F , 则由2z i z i ++-=知：12||||2PF PF +=,又12||2F F =，所以动点P 的轨迹为线段1F F .故选D【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，动点的轨迹，属于中档题.11．下列命题正确的是（ ）A ．进制转换：()()210110113=B ．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C ．“若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为真命题D ．若命题p ：0x ∀>，10x ->，则p ⌝：00x ∃≤，010x -≤【答案】A【解析】【分析】根据进制的转化可判断A ，由中位数的概念可判断B ，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【详解】A .()0123211011202121214813=⨯+⨯+⨯+⨯=++=,故正确.B. 样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C . “若1x =，则方程20x x -=”的逆命题为: “方程20x x -=,则1x =”，为假命题，故不正确.D. 若命题p ：0x ∀>，10x ->.则p ⌝：00x ∃>，010x -≤，故不正确.故选：A【点睛】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.12．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种【答案】C【解析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数.详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有214530C C =种；快译通1台和录音机2台，取法有124540C C =种， 根据分类计数原理知共有304070+=种.故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________．【答案】24【解析】【分析】由972S =可得148a d +=，然后根据等差数列的通项公式可得249a a a ++13(4)a d =+24=，即为所求．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则191919()9(28)9(4)7222a a a d S a d ++===+=， ∴148a d +=．∴2491111()(3)(8)3(4)24a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=．故答案为1．【点睛】本题考查等差数列中基本量的运算，解题的关键在于将问题转化为1a 和d 进行处理，属于基础题．14．复数的共轭复数为__________． 【答案】【解析】试题分析：：，则共轭复数为， 考点：复数代数形式的乘除运算． 15．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{}1,2A＝ ，{}2,3B ＝，则()U A B =U ð_______． 【答案】{}4【解析】由{}1,2A =,{}2,3B =得：{}1,2,3A B =U ，则(){}4U C A B ⋃=，故答案为{}4.16．计算123452!3!4!5!6!++++=____． 【答案】719720； 【解析】【分析】根据阶乘的定义：!(1)(2)1n n n n =--L ，计算得到答案.【详解】123452!3!4!5!6!++++ 1234521321432154321654321=++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111123830144=++++ 719720=. 【点睛】本题考查阶乘的计算，考查基本的运算求解能力，要求计算过程耐心、细心，才不会出错.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知曲线()()1x f x e ax =+在1x =处的切线方程为y bx e =-.（Ⅰ）求,a b 值.（Ⅱ）若函数()()3x g x f x e m =--有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】 (Ⅰ)1,3a b e ==；(Ⅱ)0e m -<<【解析】【分析】（Ⅰ）利切点()()1,1f 为曲线()y f x =和直线y bx e =-的公共点，得出()1f b e =-，并结合()1f b '=列方程组求出实数a 、b 的值；（Ⅱ）解法1：由()0g x =，得出()2x m e x =-，将问题转化为直线y m =与曲线()u x =()2x e x -的图象有两个交点时，求出实数m 的取值范围，然后利用导数研究函数()u x =()2x e x -的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数m 的取值范围；解法2：利用导数得出函数()y g x =的极小值为()1g ，并利用极限思想得出当x →-∞时，()g x m →-，结合题意得出()100g m ⎧<⎨->⎩，从而得出实数m 的取值范围．【详解】 （Ⅰ）()()1x f x e ax =+，()()()'11x x x f x e ax e a e ax a =++⋅=++，()()()()12111f e a b f e a b e ⎧=⋅+=⎪∴⎨=⋅+=-'⎪⎩1,3a b e ∴==； （Ⅱ）解法1：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，函数()()2x g x e x m =--有两个零点，相当于曲线()()2x u x e x =⋅-与直线y m =有两个交点.()()()'21x x x u x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,u x <()u x ∴在(),1-∞单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,u x >()u x ∴在()1,+∞单调递增，1x ∴=时，()u x 取得极小值()1u e =-，又x →+∞时，()u x →+∞；2x <时，()0u x <，0e m ∴-<<；解法2：()()()32x x g x f x e m e x m =--=--，()()()'21x x x g x e x e e x =⋅-+=-，当(),1x ∈-∞时，()'0,g x <()g x ∴在(),1-∞上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()'0,g x >()g x ∴在()1,+∞上单调递增，1x ∴=时，()g x 取得极小值()1g e m =--，又x →-∞时，()g x m →-，()100g m ⎧<⎨->⎩0e m ∴-<<.【点睛】 本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．18．设a R ∈,函数21()2x f x e ax =-,()f x '是函数()f x 的导函数, e 是自然对数的底数. (1)当2a =时,求导函数()f x '的最小值;(2)若不等式()2f x ≥对任意1x ≥恒成立,求实数a 的最大值;(3)若函数()f x 存在极大值与极小值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）min ()22ln 2f x =-'（2）24e -（3）(,)e +∞【解析】分析：（1）先求导数，再求导函数的导数为2x e -，求零点，列表分析导函数单调性变化规律，进而确定导函数最小值取法，（2）先变量分离化简不等式2122x e a x-≤，再利用导数研究()()221x e h x x x -=≥单调性，根据单调性确定其最小值，即得实数a 的取值范围，进而得其最大值;（3）函数()f x 存在极大值与极小值，即()f x '存在两个零点，且在零点的两侧异号.先确定导函数()f x '不单调且最小值小于零，即得a e >，再证明a e >时()f x '有且仅有两个零点.详解：解：()xf x e ax '=- （1）当2a =时，()2x f x e x '=-记()()2xg x f x e x ==-' 则()2xg x e '=-，由()0g x '=得ln2x =. 当ln2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减当ln2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增所以当ln2x =时，()min 22ln2g x =-所以()min 22ln2f x =-'（2）由()2f x ≥得2122x e ax -≥，即2122x ax e ≤-因为1x ≥，所以()212*2x e a x-≤. 记()()221x e h x x x -=≥，则()()2422x x e x e x h x x--⨯'= ()324x x e x -+= 记()24x y x e =-+，则()2x x y e x e =+-' ()1x x e =- 因为1x ≥，所以0y '≥且不恒为0所以1x ≥时，y 单调递增，当1x =时，min 40y e =->，所以()()3240x x e h x x '-+=> 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()min 12h x h e ==-因为()*对1x ≥恒成立， 所以122a e ≤-，即24a e ≤- 所以实数a 的最大值为24e -（3）记()()x m x f x e ax ==-'，()xm x e a '=- 因为()f x 存在极大值与极小值，所以()f x '，即()m x 存在两个零点，且()m x 在零点的两侧异号. ①当0a ≤时，()0m x '>，()m x 单调递增，此时()m x 不存在两个零点；②当0a >时，由()0m x '=，得ln x a =当ln x a <时，()0m x '<，()m x 单调递减，当ln x a >时，()0m x '>，()m x 单调递增，所以()()min ln m x m a = ln a a a =-所以()m x 存在两个零点的必要条件为：()ln m a ln 0a a a =-<，即a e > 由a e >时， (ⅰ)记1ln ()y a a e a =->，则2110y a a'=--< 所以当a e >时，1ln y a a=-单调递减， 当a e >时，11ln 10a a e -<-<，所以1ln a a <.所以()m x 在1,ln a a ⎛⎫⎪⎝⎭上，有且只有一个零点. 又()m x 在(),ln a -∞上单调，所以()m x 在(),ln a -∞上有且只有一个零点，记为1x ，由()m x 在(),ln a -∞内单调递减，易得当1x x =时，函数()f x 存在极大值 （ⅱ）记ln ()y a a a e =->，则110y a=->' 所以a e >时，ln 10a a e ->->，所以ln a a >由（1）知2a =时，()2xf x e x =-有()min 22ln20f x =->'所以()f x 在R 上单调递增，所以a e >时, ()220aem a e a e e =->->因为()0m a >且()ln 0m a <，()m x 的图像在()ln ,a a 单调且不间断， 所以()m x 在()ln ,a a 上，有且只有一个零点. 又()m x 在()ln ,a +∞上单调所以()m x 在()ln ,a +∞上有且只有一个零点，记为2x ，由()m x 在()ln ,a +∞内单调递增，易得当2x x =时，函数()f x 存在极小值 综上，实数a 的取值范围为(),e +∞.点睛：导数极值点的讨论层次：一是有无，即没有零点，就没有极值点（导数存在情形下）；二是在与不在，不在定义区间的零点也不是极值点；三是是否变号，导函数不变号的零点也不是极值点.19．1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第n 个数为n a .在图2的杨辉三角中，第()2n n ≥行是()1n a b -+展开式的二项式系数01n C -，11n C -，…，11n n C --，记杨辉三角的前．n 行所有数之和．．．．．．为n T .（1）求n a 和n T 的通项公式；（2）当2n ≥时，比较n a 与n T 的大小，并加以证明.【答案】（Ⅰ）2n a n =，21n n T =-（Ⅱ）n n a T <，证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）由正方形数的特点知2n a n =，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第n 行n 个数的和，由此能求出n a 和n T 的通项公式；（Ⅱ）由24n ≤≤时，n n a T >，5n ≥时，n n a T <，证明：24n ≤≤时，n n a T >时，可以逐个验证；证明5n ≥时，n n a T <时，可以用数学归纳法证明． 【详解】（Ⅰ）由正方形数的特点可知2n a n =；由二项式定理的性质，杨辉三角第n 行n 个数的和为01111112n n n n n n S C C C -----=++⋅⋅⋅+=，所以21121222n n n T S S S -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+21n =-.（Ⅱ）24a =，22213T =-=，所以22a T >；39a =，33217T =-=，所以33a T >；416a =，442115T =-=，所以44a T >； 525a =，552131T =-=，所以55a T <； 636a =，662163T =-=所以66a T <；猜想：当24n ≤≤时，n n a T >；当5n ≥时，n n a T <. 证明如下： 证法1：当24n ≤≤时，已证.下面用数学归纳法证明：当5n ≥时，n n a T <. ①当5n =时，已证： ②假设()*5,n k k k N =≥∈时，猜想成立，即kk aT <，所以221k k <-；那么，()12121221221121k k k k T k ++=-=⋅-=-+>+()22221211k k k k k =++>++=+，所以，当1n k =+时，猜想也成立． 根据①②，可知当5n ≥时，n n a T <. 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求法，以及数学归纳法不等式的证明，其中解答中要认真审题，注意二项式定理和数学归纳法的合理运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．20．从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布如下表： 数据 分组[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5)[27.5,30.5)[30.5,33.5)频数3 8 9 12 10 5 3（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[)27.5,30.5的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布()2,N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 【答案】（1）0.16；（2）22.7；（3）0.1587. 【解析】分析：（1）根据条件得到概率为8P=50；（2）由平均数的概念得到数值；（3）结合第二问得到的均值，以条件中所给的2 22.37S =得到，S=4.73，由()22.7 4.7322.7 4.730.1587P z -<<+=得到结果. 详解：（1）根据频数分布表可知，产品尺寸落在内的概率.（2）样本平均数.（3）依题意.而，，则....即为所求.点睛：这个题目考查了平均数的计算，概率的理解，以及正态分布的应用，正态分布是一种较为理想的分布状态，常见的概率()()()-+-2+2-3+3P z P z P z μσμσμσμσμσμσ<<<<<<，，. 21．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6πα=．（1）写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．【答案】（1）31,2 {(11;2x tt y t=+=+是参数）（2）2【解析】【分析】【详解】（1）直线的参数方程为1cos6{1sin6x ty tππ=+=+，即312{112x ty t=+=+(t为参数)（2）把直线312{112x ty t=+=+代入得22231(1)(1)4,(31)202t t t t+++=++-=122t t=-，则点P到,A B两点的距离之积为222．椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>过点1(3,)2M，且离心率为3．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，过点2(0)P，的直线l与椭圆E相交于两个不同的点A，B，求OA OB⋅u u u v u u u v的取值范围．【答案】（1）2214xy+=；（2）13[1,)4OA OB⋅∈-u u u v u u u v．【解析】分析：（1）根据题意得到a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2)先考虑直线l的斜率不存在时OA OB⋅u u u v u u u v 的值，再考虑当直线l的斜率存在时，OA OB⋅u u u v u u u v的范围，最后综合得到OA OB⋅u u u v u u u v的范围.详解：（1）由题得22222221214, 1.b c a b a a b c =⎪⎪=∴==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩（）所以椭圆的方程为2214x y +=． （2）①当直线l 的斜率不存在时，()()0,1,0,1A B -，所以1OA OB ⋅=-u u u v u u u v． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()()11222,,,,y kx C x y D x y =+，222,1,4y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()221416120k x kx +++=， 由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OA OB x x y y ⋅=+u u u v u u u v ()()21212217124114k x x k x x k=++++=-++， 所以1314OA OB u u u v u u u v -<⋅<，综上131,4OA OB ⎡⎫⋅∈-⎪⎢⎣⎭u u u v u u u v ．点睛：（1）本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力基本计算能力.(2)设直线的方程时，如果涉及斜率，一定要分斜率存在和不存在两种情况讨论，所以本题要先讨论当直线l 的斜率不存在时OA OB ⋅u u u v u u u v的值.。
广东省广州市2019-2020学年高二第二学期期末数学质量检测试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数a b c d 、、、成等差数列,且曲线()ln 2y x x =+-取得极大值的点坐标为(),b c ,则a d +等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．22．将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()cos2g x x =的图象，则ϕ的最小值为（ ）A ．3π B ．6π C ．12πD ．24π3．已知随机变量()2,X B p ，()22,YN σ，若()10.36P X <=，()02P Y p <<=，则()4P Y >=（ ） A ．0.1B ．0.2C ．0.32D ．0.364．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A ．21种B ．315种C ．153种D ．143种5．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A 、B 、C 、D 、E 、F 六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A 或B ，最后一个节目不能排A ，且C 、D 要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种 A ．72B ．84C ．96D ．1206．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡，顾客乙只带了现金，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有（ ）种 A ．19B ．7C ．26D ．127．将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ）A ．3-B ．C ．3±D ．8．复数()21z i =+在复平面内对应的点在（ ） A ．实轴上 B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限9． “若12a ≥，则0x ∀≥，都有()0f x ≥成立”的逆否命题是（ ） A ．0x ∃<有()0f x <成立，则12a < B ．0x ∃<有()0f x ≥成立，则12a <C ．0x ∀≥有()0f x <成立，则12a <D ．0x ∃≥有()0f x <成立，则12a <10．已知定义在R 上的函数()f x 在()2,+∞上单调递增且()00f =，若()2f x +为奇函数，则不等式()0f x <的解集为（）A ．()(),20,4-∞-⋃B ．()0,4C ．()(),20,2-∞- D ．()(),02,4-∞⋃11．执行下面的程序框图，如果输入的9N =，那么输出的S =（ ）A ．11112310+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+B ．11112!3!10!+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ C ．1111239+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+D ．11112!3!9!+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+12．已知函数()2f x +的图像关于直线2x =-对称，且对任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠有()()12120f x f x x x ->-，则使得()()211f x f -<成立的x 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()(),01,-∞⋃+∞C ．()1,1-D ．()(),10,-∞-+∞二、填空题：本题共4小题 13．函数，且是上的减函数，则的取值范围是____.14．已知直线20ax y ++=与双曲线2214y x -=的一条渐近线平行，则这两条平行直线之间的距离是 ．15．已知离散型随机变量ξ服从正态分布(2,1)N，且(3)0.968P ξ<=，则(13)P ξ<<=____.16．已知则______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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秘密★启用前
2019学年度广州市高中二年级学生学业水平测试
数 学
本试卷共4页. 满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定的位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4. 本次考试不允许使用计算器.
5. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A
B 等于
A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 2. cos120︒
的值是
A . 2-
B. 12-
C. 1
2
D. 2 3. 不等式2
230x x --<的解集是
A . ()3,1- B. ()1,3- C. ()
(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞
4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为 A . 8 B. 2 C. 1
2
-
D. 2- 5. 函数sin 2y x =是
A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数
6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为 A . 2 B. 3 C. 4 D. 9
7. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪
--≤⎨⎪+-≥⎩
则2x y +的最大值为
A . 1 B.
5
3
C. 2
D. 3
8. 已知某几何体的三视图如图1所示, 其中俯视图 是腰长为2的等腰梯形, 则该几何体的体积为
A . B.
C.
D.
9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列 结论中正确的是
A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b
C. D. ()+⊥a b b
10. 已知函数(
)1f x =
, 则对任意实数12x x 、
,且1202x x <<<, 都有 A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .
12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公
司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车 比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 14. 已知函数1(0x
y a
a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线 上, 则
12
m n
+的最小值为 . ()()1221x f x x f x <()()1122x f x x f x >()()-⊥+a b a b ()()1221x f x x f x >()
100mx ny mn +-=
>
正视图 侧视图
俯视图
图1
()()1122x f x x f x
<
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分） 编号分别为12312,,,
,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:
（1）完成如下的频率分布表:
（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率.
16．(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3
a b A ===． （1）求sin B 的值； （2）求c 的值.
17．(本小题满分14分)
如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点，
平面PAC ⊥平面ABC ．
（1）在线段AB 上是否存在点E , 使得
的位置,
并加以证明；若不存在, （2）求证：PA BC ⊥.
18. （本小题满分14分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=, 424S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12
111n n T S S S =+++
，求证：34
n T <.
19. （本小题满分14分）
已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，
MN =2.
（1）求圆C 的方程;
（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的
距离为2d , 求 的取值范围.
20. （本小题满分14分） 已知
113
a ≤≤, 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a ,
令()()()g a M a N a =-.
（1）求()g a 的表达式;
（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.
12
1d d -。