数学物理方法 第二章 复变函数的积分

l
解： f ( z ) = Im z = y, u ( x, y ) = y, v( z, y ) = 0 I = ∫ y (dx + idy ) = ∫ ydx + i ∫ ydy
l 0 0 2 1
y
2+i
2 2
x x x ∵ y = ,∴ I = ∫ dx + i ∫ ydy = 0 2 0 2 4
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2、4 柯西Cauchy公式
单通域柯西公式： 若f(z)在闭单通区域B上解析， l为B的境界线， α为B内一点，则 1 f ( z) f (α ) = ∫l z − α dz 2πi 闭区域上解析=开区域内解析， l为其中一围 线。 意义： α是l内任一点，解析函数的值由边界 上的值唯一确定。比如，无源电场的电位。
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证明： 1 dz 1 f (α )dz (1)已知f (α ) = f (α ) ⋅ ∫l z − α = 2πi ∫l z − α 2πi 1 f ( z )dz 1 f ( z ) − f (α ) 与f (α ) = 比较，只需证明 ∫l z − α ∫l z − α dz = 0即可. 2πi 2πi f ( z ) − f (α ) (2)因为z = α为 的奇点，因此，以α为圆心，取任意小 z −α f ( z ) − f (α ) ε为半径做小圆Cε , 这样在l及Cε 所围复通区域上 单值解析。 z −α f ( z ) − f (α ) 1 f ( z ) − f (α ) 1 根据柯西定理， ∫ dz = ∫Cε z − α dz l 2πi z −α 2πi 对于Cε 上的z有：z − α = εe iϕ , dz = iεeiϕ dϕ 于是, 有： 1 f ( z ) − f (α ) 1 2π f ( z ) − f (α ) iϕ 1 iεe dϕ = iϕ ∫l z − α dz = 2πi ∫0 εe 2πi 2π
例1 : 计算积分 I1 = ∫ Re zdz , I 2 = ∫ Re zdz.
l1 l2
解： f ( z ) = Re z = x, 即u ( x, y ) = x, v( x, y ) = 0 x I1 = ∫ xdx + i ∫ 1dy = 0 0 2
1 1 1 1 2 1
y
1 + iy 0 = + i 2 0
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∫
2π
0
[ f ( z ) − f (α )]dϕ
(3)现在需要对上式右端做估计 因为f ( z )连续，一定可以找到∆ > 0,当 | z − α |≤ ∆时， | f ( z ) − f (α ) |≤ ε ′ 因而有： 1 2π 1 2π 1 ∫0 [ f ( z ) − f (α )]dϕ ≤ 2π ∫0 | f ( z ) − f (α ) |⋅ | dϕ |< 2π 2π =ε 1 f ( z ) − f (α ) 1 f ( z) ∴ dz = 0, f (α ) = ∫l z − α ∫l z − α dz 2πi 2πi
k =1
ξk
l
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Z0(A)
当n→∞且每小段都无限缩短时，如果这个 和的极限存在，且其值与各个ξk的选取无 关，则这个和为函数f(z)沿曲线l从A到B的 路积分，记作
∫ f ( z )dz
l
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即
∫ f ( z )dz = lim ∑ f (ξ
∫ f ( z )dz = ∫ u( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u( x, y )dy
l l l
∂u ∂u ∂v ∂v 由于f ( z )在B解析，因而 , , , 在B上连续。 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂Q ∂P 根据格林公式，Pdx + Qdy = ∫ ( − )dxdy ∫l S ∂x ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u 另有C - R条件： = ， = ∂x ∂y ∂x ∂y ∴ ∫ f ( z )dz = 0
∫ ＋ ∫ ＋∫
l AB
l1
＋∫ + ⋯ = 0
BA
其中沿同一割线两边缘的积分值抵消，于是
∫ ＋∫
l l
l1
+⋯ = 0
n li
l
即： f ( z )dz = ∑ ∫ f ( z )dz ∫
i =1
B A l1
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沿内外境界线逆时针方向积分相等。
总结：
1、闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为 零； 2、闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界 线正方向积分和为零； 3、闭复通区域上的解析函数沿境界线逆时针 方向积分等于沿所有内境界线逆时针积分之 和。 对于某个闭单通或闭复通于区上为解析的函数， 只有起、终点固定不变，当积分路径连续变 形（不跳过“孔”），路积分值不变。
2、1 复变函数的积分
设在复数平面的某分段光滑曲线l上定义了连 续函数f(z)，在l上取一系列分点z0（即起点 A）, z1 , z2,…, zn（即终点B），把l分成n个 小段，在每个小段[zk-1,zk] [z ]上任取一点ξk，作 Zn(B) 和， n Zk Zk-1 f (ξk )( zk − zk −1 ) ∑
l l
复变函数的路积分可以归结为两个实变函数 的线积分，分别是路积分的实部和虚部。
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复变函数积分的性质：
1. 2. 3.
∫ af ( z )dz =a ∫ f ( z )dz ∫ [ f ( z ) ± f ( z )]dz =∫ f ( z )dz ± ∫ f ∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz
l
推广：如果函数f(z)在单通区域B上解析，在闭单通区域 B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B 的边界），有 ∫ f ( z )dz = 0
l
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（二）复通区域情形
为了将奇点排除在区域之外，需要做一些适当 的闭合曲线把奇点分隔出去，即形成复通区 域。 一般来说，在区域内，只要有一个简单的闭合 曲线内有不属于该区域的点，这样的区域便 称为复通区域。 对于区域（单或复通区域）的境界线，通常这 样规定（内外）正方向，区域在观察者的左 边。
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复通区域柯西定理：
如果f(z)是闭复通区域上的单值解析函数， n 则 ∫ f ( z )dz + ∑ ∫ f ( z )dz = 0
l i =1 li
l为区域外境界线， li为内境界线，积分均沿 正方向进行。
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证明 : 做割线连接内外境界线，原来的复通区域变成了以 ABl１BAl段为境界线的单通区域。f ( z )在这上是解析的。 按单通区域柯西定理，
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0 l不包围a 1 1 例: I = ∫l z − a dz = 1 l包围a 2πi 解: 1 (1) l不包围a, 在l所围区域内解析， z−a I = 0（单通区域柯西定理） (2) l包围a，以a为圆心，R为半径作小圆C， 1 则 在复通区域内解析。 z−a 1 1 1 1 I= ∫l z − a dz = 2πi ∫C z − a dz 2πi ∵ C上z − a = Re iϕ , dz = i Re iϕ dϕ 1 2π 1 ∴I = i Re iϕ dϕ = 1 2πi ∫0 Re iϕ
2 1
y +i 2 0
2 1
0
x
0
i = 1+ 2 另：参数积分法： t t i 设参数t, x = t , y = , z = t + i , dz = (1 + )dt 2 2 2 2 t i i I = ∫ (1 + )dt = 1 + 0 2 2 2
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2、2 柯西Cauchy定理
1
l2 l2
1+i l1 x
1 I 2 = i ∫ 0dy + ∫ xdx = 0 l1 0 0 2 可见，虽然被积函数相同，起点、终点相同， 由于积分路径不同，结果不同。复变函数的积 分值不仅与起终点有关，且与路径有关。
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I 例2： = ∫ Im zdz , l为连接0和2 + i的直线。
解析函数
若函数f(z)在z0点及其邻域上处处可导，则 f(z)在z0点解析。 若f(z)在区域B上每点都解析，则f(z)是区域 B上的解析函数。 解析与可导的关系
在一点 在区域
解析函数的实部与虚部的关系
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第二章 复变函数的积分
柯西定理 柯西公式
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l n →∞ k =1 l
n
k
)( z k − z k −1 )
∵ z k = xk + iyk , f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) ∴ ∫ f ( z )dz = ∫ [u ( x, y ) + iv ( x, y )](dx + idy ) = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u ( x, y )dy
nHale Waihona Puke Baidul C 0 n inϕ iϕ 2π
= iR
n +1
∫
2π
0
ei ( n +1)ϕ dϕ
n +1
当n ≠ -1时，I = iR
1 i ( n +1)ϕ 2π e =0 0 i ( n + 1)
l a lε
当n = -1时，I = i ∫ dϕ = 2πi
0
2π
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意义： ( z − α ) n +1 f ( z ) = ( z − α )n , F ( z ) = n +1 当n ≠ -1时，F ( z )为单值函数，绕α一周，F ( z ) 的改变量为零； 当n = -1时， − α ) −1的原函数为ln(z - α ), 多值函数。 (z 逆时针绕α一周， z − α )的改变量为2πi. ln(
（一）单连通区域情形 单通区域：在其中做任何简单的闭合围线， 围线内的点都是属于该区域内的点。也可以 认为是一根闭合曲线围成的区域。
单连区域柯西定理： 如果函数f(z)在闭单通区域B上解析，则沿B上的任 一分段光滑闭合曲线l，有
∫ f ( z )dz = 0
l
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证明 :
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C a
R
2、3 不定积分
根据柯西定理，若函数f(z)在单通区域B上解 析，则沿B上任一路径l的积分 ∫ f ( z )dz 的值只 l 跟起点和终点有关，而与路径无关。因此， 当起点和终点固定时，这个不定积分就定义 z 了一个单值函数，记作
F ( z ) = ∫ f (ξ )dξ
l l l 1 2 l 1 l l −l l1 l2
2
( z )dz
4. 若l = l1 + l2 + ⋯ + ln , 则
∫ f ( z )dz =∫
l
f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ⋯ + ∫ f ( z )dz
ln
1、常数因子可以移到积分号外； 2、和积分等于积分和； 3、反转路径，积分反号； 4、全路径上的积分等于各段积分之和 wuxia@bnu.edu.cn
上次课复习
柯西-黎曼方程（条件），C-R条件， 是复变函数可导的必要条件
∂u ∂v ∂x = ∂y ∂v = − ∂u ∂x ∂y
函数f(z)可导的充分必要条件：
f(z)的偏导数 ∂u , ∂u , ∂v , ∂v 存在且连续，并满足C-R条件。
∂x ∂y ∂x ∂y
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z0
F(z)在B上是解析的，且F’(z)=f(z)，即F(z)是 f(z)的一个原函数。
∫
z2
z1
f (ξ )dξ = F ( z2 ) − F ( z1 )
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路积分的值等于原函数的改变量。
例 : I = ∫ ( z − α ) dz ( n为整数).
l
n
解： (1)若l不包含α，则f ( z )在l所围区域上是解析的， 根据柯西定理，I = 0 ( 2)若l包含α，如n ≥ 0, 被积函数在l所围区域仍是解析的，I = 0; 如n < 0, 则存在一个奇点α。以α为圆心，R为半径作圆周C。 在C上，z − α = Reiϕ I = ∫ ( z − α ) dz = ∫ R e d (α + Re ) = ∫ R n einϕ Reiϕ idϕ