最新初中几何经典例题及解题技巧
初中几何题解题技巧(带例题)
初中几何题解题技巧(带例题)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何题解题技巧在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。
在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。
一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。
练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。
二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。
练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。
三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。
分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：3.14×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。
这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。
同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。
如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。
在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。
题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。
证明CD等于GF。
题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。
证明△PBC是正三角形。
题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。
证明A2B2C2D2是正方形。
题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。
证明∠DEN＝∠F。
题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。
1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。
1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。
PB+PC>BC。
PC+PA>CA。
将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。
2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。
由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。
七年级数学第四章几何图形初步典型例题及答题技巧
七年级数学第四章几何图形初步典型例题及答题技巧单选题1、一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则从正面看该几何体的形状图为（）A．B．C．D．答案：A解析：由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为4，2，3，据此可得出图形．解：根据所给出的图形和数字可得：从正面看有3列，每列小正方形数目分别为4，3，2，则符合题意的是：故选：A．小提示：本题考查了从不同方向看几何体等知识，能正确辨认从正面、上面、左面（或右面）观察到的简单几何体的平2、下列各角中，是钝角的是（ ）．A ．14周角B ．23平角C ．平角D ．14平角答案：B解析：直接利用角的定义逐项分析即可得出答案．解：A. 14周角= 14×360°=90°，不是钝角，不合题意； B. 23平角=23×180°=120°，是钝角，符合题意；C. 平角=180°，不是钝角，不合题意；D. 14平角=14×180°=45°，不是钝角，不合题意． 故选：B小提示：此题主要考查了角的概念，正确掌握平角、周角、钝角的概念是解题关键．3、已知∠AOB =30°，如果用10倍的放大镜看，这个角的度数将（ ）A ．缩小10倍B ．不变C ．扩大10倍D ．扩大100倍答案：B解析：根据角是从同一点引出的两条射线组成的图形．它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系，直接判断即可．解：角的大小只与角的两边张开的大小有关，放大镜没有改变顶点的位置和两条射线的方向，所以用10倍放大镜观察这个角还是30度．小提示：本题考查了角的概念．解题关键是掌握角的概念：从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角，明确角的大小只与角的两边张开的大小有关．4、如图所示，∠COD的顶点O在直线AB上，OE平分∠COD，OF平分∠AOD，已知∠COD＝90°，∠BOC＝α，则∠EOF的度数为（）A．90°+αB．90°+α2C．45°+αD．90°﹣α2答案：B解析：先利用∠COD＝90°，∠BOC＝α，求出∠BOD的度数，再求出∠AOD的度数，利用角平分线，分别求出∠FOD和∠EOD的度数，相加即可．解：∵∠COD＝90°，∠BOC＝α，∴∠BOD＝90°-∠BOC＝90°-α，∴∠AOD＝180°-∠BOD＝90°+α，∵OF平分∠AOD，∴∠DOF=12∠AOD=45°+12α，∵OE平分∠COD，∴∠DOE=12∠COD=45°，∴∠EOF=∠FOD+∠DOE=90°+α；2故选：B．小提示：本题考查了角平分线的计算，解题关键是准确识图，弄清角之间的和差关系．5、观察下列图形，其中不是正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D．答案：B解析：利用正方体及其表面展开图的特点解题．解：A、C、D均是正方体表面展开图；B、是凹字格，故不是正方体表面展开图．故选：B．小提示：本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．6、下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是（）A．从王庄到李庄走直线最近B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼睛在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标C．向远方延伸的铁路给我们一条直线的印象D．数轴是一条特殊的直线答案：B解析：根据两点确定一条直线进而得出答案．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，这说明了两点确定一条直线的道理．故选B.小提示：此题主要考查了直线的性质，利用实际问题与数学知识联系得出是解题关键．7、如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的字是（）A．传B．国C．承D．基答案：D解析：正方体的平面展开图中，相对面的特点是必须相隔一个正方形，据此作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则：“传”与“因”是相对面，“承”与“色”是相对面，“红”与“基”是相对面．故选：D．小提示：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．8、如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体中写“英”的面相对面上的字是( )A．战B．疫C．情D．颂答案：B解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“战”与“情”是相对面，“疫”与“英”是相对面，“颂”与“雄”是相对面．故选：B．小提示：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手分析是解题的关键．填空题9、下列语句表示的图形是（只填序号）①过点O的三条直线与另条一直线分别相交于点B、C、D三点：_____．②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD：_______．③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点：_________．答案：（3）（2）（1）解析：解：观察图形，根据所给的信息可得：①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）；②以直线AB上一点O为顶点，在直线AB的同侧画∠AOC和∠BOD的图形为（2）；③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）．所以答案是：（3）；（2）；（1）．小提示：本题考查了直线、射线与线段的知识，注意掌握三者的特点，给出图形应该能判断出是哪一个．10、一个直角三角形的两条直角边的长分别为3厘米和4厘米，绕它的直角边所在的直线旋转所形成几何体的体积是_____立方厘米．（结果保留π）答案：12π或16π解析：根据题意可得绕它的直角边所在的直线旋转所形成几何体是圆锥，再利用圆锥的体积公式进行计算即可．解：绕它的直角边所在的直线旋转所形成几何体是圆锥，π×32×4=12π，①当绕它的直角边为3cm所在的直线旋转所形成几何体的的体积是：13π×42×3=16π，②当绕它的直角边为4cm所在的直线旋转所形成几何体的的体积是：13所以答案是：12π或16π．小提示：此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握圆锥的体积公式，注意分类讨论．11、如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，则剪掉的这个小正方形是________答案：丁解析：能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁，所以答案是：丁.小提示：本题考查了展开图折叠成正方体的知识，解题关键是根据正方体的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．12、如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOB=70°，在∠AOB内画一条射线OP得到的图中有m对互余的角，其中∠AOP=x°，且满足0<x<50，则m=_______．答案：3或4或6解析：分三种情况下：①∠AOP＝35°，②∠AOP＝20°，③0＜x＜50中的其余角，根据互余的定义找出图中互余的角即可求解．∠AOB =35°时，∠BOP=35°①∠AOP＝12∴互余的角有∠AOP与∠COP，∠BOP与∠COP，∠AOB与∠COB，∠COD与∠COB，一共4对；②∠AOP＝90°-∠AOB =20°时，∴互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOP与∠AOB，∠AOP与∠COD，∠COD与∠COB，∠AOB与∠COB，∠COP与∠COB，一共6对；③0＜x＜50中35°与20°的其余角，互余的角有∠AOP与∠COP，∠AOB与∠COB，∠COD与∠COB，一共3对．则m＝3或4或6．所以答案是：3或4或6．小提示：本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．13、已知∠A＝20°18'，则∠A的余角等于__．答案：69°42′解析：根据互为余角的两个角之和为90°解答即可．解：∵∠A＝20°18'，∴∠A的余角为90°﹣20°18′＝69°42′．所以答案是：69°42′．小提示：本题考查余角定义，熟知互为余角的两个角之和为90°是解答的关键．解答题14、如图，线段AB=8cm,C是线段AB上一点，M是AB的中点，N是AC的中点．（1）AC=3cm，求线段CM、NM的长；（2）若线段AC=m，线段BC=n，求MN的长度（m<n用含m,n的代数式表示）．答案：（1）CM=1cm，NM=2.5cm；（2）12n解析：（1）求出AM长，代入CM=AM-AC求出即可；分别求出AN、AM长，代入MN=AM-AN求出即可；（2）分别求出AM和AN，利用AM-AN可得MN．解：（1）∵AB=8cm，M是AB的中点，∴AM=12AB=4cm，∵AC=3cm，∴CM=AM−AC=4−3=1cm；∵AB=8cm，AC=3cm，M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM=12AB=4cm，AN=12AC=1.5cm，∴MN=AM−AN=4−1.5=2.5cm；（2）∵AC=m，BC=n，∴AB=AC+BC=m+n，∵M是AB的中点，N是AC的中点，∴AM =12AB =12(m +n)，AN =12AC =12m ，∴MN =AM −AN =12(m +n)−12m =12n ． 小提示：本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM 、AN 的长．15、已知：如图，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．(1)若线段AC ＝6，BC ＝4，求线段MN 的长度；(2)若AB ＝a ，求线段MN 的长度；(3)若将(1)小题中“点C 在线段AB 上”改为“点C 在直线AB 上”，(1)小题的结果会有变化吗?求出MN 的长度． 答案：（1）5cm ；（2）12a ；（3）1或5． 解析：（1）由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．可知MC =3，CN =2，从而可求得MN 的长度．（2）由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，MN =MC +CN =12（AC +BC ）=12AB ．（3）由于点C 在直线AB 上，所以要分两种情况进行讨论计算MN 的长度．解：（1）∵ AC ＝6，BC ＝4，∴ AB ＝6+4＝10，又∵ 点M 是AC 的中点，点N 是BC 的中点，∴ MC ＝AM ＝12AC ，CN ＝BN ＝12BC ，∴ MN ＝MC +CN ＝12AC +12BC ＝12（AC +BC ）＝12AB ＝5（cm ）．（2）由（1）中已知AB ＝10cm 求出MN ＝5cm ，分析（1）的推算过程可知MN ＝12AB ，故当AB＝a时，MN＝12a，从而得到规律：线段上任一点把线段分成的两部分的中点间的距离等于原线段长度的一半．（3）分类讨论：当点C在点B的右侧时，如图可得：MN=MC−NC=12AC−12BC=12(AC−BC)=12×(6−4)=1；当点C在线段AB上时，如（1）；当点C在点A的左侧时，不满足题意．综上可得：点C在直线AB上时，MN的长为1或5．小提示：本题考查线段计算问题，涉及线段中点的性质，分类讨论的思想，属于基础题型．。
初中数学经典几何题及答案
初中数学经典几何题及答案1.题目：已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和。
所以斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm。
2.题目：已知一个正方形的边长为6cm，求其对角线的长度。
解答：正方形的对角线可以看作是两个相等的直角三角形的斜边，所以可以使用勾股定理来计算对角线的长度。
正方形的边长为6cm，所以直角三角形的直角边为6cm，斜边即为对角线的长度。
所以对角线的长度为√(6^2+ 6^2) = √(36 + 36) = √72 ≈ 8.49cm。
3.题目：已知一个梯形的上底长为8cm，下底长为12cm，高为5cm，求梯形的面积。
解答：梯形的面积可以通过上底和下底的平均值乘以高来计算。
所以梯形的面积为(8 + 12) × 5 ÷ 2 = 20cm²。
4.题目：已知一个等边三角形的边长为10cm，求其面积。
解答：等边三角形的面积可以通过边长的平方乘以根号3再除以4来计算。
所以等边三角形的面积为(10^2 × √3) ÷ 4 = (100 × √3) ÷ 4 ≈ 43.30cm²。
5.题目：已知一个长方形的长为8cm，宽为5cm，求其周长。
解答：长方形的周长可以通过将长和宽分别乘以2再相加来计算。
所以长方形的周长为(8 × 2) + (5 × 2) = 16 + 10 = 26cm。
6.题目：已知一个圆的半径为6cm，求其面积。
解答：圆的面积可以通过半径的平方乘以π（约等于3.14）来计算。
所以圆的面积为6^2 × 3.14 ≈ 113.04cm²。
7.题目：已知一个正五边形的边长为4cm，求其周长。
解答：正五边形的周长可以通过边长乘以5来计算。
所以正五边形的周长为4 × 5 = 20cm。
初中几何经典例题及解题技巧
初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
*12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
*6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
初中几何题解题技巧带例题
初中几何题解题技巧带例题Newly compiled on November 23, 2020初中几何题解题技巧在小学阶段，我们学过许多关于几何图形面积计算的知识。
在计算几何图形面积时，除了能正确运用面积计算公式外，还需要掌握一定的解题技巧。
一、割补法割补法是指将一些不规则的、分散的几何图形经过分割、移补，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例1如图1，已知正方形的边长是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图2所示，连接正方形的对角线，可以将阴影I分割成I1和I2两部分，然后将阴影I1移至空白I1′处，将阴影I2移至空白I2′处，这样阴影部分就拼成了一个等腰直角三角形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个等腰直角三角形的面积即可，列式为：6×6÷2＝18（平方厘米）。
练一练1：如图3，已知AB＝BC＝4厘米，求阴影部分的面积。
二、平移法平移法是指把一些不规则的几何图形沿水平或垂直方向移动，拼成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例2如图4，已知长方形的长是12厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：如图5所示，连结长方形两条长的中点，把阴影部分分成左右两部分，然后把左边的阴影部分向右平移至空白处，这样阴影部分就转化成了一个边长为6厘米的正方形。
要求阴影部分的面积，只要求出这个正方形的面积，列式为：6×6＝36（平方厘米）。
练一练2：如图6，求阴影部分的面积（单位：分米）。
三、旋转法旋转法是指把一些几何图形绕某一点沿顺时针（或逆时针）方向转动一定的角度，使分散的、不规则的几何图形合并成一个规则的几何图形，从而求出面积的方法。
例3如图7，已知ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝20厘米，D是AB的中点，扇形DAE和DBF都是圆的，求阴影部分的面积。
分析与解：如图8所示，把扇形DBF绕D点沿顺时针方向旋转180°后，扇形DBF与扇形DAE就合并成了一个半径为10厘米的半圆，两个空白三角形也合并成了一个直角边为10厘米的等腰直角三角形，要求阴影部分的面积，只要用半圆的面积减去空白部分的面积即可，列式为：×（20÷2）2÷2－（20÷2）2÷2＝107（平方厘米）。
八年级经典几何题
八年级经典几何题一、三角形全等类。
题1：如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD。
解析：1. 在△ABD和△ACD中：- 已知AB = AC（题目所给条件）。
- 因为AD是BC边上的中线，所以BD = CD（中线的定义）。
- AD = AD（公共边）。
2. 根据SSS（边 - 边 - 边）全等判定定理，可得△ABD≌△ACD。
题2：已知：如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF。
求证：∠A = ∠D。
解析：1. 因为BE = CF，所以BE+EC = CF + EC，即BC = EF。
2. 在△ABC和△DEF中：- AB = DE（已知）。
- AC = DF（已知）。
- BC = EF（已证）。
3. 根据SSS全等判定定理，△ABC≌△DEF。
4. 所以∠A = ∠D（全等三角形的对应角相等）。
二、等腰三角形性质类。
题3：等腰三角形的一个角是70°，求它的另外两个角的度数。
解析：1. 当70°角为顶角时：- 因为等腰三角形两底角相等，设底角为x。
- 根据三角形内角和为180°，则2x+70° = 180°。
- 2x = 180° - 70° = 110°，解得x = 55°。
- 所以另外两个角都是55°。
2. 当70°角为底角时：- 则另一个底角也是70°，顶角为180°-70°×2 = 180° - 140° = 40°。
- 所以另外两个角是70°和40°。
题4：已知等腰三角形ABC中，AB = AC，AD⊥BC于D，若∠BAD = 30°，求∠C的度数。
解析：1. 因为AB = AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，AD是∠BAC的平分线。
2024年中考数学重难点《几何最值问题》题型及答案解析
重难点几何最值问题中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类：一、将军饮马类最值二、动点辅助圆类最值三、四点共圆类最值四、瓜豆原理类最值五、胡不归类最值几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
考向一：将军饮马类最值一动”“两定异侧普通一动”“两定同侧普通动”两定“一动”两定“两两动”“两定同侧两动”“两定异侧满分技巧将军饮马：。
1．（2023•绥化）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C 顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是3+3．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF ＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，∠ABC＝∠BCA＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF，∵CE＝CF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CAF＝∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG 交于点I，连接CI，FH，则∠ACG＝60°，CG＝GH＝AC＝3，∴CH＝AC＝6，∴△ACH为等边三角形，∴DH＝CD•tan60°＝，AG垂直平分CH，∴CI＝HI，CF＝FH，∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝3，CF+DF＝HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝3，∴△CDF的周长的最小值为3+3．故答案为：3+3．2．（2023•德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．【分析】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．【解答】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，∴∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBC中，由勾股定理，得EC＝＝＝，∵FG＝1，∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F＝EF，∵AD∥BC，∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小时，CG＝C'G'，∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，∵AG'∥BC'，∴＝，即＝，解得C'G'＝，即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．故答案为：．考向二：动点辅助圆类最值满分技巧动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：一．定义法——若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或圆弧）二.定边对直角模型原理：直径所对的圆周角是直角思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆弧）三．定边对定角模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆（或圆弧）1．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为．【分析】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．2．（2023•黑龙江）如图，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，CB＝2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是4+．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，E是AB的中点，∴AB＝2BC＝4，CE＝AE＝AB＝2，AC＝AB•cos30°＝2，∴∠ECA＝∠BAC＝30°，过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G，∴AG＝AC＝，∵点F在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴AF＝AB＝4，∴点F到CE的距离最大值为4+，∴，故答案为：．3．（2023•大庆模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是⊙O上个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B．C．D．【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥P A，∴∠ADO＝90°，∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，∵C为的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值为+1，故选：D．考向三：四点共圆类最值满分技巧对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生模型原理：圆内接四边形对角互补∴FD＝，在四边形ACBF中，∠ACB＝∠AFB＝90°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠ACF＝∠ABF＝45°，∠CAB＝∠CFB，∵∠PCD＝45°∴∠ACP＝∠FCD，又∵△ABE∽△FBD，∴∠BAE＝∠BFD，∴∠CAP＝∠CFD，∴△CAP∽△CFD，∴，在四边形ACBF中，由对角互补模型得AC+CB＝，∴CF＝∴，∴AP＝1，∴PE＝2，故答案为：2考向四：瓜豆原理类最值满分技巧瓜豆原理的特征和结论：∴AB＝CD＝6，∠B＝∠BCD＝90°，∵∠BET＝∠FEG＝45°，∴∠BEF＝∠TEG，∵EB＝ET，EF＝EG，∴△EBF≌△ETG（SAS），∴∠B＝∠ETG＝90°，∴点G在射线TG上运动，∴当CG⊥TG时，CG的值最小，∵BC＝，BE＝，CD＝6，∴CE＝CD＝6，∴∠CED＝∠BET＝45°，∴∠TEJ＝90°＝∠ETG＝∠JGT＝90°，∴四边形ETGJ是矩形，∴DE∥GT，GJ＝TE＝BE＝，∴CJ⊥DE，∴JE＝JD，∴CJ＝DE＝3，∴CG＝CJ+GJ＝+3，∴CG的最小值为+3，故答案为：+3．2．（2023•宿城区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为．【分析】过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，则可得△ABE∽△PBG，进而可知∠BPG为定值，因此CG⊥PG时，CG最小，通过设元利用三角函数和相似比可表示出PG、CP，即可求出结果．【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，∵，∠ABC＝∠EBF，∴△ABC∽△EBF，∴∠CAB＝∠FEB，∵∠APB＝∠EGB＝90°，∴△ABP∽△EBG，∴＝，∠ABP＝∠EBG，∴∠ABE＝∠PBG，∴△ABE∽△PBG，∴∠BPG＝∠BAE，即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，∴当CG⊥PG时，CG最小，设此时AE＝x，∵，∴PG＝，∵CG⊥PG，∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，∴，代入PG＝，解得CP＝x，∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，∴x＝，∴AE＝∴CE＝，故答案为：．考向五：胡不归类最值满分技巧胡不归模型解决步骤：模型具体化：如图，已知两定点A、B，在定直线BC上找一点P，使从B走道P，再从P走到A的总时间最小解决步骤：由系数k·PB确定分割线为PBPA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构α角，使sinα=k，α角另一边为BD过点P作PQ⊥BD，转化kPB=PQ过定点A作AH⊥BD，转化（PA+k·PB）min=AH，再依“勾股法”求AH的长即可。
初中数学几何证明题经典例题(超全)
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9
• 已知：如图正方形ABCD，P、Q分别是BC、 DC上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA
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10
• 已知：如图正方形ABCD，AC、BD交于点 O，E、F分别是BC、OD的中点 求证： AF⊥EF
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11
• 已知：如图，，AB=BC，D、E分别是AB、 BC上一点，DM⊥AE交AC于M， BN⊥AE 交AC于N，若BD=BE求证：MN=NC。
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20
• 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F 分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、 AC的中点，猜一猜EF与GH的位置关系， 并证明你的结论．
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21
• 如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC 的同侧作等边三角形ABD，等边三角形 BCE，等边三角形ACF，连接DE，EF。求 证：四边形ADE 2，AB=3AC，BE⊥AD，
求证：AD=DE
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15
• 已知：如图，AB//CD， D=90 o， BE=EC=DC，求证： AEC=3 BAE
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16
• 已知如图，AB=DC，AE=DE，BF=FC，
FE交BA、CD的延长线于G、H，求证：1= 2。
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17
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
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18
• 已知：如图，AB//CD， ADC=90o ， BE=EC，求证： AED=2 EDC
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19
• 已知:如图，正方形ABCD中，E是DC上一 点，DF⊥AE交BC于F 求证：OE⊥OF
初中几何经典题型分享,化异为同,迅速找到突破口!
初中几何经典题型共享,化异为同,迅速找到突破口!在初中数学中，几何是一个重要的部分，而几何题型中又有一些经典的题型，对于学生来说，能够熟练掌握这些经典题型是非常关键的。
本文将共享一些初中几何经典题型，并提供一些化异为同的方法，帮助学生迅速找到题目的突破口。
一、相似三角形的题型相似三角形在初中数学中是一个非常重要的概念，而与相似三角形相关的题型也是很常见的。
在解决相似三角形的题目时，我们可以采用化简、观察、找规律的方法快速找到突破口。
1. 根据比例关系求解当题目给出两个相似三角形的边长比例时，我们可以利用这个比例关系来求解其他未知边长。
比如题目给出一个大三角形ABC和一个小三角形DEF，并告诉我们AB与DE的比例为2:1，BC与EF的比例为3:2，我们就可以利用这个比例关系求出AC与DF的比例，从而得出未知边长。
2. 利用相似三角形的性质求解相似三角形有很多性质，比如对应角相等、对应边成比例等。
在解题过程中，我们可以利用这些性质来进行推导和求解。
当题目给出两个三角形相似时，我们可以利用对应角相等的性质来得出一些结论，进而找到解题的方法。
3. 观察图形找出等边和等角有时候，题目中的相似三角形可能隐藏着一些等边和等角的信息，我们可以通过观察图形，找出这些信息，然后利用这些信息来解题。
通过观察图形，我们可以找到一些直接的相等关系，从而快速找到题目的突破口。
二、平行线和角的关系题型平行线和角的关系也是初中几何中的一个重要内容，而与平行线和角的关系相关的题型也是比较常见的。
在解决这类题目时，我们可以采用化异为同的方法，将题目中的信息转化为相似的形式，从而快速找到解题的突破口。
1. 利用平行线的性质找角题目中常常会涉及到一些平行线的性质，比如同位角相等、内错角相等等。
在解题时，我们可以利用这些性质来找出一些角的关系，从而推导出一些结论。
通过化异为同，我们可以将题目中的信息转化为相似的形式，从而更容易找到解题的方法。
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初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。
*11.利用半圆上的圆周角是直角。
证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。
证明线段的和差倍分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。
证明角的和差倍分1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明线段不等1.同一三角形中，大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。
*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
证明两角的不等1.同一三角形中，大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。
*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
*5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
证明四点共圆*1.对角互补的四边形的顶点共圆。
*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。
*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
*5.到顶点距离相等的各点共圆知识归纳：1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
一. 证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分 例1. 已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。
求证：DE ＝DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。
本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG 例2.说明：利用三角形全等证明线段求角相等。
常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。
二. 证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。
证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或例3. 如图3所示，设BP 、CQ AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。
求证：KH ∥BC分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。
同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。
从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。
BH说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。
我们也可以理解成把 例4. 已知：如图4所示，AB ＝AC 求证：FD ⊥ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。
说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90°。
三. 证明一线段和的问题例5. 已知：如图6BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。
，知：（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。
（补短法）例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。
不妨延长CB 至G ，使BG ＝DF 。
中考题：如图8BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。
求证：EC ＝ED交BE于F题型展示：E，使AE＝AB，连结DE说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
实战模拟：1. 已知：如图11D 是AB 上一点，DE ⊥CD 于D ，交BC 于E ，且有2.3. CQ。
设M为BC的中点。
求证：MP＝MQ4.2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。
“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。
CE＝CB，连结ED3. 证明：延长PM交CQ于R。