数学物理方法 第2章 复变函数的积分
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数学物理方法第二章复变函数的积分
1 1
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
一般而言,复变函数的积分不仅与起点和终点有 关, 同时还与路径有关。
§2.2 柯西（Cauchy）定理
——研究积分与路径之间的关系 （一）单连通域情形 单连通域： 在其中作任何简单闭合围线，围 线内的点都是属于该区域内的点。 单连通区域的Cauchy 定理 ：如果函数 f (z) 在闭 单连通区域 B 中单值且解析， 则沿 B 中任 何一个分段光滑的闭合曲线 l (也可以是 B 的 边界 l0 ), 函数的积分为零。
lim f( z z ) k)( k k 1
n
存在且与 k 的选取无关, 则这个和的极限称为 函数 f (z) 沿曲线 l 从 A 到 B 的路积分，记为
即
l
f (z) dz
n k k k 1
z ) d z lim f ( )( z z f(
l n k 1 max | z | 0 k
l 1 l 2
f (z)=Re (z)不是解析函数!
y i l2 o l1 1 l2
I1 Rez d z xd( x iy) 1 xd x i d y i 0 0 2 ( y = 0) (x=1)
1 1
1+i
l1 x
1 I 0 id y x d x 2 0 0 (x=0) ( y=i ) 2
l l l
v u u v d x d y i d x d y s s x y y x
又u、v 满足C-R条件 u v u v , x y y x
y
f ( z ) d z 0
l
B
l
o
数学物理方法1-2复变函数的积分
莫雷拉定理
总结词
莫雷拉定理是复变函数中一个关于全 纯函数的积分性质的定理。
详细描述
莫雷拉定理说明，如果全纯函数f(z)在圆盘 |z| < R内有界，那么对于任意实数t，积分 ∫f(z)e^(it)dz在|z| = R的边界上非零。这个 定理在研究全纯函数的性质以及解决一些数 学物理问题时非常有用。
柯西定理
总结词
柯西定理是复变函数中的一个基本定理，它表明如果一个函数在某个区域内的点上满足某种条件，则 该函数在该区域内可积。
详细描述
柯西定理说明，如果函数f(z)在某个区域D内是解析的，并且存在常数C使得对于D内的任意点z，都有 |f(z)|≤C，那么函数f(z)在D内是可积的。这意味着满足一定条件的解析函数在一定区域内具有可积性。
幂级数展开的收敛性
幂级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
幂级数展开的应用
幂级数展开在数学物理中广泛应用于求解微分方程和积分方程。
泰级数展开
泰勒级数展开定义
01
将一个复变函数表示为多项式的无穷级数。
泰勒级数展开的收敛性
02
泰勒级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
泰勒级数展开的应用
个定理在解决一些数学物理问题时非常有用。
柯西不等式
总结词
柯西不等式是复变函数中一个基本的积分不等式，它反映了函数与其共轭函数之间的积分关系。
详细描述
柯西不等式表明，对于任意实数a和b，以及在全平面上的非负函数f和g，有∫f(z)g(z*)dz ≥ |∫f(z)dz * ∫g(z*)dz|， 其中z*是z的共轭复数。这个不等式在处理一些积分问题时非常有用。
积分路径
积分性质
复数函数的积分具有线性性质、可加 性、可交换性等基本性质。
数学物理方法课后答案 (2)
若?x在无穷远点的无心邻域在大圆弧czreirr上limz?zk一致成立则lim?zdzik?12rrcr21解上第一式表明任给0存在与argz无关的m0使当zrm时dz有z?z?k利用i?复变函数性质5及上式可证c21rz?adzdzlim?zdz?ikzzkzzk2???max???rcr1crzcrz21?由于可任意小21为常量故上式可任意地小
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
2
2+ 4 i
1+i
[( x 2 − y 2 ) + 2ixy ](dx + idy )
86 − 6i 3
= ∫ [ x 2 − (3 x − 2) 2 + 2ix(3 x − 2)](1 + 3i ) dx = −
（3）沿1 + i 到 2 + i ，再到 2 + 4i 的折线。
I =∫
2 1
2+ 4 i
L
∫ ∫
L
f (ξ )[
f (ξ ) Δ z ∫ L (ξ − z ) 2 (ξ − z − Δ z ) d ξ
ξ − z ( ξ − z − Δz )
2
d ξ ， 现 在 讨 论 能 否 找 到 δ ( ε )， 使 当 Δ z < δ 时 d ,同 时 将 2
上 式 成 立 。 因 本 题 是 讨 论 Δ z → 0时 的 积 分 极 限 ， 不 妨 令 Δ z < min z − ξ = d 代 入 有 Δ I ≤ δ
4 4 1 1 0 0
I3 = ∫ {[2(t2 + 3) + (2t)2 ]2dt + [3(2t)-(t2 + 3)]2tdt} = ∫ (24t 2 + 12 − 2t 3 − 6t )dt =
数学物理方法第2章复变函数积分-2016方案
(2.1.3)
(2) 化为参数积分计算．设积分曲线L的参数方程为z(t)，
将z(t)及dz(t)＝z'(t)dt代入式(2.1.4)，可得
3
【例2.1.1】计算积分I=
其中曲线L是
(1)沿1+ i 到2+4 i 的直线，见图2.2(a)；
(2)沿1+ i 到2+i，再到2+4 i 的折线，见图2.2(b)；
§2.2.1 单通区域的柯西定理
定理 若函数f(z)在单通区域D 内解析，则f(z)在D内沿任意 闭曲线的积分为零
∮l f(z)dz = 0 (2.2.1)
证明 这个定理的严格证明比较复 杂, 为简单起见, 我们在“f(z)在D 内连续” 附加条件下证明这个定 理．
先将复变积分化为两个实变积 分的线性叠加
29
这就是解析函数的定积分公式，它与实变 函数中的牛顿-莱布尼茨公式具有相同的形 式。
通常把f(z)的原函数的集合
称f(z)的不定积分，式中C为复常数。
30
(2.2.8)
31
§2.2.3 复通区域的柯西定理
定理 若f(z)在闭复通区域 解析，则f(z)沿所
有内、外边界线(L=L0+ 之和为零
37
【2.2.2】试计算 其中积分回路分别(图2.11) (1) |z-i|＝2；(2) |z+i|＝2；(3) |z|＝3.
38
解 首先，将被积函数分解为部分分式(利用通 分可以凑出来)
≠0
=0
39
40
【例2.2.3】若f(z)=1/(z-a) 在z=a的无心邻域内 连续，积分回路是以a点为圆心的圆弧
由于a点在D内随意变动时，柯西公式依然成立， 有时分别用z和x代替式 (2.3.1)的a和z。将柯西公 式改写为
数学物理方法 第二章 复变函数的积分
wuxia@
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
wuxia@
∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
数学物理方法课件-2 复变积分
其中，M (R) max f (z) , n 1,2, z R
证：
f (n) ( )
n!
2i
(
f ( ) )n1
d
n!
2
M (R) R n 1
2R
n!M (R) Rn
即
f
(n) ( )
n!M R
(
n
R)
，得证.
整函数: 在整个复平面上解析的函数称为整函数.
49
1
0 1
z100 k 1 z 2k
98!!
§2.5 解析函数的高阶导数
1.高阶导数
2. 柯西不等式与刘维尔定理
柯西不等式：设f (z)在区域B上解析，为B内一点，以
为圆心作圆周： R，只要及其所包含区域均含于
B, 则有
f
(n) ( )
n!M (R) Rn
0 2i 2i 0 0
即
C
1 z2
z
dz
0
§2.3 不定积分
证:
B
§2.4 柯西公式
1.有界区域柯西公式
( )
证: 如图，根据复连通区域柯西定理有
1 f (z)
1 f (z)
dz
dz
2i C z
2i Cr z
欲证原式，即证
第二章 复变积分
§2.1 复变积分
性质:
例:
补:简单曲线 光滑曲线
1. 简单曲线
设曲线C的参数方程为 x x(t), y y(t), z z(t) (a t b)
其中，x(t), y(t), z(t)在[a, b]连续，当t1 t2 (a t1, t2 b)时, (x(t1), y(t1), z(t1)) (x(t2 ), y(t2 ), z(t2 ))
数学物理方法第2章复变函数积分-2016
49
50
【例2.3.2】试计算积分，
积分回路L为x2 + y2=2x 解 (1) 积分回路的形状： (x-1)2+y2=1
(2)被积函数的奇点．
方程z4+1=0有四个根：z=exp[i (p+2kp)/4]， k=0,1,2,3，因此，被积函数有四个奇点，但仅有 z1与z4位于积分回路之内
51
2. 复通区域的柯西公式
设f (z)在闭复通区域D中解析，a为D的内点， 则 式中积分沿D的内外边界线的正方向．
32
证明 为了应用单通区域的柯西定理，作割线把外边界线 L0与内边界线连接起来，将闭复通区域变成闭单通区域。
33
推论3 在f(z)的解析区域中，积分回路连 续变形时，其积分值不变．
证明 取变形前后的积分回路 作为复通区域 的内外边界 线，如图2.9所示．由式 (2.2.21a) 可得
移项后，改变l2的积分方向，即有
复变积分性质(5)及式(2.2.34)，可证
43
由于e可任意地小，(q2-q1)为常量，式
(2.2.35)表明
可任意地小根据极限的定义，可得
44
2. 大圆弧引理
若j(z)在无穷远点的无心邻域内连续，在大 圆弧CR(z=Reiq, R→∞,q1<q<q2 )上
这两个引理为计算沿圆弧的积分带来方便． 2.3节将分别用来证明单通区域及无界区域的 柯西公式．
(3)按复通区域的柯西定理及柯西公式计算以小圆周c1 和c2分别包围奇点z1和z4 ，则被积函数在外边界线l 与内边界线c1 ， c2 所围的复通区域解析。按复通区 域的柯西定理，沿l的积分等于沿C1与C2积分之和， 后两个积分可按柯西公式算出，即
数学物理方法第二章
证明：对 [ f (z)]n 应用柯西公式
[ f (z)]n 1 [ f ( )]n d
2 i l z
若 |f(z)| 在l上极大值为M，|z| 的极小值为，l的长为s
f (z) n M n s
2
1
f
(z)
M
s
2
n
n
f (z) M
21
Liouville定理：如 f(z) 在全平面上解析，并且是有界 的，即 |f(z)| N，则 f(z) 必为常数。
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
l
l1
l2
ln
13
柯西定理总结 1. 闭单通区域上的解析函数沿境界线的积分为零。
2. 闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向 的积分和为零。
3. 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的 积分等于沿所有内境ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线逆时针方向的积分的和。
P Q y x
由于复变函数的积分可转化为两个实变线积分
z2
z2
z2
f (z)dz udx vdy i vdx udy
z1
z1
z1
因此可得到复变函数的积分与路径无关的充要条件
7
单连通区域柯西定理： 如果函数f (z)在闭单连通域B上解析，则沿B上任
一分段光滑闭曲线l（也可以是B的边界），有
f (z) f ()dz
max f (z) f ()
2 0
C z
18
如果l是圆周z= +reiθ，
f () 1 2 f ( rei )d 2 0
这就是说，一个解析函数在圆心处的值等于它
在圆周的平均值。
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n 1
e
i ( n 1)
2
i ( n 1)
0
0
n 1 n 1
i 2
一 柯西公式
如果函数 f ( z ) 在 l 所围闭区域 B （可以是复通区域） 上解析， a 为 B 内任一点，则：
f (a )
2 i
1
f ( z ) dz
l
za
（ l 含内外边界线）
， z B ，l 含内外边界线） （
y z1
l ζk zn zk zk-1 x
z0
在 每 一 小 段 z k 1 z k 上 任 取 一 点
k ( k , k ) ，若极限
n k 1 max z k 0 n
lim
f ( k )( z k z k 1 )
存在，则称该极限称为 f ( z ) 沿曲线 l 的积分，记为 f ( z ) dz
( z a ) dz 0
n l
（2） l 包围 a ， n 0 ， ( z a ) 在 l 所围闭区域上解析，
n
( z a ) dz 0
n l
四 一个重要的积分
（3）l 包围 a ，n 0 ，( z a ) 在 l 所围闭区域中的 a 点导数不存在。 如图所示，总是存在 R 0 ，使得
二 复连通区域柯西定理
如果函数 f ( z ) 是闭复连通区域 B 上的解析函数，则
l A A’ B B’ l1 l2 D’ D C’ C
f ( z ) dz
l
i 1
n
f ( z ) dz 0
li
其中：l 是区域的外境界线，诸 l i 是区域的内境界线，积 分沿境界线的正方面进行；或
1 2 i
( z a ) dz 。柯西公式研究闭区域内解析函数
n l
在区域内点的函数值与境界线上的函数值之间的关系。
本章小结
1 如果函数 f ( z ) 是闭单连域 B 上的解析函数，则沿 B 上任 意闭合曲线 l ，则有： f ( z ) dz 0 。
l
2 如果函数 f ( z ) 是闭复连域 B 上的解析函数， f ( z ) 沿 B 则 的外境界线的积分等于沿内境界线的积分的和（积分均沿逆 时针方面） ，即 f ( z ) dz
l
i 到 i 沿左半单位圆； （3）从 i 到 i 沿右半单位圆。
解： （1） z dz i
l
1 1
2
0 y dy i
2 2
（2） z dz
l
3 1de
2
i
e e
i
2 3 2
2i 2i
（3） z dz
l
2
1 de
B 的点，则
n! f ( ) d
l
f
(n)
(z)
2 i
( z )
n 1
（ l 含内外边界线）
本章小结
本章引入复变函数沿曲线 l 的路径积分定义、介绍复 变函数沿曲线 l 的路径积分的基本性质和计算方法。一般 而言，复变函数沿曲线 l 的积分与路径无关。柯西定理研 究复变函数沿曲线 l 的积分与路径无关的条件。研究重要 积分
l
udx
l l
vdy 0 的充要条件为
u y
(v) x
，且
v y
u y
、
v x
连续
vdx udy 0 的充要条件为
v y
u x
，且
、
u x
连续
f ( z ) 为 B 上的解析函数，满足以上的充要条件
f ( z ) dz 0
l
F ( z ) f ( z ) ，即 F ( z ) 是 f ( z ) 的一个原函数。
四 一个重要的积分
0 l( z a ) dz 1 2 i 1
n
n
l 不包围 a ，或 n 1
l 包围 a ，且 n 1
证： （1） l 不包围 a ， ( z a ) 在 l 所围闭区域上解析，
2
i
i
2
2
结论：一般情况，复变函数的积分与路径有关。
一 单连通区域柯西定理
如果函数 f ( z ) 是闭单连通区域 B 上的解析函数，则沿 B 上任一分段光滑闭合曲线 l （也可是 B 的边界）有：
f ( z ) dz 0
l
证明：
f ( z ) dz
l
udx
l
vdy i vdx udy
或 f (z)
2 i
1
f ( ) d
l
z
数学意义：如果函数 f ( z ) 在闭区域上解析，则函数在 区域内各点的值都可由边界线上的值确定。 物理意义：无源的平面标量场的边界条件决定了区域 内部的场。
一 柯西公式
l
证：不失一般性，设 B 是单连通区域
1 2 i
z Rφ a Cε
l
二 复变函数积分的性质
1
f ( z ) dz
l
u ( x , y ) dx
l
v ( x , y ) dy i v ( x , y ) dx u ( x , y ) dy
l
2
[c
l
1
f 1 ( z ) c 2 f 2 ( z )] dz c 1 f 1 ( z ) dz c 2 f 2 ( z ) dz
f ( z ) dz
l
i 1
n
f ( z ) dz （积分均沿逆时针方面）
li
三 不定积分
如果函数 f ( z ) 是单连通区域 B 上的解析函数，z 0 、z 是 区域的内点，则积分
F (z)
z z0
f ( ) d 与 路 径 无 关 ， 记
z z0
f ( z ) dz ， 则 F ( z ) 是 B 上 的 解 析 函 数 ， 且
l l
3
l1 l 2
f ( z ) dz
l
f ( z ) dz
l1
f ( z ) dz
l2
4
l
f ( z ) dz f ( z ) dz
二 复变函数积分的性质
5 如果在 l 上有 f ( z ) M ，路径 l 的长度为 L ，则
f ( z ) dz ML
l
6 如果路径 l 的参数方程为 z ( t ) x ( t ) iy ( t ) ， l 的起点和终 点的参数为 t a 和 t b ，则
f ( z ) dz
l
tb ta
f ( z ( t )) z ( t ) dt
二 复变函数积分的性质
例：计算 z dz ，其中 l 为： （1）从 i 到 i 的直线； （2）从
n
l a
z Rφ
CR
( z a ) 在以 l 为外境界、 R 为内境界的 C
n
复通域内解析，因此
( z a ) dz
n l
( z a ) dz
n CR
2
(R e
0
i
) R e id iR
n
i
n 1
2
e
0
i ( n 1)
d
iR
2 i
1
f ( z ) f (a )
C
max f ( z ) f ( a )
zC
za
dz lim
0
lim max f ( z ) f ( a ) 0
0 zC
f (a )
1 2 i
f ( z ) dz
l
za
二 解析函数的导数
如果函数 f ( z ) 在 l 所围闭区域 B 上解析， z 为
外境界线， z B ） 。
f ( ) d z)
n 1
5 f
(n)
(z)
2 i (
l
n!
， f ( z ) 在 B 上解析， 是 B 的 （ l
内外境界线， z B ） 。
f ( z(a )
1 2 i 1
f ( z ) dz
l
za
f (a ) 2 i
dz
l
za
2 i
f ( z ) f (a )
l
za
1 2
dz lim
0
2 i
1
f ( z ) f (a )
C
za
2
dz
lim
0
第2章 复变函数的积分
本章内容提要
1 复数函数的积分
2 柯西定理、不定积分
3 柯西公式
4 小结
一 复变函数积分定义
如图所示， 如果在复平面上一分 段光滑的曲线 l 上定义了连续函数 f (z) ， 在 l 上 取 一 系 列 分 点
z k , k 0 ,1, n ， l 分成 n 个小段， 将
l
i 1
n
f ( z ) dz 。
li
3 重要积分公式
0 l( z a ) dz 1 2 i 1
n
l 不包围 a ，或 n 1