统计学之虚拟变量
(1) 1=1 ，且2=2 ，即两个回归相同，称为重合 回归（Coincident Regressions）；
(2) 11 ,但2=2 ，即两个回归的差异仅在其截距， 称为平行回归（Parallel Regressions）;
(3) 1=1 ，但22 ，即两个回归的差异仅在其斜率 ，称为汇合回归(Concurrent Regressions)；
2. 乘法方式
加法方式引入虚拟变量，考察：截距的不同。 许多情况下：往往是斜率就有变化，或斜率、截距 同时发生变化。 斜率的变化可通过以乘法的方式引入虚拟变量来测 度。
例：根据消费理论，消费水平C主要取决于收 入水平Y，但在一个较长的时期，人们的消费倾 向会发生变化，尤其是在自然灾害、战争等反常 年份，消费倾向往往出现变化。这种消费倾向的 变化可通过在收入的系数中引入虚拟变量来考察 。
可以通过传统的回归检验，对2的统计显著性进 行检验，以判断企业男女职工的平均薪金水平是否 有显著差异。
2 0
又例：在横截面数据基础上，考虑个人保 健支出对个人收入和教育水平的回归。
教育水平考虑三个层次：高中以下， 高中， 大学及其以上。
这时需要引入两个虚拟变量：
模型可设定如下：
在E(i)=0 的初始假定下，高中以下、高中、大学及 其以上教育水平下个人保健支出的函数：
如，设
消费模型可建立如下：
这里，虚拟变量D以与X相乘的方式引入了模型中， 从而可用来考察消费倾向的变化。 假定E(i)= 0，上述模型所表示的函数可化为：
正常年份：
反常年份：
当截距与斜率发生变化时，则需要同时引入加法与乘法形 式的虚拟变量。
例，考察1990年前后的中国居民的总储蓄-收入关 系是否已发生变化。
可分别表示1990年后期与前期的储蓄函数。
在统计检验中，如果3=0的假设被拒绝，则说明两个时 期中储蓄函数的截距不同，如果4=0的假设被拒绝，则说明两 个时期中储蓄函数的斜率不同。
具体的回归结果为：
(-6.11) (22.89) (4.33) (-2.55) =0.9836
由3与4的t检验可知：参数显著地不等于0 ，强烈示出两个时期的回归是相异的，储蓄函 数分别为：
则进口消费品的回归模型可建立如Байду номын сангаас：
OLS法得到该模型的回归方程为：
则两时期进口消费品函数分别为：
当t<t*=1979年， 当tt*=1979年，
三、虚拟变量的设置原则
虚拟变量的个数须按以下原则确定： 每一定性变量所需的虚拟变量个数要比该定性 变量的类别数少1，即如果有m个定性变量，只在模 型中引入m-1个虚拟变量。 例 已知冷饮的销售量Y除受k种定量变量Xk的影 响外，还受春、夏、秋、冬四季变化的影响，要考察 该四季的影响，只需引入三个虚拟变量即可：
表中给出了中国1979~2001年以城乡储蓄存 款余额代表的居民储蓄以及以GNP代表的居民收入 的数据。
以Y为储蓄，X为收入，可令：
1990年前： Yi=1+2Xi+1i
i=1,2…,n1
1990年后： Yi=1+2Xi+2i
i=1,2…,n2
则有可能出现下述四种情况中的一种：
(4) 11，且22 ，即两个回归完全不同，称为相 异回归（Dissimilar Regressions）。
平行回归
汇合回归
相异回归
可以运用邹氏结构变化的检验。这一问题也可通过引入 乘法形式的虚拟变量来解决。
将n1与n2次观察值合并，并用以估计以下回归：
Di为引入的虚拟变量：
于是有：
四、虚拟因变量模型---二值选择 的线性概率模型
1990年前： 1990年后：
邹氏结构变化的检验和虚拟变量法的比较
邹检验只是告诉我们结构是否已经变化，而不能告诉 我们当有变化时候是因为只是斜率相异或只是截距相异 ，或两者均相异。但是虚拟变量法不仅告诉我们两个回 归是否有差异，而且落实到差异的起因——由于截距或 由于斜率或由于两者。
我们只要做一个回归，因为其他的回归可以方便地由 它导出。 这个单一的回归可以用来做各种假设检验。
由于合并而增加了自由度，参数估计的相对精度也有 所改进。
3. 临界指标的虚拟变量的引入（分段回归）
在经济发生转折时期，可通过建立临界指标 的虚拟变量模型来反映。
例如，进口消费品数量Y主要取决于国民收入 X的多少，中国在改革开放前后，Y对X的回归关系 明显不同。
这时，可以t*=1979年为转折期，以1979 年的国民收入Xt*为临界值，设如下虚拟变量 ：
1. 加法方式 上述企业职工薪金模型中性别虚拟变量的引
入采取了加法方式。 在该模型中，如果仍假定E(i)=0，则 企业女职工的平均薪金为：
企业男职工的平均薪金为：
几何意义：
• 假定2>0，则两个函数有相同的斜率， 但有不同的截距。意即，男女职工平均薪金对 工龄的变化率是一样的，但两者的平均薪金水 平相差2。
这种“量化”通常是通过引入“虚拟变量”来完成的。根据 这些因素的属性类型，构造只取“0”或“1”的人工变量，通常 称为虚拟变量（dummy variables），记为D。
例如，反映文化程度的虚拟变量可取为：
1， 本科学历 D=
0， 非本科学历
一般地，在虚拟变量的设置中： 基础类型、肯定类型取值为1； 比较类型，否定类型取值为0。
概念：
同时含有一般解释变量与虚拟变量的模型 称为虚拟变量模型或者方差分析（analysis-of variance: ANOVA）模型。
一个以性别为虚拟变量考察企业职工薪金的 模型：
其中：Yi为企业职工的薪金，Xi为工龄， Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。
二、虚拟变量的引入
虚拟变量做为解释变量引入模型有两种基本方 式：加法方式和乘法方式。
则冷饮销售量的模型为：
在上述模型中，若再引入第四个虚拟变量：
则冷饮销售模型变量为： 其矩阵形式为：
如果只取六个观测值，其中春季与夏季取了两次，秋、 冬各取到一次观测值，则式中的：
显然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的线性组 合，从而(X,D)不满秩，参数无法唯一求出。
这就是所谓的“虚拟变量陷阱”，应避免。
统计学之虚拟变量
第七章 含有定性信息的多元 回归模型---虚拟变量
一、虚拟变量的基本含义
二、虚拟变量的引入
三、虚拟变量的设置原则
四、虚拟因变量的模型
---二值选择的线性概率模型
一、虚拟变量的基本含义
许多经济变量是可以定量度量的，如：商品需求 量、价格、收入、产量等。 但也有一些影响经济变量的因素无法定量度量， 如：职业、性别对收入的影响，战争、自然灾害对 GDP的影响，季节对某些产品（如冷饮）销售的影 响等等。 为了在模型中能够反映这些因素的影响，并提高 模型的精度，需要将它们“量化”。
高中以下：
• 高中： • 大学及其以上：
假定3>2，其几何意义：
• 还可将多个虚拟变量引入模型中以考察多种“定性”因素 的影响。
如在上述职工薪金的例中，再引入代表学历 的虚拟变量D2：
本科及以上学历 本科以下学历
职工薪金的回归模型可设计为：
于是，不同性别、不同学历职工的平均薪金分别为： •女职工本科以下学历的平均薪金： •男职工本科以下学历的平均薪金： •女职工本科以上学历的平均薪金： •男职工本科以上学历的平均薪金：
虚拟变量的名词解释
虚拟变量的名词解释在数据分析和统计学中，虚拟变量是一种常用的变量类型。
虚拟变量，也被称为哑变量或指示变量，通常用来表示分类变量的不同水平或类别。
虚拟变量在数据分析中起到了至关重要的作用。
通过将分类变量转化为虚拟变量，我们能够使用数值变量来表示不同的类别，并在统计模型中使用。
这样做的好处是可以将分类变量的影响纳入模型中，而不是简单地将其作为单一的类别。
虚拟变量通常采用二元编码方式来表示分类变量的不同类别。
举个例子，假设我们有一个分类变量是颜色，可能有红、蓝、绿三个类别。
我们可以使用两个虚拟变量来表示这三个类别，比如我们可以设定一个虚拟变量为红色，取值为1表示观测值为红色，取值为0表示观测值不是红色；另外一个虚拟变量设定为蓝色，同样取值为1或0。
这样，对于每个观测值，我们可以用两个二元变量表示其颜色。
虚拟变量在回归分析中特别有用。
通过将分类变量转化为虚拟变量后，我们可以将其纳入回归模型中进行分析。
以线性回归为例，如果我们的自变量包含一个虚拟变量，我们可以在回归模型中将其作为一个系数进行解释。
假设这个虚拟变量是性别，取值为1表示男性，取值为0表示女性。
在回归模型中，该虚拟变量的系数，即回归系数，可以解释男性和女性在因变量上的平均差异。
另一个常见的用途是在分类器和机器学习算法中。
虚拟变量可以作为输入特征，帮助机器学习算法区分不同的类别。
比如，在邮件垃圾分类器中，我们可以使用虚拟变量表示是否包含某个关键词，而分类器可以根据虚拟变量的取值来判断邮件是否是垃圾邮件。
此外，虚拟变量还可以消除分类变量之间的顺序关系。
有时候，分类变量之间存在不同的大小或顺序。
例如，季节变量可以表示春季、夏季、秋季和冬季。
如果我们简单地将这个分类变量用1、2、3、4来编码，模型可能会误认为这是一种连续变量，并对它们的大小加以解释。
为了消除这种顺序关系，我们可以将这个分类变量转化为三个虚拟变量，每个季节一个虚拟变量，使得其取值只能为0或1，而不再具有顺序性。
第六章(09虚拟变量)
工龄
上图直观地描述了三类年薪函数的差异情况，通过检验、 α1 、α2的显著性，可以判断学历层次对职员的年薪是否 有显著影响。
2、多个因素各两种类型 如果有m个定性因素，且每个因素各有两个不同的属性 类型，则引入 m 个虚拟变量。 例如，研究居民住房消费函数时，考虑到城乡的差异以 及不同收入层次的影响，将消费函数取成： Yi=a+bxi+ α1D1i+ α2D2i +μi 其中y , x分别是居民住房消费支出和可支配收入，虚拟 变量 1 农村居民 1 高收入家庭
其他 其他 而将年薪模型取成（假设以加法方式引入）： Yi=a+bxi+ α1D1i+ α2D2i +μi
1 D1 0
本科
1 D2 0
研究生
其等价于：
Yi=a+bxi+ μi Yi=(a+α1)+ bxi+μi Yi=(a+α2)+ bxi+μi
年薪
大专以下(D1=D2=0) 本科(D1=1，D2=0) 研究生(D1=0，D2=1)
1 D 0
政策紧缩 政策宽松
1 D 0
本科以上学历 本科以下学历
一般地，在虚拟变量的设置中： 基础类型、肯定类型取值为1； 比较类型，否定类型取值为0。 0和1只是符号而已，不代表高低意义。 变量的划分应遵循穷举与互斥原则。
二、作用：
1、可以描述和测量定性因素的影响。
这是计量经济学研究的重点。
D1 0
城镇居民
D2 0
低收入家庭
这样可以反映各类居民家庭的住房消费情况：
城市低收入家庭
第七章虚拟变量
14
1 第一季度 D1 ＝{
0 其他
1 第二季度 D2 ＝{
0 其他 1 第三季度
D3＝{ 0 其他
15
年、季度
1990年1－3月 4－6月 7－9月 10－12月
1991年1－3月 4－6月 7－9月 10－12月
1992年 1－3月 4－6月 7－9月 10－12月
0
7－9月
0
10－12月
0
1992年 1－3月
1
4－6月
0
7－9月
0
10－12月 0
1993年1－3月
1
4－6月
0
7－9月
0
10－12月 0
1994年1－3月
1
D2
D3
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
18
估计结果如下：
Y= 9.0681+0.068301X-2.05875D1-1.8009D2-0.76594D3 所有t值都在1％的水平显著
103
208
1990
105
206
1991
96
203
1992
105
209
1993
78
213
1994
120
220
虚拟变量 实验报告
虚拟变量实验报告引言虚拟变量（dummy variable）是在统计学中常用的一种技术，用于表示分类变量。
通过将分类变量转换为二进制数值变量，虚拟变量可以在回归分析、方差分析以及其他统计模型中发挥重要作用。
本实验报告旨在介绍虚拟变量的概念、用法以及在实际应用中的一些注意事项。
虚拟变量的定义虚拟变量是一种二元变量，用于表示某个特征是否存在。
通常情况下，虚拟变量的取值为0或1。
虚拟变量可以用于将分类变量转换为数值变量，使其适用于各种统计模型。
虚拟变量的应用虚拟变量主要用于以下两个方面的统计模型：1. 回归分析在回归分析中，虚拟变量被用于表示一个分类变量的不同水平。
例如，在研究某产品的销售量时，可以引入虚拟变量表示该产品是否进行了促销活动。
这样，回归模型就可以分析促销活动对销售量的影响。
2. 方差分析方差分析是一种用于比较不同组之间差异的统计方法。
虚拟变量可以用于表示不同组的存在与否。
例如，在研究不同药物对某种疾病治疗效果时，可以引入虚拟变量表示不同药物的使用与否，进而进行方差分析。
如何创建虚拟变量创建虚拟变量的方法通常有两种：1. 单变量编码单变量编码是最常见的创建虚拟变量的方法。
对于具有k个水平的分类变量，单变量编码将该变量转换为k-1个虚拟变量。
其中，k-1个虚拟变量分别表示k个水平的存在与否。
例如，在研究不同颜色对产品销售量的影响时，可以使用单变量编码将颜色变量转换为两个虚拟变量，分别表示是否为蓝色和是否为红色。
2. 二进制编码二进制编码是一种使用更少虚拟变量的方法。
对于具有k个水平的分类变量，二进制编码将该变量转换为log2(k)个虚拟变量。
其中，每个虚拟变量都表示一个水平的存在与否。
例如，在研究不同国家对某项政策的支持时，可以使用二进制编码将国家变量转换为几个虚拟变量，每个虚拟变量表示一个国家的存在与否。
虚拟变量的注意事项在使用虚拟变量时需要注意以下几点：1.避免虚拟变量陷阱：虚拟变量陷阱是指多个虚拟变量之间存在完全共线性的情况，这会导致回归模型的多重共线性。
dummy variable的系数解释
dummy variable的系数解释
在统计学中，虚拟变量（dummy variable）也称为指示变量或分类变量，通常用于表示分类数据。
虚拟变量的系数解释依赖于其使用的回归模型和解释变量的设定。
对于二元虚拟变量，其系数解释通常表示当自变量增加一个单位时，因变量相对于参考类别的变化量。
例如，如果一个二元虚拟变量用于表示某个人是否为男性（男性为1，女性为0），则该变量的系数可以解释为相对于女性，男性在因变量上的平均变化量。
对于多元虚拟变量，情况会变得更加复杂。
每个虚拟变量的系数都表示该变量相对于参考类别的变化量。
为了解释多元虚拟变量的系数，可以使用冗余分析（redundancy analysis）或主成分分析（principal component analysis）等方法来了解各个自变量对因变量的贡献程度。
需要注意的是，虚拟变量的系数解释并不是固定不变的，它可能受到模型设定、数据特征和样本大小等因素的影响。
因此，在解释虚拟变量的系数时，需要仔细考虑其背景和上下文，并谨慎评估其意义和可靠性。
虚拟变量 熵权法 -回复
虚拟变量熵权法-回复虚拟变量与熵权法在统计学中具有重要的应用，本文将一步一步回答关于这两个主题的问题，并对其原理和应用进行探讨。
一、虚拟变量（Dummy Variable）虚拟变量在统计学中是一种用于表示分类变量的技术。
分类变量是一种具有离散取值的变量，例如性别（男/女）或者国家（中国/美国/英国等）。
然而，一般的统计分析方法不能直接处理这种离散取值的情况，因此需要使用虚拟变量来对其进行编码。
1.1 什么是虚拟变量？虚拟变量也被称为二值变量，其取值为0或1。
虚拟变量用于表示原始分类变量的不同取值，例如当变量为性别时，可以使用一个虚拟变量表示"男"，另一个虚拟变量表示"女"。
虚拟变量的取值通常为1（表示某个特定类型）或者0（表示其他类型）。
1.2 虚拟变量与独热编码的关系是什么？独热编码是一种常见的虚拟变量编码方式，它将分类变量的每个取值都表示为0或1的形式。
具体而言，对于一个变量有n个取值，独热编码将其转换为n个虚拟变量，其中每一个虚拟变量只有一个取值为1，其他都为0。
1.3 虚拟变量的应用场景有哪些？虚拟变量的应用场景非常广泛。
例如，在回归分析中，虚拟变量可以用来表示一个或多个分类变量，以便研究它们与其他连续变量之间的关系。
在实验设计中，虚拟变量可以用来研究因素的影响，例如对于一个商品的销售量，虚拟变量可以表示不同的市场营销策略。
二、熵权法（Entropy Weight Method）熵权法是一种基于信息熵理论的数据处理方法。
它通过计算各指标的信息熵，进而确定其权重，用于比较和评价不同指标的重要性。
2.1 什么是熵权法？熵权法是一种模糊综合评价方法，它通过计算各指标的信息熵，然后按熵值的大小确定各指标的权重。
熵值越大，表示该指标的信息量越丰富，对决策结果的影响越大，权重也就越高。
2.2 熵权法的原理是什么？熵权法的核心原理是基于信息熵的概念。
信息熵是度量一个随机事件或变量的不确定性的度量，熵值越大表示不确定性越高。
虚拟变量(dummy variable)
0
0
1
2000:4
2.7280
20
0
0
0
数据来源：《中国统计年鉴》1998-2001
2．斜率变化
以上只考虑定性变量影响截距，未考虑影响斜率，即回归系数的变化。当需要考虑时，可建立如下模型：
yt=0+1xt+2D+3xtD+ut,
其中xt为定量变量；D为定性变量。当D= 0或1时，上述模型可表达为，
若不采用虚拟变量，得回归结果如下，
GDP = 1.5427 + 0.0405 T
(11.0) (3.5) R2= 0.3991, DW = 2.6,s.e.=0.3
定义
1（1季度）1（2季度）1（3季度）
D1=D2=D3=
0（2, 3,4季度）0（1,3, 4季度）0（1,2, 4季度）
第4季度为基础类别。
15
0
0
1982
7.713
384
16
0
0
1983
8.601
34
1
34
1966
1.271
17
0
0
1984
12.010
35
1
35
1967
1.122
18
0
0
以时间T=time为解释变量，进出口贸易总额用trade表示，估计结果如下：
trade= 0.37 + 0.066time- 33.96D+ 1.20timeD
虚拟变量（dummy variable）
在实际建模过程中，被解释变量不但受定量变量影响，同时还受定性变量影响。例如需要考虑性别、民族、不同历史时期、季节差异、企业所有制性质不同等因素的影响。这些因素也应该包括在模型中。
虚拟变量
加法+乘法类型：反映相异回归
• 以乘法形式引入虚拟解释变量，是在设定的计量经济模 型中，将 虚拟解释变量与其他解释变量相乘作为解释变 量，以表示模型中斜率系数的差异。 • 以乘法形式引入虚拟解释变量的主要作用是：
第一：分析因素间的交互影响；
第二：分段线性回归，提高模型对现实经济现象的 描述精度 。
分段回归的实际应用
公司是如何酬劳其销售代表的？ 其支付佣金的方式取决于销售量的一个目标或
临界水平X *
销售佣金在临界值X *之前随销售量线性增加， 在这个临界值之后仍线性增加，只是斜率更大。 于是得到由两段构成的分段线性回归
销售佣金是在临界值处改变斜率的。
类似的例子 税金的缴纳，产出与成本之间的关系
* * *
R 2 0.882 R 2 0.866 F 54.78
用虚拟变量表示不同斜率的回归 ---乘法类型：分段线性回归
根据以上分析，可以推导出两个时期的
储蓄-收入回归方程：
平均储蓄函数：1970-1981年 ˆ 1.02 0.0803 X Y
t
平均储蓄函数：1982-1995年 ˆ Y （ 1.02 152.48） (0.0803 0.0655)X
用虚拟变量表示不同斜率的回归 ---乘法类型：分段线性回归
储蓄—收入的回归方程:
Yt 1 2 Dt 1 Xt 2 Dt Xt ut
Y—个人储蓄， X—个人可支配收入
1, 观察值从1982年开始 Dt 0, 其他(观察值到1982年)
Y 1 1 X 2 X X D ut
回归的类型
虚拟变量模型的性质
根据加入的途径，可以将虚拟变量模型分成两种类型：
虚拟变量的引入
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
02
虚拟变量的创建方法
手动创建
确定变量范围
根据研究需求，确定需要引入的虚拟变量及其取值范 围。
创建变量矩阵
根据确定的取值范围，创建相应的变量矩阵，用于表 示各个虚拟变量。
赋值编码
为矩阵中的各个元素进行赋值编码，以表示不同的虚 拟变量取值。
2. 交互作用
虚拟变量可以用于表示两个或多个分类变量之间的交互作用。例如，在回归分析中，可以引入交互项来研究不同类别 之间的相互作用对因变量的影响。
3. 多因素分析
虚拟变量在多因素分析中非常有用，例如在回归分析、方差分析、聚类分析等中。通过引入虚拟变量， 可以研究不同类别之间的差异和交互作用。
虚拟变量的应用场景
虚拟变量的引入会增加模型的复杂度，使得模型更难以解释和理解。
多重共线性问题
如果虚拟变量之间存在多重共线性关系，会导致回归系数不稳定， 影响模型的准确性。
过度拟合问题
过度引入虚拟变量可能导致模型过度拟合，使得模型在训练数据上 表现良好，但在实际应用中表现较差。
如何选择合适的虚拟变量
考虑变量的实际意义 在选择虚拟变量时，应考虑变量 的实际意义，确保选择的变量能 够反映研究问题的实际情况。
1. 市场调查
在市场调查中，常常需要了解不同人群的特征和行为。虚 拟变量可以用于表示不同的群体或类别，例如性别、年龄 段、职业等。
2. 社会科学研究
在社会科学研究中，常常需要研究不同群体之间的差异和 交互作用。虚拟变量可以用于表示不同的社会群体或状态， 例如种族、宗教、教育程度等。
3. 生物统计学
6.虚拟变量(fixed)
包含一个定量变量、两个定性变量的回归模型
• • • • 研究大学教师的年薪如何受教龄、性别和学历的影响。 教龄为定量因素。 性别和学历是两个不同的定性因素。 大学教师性别可以分成男、女两类，应该引入一个虚拟 变量；大学教师学历假设分为本科、硕士、博士三类， 应该引入两个虚拟变量，总计需要引入三个虚拟变量。 • 令Y=年薪， X=教龄，虚拟变量设置如下：
包含一个定量变量和一个多分定性变量
例题：研究教师薪水的地区差异。 P218-P221，数据10-4，工作文件table9-1.wf1 Pay:公立学校教师平均年薪 PPS:政府机构用于每个学生的花费 虚拟变量： D2=1，第一类地区（东北和中北部地区） =0，其他地区 D3=1，第二类地区（南部地区） =0，其他地区 第三类地区（西部）为基准类，基准类对应的虚拟 变量取值均为零，即：D2=0，D3=0。用来解释工资的性别歧视？ 不能！因为，所谓工资性别歧视，应该是指在 其它条件不变的情况下（比如能力、教育水平、 工龄、职称、地区等等），男女年薪仍然存在 显著差异。 由于该模型只纳入了性别虚拟变量作为唯一的 解释变量，所以不能解释工资的性别歧视，只 能解释工资的性别差异。
女 平 年 ： 1 + β2D + β3D + β4 + β5X 性 均 薪 β 2 3 女 本 平 年 ： 1 + β4 + β5X 性 科 均 薪 β 女 硕 平 年 ： 1 + β2 + β4 + β5X 性 士 均 薪 β 女 博 平 年 ： 1 + β3 + β4 + β5X 性 士 均 薪 β
引入虚拟变量比较两个回归模型 （检验回归模型的结构稳定性）
例题：第225页，例10-4，研究美国1970-1995储蓄和收入 的关系。 分析：1982年美国经历严重经济衰退，这一事件也许会影响 到个人储蓄与个人可支配收入的关系。 研究目标：检验两段时期储蓄与收入的关系是否显著存在差 异，差异何在？。 令Y表示个人储蓄，X表示个人可支配收入，则1970-1981年 和1982-1995年的储蓄函数可以用以下回归方程来估计：