2020中考数学压轴题专题02 一次方程(组)的含参及应用问题
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数(含答案)
2020年九年级数学典型中考压轴题综合专项训练：一次函数一．选择题（共10小题）1．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（2+2，2）2．如图，△ABC顶点坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（1，4），将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（）A．4B．8C．D．163．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°．则过B、C两点直线的解析式为（）A．y＝x+3B．y＝x+3C．y＝x+3D．y＝x+34．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行．直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点E，F．将菱形ABCD沿x轴向左平移k个单位，当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的值可能是（）A．2B．3C．4D．55．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A，D是x轴上两点，若四边形ABCD 是长方形，且AB：AD＝1：2，则k的值是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．当S△BCD＝时，t的值为（）A．2或2+3B．2或2+3C．3或3+5D．3或3+57．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+D．y＝x+8．如图，点M（﹣3，4），点P从O点出发，沿射线OM方向1个单位/秒匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时，点A 坐标是（）A．（，）B．（，11）C．（2，2）D．（，）9．如图，直线AB：y＝﹣x+9交y轴于A，交x轴于B，x轴上一点C（﹣1，0），D为y 轴上一动点，把线段BD绕B点逆时针旋转120°得到线段BE，连接CE，CD，则当CE 长度最小时，线段CD的长为（）A．B．C．2D．510．如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x＝﹣5与x轴交于点D，直线y＝﹣x﹣与x轴及直线x＝﹣5分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．①C（﹣13，0），E（﹣5，﹣3）；②直线AB的解析式为：y＝x+5；③设面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO，则S＝32；④在求面积的和S＝S△CDE+S四边形ABDO时，琪琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，即S＝S△CDE+S四边形ABDO ＝S△AOC”．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）11．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（0，8），点B坐标为（4，0），点E是直线y＝x+4上的一个动点，若∠EAB＝∠ABO，则点E的坐标为．12．如图，点M是直线y＝2x+3上的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使△MNP为等腰直角三角形，请写出符合条件的点P的坐标．13．如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3．在直线AB上有一点P，若满足∠CPB＞∠ACB，则点P横坐标x的取值范围是．14．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点B的坐标为（4，4），直线y ＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分，则m＝．15．如图，平面直角坐标系中，已知点P（2，2），C为y轴正半轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线OP交于点A，且BD＝4AD，直线CD与直线OP交于点Q，则点Q的坐标为．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），连结AB，点P是线段AB上的一个动点（包括两端点），直线y＝﹣x上有一动点Q，连结OP，PQ，已知△OPQ的面积为，则点Q的坐标为．17．如图，点A、B的坐标分别为（0，2），（3，4），点P为x轴上的一点，若点B关于直线AP的对称点B′恰好落在x轴上，则点P的坐标为．18．平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，与直线x＝4交于点D，直线x＝4与x轴交于点A，点M（3，0），点E为直线x＝4上一动点，点F 为直线y＝﹣x﹣1上一动点，ME+EF最小值为，此时点F的坐标为．19．如图，平面直角坐标系中，已知直线y＝x上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，以PC为边做等腰直角三角形PCD，∠CPD＝90°，PC＝PD，过点D作线段AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y＝x交于点A，且BD＝2AD，连接CD，直线CD与直线y＝x交于点Q，则Q点的坐标是．20．如图，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，AC所在直线的函数表达式是y＝2x+4，若保持AC的长不变，当点A在y轴的正半轴滑动，点C随之在x 轴的负半轴上滑动，则在滑动过程中，点B与原点O的最大距离是．三．解答题（共10小题）21．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（1，a）为坐标系中的一个动点．（1）请直接写出直线l的表达式；（2）求出△ABC的面积；（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于点A（a，0）点，B（0，b），且a、b满足a2﹣4a+4+|2a﹣b|＝0，点P在直线AB的左侧，且∠APB＝45°．（1）求a、b的值；（2）若点P在x轴上，求点P的坐标；（3）若△ABP为直角三角形，求点P的坐标．23．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x 交于点C．（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．①求点C的坐标；②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．24．如图1，已知直线y＝2x+4与y轴，x轴分别交于A，B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式；（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD＝AC，求证BE＝DE；（3）如图3，在（1）的条件下，直线AC交x轴于点M，P（﹣，a）是线段BC上一点，在x轴上是否存在一点N，使△BPN面积等于△BCM面积的一半？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图（a），直线l1：y＝kx+b经过点A、B，OA＝OB＝3，直线12：y＝x﹣2交y轴于点C，且与直线l1交于点D，连接OD．（1）求直线11的表达式；（2）求△OCD的面积；（3）如图（b），点P是直线11上的一动点；连接CP交线段OD于点E，当△COE与△DEP的面积相等时，求点P的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线OA相交于点A（3，4）．（1）求点B和点C的坐标；（2）求△OAC的面积；（3）在线段OA或射线AC上是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由；（4）若点N是线段OC上一点，若将△BCN沿直线BN折叠，点C恰好落在x轴负半轴上的点D处，求BN所在直线的函数关系式．27．如图，直线y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（﹣2，0），且2OA＝OB．（1）求直线AB解析式；（2）如图，将△AOB向右平移6个单位长度，得到△A1O1B1，求线段OB1的长；（3）求（2）中△AOB扫过的面积．28．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A和B的融合点．例如：M（﹣1，8），N（4，﹣2），则点T（1，2）是点M和N的融合点．如图，已知点D（3，0），点E是直线y ＝x+2上任意一点，点T（x，y）是点D和E的融合点．（1）若点E的纵坐标是6，则点T的坐标为；（2）求点T（x，y）的纵坐标y与横坐标x的函数关系式：（3）若直线ET交x轴于点H，当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．29．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+8分别交x轴，y轴于A、B两点，已知A点坐标（6，0），点C在直线AB上，横坐标为3，点D是x轴正半轴上的一个动点，连结CD，以CD为直角边在右侧构造一个等腰Rt△CDE，且∠CDE＝90°．（1）求直线AB的解析式以及C点坐标；（2）设点D的横坐标为m，试用含m的代数式表示点E的坐标；（3）如图2，连结OC，OE，请直接写出使得△OCE周长最小时，点E的坐标．30．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、F、D三点．（1）求直线l1的解析式；（2）如图1，连接CB，当CD⊥AB时，求点D的坐标和△BCD的面积；（3）如图2，当点D在直线AB上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：在y＝﹣x+2中令x＝0，解得：y＝2；令y＝0，解得：x＝2．则OA＝2，OB＝2．∴在直角△ABO中，AB＝＝4，∠BAO＝30°，又∵∠BAB′＝60°，∴∠OAB′＝90°，∴B′的坐标是（2，4）．故选：B．2．【解答】解：如图所示，当△ABC向右平移到△DEF位置时，四边形BCFE为平行四边形，C点与F点重合，此时C在直线y＝2x﹣6上，∵C（1，4），∴FD＝CA＝4，将y＝4代入y＝2x﹣6中得：x＝5，即OD＝5，∵A（1，0），即OA＝1，∴AD＝CF＝OD﹣OA＝5﹣1＝4，则线段BC扫过的面积S＝S平行四边形BCFE＝CF•FD＝16．故选：D．3．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+3中，令x＝0得：y＝3；令y＝0，解得x＝4，∴B的坐标是（0，3），A的坐标是（4，0）．如图，作CD⊥x轴于点D．∵∠BAC＝90°，∴∠OAB+∠CAD＝90°，又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠BAO．在△ABO与△CAD中，，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴OB＝AD＝3，OA＝CD＝4，OD＝OA+AD＝7．则C的坐标是（7，4）．设直线BC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴直线BC的解析式是y＝x+3．故选：A．4．【解答】解：连接AC，BD，交于点Q，过C作y轴垂线，交y轴于点M，交直线EF于点N，如图所示，∵菱形ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），点C在第一象限，对角线BD与x轴平行，∴CQ＝AQ＝1，CM＝2，即AC＝2AQ＝2，∴C（2，2），当C与M重合时，k＝CM＝2；当C与N重合时，把y＝2代入y＝x+4中得：x＝﹣2，即k＝CN＝CM+MN＝4，∴当点C落在△EOF的内部时（不包括三角形的边），k的范围为2＜k＜4，则k的值可能是3，故选：B．5．【解答】解：设长方形的AB边的长为a，则BC边的长度为2a，B点的纵坐标是a，把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式得：x＝，则点B的坐标为（，a），点C的坐标为（+2a，a），把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（+2a），解得：k＝．故选：B．6．【解答】解：根据题意得：∠BAC＝90°，∴∠CAO+∠BAE＝90°，∵BE⊥x轴，∴∠AEB＝90°＝∠AOC，∴∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠CAO＝∠ABE．∴△CAO∽△ABE．∴＝，∵M是AC的中点，AB＝AM，∴CA＝2AB，∴＝，∴BE＝t，AE＝2．分两种情况：①当0＜t＜8时，如图1所示：S＝CD•BD＝（2+t）（4﹣）＝解得：t1＝t2＝3．②当t＞8时，如图2所示，S＝CD•BD＝（2+t）（﹣4）＝．解得：t1＝3+5，t2＝3﹣5（不合题意，舍去）．综上所述：当t＝3或3+5时，S＝；故选：D．7．【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC ⊥OC于C，∵正方形的边长为1，∴OB＝3，∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，∴三角形ABP面积是8÷2+1＝5，∴BP•AB＝5，∴AB＝2.5，∴OA＝3﹣2.5＝0.5，由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）设直线方程为y＝kx+b，则，解得．∴直线l解析式为y＝x+．故选：A．8．【解答】解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，设直线OM的解析式为y＝kx，直线AC的解析式为y＝k′x+b，∵点M（﹣3，4），∴4＝﹣3k，∴k＝﹣，∵四边形ABCO是正方形，∴直线AC⊥直线OM，∴k′为，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°∴∠COE＝∠OAD，在△COE和△OAD中，∴△COE≌△OAD（AAS），∴CE＝OD，OE＝AD，设A（a，b），则C（﹣b，a），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴解得m＝，∴＝，整理得，b＝7a，∵正方形面积为128，∴OA2＝128，在RT△AOD中，AD2+OD2＝OA2，即（7a）2+a2＝128，解得，a＝，∴b＝7a＝7×＝，∴A（，），故选：D．9．【解答】解：如图，设D（0，m）．由题意：B（5，0）．在BD的下方作等边三角形△BDQ，延长DQ到M，使得QM＝DQ，连接BM，DE，DE 交BQ于点N，作MH⊥x轴于H．∵△BDQ是等边三角形，∴∠DQB＝∠DBQ＝60°，∵QM＝BQ，∴∠QMB＝∠QBM，∵∠DQB＝∠QMB+∠BQM，∴∠QMB＝∠QBM＝30°，∴∠DBM＝90°，∴BM＝BD，∵∠DBO+∠ODB＝90°，∠DBO+∠MBH＝90°，∴∠MBH＝∠BDO，∵∠DOB＝∠MHB＝90°，∴△DOB∽△BHM，∴＝＝＝，∵OD＝m，OB＝5，∴BH＝m，MH＝5，∴M（5﹣m，﹣5），∵MQ＝DQ，∴Q（，），∵∠DBE＝120°，∴∠DBN＝∠EBN＝60°，∴DE⊥BQ，DN＝NE，QN＝BN，∴N（，），E（，），∴CE2＝（）2+（）2＝m2﹣6m+91，∴当m＝﹣＝3时，CE的值最小，此时D（0，3），∴CD＝＝2，故选：C．10．【解答】解：∵在直线y＝﹣x﹣中，令y＝0，则有0＝﹣x﹣，∴x＝﹣13，∴C（﹣13，0），令x＝﹣5，则有y＝﹣×（﹣5）﹣＝﹣3，∴E（﹣5，﹣3），故①正确；∵点B，E关于x轴对称，∴B（﹣5，3），∵A（0，5），∴设直线AB的解析式为y＝kx+5，∴﹣5k+5＝3，∴k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+5．故②错误；由①知，E（﹣5，﹣3），∴DE＝3，∵C（﹣13，0），∴CD＝﹣5﹣（﹣13）＝8，∴S△CDE＝CD×DE＝12，由题意知，OA＝5，OD＝5，BD＝3，∴S四边形ABDO＝（BD+OA）×OD＝20，∴S＝S△CDE+S四边形ABDO＝12+20＝32，故③正确；④由③知，S＝32，在△AOC中，OA＝5，OC＝13，∴S△AOC＝OA×OC＝32.5，∴S△CDE+S四边形ABDO＝12+20≠S△AOC．故④错误．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．二．填空题（共10小题）11．【解答】解：当点E在y轴右侧时，如图1，连接AE，∵∠EAB＝∠ABO，∴AE∥OB，∵A（0，8），∴E点纵坐标为8，又E点在直线y＝x+4上，把y＝8代入可求得x＝4，∴E点坐标为（4，8）；当点E在y轴左侧时，过A、E作直线交x轴于点C，如图2，设E点坐标为（a，a+4），设直线AE的解析式为y＝kx+b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝x+8，令y＝0可得x+8＝0，解得x＝，∴C点坐标为（，0），∴AC2＝OC2+OA2，即AC2＝（）2+82，∵B（4，0），∴BC2＝（4﹣）2＝（）2﹣+16，∵∠EAB＝∠ABO，∴AC＝BC，∴AC2＝BC2，即（）2+82＝（）2﹣+16，解得a＝﹣12，则a+4＝﹣8，∴E点坐标为（﹣12，﹣8）．方法二：设C（m，0），∵∠ACB＝∠CBA，∴AC＝BC，∴（4﹣m）2＝m2+82，解得m＝﹣6，∴直线AE的解析式为y＝x+8，由，解得．∴E（﹣12，﹣8）．综上可知，E点坐标为（4，8）或（﹣12，﹣8）．故答案为：（4，8）或（﹣12，﹣8）．12．【解答】解：当M运动到（﹣1，1）时，ON＝1，MN＝1，∵MN⊥x轴，所以由ON＝MN可知，（0，0）和（0，1）就是符合条件的两个P点；又∵当M运动到第三象限时，要MN＝MP，且PM⊥MN，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），解得x＝﹣3，所以点P坐标为（0，﹣3）．如若MN为斜边时，则∠ONP＝45°，所以ON＝OP，设点M（x，2x+3），则有﹣x＝﹣（2x+3），化简得﹣2x＝﹣2x﹣3，这方程无解，所以这时不存在符合条件的P点；又∵当点M′在第二象限，M′N′为斜边时，这时N′P＝M′P，∠M′N′P＝45°，设点M′（x，2x+3），则OP＝ON′，而OP＝M′N′，∴有﹣x＝（2x+3），解得x＝﹣，这时点P的坐标为（0，）．综上，符合条件的点P坐标是（0，0），（0，），（0，﹣3），（0，1）．故答案为：（0，0），（0，1），（0，），（0，﹣3）．13．【解答】解：如图所示：过点P1作P1E⊥x轴于点E，∵一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC＝3，∴AO＝BO＝1，则BC＝2，AC＝，AB＝，当∠CP1B＝∠ACB时，又∵∠CAB＝∠CAP1，∴△CAB∽△P1AC，∴＝，则＝，解得：AP1＝5，则AE＝P1E＝5，故P1（﹣4，5），当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：﹣4＜x，同理可得：当∠CP2B＝∠ACB时，又∵∠ABC＝∠P2BC，∴△CAB∽△P2CB，∴＝，则＝，解得：BP2＝2，可得P2（2，﹣1），故当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：2＞x，综上所述：﹣4＜x＜2且x≠0．故答案为：﹣4＜x＜2且x≠0．14．【解答】解：∵直线y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面积分成相等的两部分∴直线必经过正方形的中心∵点B的坐标为（4，4）∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m﹣2，m＝215．【解答】解：过点P作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．∵AB⊥OB，∴∠OBF＝∠EOB＝∠FEO＝90°，∴四边形EOBF是矩形，∵P（2，2），∴OE＝PE＝BF＝2，∵∠CPD＝90°，∴∠CPE+∠DPF＝90°，∠ECP+∠CPE＝90°，∴∠ECP＝∠DPF，在△CPE和△PDF中，，∴△CPE≌△PDF（AAS），∴DF＝PE＝2，∴BD＝BF+DF＝4，∵BD＝4AD，∴AD＝1，AB＝OB＝5，∴CE＝PF＝3，∴D（5，4），C（0，5），设直线CD的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+5，由解得，∴点Q的坐标为（，）．故答案为（，）．16．【解答】解：方法一：∵点Q在直线y＝﹣x上，∴设点Q的坐标为（m，﹣m）．∵点A的坐标是（0，2），点B的坐标是（2，0），∴△AOB为等腰直角三角形，点O（0，0）到AB的距离h＝OA＝．设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵点A（0，2），点B（2，0）在直线AB上，∴有，解得．即直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵直线y＝﹣x+2与y＝﹣x平行，∴点P到底OQ的距离为（平行线间距离处处相等）．∵△OPQ的面积S△OPQ＝OQ•h＝OQ＝，∴OQ＝2．由两点间的距离公式可知OQ＝＝2，解得：m＝±，∴点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．故答案为：（，﹣）或（﹣，）．方法二：当P点与A重合时，则△OPQ底OP为2，∵△OPQ的面积为，∴△OPQ的高为，即点Q的横坐标为﹣，∵点Q在直线y＝﹣x上，∴点Q的坐标为（﹣，）；当P点与B重合时，同理可求出点Q的坐标为（，﹣）．综上即可得出点Q的坐标为（，﹣）或（﹣，）．17．【解答】方法一：解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b，把A（0，2），B（3，4）代入得：，解得：k＝，b＝2，∴直线AB的解析式为：y＝x+2；∵点B与B′关于直线AP对称，设B′坐标为（a，0）∴线段BB′的中点坐标为（，2）∵线段BB′的中点在直线AP上，且A点坐标为（0，2）∴A点为线段BB′的中点，即A、B、B′三点共线∴AP⊥AB，∴设直线AP的解析式为：y＝﹣x+c，把点A（0，2）代入得：c＝2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．方法二：解：如图，连接AB、AB′∵A（0，2），B（3，4）∴AB＝＝∵点B与B′关于直线AP对称∴AB′＝AB＝，在Rt△AOB′中，B′O＝＝3∴B′点坐标为（﹣3，0）设直线BB′方程为y＝kx+b将B（3，4），B′（﹣3，0）代入得：，解得k＝，b＝2∴直线BB′的解析式为：y＝x+2，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x+2，当y AP＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝，∴点P的坐标为：（）；故答案为：（）．18．【解答】解：①如图，作M点关于直线x＝4的对称点M′，然后作M′F⊥直线y＝﹣x﹣1于F，交直线x ＝4于E，此时ME+EF有最小值，最小值为M′F；∵y＝﹣x﹣1与x轴和y轴分别交于B、C两点，令x＝0，可得y＝﹣1，令y＝0，可得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），C（0，﹣1），∴OB＝2，OC＝1，∴BC＝＝，∵M（3，0），∴M′（5，0），∴BM′＝5+2＝7，∵M′F⊥直线BC，∴∠BFM′＝90°＝∠BOC，∵∠OBC＝∠FBM′∴△BOC∽△BFM′，∴，即，解得：M′F＝，∴ME+EF的最小值为；②∵直线M′F与直线y＝﹣x﹣1互相垂直，∴直线M′F与直线y＝﹣x﹣1的k互为负倒数，∴设直线M′F的关系式为：y＝2x+b，将M′（5，0），代入y＝2x+b，可得：b＝﹣10，∴直线M′F的关系式为：y＝2x﹣10，将直线y＝2x﹣10与直线y＝﹣x﹣1联立方程组得：，解得：，∴点F的坐标为（，﹣）．故答案为：；（，﹣）．19．【解答】解：解：过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP＝∠DNP＝∠CPD＝90°，∴∠MCP+∠CPM＝90°，∠MPC+∠DPN＝90°，∴∠MCP＝∠DPN，∵P（1，1），∴OM＝BN＝1，PM＝1，在△MCP和△NPD中，∴△MCP≌△NPD（AAS），∴DN＝PM，PN＝CM，∵BD＝2AD，∴设AD＝a，BD＝2a，∵P（1，1），∴BN＝2a﹣1，则2a﹣1＝1，∴a＝1，即BD＝2．∵直线y＝x，∴AB＝OB＝3，∴点D（3，2）∴PC＝PD＝＝＝，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM＝＝＝2，则C的坐标是（0，3），设直线CD的解析式是y＝kx+3，把D（3，2）代入得：k＝﹣，即直线CD的解析式是y＝﹣x+3，∴组成方程组解得：∴点Q（，），故答案为：（，）．20．【解答】解：当x＝0时，y＝2x+4＝4，∴A（0，4）；当y＝2x+4＝0时，x＝﹣2，∴C（﹣2，0）．∴OA＝4，OC＝2，∴AC＝＝2．如图所示．过点B作BD⊥x轴于点D．∵∠ACO+∠ACB+∠BCD＝180°，∠ACO+∠CAO＝90°，∠ACB＝90°，∴∠CAO＝∠BCD．在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴CD＝AO＝4，DB＝OC＝2，OD＝OC+CD＝6，∴点B的坐标为（﹣6，2）．如图所示．取AC的中点E，连接BE，OE，OB，∵∠AOC＝90°，AC＝2，∴OE＝CE＝AC＝，∵BC⊥AC，BC＝2，∴BE＝＝5，若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝5+．若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝5+，∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为5+，故答案为：5+．三．解答题（共10小题）21．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线l的表达式为：；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝AB2＝；（3）连接BP，PO，P A，则：①若点P在第一象限时，如图1：∵S△ABO＝3，S△APO＝a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得；②若点P在第四象限时，如图2：∵S△ABO＝3，S△APO＝﹣a，S△BOP＝1，∴S△ABP＝S△BOP+S△APO﹣S△ABO＝，即，解得a＝﹣3；故：当△ABC与△ABP面积相等时，实数a的值为或﹣3．22．【解答】解：（1）∵a2﹣4a+4+|2a+b|＝0，∴（a﹣2）2+|2a+b|＝0，∴a＝2，b＝4．（2）由（1）知，b＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4．∵点P在直线AB的左侧，且在x轴上，∠APB＝45°∴OP＝OB＝4，∴B（4，0）．（3）由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（2，0），B（0，4）∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，如图，①当∠ABP＝90°时，∵∠BAP＝45°，∴∠APB＝∠BAP＝45°．∴AB＝PB．过点P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC．在△AOB和△BCP中，∠AOB＝∠BCP＝90°，∠ABO＝∠BPC，AB＝PB，∴△AOB≌△BCP（AAS）．∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2．∴OC＝OB﹣BC＝2．∴P（﹣4，2）．②当∠BAP＝90°时，过点P'作P'D⊥OA于D，同①的方法得，△ADP'≌△BOA（AAS）．∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4．∴OD＝AD﹣OA＝2．∴P'（﹣2，2））．即：满足条件的点P（﹣4，2）或（﹣2，﹣2）．23．【解答】解：（1）①由題意，，解得：，所以C（4，4）．②观察图象可知x＞4时，直线AB位于直线OC的下方，即x＞4时，﹣x+10＜x．（2）由题意，在OC上截取OM＝OP，连结MQ，∵ON平分∠AOC，∴∠AOQ＝∠COQ，又OQ＝OQ．∴△POQ≌△MOQ（SAS），∴PQ＝MQ，∴AQ+PQ＝AQ+MQ，当A、Q、M在同一直銭上，且AM⊥OC吋，AQ+MQ最小，即AQ+PQ存在最小値；∴AB⊥ON，∴∠AEO＝∠CEO，∴△AEO≌△CEO（ASA），∴OC＝OA＝6，∵△OAC的面积为9，∴OC•AM＝9，∴AM＝3，∴AQ+PQ存在最小值，最小值为3．24．【解答】解：（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠QBC＝90°，∴∠OAB＝∠QBC，又∵AB＝BC，∠AOB＝∠Q＝90°，∴△ABO≌△BCQ（AAS），∴BQ＝AO＝4，OQ＝BQ+BO＝6，CQ＝OB＝2，∴C（﹣6，2），由A（0，4），C（﹣6，2）可知，直线AC：y＝x+4；（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，∵AC＝AD，AB⊥CB，∴BC＝BD，∴△BCH≌△BDF（AAS），∴BF＝BH＝4，∴OF＝OB＝2，∴DG＝OB，∴△BOE≌△DGE（AAS），∴BE＝DE；（3）如图3，直线BC：y＝﹣x﹣1，P（﹣，k）是线段BC上一点，∴P（﹣，），由y＝x+4知M（﹣12，0），∴BM＝10，则S△BCM＝10．设点N（n，0），则BN＝|n+2|，假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，则BN•y C＝×10，n＝或﹣，故点N的坐标为：（，0）或（﹣，0）．25．【解答】解：（1）OA＝OB＝3，则点A、B的坐标分别为：（3，0）、（0，3），将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线11的表达式为：y＝﹣x+3…①；（2）联立l1、l2的表达式得：，解得：，故点D（2，1）；△OCD的面积＝×OA•y D＝3×1＝；（3）△COE与△DEP的面积相等，则S△CDO＝S△CDE+S△OCE＝S△PED+S△CED＝S△PCD，则点P、O到CD的距离相等，故OP所在的直线与CD平行，则直线OP的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：x＝，则点P（，）．26．【解答】解：（1）设y＝0，则x＝6；设点x＝0，则y＝6，故点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，8）；（2）S△OAC＝×CO×x A＝×8×3＝12；（3）存在点M使S△OMC＝S△OAC，设M的坐标为（x，y）；OA的解析式是y＝mx，则3m＝4，解得：，则直线OA的解析式是：，∵当S△OMC＝S△OAC时，即，又∵OC＝8，∴，当M在线段OA上时，x＞0，所以时，y＝1，则M的坐标是；当M在射线上时，则y＝7，则M的坐标是；则y＝9，则M的坐标是，综上所述：M的坐标是：或或；（4）在Rt△OBC中，∠COB＝90°，OB＝6，OC＝8，∴，∵△BCN沿直线BN折叠后，所得三角形为△BDN，∴CN＝DN，BD＝BC＝10，∴OD＝4在Rt△ODN中，设ON＝x，则DN＝8﹣x，∴42+x2＝（8﹣x）2∴x＝3，故点N（0，3），设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（6，0），N（0，3）得：，解得，∴直线AM的解析式为．27．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），∴OA＝2，∵OB＝2OA＝4，∴B（0，4），把A（﹣2，0）和B（0，4）代入y＝kx+b中得：，解得：，∴直线AB解析式为：y＝2x+4；（2）∵∠AOB＝90°，∴∠AO1B1＝90°，由平移得：OO1＝6，O1B1＝OB＝4，由勾股定理得：OB1＝＝2，即线段OB1的长是2；（3）△AOB扫过的面积＝+4×6＝28．28．【解答】解：（1）∵点E是直线y＝x+2上一点，点E的纵坐标是6，∴x+2＝6，解得，x＝4，∴点E的坐标是（4，6），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝＝，y＝＝2，∴点T的坐标为（，2），故答案为：（，2）；（2）设点E的坐标为（a，a+2），∵点T（x，y）是点D和E的融合点，∴x＝，y＝，解得，a＝3x﹣3，a＝3y﹣2，∴3x﹣3＝3y﹣2，整理得，y＝x﹣；（3）设点E的坐标为（a，a+2），则点T的坐标为（，），当∠THD＝90°时，点E与点T的横坐标相同，∴＝a，解得，a＝，此时点E的坐标为（，），当∠TDH＝90°时，点T与点D的横坐标相同，∴＝3，解得，a＝6，此时点E的坐标为（6，8），当∠DTH＝90°时，该情况不存在，综上所述，当△DTH为直角三角形时，点E的坐标为（，）或（6，8）．29．【解答】解：（1）把A（6，0）代入y＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：，∴，把x＝3代入，得y＝4，∴C（3，4）；（2）作CF⊥x轴于点F，EG⊥x轴于点G，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∠CDE＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠EDG＝∠DEG，且∠CFD＝∠DGE＝90°，∴△CDF≌△DEG（AAS）∴CF＝DG＝4，DF＝EG＝3﹣m，∴OG＝4+m，∴E（4+m，m﹣3）；（3）点E（4+m，m﹣3），则点E在直线l：y＝x﹣7上，设：直线l交y轴于点H（0，﹣7），过点O作直线l的对称点O′，∵直线l的倾斜角为45°，则HO′∥x轴，则点O′（7，﹣7），连接CO′交直线l于点E′，则点E′为所求点，OC是常数，△OCE周长＝OC+CE+OE＝OC+OE′+CE′＝OC+CE′+O′E′＝OC+CO′为最小，由点C、O′的坐标得，直线CO′的表达式为：y＝﹣x+联立，解得：，故：．30．【解答】解：（1）y＝k1x+6，当x＝0时，y＝6，∴OB＝6，∵OB＝OA，∴OA＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0）代入：y＝k1x+6中得：﹣2k1+6＝0，k1＝，∴直线l1的解析式为：y＝x+6；（2）如图1，过C作CH⊥x轴于H，∵C（，1），∴OH＝，CH＝1，Rt△ABO中，AB＝＝4，∴AB＝2OA，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝30°，∴EH＝，∴OE＝OH+EH＝2，∴E（2，0），把E（2，0）和C（，1）代入y＝k2x+b中得：，解得：，∴直线l2：y＝﹣x+2，∴F（0，2）即BF＝6﹣2＝4，则，解得，∴D（﹣，3），∴S△BCD＝BF（x C﹣x D）＝＝4；（3）分四种情况：①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，∵△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，∴∠CQD＝90°，CQ＝DQ，∴∠DMQ＝∠CNQ＝90°，∴∠MDQ＝∠CQN，∴△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，﹣m+1），∴OQ＝QN+ON＝OM+QM，即﹣m+1＝m+6+，m＝＝1﹣2，∴Q（0，2）；②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m+1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM﹣QM，即m+6﹣＝﹣m﹣1，m＝5﹣4，∴Q（6﹣4，0）；③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作DM⊥x轴于M，过C作CN⊥x轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝1，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（m﹣1，0），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6﹣＝﹣m+1，m＝﹣4﹣5，∴Q（﹣4﹣6，0）；④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作DM⊥y轴于M，过C作CN⊥y轴于N，同理得：△DMQ≌△QNC（AAS），∴DM＝QN，QM＝CN＝，设D（m，m+6）（m＜0），则Q（0，m+1），∴OQ＝QN﹣ON＝OM+QM，即﹣m﹣6+＝﹣m﹣1，m＝﹣2﹣1，∴Q（0，﹣2）；综上，存在点Q，使△QCD是以CD为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是（0，±2）或（6﹣4，0）或（﹣4﹣6，0）．。
人教版中考数学考点系统复习 第二章 方程(组)与不等式(组) 第一节 一次方程(组)及其应用
∴原方程组的解为y＝1，将y＝1 代入 2kx－3y＜5 得 2×k×2－3＜5，解得 k＜2.
命题点 2：一次方程(组)的应用(近 3 年考查 15 次)
7．(数学文化)(2021·武汉第 7 题 3 分)我国古代数学名著《九章算术》
中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价
32 人.2 艘大船与 1 艘小船一次共可以满载游客 46 人．则 1 艘大船与 1
艘小船一次共可以满载游客的人数为
( B)
A．30
B．26
C．24
D．22
11．★(2022·武汉第 10 题 3 分)幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛 书》中记载了最早的幻方——九宫格．将 9 个数填入幻方的空格中，要 求每一横行、 每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和相等，例如图① 就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，则 x 与 y 的和是 ( D ) A．9 B．10 C．11 D．12
14．(2020·仙桃第 12 题 3 分)篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每 队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分．某队 14 场比赛得到 23 分，则该队胜 了__99__场．
15．(2020·黄冈第 19 题 6 分)为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组 织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买 6 盒 羊角春牌绿茶和 4 盒九孔牌藕粉，共需 960 元，如果购买 1 盒羊角春牌 绿茶和 3 盒九孔牌藕粉共需 300 元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔 牌藕粉分别需要多少元？
【分层分析】设购进创意文具袋 x 个，由题干信息①得购进笔记本为
((2x2＋x＋10)个，由题干信息②可列方程为 xx＋＋(2(x2＋x1＋0)1＝0)190.
2020年中考数学一轮专题复习——一次函数及其应用(含详细解析)
2020年中考数学——一次函数及其应用考题感知与试做1.如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A .乙前4 s 行驶的路程为48 mB .在0到8 s 内甲的速度每秒增加4 m /sC .两车到第3 s 时行驶的路程相等D .在4至8 s 内甲的速度都大于乙的速度2.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若点C ⎝⎛⎭⎫32，32，则该一次函数的表达式为 .中考考点梳理一次函数及其图象和性质1.一次函数及正比例函数的概念用自变量的一次整式表示的函数的关系式，称为一次函数.一次函数通常可以表示为y ＝kx ＋b 的形式，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx （常数k ≠0）叫做正比例函数.【温馨提示】正比例函数是一种特殊的一次函数.正比例函数是一次函数，反之不一定成立；定义中k ≠0是非常重要的条件，若k ＝0，则函数就成为y ＝b （b 为常数），此函数图象是平行于x 轴（包括x 轴）的直线，不是一次函数.2.一次函数的图象和性质一次函数 y ＝kx ＋b （k ≠0）k 、b符号 k ＞0 k ＜0 b ＞0 b ＜0 b ＝0 b ＞0 b ＜0 b ＝0图象经过象限经过第一、二、三象限经过第 象限 经过第一、三象限 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限经过第 象限增减性 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而与坐标轴 的交点与x 轴的交点坐标为 ， 与y 轴的交点坐标为3.一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象向上或向下平移m （m>0）个单位的解析式为y ＝kx ＋（b±m ）；向左或向右平移m 个单位的解析式为y ＝k （x±m ）＋b.一次函数表达式的确定4.求一次函数表达式的常用方法是 ，具体步骤： （1）设出待求函数表达式y ＝kx ＋b （k ≠0）；（2）将题中条件（图象上点的坐标）代入表达式y ＝kx ＋b ，得到含有待定系数k 、b 的方程（组）； （3）解方程（组）求出待定系数k 、b 的值；（4）将所求待定系数的值代入所设函数表达式中.一次函数与方程（组），不等式的关系5.一次函数与方程（组）的关系（“数形结合”思想）（1）一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）可转化为二元一次方程kx －y ＋b ＝0； （2）一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标 是方程kx ＋b ＝0的解；（3）一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝k 1x ＋b 1图象交点的横、纵坐标值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝k 1x ＋b 1的解.6.一次函数与不等式的关系（“数形结合”思想）（1）如图①，函数y ＝kx ＋b 中，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＞0的解集，对应的函数图象为位于x 轴上方的部分，即x ＜a ；当函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＜0的解集，对应的函数图象为位于x 轴下方的部分，即x ＞a.（2）两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点左右两边图象上下位置来判断不等式的解集，即k 1x ＋b 1＞k 2x ＋b 2的解集为x ＞a ；k 1x ＋b 1＜k 2x ＋b 2的解集为x ＜a （如图②）.【温馨提示】灵活运用“数形结合”思想，不忘代数解法.一次函数的实际应用7.利用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义； （6）作答. 8.方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过 列不等式 ，求解出某一个事物的 取值范围 ，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案.1.（2019·沈阳中考）已知一次函数y ＝（k ＋1）x ＋b 的图象如图所示，则k 的取值范围是（ ） A .k ＜0 B .k ＜－1 C .k ＜1 D .k ＞－12.若一个正比例函数的图象经过A （3，－6）、B （m ，－4）两点，则m 的值为（ ） A .2 B .8 C .－2 D .－8（第1题图） （第3题图）3.如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的表达式是（ ）A .y ＝2x ＋3B .y ＝x －3C .y ＝2x －3D .y ＝－x ＋34.如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象相交于点A （2，1）.当x<2时，y 1 y 2.（填“>”或“<”）中考典题精讲精练一次函数的图象及性质【典例1】已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k 、b 的取值情况为（ ）A .k ＞1，b ＜0B .k ＞1，b ＞0C .k ＞0，b ＞0D .k ＞0，b ＜0一次函数表达式的确定及与方程（组）、不等式的关系【典例2】已知函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与y 轴交点的纵坐标为－2，且当x ＝2时，y ＝1，那么这个函数的表达式为 .【典例3】如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象交y 轴于点A （0，3），则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ ）A .x ＞32 B .x ＞3C .x ＜32 D .x ＜3一次函数的实际应用【典例4】甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A 地出发前往B 地.甲出发1 h 后，乙出发.设甲与A 地相距y 甲（km ），乙与A 地相距y 乙（km ），甲离开A 地的时间为x （h ），y 甲、y 乙与x 之间的函数图象如图所示.（1）甲的速度是 km /h ；（2）当1≤x ≤5时，求y 乙关于x 的函数表达式；（3）当乙与A 地相距240 km 时，甲与A 地相距 km .一次函数的综合应用 【典例5】如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系上，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为 cm 2.1.（2019·广安中考）一次函数y ＝2x －3的图象经过的象限是（ ） A .一、二、三 B .二、三、四 C .一、三、四 D .一、二、四2.（2019·成都中考）已知一次函数y＝（k－3）x＋1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是 .3.（2019·通辽中考）如图，直线y＝kx＋b（k≠0）经过点（－1，3），则不等式kx＋b≥3的解集为（）A.x＞－1B.x＜－1C.x≥3D.x≥－14.若函数y＝2x＋b（b为常数）的图象经过点（1，5），则b的值为.5.（2019·大连中考）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条路上的A、B两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则a－b＝ .6.（2019·山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）.（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？7.（2019·乐山中考）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x＋4相交于点P（－1，a）.（1）求直线l1的解析式；（2）求四边形PAOC的面积.参考答案考题感知与试做1.（2019·中考）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ C ）A .乙前4 s 行驶的路程为48 mB .在0到8 s 内甲的速度每秒增加4 m /sC .两车到第3 s 时行驶的路程相等D .在4至8 s 内甲的速度都大于乙的速度2.（2018·中考）如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若点C ⎝⎛⎭⎫32，32.中考考点梳理一次函数及其图象和性质1.一次函数及正比例函数的概念用自变量的一次整式表示的函数的关系式，称为一次函数.一次函数通常可以表示为y ＝kx ＋b 的形式，其中k 、b 是常数，k ≠0.特别地，当b ＝0时，一次函数y ＝kx （常数k ≠0）叫做正比例函数.【温馨提示】正比例函数是一种特殊的一次函数.正比例函数是一次函数，反之不一定成立；定义中k ≠0是非常重要的条件，若k ＝0，则函数就成为y ＝b （b 为常数），此函数图象是平行于x 轴（包括x 轴）的直线，不是一次函数.2.一次函数的图象和性质3.一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象向上或向下平移m （m>0）个单位的解析式为y ＝kx ＋（b±m ）；向左或向右平移m 个单位的解析式为y ＝k （x±m ）＋b.一次函数表达式的确定4.求一次函数表达式的常用方法是 待定系数法 ，具体步骤： （1）设出待求函数表达式y ＝kx ＋b （k ≠0）；（2）将题中条件（图象上点的坐标）代入表达式y ＝kx ＋b ，得到含有待定系数k 、b 的方程（组）；（3）解方程（组）求出待定系数k 、b 的值； （4）将所求待定系数的值代入所设函数表达式中.一次函数与方程（组），不等式的关系5.一次函数与方程（组）的关系（“数形结合”思想）（1）一次函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，且k ≠0）可转化为二元一次方程kx －y ＋b ＝0；（2）一次函数y ＝kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标 －bk是方程kx ＋b ＝0的解；（3）一次函数y ＝kx ＋b 与y ＝k 1x ＋b 1图象交点的横、纵坐标值是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y ＝k 1x ＋b 1的解.6.一次函数与不等式的关系（“数形结合”思想） （1）如图①，函数y ＝kx ＋b 中，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＞0的解集，对应的函数图象为位于x 轴上方的部分，即x ＜a ；当函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx ＋b ＜0的解集，对应的函数图象为位于x 轴下方的部分，即x ＞a.（2）两个一次函数可将平面分成四部分，比较两函数交点左右两边图象上下位置来判断不等式的解集，即k 1x ＋b 1＞k 2x ＋b 2的解集为x ＞a ；k 1x ＋b 1＜k 2x ＋b 2的解集为x ＜a （如图②）.【温馨提示】灵活运用“数形结合”思想，不忘代数解法.一次函数的实际应用7.利用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）设定实际问题中的自变量与因变量；（2）通过列方程（组）与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定自变量的取值范围； （4）利用函数性质解决问题；（5）检验所求解是否符合实际意义； （6）作答. 8.方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过 列不等式 ，求解出某一个事物的 取值范围 ，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案.1.（2019·沈阳中考）已知一次函数y ＝（k ＋1）x ＋b 的图象如图所示，则k 的取值范围是BA .k ＜0B .k ＜－1C .k ＜1D .k ＞－12.若一个正比例函数的图象经过A （3，－6）、B （m ，－4）两点，则m 的值为（ A ） A .2 B .8 C .－2 D .－8（第1题图） （第3题图）3.（2014·宜宾中考）如图，过A 点的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，则这个一次函数的表达式是（ D ）A .y ＝2x ＋3B .y ＝x －3C .y ＝2x －3D .y ＝－x ＋34.如图，正比例函数y 1＝k 1x 和一次函数y 2＝k 2x ＋b 的图象相交于点A （2，1）.当x<2时，y 1 ＜ y 2.（填“>”或“<”）中考典题精讲精练一次函数的图象及性质【典例1】已知一次函数y ＝kx ＋b －x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k 、b 的取值情况为（ A ）A .k ＞1，b ＜0B .k ＞1，b ＞0C .k ＞0，b ＞0D .k ＞0，b ＜0【解析】一次函数y ＝kx ＋b －x ＝（k －1）x ＋b. ∵函数值y 随x 的增大而增大，∴k －1＞0，即k ＞1.又∵图象与x 轴的正半轴相交，∴图象与y 轴的负半轴相交.∴b ＜0.一次函数表达式的确定及与方程（组）、不等式的关系【典例2】已知函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象与y 轴交点的纵坐标为－2，且当x ＝2时，y ＝1，那么这个函数的表达式为 y ＝32x －2 Ｗ.【解析】由题意知，函数图象过（0，－2）、（2，1）两点，并代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝1，b ＝－2.求解出k 、b 的值，即可确定出函数的表达式.【典例3】如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象交y 轴于点A （0，3），则不等式－2x ＋b ＞0的解集为（ C ）A .x ＞32 B .x ＞3C .x ＜32D .x ＜3【解析】由题意可得一次函数图象与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，对应x 轴上方的函数图象的自变量x 的取值范围即为所求.一次函数的实际应用【典例4】甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A 地出发前往B 地.甲出发1 h 后，乙出发.设甲与A 地相距y 甲（km ），乙与A 地相距y 乙（km ），甲离开A 地的时间为x （h ），y 甲、y 乙与x 之间的函数图象如图所示.（1）甲的速度是 km /h ；（2）当1≤x ≤5时，求y 乙关于x 的函数表达式；（3）当乙与A 地相距240 km 时，甲与A 地相距 km . 【解析】（1）根据图象确定甲的路程与时间即可求出速度；（2）利用待定系数法求出y 乙关于x 的函数表达式即可；（3）求出乙距A 地240 km 时的时间，乘以甲的速度即可得出结果.【解答】解：（1）60；（2）当1≤x ≤5时，设y 乙关于x 的函数表达式为y 乙＝kx ＋b.∵点（1，0）、（5，360）在其图象上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝k ＋b ，360＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝90，b ＝－90. ∴y 乙＝90x －90（1≤x ≤5）； （3）220.一次函数的综合应用【典例5】如图，把Rt △ABC 放在平面直角坐标系上，其中∠CAB ＝90°，BC ＝5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y ＝2x －6上时，线段BC 扫过的面积为 16 cm 2.【解析】如图.∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB ＝3.∵∠CAB ＝90°，BC ＝5， ∴AC ＝4.∴A′C′＝4.∵点C′在直线y ＝2x －6上， ∴2x －6＝4，解得 x ＝5. 即OA′＝5.∴CC′＝5－1＝4.根据平行四边形面积的计算方法可求线段BC 扫过的面积.1.（2019·广安中考）一次函数y ＝2x －3的图象经过的象限是C A .一、二、三 B .二、三、四 C .一、三、四 D .一、二、四2.（2019·成都中考）已知一次函数y ＝（k －3）x ＋1的图象经过第一、二、四象限，则k 的取值范围是k ＜3.3.（2019·通辽中考）如图，直线y ＝kx ＋b （k ≠0）经过点（－1，3），则不等式kx ＋b ≥3的解集为DA .x ＞－1B .x ＜－1C .x ≥3D .x ≥－14.若函数y ＝2x ＋b （b 为常数）的图象经过点（1，5），则b 的值为 3 Ｗ.5.（2019·大连中考）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条路上的A 、B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：m ）与行走时间x （单位：min ）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间x （单位：min ）的函数图象，则a －b ＝12.6.（2019·山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x 次，选择方式一的总费用为y 1（元），选择方式二的总费用为y 2（元）.（1）请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数表达式；（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱？ 解：（1）当游泳次数为x 时，方式一费用为y 1＝30x ＋200，方式二的费用为y 2＝40x ； （2）由y 1＜y 2，得30x ＋200＜40x ，解得x ＞20， 当x ＞20时，选择方式一比方式二省钱.7.（2019·乐山中考）如图，已知过点B （1，0）的直线l 1与直线l 2：y ＝2x ＋4相交于点P （－1，a ）. （1）求直线l 1的解析式； （2）求四边形PAOC 的面积.解：（1）∵点P （－1，a ）在直线l 2：y ＝2x ＋4上， ∴2×（－1）＋4＝a ，即a ＝2， 则P 点的坐标为（－1，2）.设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b （k ≠0），代入B （1，0）、P （－1，2），得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－k ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1. ∴直线l 1的解析式为y ＝－x ＋1； （2）∵直线l 1与y 轴相交于点C ， ∴C 点的坐标为（0，1）.又∵直线l 2与x 轴相交于点A ， ∴A 点的坐标为（－2，0），则AB ＝3. ∵S 四边形PAOC ＝S △PAB －S △BOC ，∴S 四边形PAOC ＝12×3×2－12×1×1＝52.。
中考数学一轮复习《一次方程组 及其应用》知识梳理及典型例题讲解课件
第一节 一次方程(组)及其应用
一 次 方 程 (组)
等 式 的
如如果果aa＝＝bb，，那那么么aa±c＝c＝②①___b__c_b__±_，_c_ac_＝③___bc_____(c≠0)
性 如果a＝b，那么b＝a
Байду номын сангаас
及 质 如果a＝b，b＝c，那么a＝④__c__
其 应
马，则可列方程为 A．150(12＋x)＝240x
B．240(12＋x)＝150x
(A )
C．150(x－12)＝240x
D．240(x－12)＝150x
2．已知xy＝＝31， 是方程 ax＋y＝2 的解，则 a 的值为__－__1__．
3x－y＝－4， 3．解方程组：x－2y＝－3.
解：
3x－y＝－4…①， x－2y＝－3…②.
5．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知2瓶A型消 毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53 元．
(1)这两种消毒液的单价分别是多少元？
(2)学校准备购进这两种消毒液共 90 瓶，且 B 型消毒液的数量不少 于 A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．
等式两边都除以x－m，得x＋m＝m.④ 等式两边都减m，得x＝0.⑤ 所以任意一个实数都等于0. 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是___④__．
2．方程3x＝2x＋7的解是 A．x＝4 C．x＝7
( C) B．x＝－4 D．x＝－7
3．对于二元一次方程组
y＝x－1…①， x＋2y＝7…②，
由①式，得 y＝3x＋4，代入②式，得 x
－2(3x＋4)＝－5x－8＝－3，解得 x＝－1.将 x＝－1 代入②式，得－1－
2020年中考数学压轴题专项训练：一次函数的综合(含答案)
2020年数学中考压轴题专项训练：一次函数的综合1如图，在平面内，点Q为线段AB上任意一点，对于该平面内任意的点P,若满足PQ小于等于AB,则称点P为线段AB的“限距点”(1)在平面直角坐标系Xoy中，若点A (- 1, 0), B( 1, 0).①在的点C(0, 2), D(- 2, - 2), E(0,-一 -：)中，是线段AB的“限距点”的是E②点P是直线y = x+'上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标3 3X P的取值范围.存在线段AB的“限距点”，请直接写出t的取值范围Λ Q B∙∙∙ C不是线段AB的“限距点”；当D(-2, - 2)时，D到AB的最短距离2, T AB= 2 ,∙D不是线段AB的“限距点”；当E (0,--；)时，E到AB的最短距离「: , T AB= 2 ,∙E是线段AB的“限距点”；故答案为E;②如图：以(1 , 0)为圆心，2为半径做圆，以(-两圆与直线(2)如图，以A (t , 1)为圆心，2为半径做圆，以B (t, - 1两圆与直线(2)在平面直角坐标系XOy 中，若点A (t , 1), B (t, - 1).若直线y=解：(1)①当C (0, 2)时, C到AB的最短距离2, T AB= 2 ,1 , 0)为圆心，2为半径做圆,为圆心，2为半径做圆,上y=b"χ+±i的交点为P22.如图，已知过点 B (1, 0)的直线I i 与直线l 2: y = 2x +4相交于点 P ( - 1, a ), I i 与y 轴交于点 C, I 2与X 轴交于点 A(1) 求a 的值及直线I i 的解析式.(2) 求四边形PAoC 勺面积.(3) 在X 轴上方有一动直线平行于 X 轴，分别与I i ,丨2交于点M N 且点M 在点N 的右 侧，X轴上是否存在点 Q 使厶MN(为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)τ y = 2x +4 过点 P (- 1，a )，.∙. a= 2，•••直线 I 1 过点 B (1，0)和点 P (- 1，2)，设线段BP 所表示的函数表达式 y = kx +b 并解得： 函数的表达式y =- x +1;(2) 过点P 作PEIOA 于点E,作PF ⊥y 轴交y 轴于点F ，Il 5(3) 如图，M( 1 - a ，a )，点 N^~，小，HI a -4l-⅛-∙∙∙ MN= NQ 则3.在平面直角坐标系中，直线 I 仁y =- 2x +6与坐标轴交于 A, B 两点，直线12: y = kx +2(k > 0)与坐标轴交于点 C, D,直线∣1,丨2与相交于点 E(1) 当k = 2时，求两条直线与 X 轴围成的厶BDB 的面积；(2) 点P (a, b )在直线12： y Q kx +2 (k > 0)上，且点 P 在第二象限.当四边形 OBEC23的面积为=时.① 求k 的值；② 若m= a+b ,求m 的取值范围.%C\ .r 3\ X O B \ k X备丿 胭解：(1)τ直线l I : y =- 2x +6与坐标轴交于 A B 两点,.∙.当 Xy= O 时，得 X = 3，当 X = 0 时，y = 6;综上，点Q 的坐标为：(-匸，0)或(- 0）或（ ,0） •③当 MQ NQ 寸，*∙∙∙ A (O, 6) B (3, 0);当k = 2 时，直线12: y= 2x+2 ( k≠ 0),∙ C (0, 2), D(- 1, 0)I' y=-2x÷6' K=I解F 得，,[y=2x+2 ,y=4∙ E (1, 4),•••△ BDE的面积=丄× 4× 4= 8.2(2)①连接OE设E ( n,- 2n+6),T S 四边形OBEe= S A EO+S^EOB∙—x 2× n+二× 3 ×(- 2n+6 )=二,2解得n=—,•E⅛,和14把点E 的人y= kx+2 中，丁 = p^k+2 ,解得k= 4.②T直线y= 4k+2交X轴于D,•D(-「O),τ P (a, b)在第二象限，在线段CD上,1 C∙- —V a v 0 ,•b= 4a+2 ,•m= a+b= 5a+2 ,1 C•- --v mv 2.(2)函数y =--x +b 的图象与X 轴交于点D,点E 从点D 出发沿DA 方向，以每秒2个单 位长度匀速运动到点 A (到A 停止运动).设点E 的运动时间为t 秒.①当△ ACE 的面积为12时，求t 的值;②在点E 运动过程中，是否存在 t 的值，使△ ACE 为直角三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由.解：(1)∙.∙点 C(- 2, m 在直线 y =- x +2上,.∙. m =-(- 2) +2= 2+2 = 4, •••点 C( - 2, 4), ∙.∙函数y =二χ+b 的图象过点 C (- 2, 4),--×(- 2) +b ,得 b =即m 的值是4, b 的值是一一;(2)①T 函数y =- x +2的图象与X 轴，y 轴分别交于点 A , B ,•点 A (2, 0),点 B (0 , 2),T 函数y = -χ+丄的图象与X 轴交于点D•点D 的坐标为(-14 , 0),∙∙∙ AD= 16,由题意可得，DE= 2t ,则AE= 16-2t ,y =- x +2的图象与X 轴，y 轴分别交于点 A , B,与函y=-3t+2,得≈--2f 1 14V=— XH - I g 3I l y=4则点C的坐标为（-2, 4）,∙∙∙△ ACE的面积为12,∙QA盘）X 4 12•• : =12,解得，t = 5即当△ ACE的面积为12时，t的值是5;②当t = 4或t = 6时，△ ACE是直角三角形,理由：当∠ ACE= 90° 时，ACLCE •/点A (2, 0),点B( 0 , 2),点C(- 2 , 4),点D(- 14, 0), •OA= OB AC= 4 J ,∙∠BAO 45° , ∙∠CAE= 45° ,∙∠CEA= 45° ,•CA= CE= ,∙AE= 8 , ∙∙∙AE= 16- 2t ,•8 = 16- 2t ,解得，t =4;当∠ CEA 90° 时，T AC= 4 .「, ∠ CAE= 45•AE= 4 ,∙∙∙AE= 16- 2t , • 4 = 16- 2t ,解得，t =6;由上可得，当t = 4或t = 6时，△ ACE是直角三角形.5•如图1已知线段 AB 与点P ,若在线段 AB 上存在点 Q 满足P(≤ AB 则称点P 为线段(1)如图2,在平面直角坐标系 xθy (2)中，若点 A (- 1, 0), B( 1, 0)① 在 C(0, 2) 2, D(- 2, - 2), -√3) 中，是线段AB 的“限距点”的是C, E ; ② 点P 是直线y = x +1上一点，若点P 是线段AB 的“限距点”，请求出点P 横坐标XP 的取 值范围.围. 解：(1)①T 点 A (- 1, 0), B (1, 0),∙∙∙ AB= 2,T 点C 到线段AB 的最短距离是 2≤AB∙点C 是线段AB 的“限距点”，T 点D 到线段AB 的最短距离=j ∙f 「八2= ∏>AB∙点D 不是线段AB 的“限距点”(2)在平面直角坐标系XOy 中，点 A( t , 1), B(t , - 1),直线y =半沙2近与X 轴 交于点M 与y 轴交于点N 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范AB 的“限距•••点E到线段AB的最短距离是_ [≤ AB•••点E是线段AB的“限距点”，故答案为：C, E;②•••点A (- 1, 0), B (1, 0)•点P为线段AB的“限距点”的范围是平行于AB且到AB距离为2两条线段」和以点A, 点B为圆心，2为半径的两个半圆围成的封闭式图形，如图所示：如图3,直线y= x+1与该封闭式图形的交点为M N•点M坐标(1, 2)设点N (X, x+1)•( x+1) 2+ (x+1 - 0) 2= 4•X =- 1 - "< /•匚iy ¥AV F MOA V E MN•••点P 横坐标X P 的取值范围为;(2)•••直线y = ^^工卜趴卮与X 轴交于点 M 与y 轴交于点N•点 N (0, 2 品,点 M(— 6, 0)如图3,线段AB 的“限距点”的范围所形成的图形与线段MN 交于点M•••点M 是线段AB 的“限距点”，∙∙∙- 6-t = 2,∙ t = - 8,若线段AB 的“限距点”的范围所形成的图形与线段 MN 相切于点F ,延长BA '交MNF E,∙∙∙ t的取值范围为-8≤ t ≤ -：- 2.6.如图(1),在平面直角坐标系中，直线y =-2 x+4交坐标轴于A、B两点，过点C( - 4,(2)确定直线CD解析式，求出点D坐标；(3)如图2,点M是线段CE上一动点(不与点C E重合)，0N⊥Oh交AB于点N,连接MN①点M移动过程中，线段OM与ON数量关系是否不变，并证明；②当△ OMr面积最小时，求点M的坐标和厶OM面积.4 、一解：(1)τ直线y ----- x+4交坐标轴于A B两点，d∙当y= 0 时，X= 3,当X = 0 时，y = 4,∙点A的坐标为(3, 0),点B的坐标为(0, 4),∙OA= 3;故答案为：(0, 4), 3;(2 )•••过点C (- 4, 0)作CD交AB于D,交y轴于点已且厶CO B^ BOA∙OC= 4 , OC= OB OE= OA•••点A (3 , 0),∙OA= 3 ,∙OE= 3 ,•点E的坐标为(0, 3),设过点C (- 4 , 0),点E ( 0 , 3)的直线解析式为y = kx+b ,.∙.直线CE 的解析式为y = x +3,4即直线CD 的解析式为y = x +3,4 12■■-，2?(3)①线段OM 与ON 数量关系是Oh =ON 保持不变,证明：•••△ CO B^ BoA∙∙∙ OE= OA ∠ OEI =∠ OAN ∙∙∙∠ Bo =90°, ONLOMl∙∠ MO = ∠ BOA= 90°,∙∠ MO +∠ EO =∠ EON ∠ NOA∙∠ MO = ∠ NOA在厶 MO^ NOA 中,r ZMOE=ZNOA〈OE=OA ,LZOEK=ZOAN •••△ IMO B △ NOA( SAS ,• OM= ON即线段OMl 与ON 数量关系是OM= ON 保持不变;②由①知OM= ON•当OM ,∙∙∙OC= 4 , OE= 3, ∠ COE= 90° , ∙∙∙CE= 5 ,•••当OML CE 时，OM 取得最小值,f-⅛+b=0 lb=3 ,得即点D 的坐标为 12 25 84 25); ∙∙∙ OML ON• △ OM 面积OH-ONOK 2 2 212 v 2 亍 当AOM 取得最小值时，设此时点M 的坐标为（a ,二a +3）,4解得，a =-∙τa+3=故 A (4, 0);当 X = 0 时，y =— 3, 故 B (0,- 3);2 ^ 2 恥5 4×3 2 _ 2 解得，OMk125 7225^,⅛+3)Ξ 12_.S•••△OM 面积取得最小值是: •点M 的坐标为__ ）， 由上可得，当△36 48 OMN 面积最小时，点 M 的坐标是（=ς?,石孑）和厶OMN 面积 25 ' 25积是 72 7.如图，一次函数「V 的图象分别与X 轴、y 轴交于点A B ,以线段AB 为边在第四象限内作等腰直角厶 ABC 且∠ BAC= 90°.(1)试写出点A B 的坐标：A ( 4 , 0 ) , B ( 0 , - 3 );（2）求点C 的坐标;解得：X = 4,故答案为：(4, 0), (0,- 3);(2)过点C作CDL X轴，垂足为点D,∙∙∙∠ BAC= 90°,∙∙∙∠OAB∠ DAC= 90 ° ,又∙∙∙∠DCA∠ DAC= 90°,∙∠ACD=∠ OAB在厶AOBm CDA中r ZBOA=ZATC•Z0A&=ZACDl AB=AC•••△ AOB^△ CDA( AAS,•AD= OB= 3, CD= OA= 4,•OD= 7,• C ( 7,- 4);(3)设直线BC的函数表达式为y = kx+b 把B (0,- 3), C (乙-4)代入上式：解之得：* 7 ,,b=~3•直线BC的函数表达式为y =今鼻-3・&如图1所示，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A 地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程yι, y2 （千米）与行驶时间X （小时）之间的函数关系图象.圉I ≡2(1)填空：A, B两地相距600千米；货车的速度是40千米/时;(2)求三小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间X之间的函数表达式;(3)试求客车与货两车何时相距40千米？解：(1)由函数图象可得， A B两地相距：480+120 = 600 ( k∏),货车的速度是：120 ÷ 3 = 40 ( km(h)∙故答案为：600; 40 ;(2)y= 40 (X- 3) = 40x - 120 (X> 3);(3)分两种情况：①相遇前：80x+40x = 600 - 4014解之得X = -y…(8分)②相遇后：80x+40x = 600+40解之得X =千综上所述：当行驶时间为学小时或二小时，两车相遇40千米.9.如图1,在平面直角坐标系XOy中，点A (2, 0),点B( - 4, 3).(1)求直线AB的函数表达式；(2)点P是线段AB上的一点，当S∖AO P S^ AOB=2: 3时，求点P的坐标；(3)如图2,在(2)的条；件下，将线段AB绕点A顺时针旋转120°,点B落在点C处,连结CP求厶APC的面积，并直接写出点C的坐标.图1 解：(1)设直线AB 的函数表达式为•/点 A (2，0)，点 B (- 4, 3),.卩沙bo V ⅛+b=3,1 解得：* ■ L b = I•••直线AB 的函数表达式为 y =-—x +1;(2)过B 作BEl X 轴于E ,过P 作PDL X 轴于D,• PD// BE• S ^AO P S ^ AO = 2 :AP 2 AB 3,•点 B (- 4, 3),• BE= 3,• PD// BE• △ APDo ^ ABEPD PD 2 BE3 3,• PD= 2,当 y = 2 时，X =- 2,• P (- 2, 2);A Xy = . kx +b ,(3)点A (2, 0)、点B (- 4, 3),点P (- 2, 2),则AP= 2 U AB= CA= 3 匚，过点P作HPL AC交AC的延长线于点H,△ APC的面积=二：ACX PH=--× 3. □× . 口 =二•;2 二2设点C (X, y),则PC= P H+H C= 15+( i. ,+3 ：■) 2= 95 =( x+2) 2+ (y - 2) 2…①，CA= 45 =( X - 2) 2+y2…②，联立①②并解得：X y=∙..,故点1). 〜10.如图，平面直角坐标系中，直线AB y = kx+3 ( k≠ 0)交X轴于点A (4, 0),交y轴正半轴于点B,过点C( 0, 2)作y轴的垂线CD交AB于点E,点P从E出发，沿着射线ED 向右运动，设PE= n.(1)求直线AB的表达式；(2)当厶ABP为等腰三角形时，求n的值；(3)若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt △ BPM试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由.解：将点A 的坐标代入直线 AB y = kx +3并解得：k =-丁, 故AB 的表达式为：y =-工x +3;4而点A B 坐标分别为：(4, 0)、(0, 3),当AP= AB 时，同理可得： n = _ +「(不合题意值已舍去)；当AB= BP 时，同理可得： n =-—+2「；⅞-)(3)在直线上，理由:如图，过点M 作MDL CD 于点H,∙∙∙∠ CPB=∠ MPH BP= PM ∠ MH =∠ PCB= 90°∙∙∙ MH △^^ PCB( AAS ,故点M 在直线y = x +1上.11.小聪和小慧去某风景区游览，两人在景点古刹处碰面，相约一起去游览景点飞瀑， 骑自行车先行出发，小慧乘电动车出发，途径草甸游玩后，再乘电动’车去飞瀑,人同时到达飞瀑.图中线段 OA 和折线B- C- D- A 表示小聪、小慧离古刹的路程(2)当 y = 2 时，X = ，故点E (■ ,2),则点 P (n +二,2),≡ A P =(壬+n - 4) 2+4 ； BP =( n2+1, AB = 25, 当 AP = BP 时，(2+ n - 4) +4=( n +")2+1,解得：n =-二6BC=1 = PH7故点M( n +—,n+∙10小聪 结果两y (米)O,∠ BPG ∠ MP = 90°,则 CP= MHb n与小聪的骑行时间X (分)的函数关系的图象，根据图中所给信息，解答下列问题:(1) 小聪的速度是多少米/分？从古刹到飞瀑的路程是多少米？ (2) 当小慧第一次与小聪相遇时，小慧离草甸还有多少米？ (3) 在电动车行驶速度不变的条件下，求小慧在草甸游玩的时间.U≡0.αrι解: (1) Y 小职-禺厂丄创(米/分).古刹到飞瀑的路程=180 × 50= 9000 (米).答：小聪的速度是180米/分，从古刹到飞瀑的路程是 9000米;10k+b=0.∙. Y = 450x - 4500当 X = 20, Y = 45004500 - 3000= 1500 米 答：小慧与小聪第一次相遇时，离草甸还有1500米.(3) 9000- 4500= 4500 (米) 4500 ÷ 450 = 10 (分钟). 50- 10- 10 - 10= 20 (分钟) 答：20分钟.12.对于平面直角坐标系 XOY 中，已知点 A (- 2, 0)和点B(3, 0),线段AB 和线段AB 外的一点P,给出如下定义：若 45°≤∠ APB≡ 90 °时，则称点 P 为线段AB 的可视点， 且当PA= PB 时，称点P 为线段AB 的正可视点. (1)①如图1 ,在点P 1(3, 6), P 2 (- 2, - 5) ,P 3 (2,2)(2)设 Y = kx +b , 解得⅛=450 Ib='450C则k-⅛-3000中，线段AB的可视点是P2,2-4Γ备用團解：(1)①如图1,以AB 为直径作圆 G 贝U 点P 在圆上，则∠ APB= 90°,若点P 在圆内, 则∠ APB>90°，5 — 4 —*-C/ Fr■ - **■■■ *-I70 G 1b_ Ib r ・.■-3-D—■以C (勺"，女)为圆心，AC 为半径作圆，在点 P 优弧如B 上时，∠ APB= 45° ,点P 在优 弧」内，圆G 外时，45°v∠ AP 欢90°;,-—)为圆心，AD 为半径作圆，在点 P 优弧TE 上时，∠ APB= 45°,点P 在优弧」■内，圆G 外时，45°v∠ APB≤ 90°;②若点P 在y 轴正半轴上，写出一个满足条件的点 P 的坐标： P( 0,3)(答案不唯一)(2)在直线y = x +b 上存在线段 AB 的可视点，求 b 的取值范围;(3)在直线y =- x +m 上存在线段 AB 的正可视点,直接写出 m 的取值范围.Ai ■ i 占 id 斗亠3亠2 -1 O3-2-10-1-4Γ•••点P ( 3, 6), P2 (- 2,- 5), P (2, 2)∙∙∙ P I C=^4〉M= AC 则点P i在圆C外，则∠ ARB< 45°,■: ■■:P2D= ' = AC 则点P2在圆D上，则∠ APB= 45 ° ,2RG=層=BG 点P a在圆G上,则∠ APB= 90°,∙线段AB的可视点是P2, P a,故答案为：B, P a；②由图1可得，点P的坐标：P(0, 3)(答案不唯一，纵坐标y范围：∣l≤ y p≤ 6).(2)如图2,设直线y=x+b与圆C相切于点H交X轴于点N连接BH∙∙∙∠ HN=∠ HBN= 45° ,∙NH= BH ∠ NH= 90°,且NH是切线,∙BH是直径，∙BH= 5,∙BN= 10 ,∙ON= 7 ,∙点N ( - 7 , 0)∙0 =- 7+b , ∙b= 7 ,当直线y = x+b与圆D相切同理可求：b =- 88≤ b ≤ 7(3)如图3,作AB 的中垂线，交Θ C 于点Q 交Θ D 于点 W--⅛,, Xg.亠 ・■■T 直线y =- x +m 上存在线段 AB 的正可视点，.线段CC 和线段DWt 的点为线段 AB 的正可视点.别代入解析式可得:匕的函数关系如图所示:(2) 求甲、乙两车相遇后y 与X 之间的函数关系式，并写出相应的自变量 X 的取值范围.T 点 CL-,=-），点 D （-^-5√2 2.m = 3, m = .m 的取值范围:^√+3,m =-2，m =-—.「- X.二冷._ 或］13.已知 A 、B 两地之间有一条 270千米的公路, 甲、乙两车同时出发，甲车以每小时 60千米/时的速度沿此公路从 A 地匀速开往B 地, 乙车从B 地沿此公路匀速开往A 地, 两车分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程y (千米)与甲车的行驶时间X （时） 之间(1)乙年的速度为75 千米/时，a = 3.6 ,b =4.5 ;⅛41）,点Q)，点÷ 2= 75千米/时，故答案为：75; 3.6 ; 4.5 ;(2) 60× 3.6 = 216 (千米)，故A (2, O), B( 3.6 , 216) , C (4.5 , 270) 当2 V x≤ 3.6时，设y = k1x+b1,根据题意得:2k1+b 1=06k1+b1^21⅛解得∙∙∙ y = 135x - 270 (2 V x≤ 3.6 );当 3.6 V X≤ 4.5 时，设y= k2x+b2,贝U3.6k2+b Ξ=2164,解得∙当3.6 V X≤ 4.5 时，y = 60x,r135χ-270(2<x<3.6)y(60讥£代κj≤4∙5)14.已知：在平面直角坐标系中，直线x+4与X轴交于点A,与y轴交于点B,点C是X轴正半轴上一点，AB= AC 连接BC(1)如图1 ,求直线BC解析式；(2)如图2,点P Q分别是线段AB BC上的点，且AF=J BQ连接PQ若点Q的横坐标为t , △ BPC 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量取值范围； (3) 如图3,在(2)的条件下，点 E 是线段OA 上一点，连接 BE 将厶ABE 沿BE 翻折, 使翻折后的点 A 落在y 轴上的点H 处，点F 在y 轴上点H 上方EH= FH 连接EF 并延长交BC 于点G 若B 'AR 连接PE 连接P G 交BE 于点「求BT 长.≡1鈕解：(1)由已知可得 A (- 3 , 0), B(0, 4),∙∙∙ OA= 3, OB= 4,∙∙∙ A B=常丁吐；CF 丛=•二 I = 5,∙∙∙ AB= AC∙ AC= 5,∙C ( 2, 0), 设BC 的直线解析式为 y = kx +b , 将点B 与点C 代入，得(O-Ξk+b U=b , r ⅛=-2∙ BC 的直线解析式为 y =- 2x +4;(2)过点Q 作MQ y 轴，与y 轴交于点 M 过点Q 作QEL AB 过点C 作CF ⊥ABS34图2τ Q 点横坐标是t ,∙°∙ MQ= t ,T Ma OC…典厶/5∙ BQ= ∏t ,∙.∙ AP = BQ∙ AP= F ,T AA 5,∙ PB- 5 -凤.∣t ,在等腰三角形 ABC 中, AC= AB= 5, BC= 2 一二,1 11V--ABX CF=T-ACX OB∙ CF = OB^ 4, T EQ/ CFES -√5t•— L ∙ EQ= 2t ,∙ S =丄 L-×( 5- Γt )=-.匸—t (0≤ t ≤ 2); (3)如图3，8CH≡3EH)23 占 八3 4)BG=54E 、0O E =丄OiAE =( 4 - AE ) 2+12•••将厶ABE 沿BE 翻折，使翻折后的点 A 落在y 轴上的点H 处,∙∙∙ AH= AB= 5,∙∙∙ OH= BH- ∙∙∙ EH =O+H,∙点 E (- -二，∙点 F (0,4 3∙∙∙ EH= FH= ⅛ ∙直线EF 解析式为y=—x+—, 直线BE 的解析式为: y = 3x +4,∙ X ∙- 2x +4= ―X• X =- 1,•点 T （- 1, 1）• B T =:厂 Iuj . T J = '115.如图，在平面直角坐标系中，点A (4, 0)、点B (0, 4),过原点的直线l 交直线AB 于点P * X\P 丿(1 )∠ BAQ 的度数为 45 °，△ AoB 的面积为 8(2) 当直线l 的解析式为y = 3X 时，求△ AOP 勺面积；1(3) 当时，求直线I 的解析式. Li AEOF J解：(1)τ点 A (4, 0)、点 B (0, 4),• OA= OB∙∙∙∠ AO = 90°,• △ AOB 是等腰直角三角形，∙∙∙ BG=主丄AP ∙∙∙ AP= 1, •••点 P （- 12 4 T ，百 •直线PG 的解析式为:•/ BAO= 45°,A AOB的面积=f-× 4 × 4= 8;故答案为：45, 8;(2)设直线AB 的解析式为：y = kx +b ,•••直线AB 的解析式为：y =- x +4, •••直线l 的解析式为y =3x ,解苗得Dl• P (1, 3),• △ AoP 勺面积=⅛× 4× 3= 6;(3)如图，过 P 作 PC ⊥OA 于 C, 贝y PC// OB S AAOP^ABOFAP- LPB = 3PAL •屈=1?∙∙∙ PC// OBPC AC PA OB OA AB'• PC= 1, AC= 1, ∙ OC= 3, • P (3,1), .∙.∙=直线I 的解析式为y =二χ∙把点A (4, 0)、点B(0, 4)代入得 '4fc+b=0 L b =4 解得: t b=4。
挑战2024年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题02解方程与解不等式篇(原卷版+解析)
专题02 解方程与解不等式1. 解一元一次方程的步骤：①去分母——等式左右两边同时乘分母的最小公倍数。
②去括号。
注意括号前的符号，是否需要变号。
③移项——含有未知数的项移到等号左边，常数移到等号右边。
移动的项一定要变符号。
④合并——利用合并同类项的方法合并。
⑤系数化为1——等式左右两边同时除以系数（或乘上系数的倒数）。
2. 解二元一次方程组的方法：①代入消元法：将其中一个方程的其中一个未知数用另一个未知数表示出来代入另一个方程中，实现消元，进而求出方程组的解的方法叫做代入消元法。
（通常适用于有未知数的系数是±1的方程组） ②加减消元法：当方程组中的两个方程的同一个未知数的系数相同或相反时，则可以利用将两个方程相减或相加的方法消掉这个未知数的方法叫做加减消元法。
3. 解分式方程的步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
4. 解一元二次方程的方法：（1）直接开方法：适用形式：p x =2或()p a x =+2或()p b ax =+2（p 均大于等于0） ①p x =2时，方程的解为：p x p x -==21，。
②()p a x =+2时，方程的解为：a p x a p x --=-=21，。
③()p b ax =+2时，方程的解为：a b p x a b p x --=-=21，。
（2）配方法的具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。
②移项——把常数项移到等号右边。
③配方——两边均加上一次项系数一半的平方得到完全平方式。
④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。
⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。
（3）公式法：根的判别式：ac b 42-=∆；求根公式：a ac b b x 242-±-=。
中考《一次方程(组)》经典例题及解析
一次方程（组）一、方程和方程的解的概念1．等式的性质（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．2．方程:含有未知数的等式叫做方程．3．方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．二、一元一次方程及其解法1．一元一次方程:只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．三、二元一次方程（组）及解的概念1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩． 4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．四、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．2．一次方程（组）常见的应用题型（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量． （2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．（4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．经典例题 一元一次方程的定义1．关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】C【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可．【解析】解：因为关于x 的一元一次方程2x a -2+m =4的解为x =1， 可得：a -2=1，2+m =4，解得：a =3，m =2，所以a +m =3+2=5，故选C ．【点睛】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．1．关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程，则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．211m ∴﹣＝，即1m ＝或0m ＝，方程为20x ﹣＝或20x --＝，解得：2x ＝或2x =-，当2m -1=0，即m =12时，方程为112022x --=解得：x =-3， 故答案为x =2或x =-2或x =-3．【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．经典例题 解一元一次方程 1．解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x = 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【解析】解：221123x x x ---=- ()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x ＝a 形式转化． 2．以下是圆圆解方程1323+--x x ＝1的解答过程． 解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1．去括号，得3x +1﹣2x +3＝1．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．【答案】圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程见解析【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案．【解析】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝6．去括号，得3x +3﹣2x +6＝6．移项，合并同类项，得x ＝﹣3．【点睛】此题主要考查一元一次方程的求解，解题的关键是熟知一元一次方程的求解方法．3．把19-这9个数填入33⨯方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x 的值为：（ ）【答案】A【分析】根据题意求出“九宫格”中的y ，【解析】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用1．关于x 的方程38x x -=的解为x ___【答案】4【分析】方程移项、合并同类项、把x 系数【解析】解：方程38x x -=，移项,【点睛】方程移项，把x 系数化为1，即可2．有一列数，按一定的规律排列成1个数中第一个数是______．【答案】81-【分析】题中数列的绝对值的比是-3，由三解．【解析】题中数列的绝对值的比是-3，由三题意：()n 3n 9n 567+-+=-，解得：【点睛】此题主要考查数列的规律探索与运列出方程是解题的关键．3． 在实数范围内定义运算“☆”：a，再求出x 即可求解． +7+y 解得y=6∴8+x+6=2+5+8解得x=1故选A ． 的应用，解题的关键是根据题意得到方程求解．=________．系数化为1，即可求出解． 得3x-x=8，合并同类项，得2x=8.解得x=4．故答案为即可求出解．3，1-，3，9-，27，－81，…．若其中某三个相邻由三个相邻数的和是567-，可设三个数为n ，-由三个相邻数的和是567-，可设第一个数是n ，：n=-81，故答案为：-81．索与运用，一元一次方程与数字的应用，熟悉并会用1b a b =+-☆，例如：232314=+-=☆．如果2☆答案为：x=4．个相邻数的和是567-，则这三-3n ，9n ，据题意列式即可求，则三个数为n ，-3 n ，9n 由并会用代数式表示常见的数列，1x =，则x 的值是（ ）．【答案】C【分析】根据题目中给出的新定义运算规则进行运算即可求解．【解析】解：由题意知：2211☆=+-=+x x x ，又21x =☆，∴11x +=，∴0x =．故选：C ．【点睛】本题考查了实数的计算，一元一次方程的解法，本题的关键是能看明白题目意思，根据新定义的运算规则求解即可． 经典例题 一元一次方程的应用1．我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为______．【答案】（240-150）x=150×12【分析】根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x 的一元一次方程．【解析】解：题中已设快马x 天可以追上慢马，则根据题意得：（240-150）x=150×12．故答案为：（240-150）x=150×12．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用问题，找到等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打________折．【答案】八【分析】打折销售后要保证打折后利率为20%，因而可以得到不等关系为：利润率=20%，设可以打x 折，根据不等关系列出不等式求解即可.【解析】解：设应打x 折，则根据题意得：（180×x×10%-120）÷120=20%，解得：x=8．故商店应打八折．故答案为：八．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系式，同时要注意掌握利润率的计算方法．1．篮球联赛中，每玚比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了_________场．【答案】9【分析】设该对胜x 场，则负14-x 场，然后根据题意列一元一次方程解答即可．【解析】解：设该对胜x 场 由题意得：2x+（14-x ）=23，解得x=9．故答案为9．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意、设出未知数、找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x 人，可列方程（ ）A ．2932x x +=-B ．9232x x -+=C ．9232xx +-= D ．2932x x -=+ 【答案】B【分析】设有x 人，根据车的辆数不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解析】解：设有x 人，根据车的辆数不变列出等量关系，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则车辆数为：23x +， 每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则车辆数为：92x -， ∴列出方程为：9232x x -+=．故选：B ． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 经典例题 二元一次方程（组）的定义1. 下列方程中，是二元一次方程组的是A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩C ．245x x y ⎧=⎨+=⎩D ．75x y xy +=⎧⎨=⎩ 【答案】A 【解析】根据定义可以判断：A 、4237x y x y +=⎧⎨+=⎩，满足要求；B 、23225412a b x c -=⎧⎨-=⎩中含有a ，b ，c ，是三元方程； C 、245x x y ⎧=⎨+=⎩中含有2x ，是二次方程；D 、275x y x y +=⎧⎨-=⎩中含xy ，是二次方程．故选A ．【点评】二元一次方程组的三个必需条件：（1）含有两个未知数；（2）每个含未知数的项次数为1；（3）每个方程都是整式方程．1．若关于x ，y 的二元一次方程组20x y A +=⎧⎨=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩，则多项式A 可以是_____（写出一个即可）． 【答案】答案不唯一，如x ﹣y ． 【分析】根据方程组的解的定义，11x y =⎧⎨=⎩应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕11x y =⎧⎨=⎩列一组算式，【解析】∵关于x ，y 的二元一次方程组20x y A +=⎧⎨=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩，而1﹣1＝0， ∴多项式A 可以是答案不唯一，如x ﹣y ．故答案为：答案不唯一，如x ﹣y .【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解，正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键. 经典例题 解二元一次方程组1．解方程组2451x y x y +=⎧⎨=-⎩． 【答案】1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【分析】根据题意选择用代入法解答即可．【解析】解：2451x y x y +=⎧⎨=-⎩①②，将②代入①中得2(1)45y y -+=．解得32y =． 将32y =代入②，得12x =-．所以原方程组的解为1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解答关键是根据题目特点选择代入法或加减法解答问题．2．已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足3x y +=-，则a 的值为__________________． 【答案】5【分析】①+②可得x+y=2-a ，然后列出关于a 的方程求解即可．【解析】解：221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩①②，①+②，得3x+3y=6-3a ，∴x+y=2-a ， ∵3x y +=-，∴2-a=-3，∴a=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．3．若21a b =⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x ＋2y 的算术平方根为（ ） A ．3B ．3，－3 CD【分析】将21a b =⎧⎨=⎩代入二元一次方程组中解出x 和y 的值，再计算x ＋2y 的算术平方根即可． 【解析】解：将21a b =⎧⎨=⎩代入二元一次方程3522ax by ax by ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中， 得到：3522+=⎧⎨-=⎩x y x y ，解这个关于x 和y 的二元一次方程组， 两式相加，解75x =得，将75x =回代方程中，解得45y =， ∴7415223555+=+⨯==x y ，∴x ＋2yC ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，算术平方根的概念等，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．1．方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是_________． 【答案】22x y =⎧⎨=⎩【分析】直接利用加减消元法求解．【解析】422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①+②得：3x=6，解得x=2， 把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩．故答案为：22x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】考查了解二元一次方程组，解题关键是利用加减消元法实现消元．2．已知1023a b +=，16343a b +=，则+a b 的值为_________． 【答案】1【分析】观察已知条件可得两式中a 与b 的系数的差相等，因此把两式相减即可得解．【解析】解：1023a b +=①，16343a b +=②，②-①得，2a+2b=2，解得：a+b=1,故答案为：1． 【点睛】此题主顾考查二元一次方程组的特殊解法，观察条件的结构特征得出2a+2b=2是解答此题的关键．3．已知关于x ，y的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩与215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同． （1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于x 的方程20x ax b ++=的解．试【答案】（1）-；12 （2）等腰直角三角形，理由见解析【分析】（1）关于x ，y 的方程组4ax x y ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩215x y x by -=⎧⎨+=⎩的解相同．实际就是方程组 42x y x y +=⎧⎨-=⎩的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值；（2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与形的形状．【解析】解：由题意列方程组：42x y x y +=⎧⎨-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩将3x =，1y =分别代入ax +=-和15x by +=解得a =-12b = ∴a =-，12b =（2）2120x -+= 解得x == 这个三角形是等腰直角三角形理由如下：∵222+=∴该三角形是等腰直角三角形．【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 经典例题 二元一次方程组的应用1．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x 斛，1个小桶盛酒y 斛，下列方程组正确的是（ ）．A ．5352x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．5253x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．53125x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．35251x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.【解析】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，∴5x+y=3，∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，∴x+5y=2，∴得到方程组5352x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选：A. 【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.——进价（元/部） 售价（元/部） A3000 3400 B 3500 4000某营业厅购进A 、B 两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共30部，其中B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为6部、4部；（2）营业厅购进A 种型号的手机10部，B 种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A 、B 两种型号手机各多少部；（2）根据题意，可以得到利润与A 种型号手机数量的函数关系式，然后根据B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，可以求得A 种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．【解析】解：（1）设营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为a 部、b 部，()()300035003200034003000400035004400a b a b +=⎧⎨-+-=⎩，解得，64a b =⎧⎨=⎩， 答：营业厅购进A 、B 两种型号手机分别为6部、4部；（2）设购进A 种型号的手机x 部，则购进B 种型号的手机(30﹣x )部，获得的利润为w 元，w ＝(3400﹣3000)x +(4000﹣3500)(30﹣x )＝﹣100x +15000，∵B 型手机的数量不多于A 型手机数量的2倍，∴30﹣x ≤2x ，解得，x ≥10，∵w ＝﹣100x +15000，k ＝﹣100，∴w 随x 的增大而减小，∴当x ＝10时，w 取得最大值，此时w ＝14000，30﹣x ＝20，答：营业厅购进A 种型号的手机10部，B 种型号的手机20部时获得最大利润，最大利润是14000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．1．我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工x 米，乙工程队每天施工y 米，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A ．2x y =-⎧⎨B ．2x y =-⎧⎨C ．2x y =+⎧⎨D ．2x y =+⎧⎨【答案】D【分析】根据“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”和“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可分别列出方程，联立即可．【解析】解：依据题意：“甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程”可列方程23()40050x x y ++=-，“甲工程队每天比乙工程队多施工2米”可列方程2x y =+，故可列方程组：223()40050x y x x y =+⎧⎨++=-⎩，故选：D ． 【点睛】本题考查列二元一次方程组．能仔细读题，找出描述等量关系的语句是解题关键．2．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”．设鸡有x 只，兔有y 只，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）A ．352494x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．354294x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．235494x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．435294x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A 【分析】根据“上有三十五头”和“下有九十四足”两个等量关系列二元一次方程组即可．【解析】解：设鸡有x 只，兔有y 只 根据上有三十五头，可得x+y=35；下有九十四足，2x+4y=94 即352494x y x y +=⎧⎨+=⎩．故答案为A ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意、找准等量关系是解答本题的关键．。
2020年九年级数学中考压轴专题：《一次函数实际应用》(解析版)
中考三轮压轴专题：《一次函数实际应用》1．某服装店同时购进甲、乙两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进甲款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部甲、乙两款运动服获得的总利润为y 元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该服装店计划投入2万元购进这两款运动服，则至少购进多少套甲款运动服？若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？（3）在（2）的条件下，若服装店购进甲款运动服的进价降低a元（其中20＜a＜40），且最多购进240套甲款运动服，若服装店保持这两款运动服的售价不变，请你设计出使该服装店获得最大销售利润的购进方案．运动服款式甲款乙款进价（元/套）60 80售价（元/套）100 1502．某单位要将一份宣传资料进行批量印刷．在甲印刷厂，在收取100元制版费的基础上，每份收费0.5元；在乙印刷厂，在收取40元制版费的基础上，每份收费0.7元．设该单位要印刷此宣传资料x份（x为正整数）．（1）根据题意，填写下表：印刷数量（份）150 250 350 450 …甲印刷厂收费（元）175 ①275 ②…乙印刷厂收费（元）145 215 ③355 …（2）设在甲印刷厂收费y1元，在乙印刷厂收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数解析式；（3）当x≥100时，在哪家印刷厂花费少？请说明理由．3．某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费88元．（1）求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；（2）若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．①求w关于x的函数关系式；②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．4．今年某水果加工公司分两次采购了一批桃子，第一次费用为25万元，第二次费用为30万元．已知第一次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格上涨了0.1万元，第二次采购时每吨桃子的价格比去年的平均价格下降了0.1万元，第二次采购的数量是第一次采购数量的2倍．（1）试问去年每吨桃子的平均价格是多少万元？两次采购的总数量是多少吨？（2）该公司可将桃子加工成桃脯或桃汁，每天只能加工其中一种．若单独加工成桃脯，每天可加工3吨桃子，每吨可获利0.7万元；若单独加工成桃汁，每天可加工9吨桃子，每吨可获利0.2万元为出口需要，所有采购的桃子必须在30天内加工完毕．①根据该公司的生产能力，加工桃脯的时间不能超过多少天？②在这次加工生产过程中，应将多少吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润？最大利润为多少？5．为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．（1）求y与x的函数关系；（2）若在购买计划中，B种苗的数量不少于22棵但不超过35棵，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．6．商丘市梁园区紧紧围绕十九大报告提出的阶段性目标任务，深化农业供给侧结构性改革，调整种植结构，深入进行了四大结构调整，分别是：水池铺乡的辣椒产业、刘口乡的杂果基地，孙福集乡的山药、莲藕产业，双八镇的草莓产业．目前，这四种产业享誉省内外．某外地客商慕名来商丘考查，他准备购入山药和草莓进行试销，经市场调查，若购进山药和草莓各2箱共花费170元，购进山药3箱和草莓4箱共花费300元．（1）求购进山药和草莓的单价；（2）若该客商购进了山药和草莓共1000箱，其中山药销售单价为60元，草莓的销售单价为70元．设购进山药x箱，获得总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②由于草莓的保鲜期较短，该客商购进草莓箱数不超过山药箱数的，要使销售这批山药和草莓的利润最大，请你帮该客商设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．7．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行探究：（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义：；（3）求线段CD所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．8．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40min后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km/h，结果与甲车同时到达B地，甲乙两车距A地的路程y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示（1）a＝，甲的速度是km/h；（2）求线段CF对应的函数表达式，并求乙刚到达货站时，甲距B地还有多远？（3）乙车出发min追上甲车？（4）直接写出甲出发多长时间，甲乙两车相距40km．9．为加强校园文化建设，某校准备打造校园文化墙，需用甲、乙两种石材经市场调查，甲种石材的费用y（元）与使用面积x（m2）间的函数关系如图所示，乙种石材的价格为每平方米50元．（1）求y与x间的函数解析式；（2）若校园文化墙总面积共600m2，其中使用甲石材xm2，设购买两种石材的总费用为w 元，请直接写出w与x间的函数解析式；（3）在（2）的前提下，若甲种石材使用面积多于300m2，且不超过乙种石材面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种石材的面积才能使总费用最少？最少总费用为多少元？10．“垃圾分类”意识已经深入人心．我校王老师准备用2000元（全部用完）购买A，B 两类垃圾桶，已知A类桶单价20元，B类桶单价40元，设购入A类桶x个，B类桶y个．（1）求y关于x的函数表达式．（2）若购进的A类桶不少于B类桶的2倍．①求至少购进A类桶多少个？②根据临场实际购买情况，王老师在总费用不变的情况下把一部分A类桶调换成另一种C类桶，且调换后C类桶的数量不少于B类桶的数量，已知C类桶单价30元，则按这样的购买方式，B类桶最多可买个．（直接写出答案）11．为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动，自行车队从甲地出发，目的地为乙地，在自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往乙地，到达乙地后立即按原路返回甲地．自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的3倍．如图所示的是自行车队、邮政车离甲地的路程y（km）与自行车队离开甲地的时间x（h）的关系图象，请根据图象提供的信息，回答下列问题．（1）自行车队行驶的速度是；邮政车行驶的速度是；a＝．（2）邮政车出发多少小时与自行车队相遇？（3）当邮政车与自行车队相距15km时，此时离邮政车出发经过了多少小时？12．为了减少二氧化碳的排放量，提倡绿色出行，越来越多市民选择租用共享单车出行，已知某共享单车公司为市民提供了手机支付（使用的前1小时免费）和会员卡支付两种支付方式，如图描述了两种方式应支付金额y（元）与骑行时间x（时）之间的函数关系，根据图象回答下列问题：（1）图中表示会员卡支付的收费方式是（填①或②）．（2）在图①中当x≥1时，求y与x的函数关系式．（3）陈老师经常骑行该公司的共享单车，请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算．13．如图①，某商场有可上行和下行的两条自动扶梯，扶梯上行和下行的长度相等，运行速度相同且保持不变，甲、乙两人同时站上了上行和下行端，甲站上上行扶梯的同时又以0.8米/秒的速度往上走，乙站上下行扶梯后则站立不动随扶梯下行，甲到达扶梯顶端后立即乘坐下行扶梯（换乘时间忽略不计）同时以0.8米/秒的速度往下走，乙到达低端后则在原点等候甲，图②中线段OB、AB分别表示甲、乙两人在乘坐扶梯过程中，高扶梯底端的路程y（米）与所用时间x（秒）的部分函数图象，结合图象解答下列问题：（1）每条扶梯的长度为米（直接填空）；（2）求点B的坐标；（3）乙到达扶梯底端后，还需等待秒，甲才到达扶梯底端（直接填空）．14．小明和小津去某风景区游览，小明从明桥出发沿景区公路骑自行车去陶公亭，同一时刻小津在霞山乘电动汽车出发沿同一公路去陶公亭，车速为24m/h．他们出发后xh时，离霞山的路程为ykm，y为x的函数图象如图所示：（1）求直线OC和直线AB的函数表达式；（2）回答下列问题，并说明理由；①当小津追上小明时，他们是否已过了夏池？②当小津到达陶公亭时，小明离陶公亭还有多少千米？15．武胜县白坪一飞龙乡村旅游度假区橙海阳光景点组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：脐橙品种A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4每吨脐橙获得（元）1200 1600 1000（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？（3）设销售利润为W（元），求W与x之间的函数关系式；若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．16．“守护碧水蓝天，守护我们的家园”，某市为了改善城市环境，预算116万元购进A、B两种型号的清扫机，已知A型号清扫机的单价比B型号清扫机单价的多1.2万元，若购进2台A型号清扫机和3台B型号清扫机花费54.6万元．（1）求A型号清扫机和B型号清扫机的单价分别为多少万元；（2）该市通过考察决定先购进两种型号的清扫机共10台，且B型号的清扫机数量不能少于A型号清扫机的1.5倍，该市怎样购买才能花费最少？最少花费多少万元？17．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，其中A型净水器每台的利润为400元，B型净水器每台的利润为500元．该公司计划再一次性购进两种型号的净水器共100台，其中B型净水器的进货量不超过A型净水器的2倍，设购进A型净水器x台，这100台净水器的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该公司购进A型、B型净水器各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型净水器出厂价下调a（0＜a＜150）元，且限定公司最多购进A型净水器60台，若公司保持同种净水器的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台净水器销售总利润最大的进货方案．参考答案1．解：（1）根据题意得y＝（100﹣60）x+（150﹣80）（300﹣x）＝﹣30x+21000；即y＝﹣30x+21000．（2）由题意得，60x+80（300﹣x）≤20000，解得x≥200，∴至少要购进甲款运动服200套．又∵y＝﹣30x+21000，﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝200时，y有最大值，y最大＝﹣30×200+21000＝15000，∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元．（3）由题意得，y＝（100﹣60+a）x+（150﹣80）（300﹣x），其中200≤x≤240，化简得，y＝（a﹣30）x+21000，∵20＜a＜40，则：①当20＜a＜30时，a﹣30＜0，y随x的增大而减小，∴当小00时，y有最大值，则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大．②当a＝30时，a﹣30＝0，y＝21000，则服装店应购进甲款运动服的数量应满足100≤x≤120，且x为整数时，服装店获利最大．③当30＜a＜40时，a﹣30＞0，y随x的增大而增大，∵200≤x≤240，∴当x＝240时，y有最大利润，则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大．2．解：（1）由题意可得，当x＝250时，甲印刷厂的费用为：100+0.5×250＝225（元），当x＝450时，甲印刷厂的费用为：100+0.5×450＝325（元），当x＝350时，乙印刷厂的费用为：40+0.7×350＝285（元），故答案为：①225；②325；③285．（2）根据题意，得y1＝100+0.5x，y2＝40+0.7x．（3）设在甲、乙两个印刷厂收费金额的差为y元，则y＝y1﹣y2＝60﹣0.2x．当y＝0时，即60﹣0.2x＝0，得x＝300．∴当x＝300时，在甲、乙两个印刷厂花费相同．∵﹣0.2＜0，∴y随x的增大而减小．∴当100≤x＜300时，有y＞0，在乙印刷厂花费少；当x＞300时，有y＜0，在甲印刷厂花费少．3．解：（1）设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，，得答：购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；（2）①由题意可得，w＝（12﹣8）x+（23﹣16）（100﹣x）＝﹣3x+700，即w关于x的函数关系式为w＝﹣3x+700；②∵所获利润不低于进货价格的45%，∴﹣3x+700≥[8x+16（100﹣x）]×45%，解得，x≥33，∵x为整数，w＝﹣3x+700，∴当x＝34时，w取得最大值，此时w＝598，100﹣x＝66，答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．4．解：（1）设去年每吨桃子的平均价格是a万元/吨，根据题意，解得a＝0.4．经检验，a＝0.4是原方程的解．（吨），答：去年每吨桃子的平均价格是0.4万元，两次采购的总数量是150吨；（2）①设该公司加工桃脯用x天，根据题意得，解得x≤20．所以加工桃脯的时间不能超过20天；②设该公司加工桃脯用x天，获得最大利润为w万元，根据题意得w＝0.73x+0.2×（150﹣3x）＝1.5x+30，∵k＝1.5＞0，∴y随x的增大而增大，∵x≤20，∴当x＝20时，w最大值＝1.5×20+30＝60（万元），∴3×20＝60（吨）．答：应将60吨桃子加工成桃脯才能获取最大利润，最大利润为60万元．5．解：（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝k1x，20k1＝160，解得，k1＝8，即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝8x，当20＜x≤45时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b，，解得，即当20＜x≤45时，y与x的函数关系式是y＝6.4x+32，综上可知：y与x的函数关系式为；（2）设购买B种树苗x课，则22≤x≤35，设总费用为W元，当20＜x≤35时，W＝7（45﹣x）+（6.4x+32）＝﹣0.6x+347，∵﹣6＜0，∴W随x的增大而减小，故当x＝35时，W取得最小值，此时W＝326，45﹣x＝10，答：当购买A种树苗10棵，B种树苗35棵时总费用最低，最低费用是326元．6．解：（1）设购进每箱山药的单价为x元，购进每箱草莓的单价为y元，根据题意得，解得，答：每箱山药的单价为40元，每箱草莓的单价为45元；（2）①由题意可得，y＝（60﹣40）x+（70﹣45）（1000﹣x）＝﹣5x+25000；②由题意可得，，解得：x≥750，又y＝﹣5x+25000，k＝﹣5＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝750时，y达到最大值，即最大利润y＝﹣5×750+25000＝21250（元），此时1000﹣x＝1000﹣750＝250（箱），答：购进山药750箱，草莓250箱时所获利润最大，利润最大为21250元．7．解：（1）由题意，得甲、乙两地之间的距为900km．故答案为：900；（2）由函数图象，得图中点B的实际意义是：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇．故答案为：当慢车行驶4 h时，慢车和快车相遇；（3）设线段CD的解析式为y＝kx+b，快车与慢车的速度和为：900÷4＝225（km/h），慢车的速度为：900÷12＝75（km/h），快车的速度为：225﹣75＝150（km/h）．由题意，得快车走完全程的时间按为：900÷150＝6h，6时时两车之间的距离为：225×（6﹣4）＝450km．则C（6，450）．将点C（6，450）、D（12，900）代入函数关系式得，解得，∴线段CD的解析式为y＝75x（6≤x≤12）．8．解：（1）∵线段DE代表乙车在途中的货站装货耗时半小时，∴a＝4+0.5＝4.5（小时），甲车的速度＝＝60（千米/小时）；故答案为：4.5；60；（2）乙出发时甲所走的路程为：60×＝40（km），∴线段CF对应的函数表达式为：y＝60x+40；乙刚到达货站时，甲距B地的路程为：460﹣60×（4+）＝180（km）．（3）设乙车刚出发时的速度为x千米/时，则装满货后的速度为（x﹣50）千米/时，根据题意可知：4x+（7﹣4.5）（x﹣50）＝460，解得：x＝90．乙车追上甲车的时间为40÷（90﹣60）＝（小时），小时＝80分钟，故答案为：80；（4）易得直线OD的解析式为y＝90x（0≤x≤4），根据题意得60x+40﹣90x＝40或90（x）﹣60x＝40或60x＝9×4﹣40，解得x＝或x＝或x＝．答：甲出发小时或x＝小时或x＝小时后，甲乙两车相距40km．9．解：（1）①0≤x≤300时，设y＝kx+b（k≠0），过（0，0），（300，24000），，解得，∴y＝80x，②x＞300时，设y＝kx+b（k≠0），过（300，24000），（500，30000），，解得，∴y＝30x+15000，∴y＝；（2）w＝30x+15000+50（600﹣x），即w＝﹣20x+45000；（3）设甲种石材为am2，则乙种石材（600﹣a）m2，，∴300＜x≤400，由（2）知w＝﹣20x+45000，∵k＝﹣20＜0，∴W随x的增大而减小，即甲400m2，乙200m2时，W min＝﹣20×400+45000＝37000．答：甲种石材400m2，乙种石材200m2时，总费用最少，最少总费用为37000元．10．解：（1）根据题意，得20x+40y＝2000得y＝﹣x+50．答：y关于x的函数表达式为y＝﹣x+50；（2）①∵购进的A类桶不少于B类桶的2倍，∴x≥2y，即x≥2（﹣x+50）．解得x≥50．答：至少购进A类桶50个；②设购入A类桶x个，B类桶y个，C类桶c个，根据题意，得20x+40y+30c＝2000得y＝．∵调换后C类桶的数量不少于B类桶的数量，∴c≥．解得c≥．∵A类桶不少于B类桶的2倍．∴x≥2y∴x≥2×．解得c≥．∴．＝．解得x＝∵x、y、c为正整数，所以A类至少买36个，所以B类最多买18个．11．解：（1）自行车队行驶的速度是140÷7＝20（m/h），邮政车行驶的速度是：20×3＝60（m/h），a＝1+140÷60＝．故答案为：20km/h；60km/h；．（2）设邮政车出发x小时两车相遇，分两种情况：①首次相遇，由题意得20（x+1）＝60x，解得，故邮政车出发小时两车首次相遇②邮政车在返程途中与自行车队再次相遇．根据题意得20（x+1）+60x＝140×2，解得，故邮政车出发小时后，在返程途中与自行车队再次相遇．即邮政车出发后小时或小时与自行车队相遇．（3）设离邮政车出发经过了m小时与自行车队相距15km．当时，①当自行车队在邮政车前面时，20（m+1）﹣60m＝15，解得；②当邮政车在自行车队前面时，60m﹣20（m+1）＝15，解得；当时，①邮政车从乙地返回，与自行车队未相遇，20（m+1）+60m﹣140＝140﹣15，解得；②邮政车从乙地返回，与自行车队相遇后，20（m+1）+60m﹣140＝140+15，解得．即邮政车与自行车队相距15km时，此时离邮政车出发经过了小时或小时或小时或小时．12．解：（1）图中表示会员卡支付的收费方式是②．（2）当x≥1时，设手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y＝kx+b （k≠0），将（1，0），（1.5，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴当x≥1时，手机支付金额y（元）与骑行时间x（时）的函数关系式为y＝4x﹣4．（3）设会员卡支付对应的函数关系式为y＝ax，将（1.5，3）代入y＝ax，得：3＝1.5a，解得：a＝2，∴会员卡支付对应的函数关系式为y＝2x．令2x＝4x﹣4，解得：x＝2．由图象可知，当0＜x＜2时，陈老师选择手机支付比较合算；当x＝2时，陈老师选择两种支付都一样；当x＞2时，陈老师选择会员卡支付比较合算．13．解：（1）由图象可知，每条扶梯的长度为30米（直接填空）；故答案为：30（2）设扶梯上行和下行的速度为xm/s，则7.5（2x+0.8）＝30，解得x＝1.6，7.5（x+0.8）＝7.5×（1.6+0.8）＝7.5×2.4＝18．则点B的坐标是（7.5，18）．∴B（7.5，18）；（3）由题意，得30×2÷（1.6+0.8）﹣30÷1.6＝60÷2.4﹣18.75＝25﹣18.75＝6.25（s）．故乙到达扶梯底端后，还需等待6.25s，甲才到达扶梯底端．故答案为：6.2514．解：（1）小明骑车的速度为：（60﹣15）÷3.75＝12（km/h），∴直线AB的函数表达式为：y＝12x+15；直线OC的函数表达式为：y＝24x；（2）①当小津追上小明时，24x＝12x+15，解得x＝1.25（h），24×1.25＝30（km），30＜15+20，∴当小津追上小明时，他们没有到达夏池；②小津到达陶公亭所需时间为：60÷24＝2.5（h），60﹣（12×2.5+15）＝15（km）．答：当小津到达陶公亭时，小明离陶公亭还有15千米．15．解：（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为（20﹣x﹣y），则有：6x+5y+4（20﹣x﹣y）＝100整理得：y＝﹣2x+20（1≤x≤9且为整数）；（2）由（1）知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、﹣2x+20、x由题意得：，解得4≤x≤8，因为x为整数，所以x的值为4、5、6、7、8，所以安排方案共有5种．方案一：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车；方案二：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车，方案三：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车，方案四：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车，方案五：装运A种脐橙8车，B种脐橙4车，C种脐橙8车；（3）W＝6x×1200+5（﹣2x+20）×1600+4x×1000＝﹣4800x+160000，∵k＝﹣4800＜0∴W的值随x的增大而减小，要使利润W最大，则x＝4，故选方案为：装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车．W最大＝﹣4800×4+160000＝140800（元），答：当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，获利最大，最大利润为140800元．16．解：（1）设B型号清扫机的单价为x万元，则A型号清扫机的单价为（）万元，根据题意得，解得x＝11.6，（万元），答：A型号清扫机的单价为9.9万元，型号清扫机的单价为11.6万元；（2）设购进A型号清扫机a台，总花费为W元，根据题意得10﹣a≥1.5a，解得a≤4，W＝9.9a+11.6（10﹣a）＝﹣1.7a+116，∵k＝﹣1.7＜0，∴W随a的增大而减小，∴当购进A型号清扫机4台时花费最少，最少花费为：﹣1.7×4+116＝109.2（万元）．答：当购进A型号清扫机4台，B型号的清扫机6台时花费最少，最少花费为109.2万元．17．解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥，∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该公司购进A型净水器34台、B型净水器66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即公司购进34台A型净水器和66台B型净水器的销售利润最大．②a＝100时，a﹣100＝0，y＝50000，即公司购进A型净水器数量满足≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜150时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值．即公司购进60台A型净水器和40台B型净水器的销售利润最大．。
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专题 02一次方程（组）的含参及应用问题【考点1】一次方程的有关定义【例1】（2019•呼和浩特）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为________．【答案】x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3【解析】∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；当2m﹣1＝0，即m时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝﹣3，故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．【变式1-1】（2019•湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为．【答案】4【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，∴3×2﹣2k+2＝0，解得：k＝4．故答案为：4．点睛：此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键．【变式1-2】（2019•常州）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝．【答案】1【解析】把代入二元一次方程ax+y＝3中，a+2＝3，解得a＝1．故答案是：1．点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．【考点2】方程组的解法【例2】（2019•南通）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【答案】A【解析】，①+②得：5a+5b＝10，则a+b＝2，故选：A．点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．【变式2-1】（2019•荆门）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【答案】A【解析】，①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．故选：A．点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y 的方程组是关键．【考点3】方程组的含参问题【例3】（2019•朝阳）关于x，y的二元一次方程组的解是，则m+n的值为（）A．4 B．2 C．1 D．0【答案】D【解析】把代入得：，解得：，则m+n＝0，故选：D．点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．【变式3-1】（2019•菏泽）已知是方程组的解，则a+b的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5【答案】A【解析】将代入，可得：，两式相加：a+b＝﹣1，故选：A．点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．【变式3-2】（2019•巴中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0【答案】B【解析】将代入得：，∴a+b＝2；故选：B．点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．【考点4】二元一次方程的方案问题【例4】（2019•天门）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（）A．3种B．4种C．5种D．9种【答案】B【解析】设2m的钢管b根，根据题意得：a+2b＝9，∵a、b均为整数，∴，，，．故选：B．点睛：本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．【变式4-1】（2019•齐齐哈尔）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B 品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种【答案】B【解析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，依题意，得：60x+75y＝1500，∴y＝20x．∵x，y均为正整数，∴，，，，∴该学校共有4种购买方案．故选：B．点睛：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程．【考点5】一次方程组的应用问题【例5】（2019•娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：类别成本价（元/箱）销售价（元/箱）甲25 35乙35 48 求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？【答案】（1）购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱；（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．【解析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，依题意，得：，解得：．答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式5-1】（2019•百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？【答案】（1）该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；（2）甲、丙两地相距千米．【解析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，依题意，得：，解得：．答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，依题意，得：，解得：a．答：甲、丙两地相距千米．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．【变式5-2】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：计费项目里程费时长费远途费单价 1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．【答案】（1）∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟；（2）小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．【解析】（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y0.3（x﹣y）＝5.7∴x﹣y＝19∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．（2）由（1）及题意得：化简得①+②得2y＝36∴y＝18 ③将③代入①得x＝37∴小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．点睛：本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．1．（2019•南充）关于x的一元一次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】C【解析】因为关于x的一元一次方程2x a﹣2+m＝4的解为x＝1，可得：a﹣2＝1，2+m＝4，解得：a＝3，m＝2，所以a+m＝3+2＝5，故选：C．点睛：此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．2．（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（）A．160元B．180元C．200元D．220元【答案】C【解析】设这种衬衫的原价是x元，依题意，得：0.6x+40＝0.9x﹣20，解得：x＝200．故选：C．点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．3．（2019•鸡西）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种【答案】B【解析】设一等奖个数x个，二等奖个数y个，根据题意，得6x+4y＝34，使方程成立的解有，，，∴方案一共有3种；故选：B．点睛：本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．4．（2019•孝感）已知二元一次方程组，则的值是（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【答案】C【解析】，②﹣①×2得，2y＝7，解得，把代入①得，x＝1，解得，∴故选：C．点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．（2019•乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（）A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50【答案】B【解析】设有x人，物价为y，可得：，解得：，故选：B．点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．（2019•台州）一道来自课本的习题：从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．故选：B．点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．7．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．D．【答案】B【解析】设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45＝7x+3．故选：B．点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8.（2019•铁岭）若x，y满足方程组，则x+y＝．【答案】7【解析】，①+②得：4x＝20，解得：x＝5，把x＝5代入②得：y＝2，则x+y＝2+5＝7，故答案为：7点睛：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．（2019•咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_____________．【答案】【解析】设木条长x尺，绳子长y尺，依题意，得：．故答案为：．点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．（2019•眉山）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝5，则k的值为．【答案】2【解析】，②×2﹣①，得3x＝9k+9，解得x＝3k+3，把x＝3k+3代入①，得3k+3+2y＝k﹣1，解得y＝﹣k﹣2，∵x+y＝5，∴3k+3﹣k﹣2＝5，解得k＝2．故答案为：2点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y 的方程组是关键．11．（2019•自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为．【答案】【解析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：，故答案为：，点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．12．（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【答案】【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．13．（2019•毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是元．【答案】2000【解析】设这种商品的进价是x元，由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．解得：x＝2000，故答案为2000点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答．14．（2019•南通）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．【答案】9x﹣11＝6x+16【解析】设有x个人共同买鸡，根据题意得：9x﹣11＝6x+16．故答案为：9x﹣11＝6x+16．点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．15．（2019•烟台）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？【答案】（1）计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者；（2）需调配36座客车3辆，22座客车5辆．【解析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，依题意，得：，解得：．答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，依题意，得：36m+22n＝218，∴n．又∵m，n均为正整数，∴．答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．16．（2019•淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：所用火车车皮数量（节）所用汽车数量（辆）运输物资总量（吨）第一批 2 5 130第二批 4 3 218试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？【答案】每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨【解析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，根据题意，得，∴，∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；点睛：本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．17．（2019•河池）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？【答案】（1）跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个；（2）该店的商品按原价的9折销售．【解析】（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，可得：，解得：，答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个；（2）设该店的商品按原价的a折销售，可得：（100×16+100×4）1800，解得：a＝9，答：该店的商品按原价的9折销售．点睛：本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．18．（2019•泸州）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；（2）最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．【解析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，依题意，得：，解得，答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：解得：3≤m＜5，∵m是整数，∴m＝3或4，当m＝3时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）；当m＝4时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）．答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．点睛：本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．。