九年级数学上册第三章概率的进一步认识单元复习课件北师大版
第5 次
第6 次
第7 次
第8 次
第9 第10 次次
数字 3 5 2 3 3 4 3 5
(1)求前8次的指针所指数字的平均数； (2)小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字 的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能， 计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由． (指针指向盘面等分线时为无效转次．)
发芽m 频率 n
0.9333
0.9600
0.9615
0.9524
0.9521
0.9509
0.9496
0.9500
依据上面的数据可以估计， 这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是___0_.9(结5 果精确到0.01).
13．王强与李刚两位同学在学习概率时，做抛骰子(均匀正方体形状)试验，
他们共抛了54次，出现向上点数的次数如下表：
A．12
B．13
C．14
D．15
7．如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏， 规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色(红与蓝)得 5 分， 否则小刚得 3 分，此规则( A )
A．公平 C．对小刚有利
B．对小明有利 D．公平性不可预测
8．(2019·襄阳)从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b(a＜b)， 1
由树状图知共有 12 种等可能的结果， 恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有 2 种，
∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为122 ＝16
6．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形， 同时转动两个转盘，转盘停止后，
指针所指区域内的数字之和为 4 的概率是( B )
那么点(a，b)在直线y＝2x上的概率是_3___．
9．(2019·潍坊)如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等 份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5.小明打算自由转动转盘10次， 现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：
次数
第1 次
第2 次
第3 次
第4 次
向上点数 出现次数
1
2
3
4
5
6
6
9
5
8
16
10
解：(1)554 ，287 (2)王强的说法错误，因为频率最大并不能说明概率最大， 只有试验的次数很大时，该事件发生的频率才稳定在相应的概率附近； 李刚的说法错误，因为事件发生具有随机性，次数不一定是 100 次 (3)16
男
男
女
女
男
—
男
(男，男)
女
(男，女)
女
(男，女)
(男，男) —
(男，女) (男，女)
(女，男) (女，男)
— (女，女)
(女，男) (女，男) (女，女)
—
由列表得到所有等可能的情况有 12 种，其中恰好抽中一男一女的情况
有 8 种，所以恰好选到 1 名男生和 1 名女生的概率182 ＝23
11．(2019·盘锦)在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其 中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回 盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右， 则a的值约为____3．0
A.1235
B．1225 C．245
D．12
3．(贵港中考)从长为 3，5，7，10 的四条线段中任意选取三条作为边， 能构成三角形的概率是( B )
A．14
B．12
C．34
D．1
4．(2019·河南)现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，
另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同．
12．(2019·柳州)柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下 进行了多项有意义的生物研究并取得成果． 下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下， 对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：
种子 数n
30
75 130 210 480 856 1250 2300
发芽 数m
28
72 125 200 457 814 1187 2185
10．(2019·济南)某学校八年级共400名学生，为了解该年级学生的 视力情况，从中随机抽取40名学生的视力数据作为样本，数据统计如下： 4．2 4.1 4.7 4.1 4.3 4.3 4.4 4.6 4.1 5.2 5．2 4.5 5.0 4.5 4.3 4.4 4.8 5.3 4.5 5.2 4．4 4.2 4.3 5.3 4.9 5.2 4.9 4.8 4.6 5.1 4．2 4.4 4.5 4.1 4.5 5.1 4.4 5.0 5.2 5.3 根据数据绘制了如下的表格和统计图：
等级 A B C
D E 合计
视力(x) x＜4.2 4.2≤x≤4.4 4.5≤x≤4.7
4.8≤x≤5.0 5.1≤x≤5.3
40
频数 4 12 a
10 1
频率 0.1 0.3
b 0.25
根据上面提供的信息，回答下列问题： (1)统计表中的a＝________，b＝________； (2)请补全条形统计图； (3)根据抽样调查结果，请估计该校八年级学生视力为“E级”的有多少人？ (4)该年级学生会宣传部有2名男生和2名女生， 现从中随机挑选2名同学参加“防控近视，爱眼护眼”宣传活动， 请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
(1)请计算出现向上点数为3的频率及出现向上点数为5的频率；
(2)王强说：“根据试验，一次试验中出现向上点数为5的概率最大．”
李刚说：“如果抛540次，那么出现向上点数为6的次数正好是100次．”
请判断王强和李刚说法的对错；
(3)如果继续进行试验，当次数很大时，
你能估计出现向上点数为1的概率是多少吗？
第三章 概率的进一步认识
单元复习(三) 概率的进一步认识
1．(大庆中考)将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次， 则至少出现一次正面向上的概率为( C )
A．14
B．12
C．34
D．23
2．(2019·柳州)小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指， 两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( A )
4
从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是_9___．
5．(2019·贵阳)为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专 业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业(一名研究生，一名本科生)、 历史专业(一名研究生、一名本科生)的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审 核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等．
(1)若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是________： (2)若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法， 求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
解：(1)若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是24 ＝12 ；
故答案为：12 (2)设思政专业的一名研究生为 A、一名本科生为 B， 历史专业的一名研究生为 C、一名本科生为 D，画树状图如图：
解：(1)由题意知C等级的频数a＝8，则C组对应的频率为8÷40＝0.2， ∴b＝1－(0.1＋0.3＋0.2＋0.25)＝0.15，故答案为：8，0.15 (2)D组对应的频数为40×0.15＝6，补全图形如下：
(3)估计该校八年级学生视力为“E级”的有400×0.25＝100(人)
(4)列表如下：
解：(1)前 8 次的指针所指数字的平均数 为18 ×(3＋5＋2＋3＋3＋4＋3＋5)＝3.5 (2)∵这 10 次的指针所指数字的平均数不小于 3.3，且不大于 3.5， ∴后两次指正所指数字和要满足不小于 5 且不大于 7，画树状图如下：
由树状图知共有 16 种等可能结果，其中符合条件的有 9 种结果， 所以此结果的概率为196
合集下载
新北师大版初中数学九年级上册第3章 概率的进一步认识《3.2用频率估计概率》优质课件
如果你们班50个同学中有两个同学的生日相同, 那么说明50个同学中有两个同学的生日相同的概 率是1吗?为什么?
如果你们班50个同学中没有两个同学的生日相 同,那么能说明50个同学中有两个同学的生日相 同的概率是0吗?为什么?
为了说明上述说法正确与否，我们可以通过大量重复试 生
验，用“50 个人中有 2 个人的生日相同”的频率来估 日
类似这样的试验称为模拟试验.
除了用大小相同的12球进行模拟试验外, 你还能想出其它方法吗?
模拟试验
有人说,可以用12个编有号码,大小相同的球代替12种不同的 生肖,这样每个人的生肖就有对应着一个球.
6个人中有两个人的生肖相同,就意味着6个球中有两个球的号 码相同. 因此,可在口袋中放入这样的12个球,从中摸出1个球,记下它 的号码,放回去; 再从中摸出1个球,记下它的号码,放回去; …… 直至摸出第6个球,记下第6个球的号码,为一次试验.
两个人组成一个小组,利用计算器产生1-366之间 的随机数,并记录下来. 每产生50个随机数为一次试验. 每组做5次试验,看看有几次试验中存在2个相同 的整数. 将全班的数据集中起来,估计50个1-366之间的整 数中有2个数相同的概率.
模拟试验
老师有5张电影票,现在要将它们随机分给班上的5 个同学为了保证公正,你能利用计算器帮老师作出 决定吗?
随堂练习
2．一个口袋中有红球、白球共 10 个，这些球除颜色外都 相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记 下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了 100 次球，发现有 69 次摸到红球．请你估计这个口袋中红 球和白球的数量．
数学理解
1．小明和几个同学在课堂上进行摸球试验，大家认为，摸球 的人每次摸球前应当将盒中的球摇一摇，使得每个球被摸到的 可能性相同．但小明有不同想法，他认为，如果连续两次都是 自己摸球，那么他只要在第二次摸球时有意识地避开第一次放 进去的那个球，而随意地摸取其他球，就可以保证每个球被摸 到的可能性相同．你觉得他的想法对吗？为什么？
北师大版初中数学第三章 概率的进一步认识 章末复习课件(共58张PPT)
匀后再摸出一个球 记下颜色, 多次重复后发现 红球出现的频
20 个. 率约为0.2, 那么可以估计暗箱里白球的数量为＿＿＿
第三章 概率的进一步认识
归纳整合
解析: 设暗箱里白球的数量是 n,根据题意,得
������ ������+������
=0.2,解得 n=20.
第三章 概率的进一步认识
归纳整合
第三章 概率的进一步认识
归纳整合
解: (1)根据题意列表如下: 甲乙 -2 3 4 -1 1 2 (-1,-2) (1,-2) (2,-2) (-1,3) (-1,4) (1,3) (2,3) (1,4) (2,4)
由表可知共有 9 种可能出现的结果. (2)由(1)可知两次取出卡片上的数之积为正数的 有 5 种情况,所以其概率为 .
先 看).游戏规则：姐妹俩各转动一次转盘, 两次转动后, 若指
针所指扇形上 的数字之积为偶数, 则姐姐赢；若指针所指扇形
上的数字之积为奇数, 则妹妹赢.这个游戏规则对双方公平 吗？
请利用画树状图或列表法说明理由.
第三章 概率的进一步认识
归纳整合
解 (1)∵转盘被平均分成4份, ∴每份的圆心角的度数是90°, ∴图中标有“1”的扇形至少绕圆心旋转90°才能与标有“4”的扇 形 的起始位置重合.
随机事件发生 的可能性
概率的计算涉及两步或两步以上试验 的随机事件发生的概率
第三章 概率的进一步认识
知识框架 理论计算 方法：①列表；②画树状图 前提：每种结果出现 的可能 性相同
概率的计算
概率的应用：游戏公平性
第三章 概率的进一步认识
归纳整合
专题一 概率的计算
【要点指导】(1) 一般地, 如果在一次试验中, 有n种可能的结 果, 并且它们发生的可能性都相等, 事件A包含其中m种结果, 那 么事件A发生的概率
第三章 概率的进一步认识 课件 北师大版数学九年级上册(20张PPT)
第三章 概率的进一步认识
第三章 复习课
复习目标
1.回顾本章的内容，梳理本章的知识结构，建立有关概率知
识的框架图.
2.知道求概率的一般方法——树状图和列表法.
3.知道试验频率与理论概率的关系；会合理运用概率的思想，
解决生活中的实际问题.
◎重点:会用树状图或列表法计算简单事件的概率，以及用
试验或模拟试验的方法估计复杂事件发生的概率.
时，用列表法.
(3)用树状图或表格求概率的关键:
①各种情况出现的可能性 一定要相同 ；
事件发生的次数 )
②P(A)＝ 各种情况出现的次数 ；
(
③在统计各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时，
要做到不重不漏.
预习导学
4.估计总体数目.
通过试验法估计总体数目的方法:(1) 抽取 法估算总体
数目；(2)用 放入 法估算总体数目.
预习导学
·导学建议·
本节可通过问题的形式引导学生，梳理知识结构，重点关
注以下几个问题:(1)频率与概率的区别；(2)计算概率的两种方
法；(3)概率与统计之间的内在的联系.
合作探究
随机事件的概率计算
1.某市体育中考现场考试内容有三项:50米跑为必测项目，
另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二
(2)小国同学的父亲认为，如果到A处不买，到B处发现比A
处便宜就马上购买，否则到C处购买，这样更有希望买到最低价
格的礼物.这个想法是否正确？试通过树状图分析说明.
解:(1)∵在每一处都有价格最低，最高，较高的可能，
∴P（A处买到最低价格礼物）＝ .
合作探究
(2)作出树状图如下:
第三章 复习课
复习目标
1.回顾本章的内容，梳理本章的知识结构，建立有关概率知
识的框架图.
2.知道求概率的一般方法——树状图和列表法.
3.知道试验频率与理论概率的关系；会合理运用概率的思想，
解决生活中的实际问题.
◎重点:会用树状图或列表法计算简单事件的概率，以及用
试验或模拟试验的方法估计复杂事件发生的概率.
时，用列表法.
(3)用树状图或表格求概率的关键:
①各种情况出现的可能性 一定要相同 ；
事件发生的次数 )
②P(A)＝ 各种情况出现的次数 ；
(
③在统计各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时，
要做到不重不漏.
预习导学
4.估计总体数目.
通过试验法估计总体数目的方法:(1) 抽取 法估算总体
数目；(2)用 放入 法估算总体数目.
预习导学
·导学建议·
本节可通过问题的形式引导学生，梳理知识结构，重点关
注以下几个问题:(1)频率与概率的区别；(2)计算概率的两种方
法；(3)概率与统计之间的内在的联系.
合作探究
随机事件的概率计算
1.某市体育中考现场考试内容有三项:50米跑为必测项目，
另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前屈、1分钟跳绳(二
(2)小国同学的父亲认为，如果到A处不买，到B处发现比A
处便宜就马上购买，否则到C处购买，这样更有希望买到最低价
格的礼物.这个想法是否正确？试通过树状图分析说明.
解:(1)∵在每一处都有价格最低，最高，较高的可能，
∴P（A处买到最低价格礼物）＝ .
合作探究
(2)作出树状图如下:
第三章概率的进一步认识回顾与思考课件
A. 28个 B. 30个 C. 36个 D. 42个
二、典例讲授 9.有两组牌，每组牌都是4张，牌面数字分别是1，2， 3，4，从每组牌中任取一张，求抽取的两张牌的数字 之和等于5的概率，并画出树状图． 解：树状图如图.
共有16种等可能的情况，和为5的情况有4种 ∴P（和为5）=1/4.
二、典例讲授
的概率为（ C）
A.
B.
C.
D.
二、典例讲授
2.一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，
大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，
随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同
的概率是( A)
A. 2
5
B. 3
5
C. 8
25
D. 13
25
二、典例讲授
率是0.25，则本来盒中有白色棋子( C )
A. 8颗
B. 6颗
C. 4颗 D. 2颗
二、典例讲授
8.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允 许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚 向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记 下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，
其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球( A )
二、典例讲授 解：(1)画树状图如下：
共有12种可能出现的方程． (2)∵方程有两个不相等的实数根 ∴Δ＞0，即 a2－4b＞0 ∴a2＞4b
5 P(方程中有两个不相等实根)= 12
二、典例讲授
13.某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了 一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的 扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20 元”“30元”“40元”的字样（如图）. 规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以 转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额 返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了 两次转盘. （1）该顾客最少可得__2_0__元购物券，最多可得__8_0_ 元购物券；
二、典例讲授 9.有两组牌，每组牌都是4张，牌面数字分别是1，2， 3，4，从每组牌中任取一张，求抽取的两张牌的数字 之和等于5的概率，并画出树状图． 解：树状图如图.
共有16种等可能的情况，和为5的情况有4种 ∴P（和为5）=1/4.
二、典例讲授
的概率为（ C）
A.
B.
C.
D.
二、典例讲授
2.一个袋中装有2个黑球3个白球，这些球除颜色外，
大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，
随机的从这个袋子中摸出一个球不放回，再随机的
从这个袋子中摸出一个球，两次摸到的球颜色相同
的概率是( A)
A. 2
5
B. 3
5
C. 8
25
D. 13
25
二、典例讲授
率是0.25，则本来盒中有白色棋子( C )
A. 8颗
B. 6颗
C. 4颗 D. 2颗
二、典例讲授
8.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不允 许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小刚 向其中放入8个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记 下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球400次，
其中88次摸到黑球，估计盒中大约有白球( A )
二、典例讲授 解：(1)画树状图如下：
共有12种可能出现的方程． (2)∵方程有两个不相等的实数根 ∴Δ＞0，即 a2－4b＞0 ∴a2＞4b
5 P(方程中有两个不相等实根)= 12
二、典例讲授
13.某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了 一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的 扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”“20 元”“30元”“40元”的字样（如图）. 规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以 转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额 返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了 两次转盘. （1）该顾客最少可得__2_0__元购物券，最多可得__8_0_ 元购物券；
最新北师大版九年级数学上册第三章概率的进一步认识PPT
当一次试验涉及两 个因素时，且可能 出现的结果较多时， 为不重复不遗漏地 列出所有可能的结 果，通常用列表法
A
B
C DE C DE
H IH IH I H IH IH I A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI
第三章 概率的进一步认识
3.2 用频率估计概率
3.2 用频率估计概率
用列举法求概率的条件是什么?
(1)实验的所有结果是有限个(n) (2)各种结果的可能性相等.
PA m
n
当实验的所有结果不是有限个;或各种可能结果发生 的可能性不相等时.又该如何求事件发生的概率呢?
下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.
根据上表中的数据，在图中标注出对应的点.
1
“正面向上”的
频率 m
n
0.5
100200 300400500600700800900100 0
请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”
的频率有什么规律？
在抛掷一枚硬币时，结果不是“正面向上”就是“反面 向上”，因此，从上面提到的试验中也能得到相应“反面 向上”的频率. 当“正面向上”的频率逐渐稳定到0.5时， “反面向上”的频率呈现什么规律吗？容易看出，“反面 向上”的频率也相应地稳定到0.5，于是我们也用0.5这个 常数表示“反面向上”发生的可能性的大小，至此，试验 验证了我们的猜想：抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面 向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.
当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法 就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果， 通常用树形图
例2.同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率: (1) 三枚硬币全部正面朝上; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; (3) 至少有两枚硬币正面朝上.
北师大版数学九年级上册第三章《概率的进一步认识》单元复习课件
14. 假设鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如
果3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟都为雄鸟的概
1
率为____8___.
课后作业
1.(2023·禅城区校级月考)将分别标有“最”“美”“中 ”“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，
这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅
匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次
1
是乡村公路A的概率为____2___；
（2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选 省级公路的概率．
解：（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中小华两段路程都选省级 公路的结果有1种，
∴小华两段路程都选省级公路的概率为
1 6
.
9. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排拍合影，甲没有
2
站在中间的概率为____3___.
发展历程和文化价值．
1
（1）小明选择“B.雨花石彩绘”项目的概率是___4__；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选
择同一项目采访的概率． 解：（2）依题意，列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同
一项目采访的结果有4种， ∴小明和小刚恰好选择同一项目采访的概率为
4 ＝1 16 4
摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是
()
A
A． 1 B．1
6
8
C．1 4
D．5 16
2．(2023·电白区期中)学校组织学生外出集体劳动时，
为九年级学生安排了三辆车，九年级的小明与小亮都
可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆
车的概率为
A．
1 3
B．
2 3
果3枚鸟卵全部成功孵化，则3只雏鸟都为雄鸟的概
1
率为____8___.
课后作业
1.(2023·禅城区校级月考)将分别标有“最”“美”“中 ”“国”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，
这些小球除汉字以外其他完全相同，每次摸球前先搅
匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次
1
是乡村公路A的概率为____2___；
（2）用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选 省级公路的概率．
解：（2）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，其中小华两段路程都选省级 公路的结果有1种，
∴小华两段路程都选省级公路的概率为
1 6
.
9. 甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排拍合影，甲没有
2
站在中间的概率为____3___.
发展历程和文化价值．
1
（1）小明选择“B.雨花石彩绘”项目的概率是___4__；
（2）用画树状图或列表的方法，求小明和小刚恰好选
择同一项目采访的概率． 解：（2）依题意，列表如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小刚恰好选择同
一项目采访的结果有4种， ∴小明和小刚恰好选择同一项目采访的概率为
4 ＝1 16 4
摸出的球上的汉字组成“中国”的概率是
()
A
A． 1 B．1
6
8
C．1 4
D．5 16
2．(2023·电白区期中)学校组织学生外出集体劳动时，
为九年级学生安排了三辆车，九年级的小明与小亮都
可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则他俩搭乘同一辆
车的概率为
A．
1 3
B．
2 3
北师版九年级数学上册第三章《概率的进一步认识》课件
问题2：通过实验数据,你认为该游戏公平吗？
从上面的试验中我们发现，试验次数较大时， 试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正 面朝上.一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事 件发生的概率.所以，这个游戏不公平，它对小凡比 较有利.
议一议：在上面抛掷硬币试验中，
（1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生 的可能性是否一样？
（2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生 的可能性是否一样？
（3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币 可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如 果第一枚硬币反面朝上呢？
我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果.
树状图
开始
第一枚 硬币
正
反
第二枚 硬币
正
反 正 反
所有可能出 现的结果
共有12中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中2名都是女
生的结果有4种，所以事件A发生的概率为P(A)=
4 12
=
1 3
计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果 总数n和求出事件A发生的结果总数m,“树状图”能帮助我们有 序的思考，不重复，不遗漏地得出n和m.
例2 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲 手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人 中的一人，如此传球三次. (1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式);
1
1 （1,1）
2
（2,1）
3
（3,1）
2 （1,2） （2,2） （3,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3）
解：（1）P（数字之和为4）= 1 . 3
（2）P（数字相等）= 1
3
4.在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后 放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整 除第二次取出的数字的概率是多少？
从上面的试验中我们发现，试验次数较大时， 试验频率基本稳定，而且在一般情况下，“一枚正 面朝上.一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事 件发生的概率.所以，这个游戏不公平，它对小凡比 较有利.
议一议：在上面抛掷硬币试验中，
（1）抛掷第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生 的可能性是否一样？
（2）抛掷第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生 的可能性是否一样？
（3）在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币 可能出现哪些结果？它们发生可能性是否一样？如 果第一枚硬币反面朝上呢？
我们可以用树状图或表格表示所有可能出现的结果.
树状图
开始
第一枚 硬币
正
反
第二枚 硬币
正
反 正 反
所有可能出 现的结果
共有12中结果，且每种结果出现的可能性相等，其中2名都是女
生的结果有4种，所以事件A发生的概率为P(A)=
4 12
=
1 3
计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果 总数n和求出事件A发生的结果总数m,“树状图”能帮助我们有 序的思考，不重复，不遗漏地得出n和m.
例2 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲 手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人 中的一人，如此传球三次. (1)写出三次传球的所有可能结果(即传球的方式);
1
1 （1,1）
2
（2,1）
3
（3,1）
2 （1,2） （2,2） （3,2）
3 （1,3） （2,3） （3,3）
解：（1）P（数字之和为4）= 1 . 3
（2）P（数字相等）= 1
3
4.在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后 放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整 除第二次取出的数字的概率是多少？
北师大版九年级数学课件上册第3章概率的进一步认识
6.用如图的两个转盘(均匀分成五等份)进行“配紫色”游戏，
配成紫色(也就是两个转盘分别转出的一个是红，一个是蓝)
的概率是( A )
A．1235
B．265
C．3265
D．56
综合训练
1．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右
转，如果这三种可能性大小相同，那么经过这个十字路口的
两辆汽车一辆左转、一辆右转的概率是( C )
(C ) A．甲 B．甲和乙 C．丙 D．甲、乙、丙三人赢的机会均等
4．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个不
大于100的正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人
所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写
的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这个游戏
(C ) A．对小明有利
知识要点4 判断游戏的公平性 【例4】甲、乙两人玩游戏，判定游戏公平的标准是( D ) A．游戏的规则由甲方确定 B．游戏的规则由乙方确定 C．游戏的规则由甲、乙双方商定 D．游戏双方要各有50%赢的机会
【例 5】如图，可以自由转动的转盘被 3 等分，指针落在每个 扇形内的机会均等．小明和小华利用这个转盘做游戏，若采 用下列游戏规则，你认为对双方公平吗？请用列表或画树状 图的方法说明理由．
解：列表如下：
123 1 (1,1) (2,1) (3,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3)
所有等可能的情况有 9 种，其中两数之积为偶数的情况有 5 种，两数之积为奇数的情况有 4 种，∴P(小明获胜)＝59，P(小 华获胜)＝49.∵95＞94，∴该游戏不公平.
A．74
B．49
CHale Waihona Puke 92D．912．某次活动课上，要在某个小组中随机挑选2名同学上台表
新北师大版初中数学九年级上册第3章 概率的进一步认识《3.1用树状图或表格求概率》优质课件
回顾与思考
必然事件
不可能事件
不确定事件
可能性 人们通常用1(或100%)来表示必然事件发生
的可能性,用0表示不可能事件发生的可能性.
1
0
2 (50%)
1(100%)
不可能 发生
可能 发生
必然 发生
回顾与思考
概率
概率 事件发生的可能性,也称为事件发生的概率 (probability).
第二枚硬币 正
反
表
第一枚硬币
格
正
(正,正) (正,反)
反
(反,正) (反,反)
由表可知：总共有 4 种等可能结果．
小明获胜的结果有 1 种：（正，正），P(小明获胜)＝
1
;
4
小颖获胜的结果有 1 种：（反，反），P(小颖获胜)＝
1； 4
小凡获胜的结果有
2
种：（正，反）（反，正），P(小凡获胜)＝
1 2
C、1 D、1
6
4
如何画树状图或列表，需注意什么？
注意：拿第2个球时第1个球并没有放回，两次拿的球不可 能是同一个球，列表时要注意“对角线”上的表格就划去。 类似这种“不放回”求概率的尽量画树状图
数学理解
3．小明从一定高度随机掷一枚质地均匀的硬币，他已经 掷了两次硬币，结果都是“正面朝上”．那么，你认为 小明第三次掷硬币时，“正面朝上”与“反面朝上”的 可能性相同吗？如果不同，哪种可能性大？说说你的理 由，并与同伴交流.
93
小明胜小颖的结果有三种：(石头，剪刀)(剪刀，)(布， 石头)，所以小明获胜的概率为 3 1
93
小颖胜小明的结果也有三种：(剪刀，石头)(布，剪
刀)(石头，布)，所以小颖获胜的概率为 3 1
北师大版九年级数学上册《用频率估计概率》概率的进一步认识PPT精品课件
◆问题3
为什么要用投掷硬币的方法呢？ 理由： _这__样__做_公__平___．_能___保__证__小__强__和__小__明__得__到__球__票__的__可__能__性__一__样__大__，___ _即_得__票__概___率__相_同___．_______________________________________
试验者
抛掷次数 n
“正面向上” 次数m
棣莫弗 2048
1061
布 丰 4040
2048
费 勒 10000
4979
皮尔逊 12000
6019
皮尔逊 24000 12012
“正面向上” 频率( ) 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件 发生的频率来估计该事件发生的概率.
活动2
图钉落地的试验 从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？ 其中顶帽着地的可能性大吗？
做做试验来解 决这个问题.
(1)选取20名同学，每位学生依次使图钉从高处落下20次，并根据试验结 果填写下表.
试验累计次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
对于问题(2)， “不一定”的答案．
对于问题(3)，表示怀疑，不太相信．
典例讲解
例1 某篮球队教练记录该队一名主力前锋练习罚篮的结果如下：
练习罚篮次数
30
60 90 150 200 300 400 500
罚中次数
27
45 78 118 161 239 322 401