数学物理方法(张民)章 (2)

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数学物理方法习题解答(完整版)

数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。

证明：令Re z u iv =+。

Re z x =，,0u x v ∴==。

1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。

于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件，所以Re z 在z 平面上处处不可导。

2、试证()2f z z=仅在原点有导数。

证明：令()f z u iv =+。

()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。

2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。

v vx y∂∂ ==0 ∂∂。

所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。

而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。

()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。

22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。

【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。

证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。

数学物理方法讲义

《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪论含义使用数学的物理——（数学）物理物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负数 0，-1，-2，…整数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数）整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数无限不循环小数实数有理数、无理数i =-1 虚数y i复数实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。

数学物理方法2

∂x ∂y
∂f ∂f 连续,则函数在该点可微分，即有 ∆f ≈ df = dx + dy . ∂x ∂y 因为复变函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的实部和虚部都是
/
∆u + i∆v e−iϕ ∂u ∂v / = −i ( +i ) 的导数为 f (z) = lim∆z→0 ∆z r ∂ϕ ∂ϕ
如果函数在点( x, y )解析, 以上两式相等,于是得到极坐标中的 Cauchy-Riemann
∂u 1 ∂v 1 ∂u ∂v = =− . , 条件: ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ∂r
务必记住结论
补充还有一种推导极坐标下的CR条件：从直角坐标系中的CR条件出发，利用坐标变换x=rcosθ,y=rsinθ和复合函数的求导法则，变换到极坐标系中的CR条件。这是一个作业题，同学们自己做。讲解！！
f (z) = u + iv f / (z) = lim∆z→0
/
∆u + i∆v ∂u ∂v = +i ∆x ∂x ∂x （5）式
这表明 f (z) 在点 z 连续。
在 z 点连续的函数不一定在 z 点可导.
例如,函数 Re(z) = x 在复平面上连续,但不可导: ∆z= ∆ x+ i ∆ y Re(z + ∆z) − Re(z) ∆x 1 = = ,当 ∆z 趋于零时, ∆y ∆z ∆x + i∆y 1+ i ∆x 上式的极限与 ∆y / ∆x 的值有关,即与 ∆z 趋于零的路径(方式)有关, 因而是不确定的.
∂v ∂u ∂v ∂u =− . = , ∂x ∂x ∂y ∂y
(4)
这个关系叫做 Cauchy-Riemann 条件, 简写为 CR 条件,是函数 f (z) 在区域 G 上解析的必要条件。

数学物理方法(王元明)第二章2

∞
0 < x < l, t > 0 t>0 0≤ x≤l
nπ X n = Bn cos x, n = 0,1,2,3,⋯ l
∞
x
nπ u ( x,0) = ∑ vn (0) cos x=0 l n =0
′ v 0 (t ) = sin ωt
2 2 nπ 2 n π ∑ v n′ (t ) + a l 2 v n (t ) cos l x = sin ωt n=0
n =1
n=2
4π 2 2aπ v ′′(t ) + a t v 2 (t ) = sin 2 2 l l
第2章分离变量法
∂ 2u ∂ 2u 2π 2aπ = a 2 2 + sin x sin t 0 < x < l, t > 0 2 l l ∂x ∂t t>0 u (0, t ) = u (l , t ) = 0, ∂u ( x,0) 0≤ x≤l u ( x,0) = 0, ∂t = 0, ∞ nπ v n (t ) = 0 n≠2 u = ∑ vn (t ) sin x
T ′ + a 2 λT = 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ′′ + λX = 0 T ′ + a 2 λT = 0
∂u (0, t ) = X ′(0)T (t ) = 0 ∂x ∂u (l , t ) = X ′(l )T (t ) = 0 ∂x
X ′′ + λX = 0 X ′(0) = 0,
0< x<l X ′(l ) = 0
λ = −β 2 < 0
X ′′ − β 2 X = 0

数学物理方法第二章第二讲PPT课件

，设
L
为：
|
z
|
2a
(a 0) .
1
【解法
1】显然被积函数
f
(z)
z 3a z2 a2
在积分区域
L
内部有两个奇点 z1 a, z2 a ．设 l1 仅含奇点 z1 ，l2 仅含
奇点 z2 ，利用复合闭路柯西积分定理和有界域的柯西
积分公式有
21
1
1
I
dz
(za)(z3a)dz (za)(z3a)dz
L(z2 a2)(z3a) l1
za
l2
za
1
1
2πi(za)(z3a) |za 2πi(za)(z3a) |za
2πi 1 2πi 1 πi 2a(2a) (2a)(4a) 4a2
22
【解法 2】若将上式逆时针方向转化为顺时针方向
1
积分，则被积函数 f (z) z2 a2 在 L 外部仅有一个奇点
z 3a
z
3a ，且当|
z
|
时，
f
(z)
z2
1 a2
0
，满足无界区域
的柯西积分公式条件．故有
I
dz
dz
L (z2 a2 )(z 3a)
L (z2 a2 )(z 3a)
1
L
(z2 a2) (z 3a)
dz
2πi
z2
1
a2
|z3a
πi 4a2
23
特别说明：显然当积分区域内部的奇点多于外部的奇点时，考察是否满足无界区域的柯西积分公式条件，如果满足则可简化计算．
| z | 时 f (z) ；0
（3）应用有界区域公式的积分沿着逆时针方向进

《数学物理方法》自学辅导手册

i 1 2 i 1 2
）
② 1 2 ④ 1 2 e ③
i1 2
0 的辐角是
②
……………………（
）
20.对于复数 z1 、 z 2 和 z1
z 2 ，下面的关系式成立的
2
④没有意义
是 ……………………………………………………（） ①| z1 z 2 | | z1 | | z 2 | ②| z1 z 2 | | z1 | | z 2 | ③| z1 | | z 2 | | z1
x
z2 |
④| z1 |-| z 2 | | z1
z2 |
1, 2, （）
④ 2n 1
ln 1 的虚部是（ n 0, 1, 2,…………………………………（） ln i 的实部是
②0 ②1 ③ i2n 1 ④ 2n 1 ） ………………（ ③1
1 3 的模是 ………………（） i 2 2 ①2 ② 3 ③1 3 ④1 5.复数 z 3 4i 的共轭复数是 ……………（） ① 3 4i ② 3 4i ③ 3 4i ④ 3 4i 6. z x iy 是复数的 ………………………（）
4.复数 z
6
2．记住勒让德多项式的定义式、微分式、及前几个勒让德多项式的具体表示。 3．掌握勒让德多项式的各种性质（如正交归一性、广义傅立叶级数展开、母函数、递推公式）及其应用 4．会解轴对称下拉普拉斯方程的定解问题。
三、练习题
（一）单选题（在题干后的括号内填上正确选项前的序号，每题1分）
1.复数 z ①x 2.复数 z
第七章
考核要求：
数学物理定解问题
1．掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步骤。 2．掌握三类典型数理方程的推导过程和建立数理方程的一般方法、步骤。

数学物理方法第二章

证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理：如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。

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就是自由弦振动方程(式(2.1))的通解。
下面我们利用初始条件(式(2.2))来确定任意函数f1和f2，
即求满足定解条件的解。把式(2.12)代入式(2.2)得
u(x，0)＝f1(x)＋f2(x)＝j(x) (2.13)
ut
(
x,
0)
af1
(
x)
af
2
(
x)
Байду номын сангаас
(
x)
(2.14)
8
即
1
f1(x) f2 (x) a
x
() d c
x0
由式(2.13)和式(2.15)容易解得
f1(x)
1 2
(x)
1 2a
x ( ) d c
x0
2
f2
(x)
1 2
(x)
1 2a
x ( ) d c
x0
2
9
(2.15) (2.16) (2.17)
将f1(x)和f2(x)中的x分别换成x＋at和x－at，代入式(2.12)
得
3
2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
2.1.1 达朗贝尔(D’Alembert)公式的导出
对于无限长弦的自由振动、无限长杆的纵向自由振动以及无
限长理想传输线上的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问
题。
泛定方程：
utt＝a2uxx (－∞<x<∞，t>0) 初始条件：
(2.1)
u(x，0)＝j(x)
j(x)＝x，y(x)＝4，故由达朗贝尔公式(式(2.18))有
u x,t 1 x at x at 1
xat
4d
2
2a xat
x 4t
(2.20)
11
2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义
首先，我们以无限长弦的横向自由振动为例来阐述达朗贝尔
公式的通解式(式(2.12))的物理意义。
5
ux ux ux u u
（2.4）
uxx (ux ) x (ux )x (ux ) (ux )
(u u ) (u u ) u 2u u
ut ut ut a(u u )
（2.5）（2.6）
utt (ut ) t (ut )t a (ut ) (ut )
我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说，先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。
2
通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物理学上看，齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。
先考察第一项：
u1＝f1(x－at)
(2.21)
它是方程(2.1)的解，对于不同的t值，就可以看到弦在不同
时刻相应的振动状态。
12
在t＝0时，u1(x，0)＝f1(x)，它对应于初始时刻的振动状态，假如图2.1(a)曲线表示的是t＝0时的弦振动的状态(即初始状态)；在t＝1/2时，u1(x，1/2)＝f1(x－a/2)的图形如图2.1(b)所示；在t＝1时，u1(x，1)＝f1(x－a)的图形如图2.1(c)所示；在t＝2 时，u1(x，2)＝f1(x－2a)的图形如图2.1(d)所示。这些图形说明，随着时间的推移，u1＝f1(x－at)的图形以速度a向x轴正向移动，所以u1＝f1(x－at)表示一个以速度a沿x轴正向传播的行波。
第2章行波法
➢2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 ➢2.2 半无限长弦的自由振动 ➢2.3 三维波动方程的泊松公式 ➢2.4 强迫振动 ➢2.5 三维无界空间的一般波动问题 ➢2.6 本章小结 ➢习题2
1
第1章学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定定解问题，
那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。
a a(u u ) a(u u )
a2 u 2u u
（2.7）
6
将上面得到的utt和uxx代入式(2.1)，得到 a2(uxx－2uxh＋uhh)＝a2(uxx＋2uxh＋uhh)
即
uxh＝0 求上面方程的解，先对h积分，得
(2.8) (2.9)
u u d 0d c c
再对x进行积分可得
(2.10)
u , c d f2 f1 f2
(2.11)
7
式中，f1(x)、f2(h)分别是x、h的任意函数。把式(2.3)代入式 (2.11)，得到
u(x，t)＝f1(x－at)＋f2(x＋at)
(2.12)
容易验证，只要f1、f2具有二阶连续偏导数，表达式(2.12)
u(x,t) 1 (x at) (x at) 1
xat
() d
2
2a xat
(2.18) 这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔行波解。它是一维无界齐次波动方程的初值问题的特解的一般表达式。
10
例2.1 求解初值问题
utt a2uxx u |t0 x, ut |t0 4
(2.19)
解：显然这是一个一维无界齐次波动方程的初值问题，
13
图2.1 行波示意 14
同理，第二项u2＝f2(x＋at)表示一个以速度a沿x轴负向传播的行波。所以说达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去的，其传播的速度正好是弦振动方程中的常数a。也正是基于此原因，上述求波动方程通解的方法叫做行波法。
ut(x，0)＝y(x)
(2.2)
4
式中，j(x)、y(x)为已知函数。
因为对于无限长弦，其边界的物理状态并未影响到所考察的
区域，所以不需提出边界条件，此定解问题即为初值问题。
为了用行波法求解这一问题，我们首先要求出式(2.1)的通
解。作变量代换，引入新的自变量
x＝x－at
h＝x＋at
(2.3)
利用复合函数求微商的法则，可以得到