[一轮试题] 新课标人教A版 高三 数学名校尖子生培优大专题 高频考点分析之最值探讨 不等式求最值2
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析
二、由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：典型例题：例1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为【 】()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【答案】B 。
【考点】由三视图判断几何体。
【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3。
因此此几何体的体积为：11633932V =⨯⨯⨯⨯=。
故选B 。
例2.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是【 】 A. 2865+ B. 3065+ C. 56125+ D. 60125+【答案】 B 。
【考点】三棱锥的三视图问题。
【解析】如下图所示。
图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和。
利用垂直关系、等腰三角形的性质和三角形面积公式，可得：()1S =234=102⋅+⋅底，()()()22111S =234=10S =45=10S =25415=65222⋅+⋅⋅⋅⋅⋅-后左右，，这里有两个直角三角形，一个等腰三角形。
∴该三梭锥的表面积是3065+。
故选B 。
例3.某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】A ．12π B.45π C.57π D.81π 【答案】C 。
【考点】由三视图求体积。
【解析】由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，几何体的直观图如图所示。
圆锥的高221534PO =-=几何体的体积1=9594573V V V p p p =+?创=圆柱圆锥。
故选C 。
例4.某几何体的三视图如图所示，它的体积为【 】A ． 72πB ． 48πC ． 30πD ． 24π 【答案】C 。
【考点】由三视图求体积。
【解析】由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，则它的体积2311434330323V V V πππ=+=⋅⋅+⋅⋅=半球体圆锥。
新课标高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题数列系列之数列周期性含解析新人教A版含
五、周期）数展）的运用 关于数列{A n } ，假如存在一个常数随意整数 n >N ，随意的正整数恒有 Ai=A(i+T)建称数列 {A n } 是从第起的T 的周期数列。
典型例题： 例 1. 数列 a n 知足n a ＋(－ 1) a ＝2n －1 ，则a n的前 60项和为【 】 n 1 n（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 【答案】 D 。
【考点】概括（数） ，数列。
【分析】 求出 a 的通项：由 n n a ＋－( 1) a ＝2n －1得，n 1 n 当 n=1时， a 1 a ；当 n=2时， a 3 a =2 a ；当 n=3时， a 5 a =7 a ； 2 1 3 2 1 4 3 1当 n=4时， a 7 a =a ；当 n=5时， a 6 9 a 5 =9 a 1 ；当 n=6时， a 7 11 a 6 =2 a 1 ； 5 4 1当 n=7时， a 13 a =15 a ；当 n=8时， a 8 15 a 7 =a 1 ；· · · · · · 7 6 1 当 n=4m+1时，a 8m 1 a ；当 n =4m +2时，a 4m 2 2 a 1 ；当 n =4m +3时，a 4m 4 8m 7 a 1； 4m 21当 n=4m+4时， a a （ m=0,1, 2，）。
4m 51∵ aaa ，4m4m 51∴ {a } 的 四项之 和为a a aa=a 8m 1 a2 a8m 7 a =16m 10n4m 14m 24m 34m 41111（ m=0,1, 2，）。
设baaaa =16m 10 （ m=0,1, 2，）。
m4m 14m 24m 34m 4{a }的前和等于{b n∴{a }的前nm10 16 14 1015 1830 kk 11例 2.关于 n N ， 将 n 表 示为na 2 a2 a 2 a 2 , 当 i k 时a1 ， 当kk 11i0 i k 1时a 为0 或 1，定义b 以下：在 n的上述表示中，当a a ，a2 ，⋯ ， a k 中等于 1 的i n 个数为奇数0, 12 ，⋯，a k 中等于 1 的个数为奇数时，b n=1；不然b n=0.（1）b2+b4+b6+b8= ▲. ；1（数列 {b n}中第0与第m+10c m的是 ▲ .. 【答案】（ 1）3；（ 2）2。
推荐学习高考学习复习资料数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之集合探讨 新人教A版
第13讲：高频考点分析之集合探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
集合是近代数学的基础，也是高中数学最基本的概念之一。
集合的思想、方法和语言使数学命题的表达更加简捷、明了，这注定了它可以渗透到数学的各个方面，也是高考考查的重要内容之一。
2012年各地高考对集合的考查主要集中在3个方面：（1）集合的运算；（2）集合的元素个数；（3）把集合作为解决数学问题的工具，考查集合语言与集合思想的运用。
我们从下面三方面探讨集合知识的考点：（1）集合的运算；（2）集合中的元素和个数；（3）集合思想的运用。
一、集合的运算：典型例题：例1.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为【 】()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【答案】D 。
【考点】集合的运算。
【解析】由{1,2,3,4,5}A =，,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈得：2,1x y ==；3,1,2x y ==；4,1,2,3x y ==；5,1,2,3,4x y ==，所以B 中所含元素的个数为10。
故选D 。
例2.已知集合A={x∈R｜3x ＋2>0﹜，B={x∈ R｜(x ＋1)(x －3)>0﹜，则A ∩B=【 】A ．（－∞，－1） B.（－1，23-） C. ﹙23-，3﹚ D.（3，＋∝）【答案】D 。
【考点】集合的交集运算。
【解析】∵23x 20,3>⎛⎫+⇒-+∞ ⎪⎝⎭， ()()()()x 10x 10x 1x 303,,1x 30x 30><>><++⎧⎧+-⇒⇒+∞-∞-⎨⎨--⎩⎩，∴A∩B=（3，＋∝）。
故选D 。
例3. 已知全集U ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（C u A ）B 为【 】A {1，2，4}B {2，3，4}C {0，2，4}D {0，2，3，4} 【答案】C 。
高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题高频考点分析之最值探讨应用函数的值域求最值新人
4x
log ax ,
2
1 时,
2
g x =log ax 的图象在 f
x =4 x 的图象上方。
根据对数函数的性质， a 1 。∴ g x =log a x 单调递减。
1
∴由 x
1 时，
4x
2
log ax 得 4 2
1 log a 2 ，解得 a
2
。
2
∴要使 0<x 1 时， 4x log a x ，必须 a > 2 。
y m 与函数 f ( x) 有 2 个交点的最低位置是当 y＝ m与 x 轴重合时，此时 x1· x2· x3＝0。
所以当方程 f x m( m R) 有三个不等实根时， x1· x2· x3∈ 1－ 3， 0 。 16
例 2. 当 0<x
1 时，
4x
2
log ax ，则 a 的取值范围是【
2 （ A） (0 ， )
▲．
【答案】
1－ 16
3，0
。
【考点】 新定义，分段函数的图象和性质，分类讨论和数形结合思想的应用。
【解析】 根据新运算符号得到函数为
(2x 1)2 (2x 1) ( x 1)， (2x 1) ( x 1)
f x (2x 1)*( x 1)=
，
(x 1)2 (2x 1) ( x 1)， (2x 1) > ( x 1)
b f2( )
b (
1)2
4 恒成立。
22
（ⅲ）当 0 b 1 ，即 2 b 0 时， M 2
b b2 f 2( 1) f2 ( ) ( 1) 4 恒成立。
22
综上所述， b 的取值范围为 2 b 2 。
高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析
二、函数值和大小比较问题：典型例题：例1.已知125=ln =log 2=x y z e π-，，，则【 】A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x【答案】D 。
【考点】对数、指数的比较大小的运用。
【解析】采用中间值大小比较方法：∵=ln ln =1x >e π，51=log 2log2y <，121=2z e -，12=1z e -，∴y <z <x 。
故选D 。
例2.已知0.21.251222log 2a b c -⎛⎫⎪⎝⎭===，，，则a b c ，，的大小关系为【 】（A ）c <b <a （B ）c <a <b （C ）b <a <c （D ）b <c <a【答案】A 。
【考点】指数函数、对数函数的性质。
【分析】∵0.20.2 1.21()222b -==<，∴ a b <<1。
又∵14log 2log 2log 25255<===c ，∴a b c <<，故选A 。
例3.下列函数中，不满足：(2)2()f x f x =的是【 】()A ()f x x = ()B ()f x x x =- ()C ()f x x =+1 ()D ()f x x =-【答案】C 。
【考点】求函数值。
【解析】分别求出各函数的(2)f x 值，与2()f x 比较，即可得出结果：()A 对于()f x x =有(2)=2=2=2()f x x x f x ，结论成立；()B 对于()f x x x =-有()(2)22=22=2=2()f x x x x x x x f x =---，结论成立； ()C 对于()f x x =+1有() ()f x x f x x 2=2+12=2+2，，∴(2)2()f x f x ≠，结论不成立；()D 对于()f x x =-有()()f x x f x 2=-22=，结论成立。
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（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之函数探讨函数的综合问题2 新人教A 版例11.设1()(0)x xf x ae b a ae =++> （I ）求()f x 在[0,)+∞上的最小值；（II ）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =；求,a b 的值。
【答案】解：（I ）设(1)xt e t =≥，则1y at b at=++。
∴222211a t y a at at -'=-=。
①当1a ≥时，0y '>。
∴1y at b at=++在1t ≥上是增函数。
∴当1(0)t x ==时，()f x 的最小值为1a b a++。
②当01a <<时，12y at b b at =++≥+∴当且仅当11(,ln )x at t e x a a====-时，()f x 的最小值为2b +。
（II ）∵1()x x f x ae b ae =++，∴1()x x f x ae ae'=-。
由题意得：(2)33(2)2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩，即222213132ae b ae ae ae ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2212a e b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
【考点】复合函数的应用，导数的应用，函数的增减性，基本不等式的应用。
【解析】（I ）根据导数的的性质分1a ≥和01a <<求解。
（II ）根据切线的几何意义列方程组求解。
例12.设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax=++> （Ⅰ）求()f x 的最小值；（II ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值。
【答案】解：（I）∵1()2f x ax b b b ax =++≥=+，∴当且仅当11()ax x a==时，()f x 的最小值为2b +。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题不等式新人教A版
不等式一、不等式的概念、性质及解法 1、 含参数不等式的解法"a — x,xwOf (x) 例1：已知：函数f (x )二」 (a >0).解不等式：' 丿v 1.a, x a 0x —2a 2 x 一解：⑴ 当x w 0时，即解 电辽v 1,即 2>0,不等式恒成立，即X W 0;x-2X-2(2)当 x > 0 时，即解v 1,即 x -心 2) >0,因为 a +2> 2,所以 0<x<2 或 x>a+2.x —2 x-2由(1)(2)得，原不•等式解集为(-g ,2) U (a+2,+ )2、含绝对值不等式的解法2a 2例2:解关于x 的不等式：xx — a W ------ (a >0)9分析：本例主要复习含 绝对值不等式的解法，分类 讨论的思想.本题的关键不是对参数 a 进行讨论，而 是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不 等式的解集•a»317ab故不等式的解集为(-二+空4a 】 3 「3 6一二、线性规划x -1例3 :设不等式组 x-2y ，3_0所表示的平面区域是'\ ,平面区域I 、与关于直线3x-4y-9=0对7-x称，对于耳中的任意一点A 与亿中的任意一点B ・AB 的最小值为 _________________ .当x : a 时不等式可化为ax(a - x)兰 2a2即」解：当x^a 时，不等式可转化为丿9x(x”2a 2 即」x _ a9x 2「9ax-2a 2 二 0【解析】由题意知，所求的AB 的最小值，即为冈域Q 中船点到直线张-打-g “的距 离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区城，如图所示，可看出点(L 1)到直线3.Y -4V -9 = 0的距离最小，故的最小值为1例4：已知函数f (x) ax ' - bx 2 (2 -b)x • 1在x = 处取得极大值，在 3x = x 2处取得极小值，且 解析：/ 2f (x) =ax- 2bx • 2 -b ,又x =捲处取得极大值，在 x = X 2处取得极小值--- / 2=a 0,方程 f lx) =0 即 ax 2 -2bx • 2 -b =0 的两根 x ,,x 2分布在(0,1),(1,2)内『(0) =2 -b 0 工 b ：：2/=f (1) = a —3b 2 ：：0 = a —3b 2 ：： 0f /(2) 4a -5b 20 4a -5b 2又z 二a 2b ，由线性规划知识易知，当过两点(-,6),(41 2)时z 取得最大和最小值，=z 的范围为(些,8).7 77三、基本不等..式例5:( 1)已知a,b 是正常数,a =b ， x, y (0,：：)，求证: ——_(a b)，指出等号成立的x y x y条件;(2)利用(1)的结论求函数f(x) /( X (0, 2))x 1-2x 2的最小值，指出取最小值时x 的值.解：⑴(色—)(x y) =a2 b2 a2— b2— - a2 b2 2 ax y x y :2—b2—=(^b)2, x y当且仅当a 2- =b 2-，即a=-时上式取等号;x y x y23I当且仅当，即x时上式取最小值，即[f (X )]min =25 •2x 1 -2x5四、不等式恒成立问题 1、 双变量的恒成立问题例6：已知二次函数 f (x^ ax 2 2bx 3，对任意x- R,b^〕0,2 1,不等式f (x) _ x • b 恒成立，求 实数a 的取值范围.9答案：a _ -42、 用图形解题例7 :若|x_a| 1 > -对一切x >0恒成立，则a 的取值范围是x 2⑵由⑴f (x)=22 2x32 1 -2x(2 3)2"2x (1-2x) =25•答案：(」：，2]。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三视图新人教A版【含答案】
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题三视图新人教A版【考纲解读】1．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图．2.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．3.会画出某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1．空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；2．空间几何体的直观图（1）斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题高频考点分析之函数探讨函数的值域和最值问题新人教A版
第16讲：高频考点分析之函数探讨1～2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8讲，对数学思想方法进行了探讨，9～12讲对数学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。
函数问题是中学数学的重要内容，在高考中占有比较重要的地位。
结合中学数学的知识，高考中函数问题主要有以下几种：1．函数定义域问题；2．函数值和大小比较问题；3．函数的值域和最值问题；4．函数的单调性。
周期性、奇偶性问题；5．函数的零点问题；6．函数图象的交点问题；7．反函数问题；8．函数的图形问题；9．函数的综合问题我们从以上九方面探讨函数问题的求解。
一、函数定义域问题：典型例题：例1.函数1()ln(1)=++f x x 的定义域为【 】A [2,0)(0,2]-B (1,0)(0,2]-C [2,2]-D (1,2]-【答案】B 。
【考点】函数的定义域。
分式、对数、二次根式有意义的条件。
【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得()2ln x+10x+104x 0>⎧≠⎪⎨⎪-≥⎩，解得x 0x 12x 2>≠⎧⎪-⎨⎪-≤≤⎩。
∴函数1()ln(1)=+f x x 的定义域为(1,0)(0,2]-。
故选B 。
例2.下列函数中，与函数y =定义域相同的函数为【 】 A ．1sin y x = B. ln x y x = C. x y xe = D. sin x y x= 【答案】D 。
【考点】函数的定义域。
【解析】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。
其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义。
由函数y =的意义可求得其定义域为{|0}x x R x ∈≠，，于是对各选项逐一判断即可得答案： 对于A ，1sin y x=的其定义域为{|}x x k k Z π≠∈，，故A 不满足； 对于B ，ln x y x =的定义域为{|0}x x R x >∈，，故B 不满足； 对于C ，x y xe =的定义域为{|}x x R ∈，故C 不满足；对于D ，sin x y x=的定义域为{|0}x x R x ∈≠，，故D 满足。
(新课标)高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 数列与三角函数的综合应用 新人教A版-新人教A版高
八、数列与三角函数的综合应用：数列与三角函数的结合是一类创新试题，利用三角函数的周期性体现数列的变化。
典型例题：例 1.设函数()2cos f x x x =-，{}n a 是公差为8π的等差数列，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，则2323[()]f a a a -=【 】A 、0B 、2116πC 、218πD 、21316π 【答案】D 。
【考点】等差数列性质，三角函数性质。
【解析】∵()2cos f x x x =-，125()()()5f a f a f a π++⋅⋅⋅+=，∴π5)cos cos (cos 2521521=+++-+++a a a a a a ）（。
∵{}n a 是公差为8π的等差数列， ∴1253322510a a a a a +++⨯=（）=，125cos cos cos 0a a a +++=。
∴3105a π=，解得323,28a a ππ==。
∴222323313[()]8216f a a a ππππ-=-⨯=。
故选D 。
关于125cos cos cos 0a a a +++=，125cos cos cos a a a +++可化为(31cos a 。
由((3333101cos 51cos 510a a a a ππ-=⇒+=-，设()(()1cos ,510f x x g x x π=+=- ，作图可得二者交点在()()0f x g x ==处：例2.设函数()sin 2xf x x =+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{}n x . （Ⅰ）求数列{}n x ；（Ⅱ）设{}n x 的前n 项和为n S ，求n S sin 。
【答案】解：（I ）∵()sin 2x f x x =+，∴1()cos 2f x x '=+。
令()0f x '=，解得22()3x k k Z ππ=±∈。
当()0f x '>时，2222()33k x k k Z ππππ-<<+∈；当()0f x '<时，2422()33k x k k Z ππππ+<<+∈。
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例7.）下列不等式一定成立的是【 】A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 【答案】C 。
【考点】不等式的性质以及基本不等式的应用。
【解析】对于A ，当x ＝12时，lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＝lg x ，所以A 不一定成立；对于B ，当sin x >0时，不等式才成立，所以B 不一定成立； 对于C ，命题显然正确；对于D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，所以D 不成立.故选C 。
例8.已知曲线C ：22(5m)x (m 2)y 8(m R)=∈－＋－（1）若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设m=4，曲线c 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y kx 4=+与曲线c 交于不同的两点M 、N ，直线y=1与直线BM 交于点G 。
求证：A ，G ，N 三点共线。
【答案】（1）原曲线方程可化为：22x y 1885m m 2=＋－－。
∵曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，∴885m m 285m80m 2>>>⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩－－－－，是7m 52<<。
∴若曲线C 是焦点在x 轴点上的椭圆，则m 的取值范围为7m 52<<。
（2）证明：∵m=4，∴曲线c 的方程为22x 2y 8=＋。
将已知直线代入椭圆方程化简得：()222k1x 16kx 24=0+++。
由()()()222=16k 42k 124=322k 30>∆-⋅+⋅-得，23k 2>。
由韦达定理得：M N M N 2216k 24x +x =x x =2k 12k 1-⋅++，。
设()()()M M N N G M x kx 4N x kx 4G x 1++ ，，，，，。
则MB 的方程为M M kx 6y=x 2x +-，∴M M 3x G 1kx 6⎛⎫⎪+⎝⎭，。
AN 的方程为N Nkx 2y=x 2x ++。
欲证A ，G ，N 三点共线，只需证点G 在直线AN 上。
将M M 3x G 1kx 6⎛⎫⎪+⎝⎭ ，代入N N kx 2y=x 2x ++，得N MN Mkx 23x 1=2x kx 6+⋅++， 即M N N M N M kx x 6x =3kx x 6x -⋅-⋅+，即()M N M N 4kx x 6x x =0⋅++， 即222416k 46=02k 12k 1⎛⎫⋅+⋅- ⎪++⎝⎭，等式恒成立。
由于以上各步是可逆的，从而点M M 3x G 1kx 6⎛⎫⎪+⎝⎭，在直线AN 上。
∴A ，G ，N 三点共线。
【考点】椭圆的性质，韦达定理的应用，求直线方程，三点共线的证明。
【解析】（1）根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m 的取值范围。
（2）欲证A ，G ，N 三点共线，只需证点G 在直线AN 上。
故需求出含待定系数的直线MB 和AN 的方程，点G 的坐标，结合韦达定理的应用用逆推证明。
也可通过证明直线MB 和AN 在y=1时横坐标相等来证A ，G ，N 三点共线或直线AN 和AG 斜率相等。
还可用向量求解。
例9.如图，动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ∆，且2MBA MAB ∠=∠，设动点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围。
yxB AOM【答案】解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），显然有x >0且0≠y 。
当∠MBA =90°时，点M 的坐标为（2，, ±3）。
当∠MBA ≠90°时，x ≠2。
由2MBA MAB ∠=∠得tan ∠MBA =MABMAB ∠-∠2tan 1tan 2，即2||2||1||21()1y y x y x x +-=--+ 化简得：22330x y --=。
而点（2，,±3）在22330x y --=上。
∵=0y 时，=1x ，∴1x >。
综上可知，轨迹C 的方程为22330x y --=（1x >）。
(II)由方程⎩⎨⎧=--+-=033222y x m x y 消去y ，可得03422=++-m mx x 。
（*） 由题意，方程（*）有两根且均在（1，+∞）内，设34)(22++-=m mx x x f ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+--=∆>++-=>--0)3(4)4(0341)1(1242222m m m m f m ，解得，m >1且m ≠2。
设Q 、R 的坐标分别为(,),(,)Q Q R R x y x y ，由PR PQ <有2223(1),23(1)R Q x m m x m m =-=--。
∴)11(3241)11(32)11(32)1(32)1(3222222mm m m m m m x x PQ PR Q R --+-=---+=---+==。
由m >1且m ≠2得211743123(1)m<-+<+--2171231m-+≠--（）。
∴PQPR的取值范围是())347,7(7,1+ 。
【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法，倍角公式的应用。
【解析】（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），当∠MBA =90°时，可直接得到点M 的坐标为（2，, ±3）；当∠MBA ≠90°时，由2MBA MAB ∠=∠应用倍角公式即可得到轨迹C 的方程。
（Ⅱ）直线2y x m =-+与22330x y --=联立，消元可得03422=++-m mx x ①，利用①有两根且均在（1，+∞）内可知，m ＞1，m ≠2。
设Q ，R 的坐标，求出x R ，x Q ，利用RQ PR x PQx =，即可确定PR PQ的取值范围。
例10.如图，动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成MAB ∆，且直线MA MB 、的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围。
yxBAO M【答案】解：（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），∵当x =－1时，直线MA 的斜率不存在；当x =1时，直线MB 的斜率不存在； ∴1x ≠±，MA 的斜率为1yx +，MB 的斜率为1-x y 。
由题意，有1y x +·1yx -=4，化简可得，22440x y --=。
∴轨迹C 的方程为22440x y --=（1x ≠±）。
（Ⅱ）由⎩⎨⎧=--+=04422y x m x y 消去y ，可得223240x mx m ---= (﹡) 对于方程(﹡)，其判别式2222)43416m 480m m ∆=-⨯--=+>（－（），而当1或－1为方程（*）的根时，m 的值为－1或1， 结合题设0m >可知，0m >，且m ≠1。
设Q R 、的坐标分别为(),,,Q Q R R x y x y （），,则,Q x R x 为方程（*）的两根。
∵PR PQ <，∴Q R x x <。
∴222323Q R m m m m x x -+++==∴2223211133211211R Q x PR m Q m mx P ++===+-+-。
2311m +>2312m +≠。
∴21133211m <+<+-且25133211m +≠+-。
∴13R Q PR PQ x x <=<且53R Q x x PR PQ =≠。
综上所述，PR PQ的取值范围为551333（，）（，） 。
【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法。
【解析】（Ⅰ）设M 的坐标为（x ，y ），由当x =－1时，直线MA 的斜率不存在；当x =1时，直线MB 的斜率不存在，得到1x ≠±，由直线MA MB 、的斜率之积为4列式即可得到轨迹C 的方程。
（Ⅱ）直线(0)y x m m =+>与22440x y --=联立，消元可得223240x mx m ---= (﹡)，利用(﹡)有两根且0m >，且m ≠1。
设Q ，R 的坐标，求出x R ，x Q ，利用RQ PRx PQ x = ，即可确定PR PQ的取值范围。
例11.如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】解：（1）在221(1)(0)20y kx k x k =-+>中，令0y =，得221(1)=020kx k x -+。
由实际意义和题设条件知00x >k >，。
∴2202020===10112k x k k k≤++，当且仅当=1k 时取等号。
∴炮的最大射程是10千米。
（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使221(1)=3.220ka k a -+成立， 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。
由()()222=204640a a a ∆--+≥得6a ≤。
此时，()()22220204640a a a a k +--+（不考虑另一根）。
∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标。
【考点】函数、方程和基本不等式的应用。
【解析】（1）求炮的最大射程即求221(1)(0)20y kx k x k =-+>与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。