任意角的正弦函数、余弦函数的定义
《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义》精品课件
解析
先考虑角的终边不在坐标轴上的情形如图设角的终边与单
位圆交于点P,则点P的坐标为 ,且 = .
点 在角的终边上,则 = + 分别过点P,Q作x轴的垂线
PM,QN,垂足为M,N.易知△ ∼△ .
所以
=
.即
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典例剖析
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
师生互动
教师出示例2,组织学生分组讨论,确定利用定义解题的思路,然后安排一名学生上黑板演
示例2的解答过程,其他学生在练习本上完成.教师巡视,收集信息,及时评价,纠错,讲解,规
范解题过程.
教师引导学生完成“思考交流”,根据角的范围安排学生分四组讨论交流,完成填空并回
（1）画出角;
（2）求角的正弦函数值和余弦函数值.
解析
（1）如图,以原点为角的顶点,以x轴的非负半轴为始边,顺时针旋转,
与 单 位 圆 交 于 点 P, 过 点 P 作 x 轴 的 垂 线 交 x 轴 于 点 M. 于 是 =
∠ = − 即为所作的角.
（2）设点 ,则 =
答问题,集体评价,教师归纳总结.
设计意图
通过例2和思考交流,加深学生对定义的理解,培养学生的直观想象和数学运算核心素养.
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课堂小结
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
1.锐角的正弦函数和余弦函数的定义.
2.任意角的正弦函数和余弦函数的两个定义：是用单位圆上点的坐标定义;
二是用终边上除原点外任意一点的坐标的比值定义.
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+ .
3知识讲解_正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式_基础
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.掌握任意角的正弦函数、余弦函数的定义，能由正弦函数、余弦函数的定义求其定义域、函数值的符号.2.理解正弦函数、余弦函数的周期性.3．理解正弦与余弦诱导公式的推导过程，掌握诱导公式的应用． 【要点梳理】要点一：任意角的正弦函数、余弦函数 1．单位圆定义：在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆称为单位圆． 作用：单位圆是研究三角函数的有利工具． 2．任意角的正弦、余弦函数的定义在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P (u ，v )，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数，记作cos u α=．若用x 表示角的大小，y 表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角函数y ＝sinx ，y ＝cos x (x ∈R )．要点诠释：(1)三角函数值只与角α的终边所在位置有关，与P 点在终边上的位置无关．(2)设角α终边上任一点P (x ，y )，||OP r =，则sin y r α=，cos x rα=． (3)定义域：sin y x =和cos y x =的定义域都是R ．值域：sin y x =和cos y x =的值域都是[-1，1]． 要点二：正弦、余弦函数在各象限的符号在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三全负，四余弦． 要点诠释：口诀的含义是在第一象限正弦、余弦函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限为负，在第四象限余弦值为正．要点三：三角函数的周期性 1．周期函数的定义及理解(1)定义：一般地，对于函数f (x )，若存在一个非零的常数T ，对定义域内任意一个x ，都有f (x+T )＝f (x )．我们就把f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期．(2)规定：对于周期函数，若所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．今后提到的函数周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期． (3)理解：①以T (T ≠0)为周期的函数f (x )，对于定义域M 内的任意x 值，x+T 也必属于M ，否则f (x+T )没有意义．因此，若一个周期函数的周期T ＞0，则其定义域必无上界；若T ＜0，则其定义域必无下界． ②周期函数的定义中“对定义域内的任意一个x ”的“任意一个x ”的含义是指定义域内的所有的x值，即如果有一个0x ，使00()()f x T f x +≠，那么T 就不是函数()f x 的周期． ③周期函数定义中的“T ”是不为0的实数． 2．周期函数()y f x =具有的特殊性质(拓展)(1)定义域：在周期函数()y f x =中，T 是周期，若x 是定义域内的一个值，则x+kT 也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．(2)解析式：当T 是函数()y f x =的周期时，对定义域中任意x ，总有()()f x T f x +=都成立． (3)周期函数的周期有无限多个．若T 是周期，则对定义域中的任意x ，总有f (x+kT )＝f (x+(k -1)T )＝f (x+(k -2)T )＝…＝f (x )都成立，即f (x+kT )＝f (x )，所以kT (k ∈Z )也是周期．(4)值域：由于对定义域中的任意x ，总有()()f x T f x +=都成立，则周期函数()y f x =的值域与函数()y f x =在一个周期内的值域相同．(5)图像：每隔一个周期，函数()y f x =的图像重复出现，即周而复始．由此可得判断周期函数的方法：图像法，当函数()y f x =的图像每隔一段重复出现时，函数()y f x =是周期函数． 要点四：正弦、余弦函数的诱导公式 l ．公式内容(1)sin()sin αα-=-，cos()cos αα-=(2)sin()sin cos()cos sin()sin cos()cos απααπααπααπα+=-+=-⎧⎨-=--=-⎩，，(3)sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-(4)sin cos cos sin 22sin cos cos sin 22ππααααππαααα⎧⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，，(5)sin(2)sin k παα+=，cos(2)cos ()k k παα+=∈Z要点诠释：这五组公式都是将任意角的正弦、余弦值转化为求锐角的正、余弦值． 2．公式记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”． ①角一定要写成：()2kk πα±∈Z 的形式，则k 为奇数时，函数名改变，k 为偶数时，函数名不变．②“象限”是指将α看作锐角时，()2kk πα±∈Z 所在象限的原函数值的符号．3．与正弦、余弦函数有关的计算、求值、证明的解题技巧：诱导公式的作用在于将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，然后再利用公式转化为0°～360°的三角函数，最后再利用公式转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值或查表求解，它是三角变换的基础． （1）求值利用诱导公式求值有两种题型：一是无条件的求值问题；二是有条件的求值问题．解题技巧是：整体观察角的结构特征，将所求角的三角函数值中的角，转化为所给角与特殊角的和与差的形式，实现由未知向已知方面的转化，这需要一定的观察能力，和掌握一些角的常用变形技巧． （2）化简利用诱导公式化简的思路是：利用诱导公式和题设条件逐一化简，化简到不能再化简为止．化简的基本要求是：项数尽量少，次数尽量低，能不含分母的尽量不含分母，能不含根号的尽量不含根号，能合并的尽量合并，能约分的就约分，能求值的就求值．【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α的值．【思路点拨】先根据点P （－4a ，3a ）求出OP 的长；再分a ＞0，a ＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论 【答案】35，45-或35-，45【解析】 5||r a ==． 若a ＞0，则r=5a ，α是第二象限角，则33sin 55y a r a α===， 44cos 55x a r a α-===-，若a ＜0，则r=－5a ，α是第四象限角，则3sin 5α=-，4cos 5α=．【总结升华】 本题主要考查三角函数的定义和分类讨论的思想．三角函数值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题．举一反三：【变式1】已知角α的终边在直线y =上，求sin α，cos α的值．12或12-【解析】因为角α的终边在直线y =上，所以可设()(0)P a a ≠为角α终边上任意一点．则2||r a ==（a ≠0）．若a ＞0，则α为第一象限角，r=2a ，所以sin α==，1cos 22a a α==． 若a ＜0，则α为第三象限角，r=－2a，所以sin α==1cos 22a a α=-=-． 类型二：三角函数的符号例2．判断下列各三角函数值的符号 （1）17sin 6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）sin269°；（3）cos191°． 【答案】（1）负（2）负（3）负 【解析】（1）因为177466πππ-=-+，且76π是第三象限角，所以176π-是第三象限角．所以17sin 06π⎛⎫-< ⎪⎝⎭． （2）∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0． （3）∵191°是第三象限的角，∴cos191°＜0． 举一反三： 【变式1】确定下列各三角函数值的符号. （1）sin532︒；（2）23cos12π；（3）sin3.1（4）sin(cos )cos(sin )θθ，其中θ是第二象限角.【答案】（1）正（2）正（3）正（4）负【变式2】若sin α＜0，cos α＞0，则α是第几象限角？ 【答案】四 【解析】因为sin α＜0，所以α为第三或第四象限角， 又cos α＞0，所以α为第一或第四象限角， 所以α为第四象限角． 类型三：周期函数 例3．已知1(1)()f x f x +=-，求证：()f x 是周期函数，并求出它的一个周期． 【思路点拨】根据题目所给条件，构造函数，推导出符合周期函数定义的式子，即可得出结论．【解析】由题意知：11(2)()1(1)()f x f x f x f x +=-=-=+-．∴ ()f x 为周期函数且2是它的一个周期．【总结升华】证明某一函数是周期函数，要善于根据所给条件的式子结构进行分析、变形． 举一反三：【变式1】以下几个命题中，正确的是( )①存在函数()f x 的定义域中有某个自变量0x ，使00()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数；②存在实数T ，使得对()f x 定义域内的任意一个x ，都满足()()f x T f x +=，则()f x 为周期函数；③周期函数的周期是唯一的．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】①由周期函数的定义可知()()f x T f x +=对定义域内的任意一个x 都成立，且T ≠0，故不正确；②由周期函数的定义可知T ≠0，故不正确；③若T 为周期，则(2)(())()()f x T f x T T f x T f x +=++=+=，故2T 也是周期，不正确． 类型四：利用诱导公式进行求值、化简和证明例4．求sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)-+--的值．【思路点拨】注意观察角，将角化为360,180,360k ααα⋅+±-等形式后再利用诱导公式求解． 【答案】1 【解析】原式=sin(3360120)cos(3360210)cos(2360300)sin(2360330)-⨯+⋅⨯+-⨯+⋅⨯+ =sin(18060)cos(18030)cos(36060)sin(36030)--⋅+--⋅- =sin 60cos30cos60sin30+11122⨯= 【总结升华】本题主要考查诱导公式，可先将负角化为正角，再化为0360的角，最后化为锐角求值．举一反三：【变式1】（1）2515cossin 34ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（2）sin810°+sin750°+cos360°【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值．【答案】（1）12（2）52【解析】（1）原式cos 8sin 434ππππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos sin 342ππ=+=+=． （2）原式= sin(2×360°+90°)+sin(2×360°+30°)+cos(0°+360°)=sin90°+sin30°+cos0°=52． 【总结升华】 在弧度制下，与角α终边相同的角为2k πα+，k ∈Z ，在角度制下终边相同的角为k ·360°+α，k ∈Z ．利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值．例5．化简：sin 250cos 790+°°．=1==-．【总结升华】利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数，而后再合并、去根号、约分求值．举一反三：【变式1】cos315sin(30)sin 225cos 480+-++°°°°． 【答案】1-【解析】(1)cos315sin(30)sin 225cos 480+-++°°°°cos45sin30sin 45cos60=---°°°°1112222=---=-．【变式2】化简：3131cos()cos()33k k παπα+-++-，其中k ∈Z ． 【思路点拨】由题目中的角的结构特点可知，不能直接利用诱导公式，必须对k 进行讨论之后才能用诱导公式进行化简．【解析】当2,k n n z =∈时， 原式=cos()cos()33k k πππαπα+++--=cos(2)cos(2)33n n πππαπα+++--=cos()cos()33ππαα++--=2cos()3πα+当21,k n n z =+∈时原式=cos()cos()33k k πππαπα+++--=cos[(21)]cos[(21)]33n n πππαπα+++++--=cos()cos()33πππαπα+++--=cos()cos()33ππαα-+-+ =2cos()3πα-+类型四：单位圆的应用例6．在单位圆中画出满足下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合： （1）3sin α≥；（2）1cos 2α≤-． 【思路点拨】作出满足31sin ,cos 2αα==-的角的终边的范围，然后根据条件确定α的集合． 【解析】（1）作直线32y =交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域，如下图①中阴影部分，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为222,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭．（2）作直线12x =-交单位圆于C 、D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域如上图②中阴影部分，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为2422,33k k k Z ππαπαπ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． 【总结升华】 应用单位圆，解sin sin x a x a ≥≤或时需作直线y a =；解cos cos x a x a ≥≤或时需作直线x a =，这种方法简单、直观，体现了数形结合的思想．。
4.1 任意角的正弦函数和余弦函数的定义
P
图6
y
（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；
（3）求出角 的正弦、余弦函数值。
解： （2）由于 ,点P在第四象限，
4
M
o
1
4
P
所以点P的坐标为( 2 , 2 )
图6
22
（3）根据任意角的三角函数定义，易得sin( ) 2 ,cos( ) 2 .
y sin x y cos x
正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限
内的符号，取决于u, v的符号，当点P在第一、二象限
时，纵坐标 y＞0；点P在第三、四象限时，纵坐标 y＜0。所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，
对于第三、四象限角是负的。 同样地，余弦函数值 在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的。
o
x
sin y
r
2m 5m
25
5 （2）当
m＜0时，r
op
5m
cos x m 5 .
r 5m 5
sin y 2m 2 5
r 5m 5
cos x m 5 .
r 5m 5
例3求证：当且仅当不等式组
sin 0, cos 0.①
22
32
32
y
5
3
x
o
A
B
图7
例2如图8角 终边与单位圆交于 p (u, v,) p '(x0, y0为)
终边上不同于P的任意一点，试用x0 , y0表示 的正弦和
余弦。解：过 p, p '分别作 PH x轴
y
p '(x0 , y0 )
1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义
α对边邻边斜边α1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义一.教学目标：（一）知识与技能：认识单位圆，让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力.（二）过程与方法：理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号，并能初步应用它们解决一些问题。
（三）情感态度与价值观：通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平。
二.教学难点：利用单位圆给正弦函数、余弦函数下定义。
三.教学重点：正弦函数、余弦函数的定义四.学情分析： 五. 学法与教法：探究讨论法。
六.教学过程： （一）、复习引入锐角的正弦、余弦函数的定义：（二）、探究新知1、下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数. 当点P (u ,v ) 就是 的终边与单位圆的交点时,锐角三角函数会有什么结果？ 以原点为O 圆心，以单位长度为半径的圆叫做单位圆．sin _____;cos _____.αα==α2、任意角的正弦函数、余弦函数定义：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (u ,v )，那么： （1）v 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α=v ； （2）u 叫做α的余弦，记作cos α， 即cos α=u.3、三角函数 都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函sin ,cos y x αα==数值的函数.角(弧度数) 与实数一 一对应三角函数可以看成是自变量为实数的函数. 4、正弦、余弦函数值的符号（三）、巩固深化，发展思维例1.求的正弦、余弦. 画图，易知 的终边与单位圆的交点为例2.已知角α的终边经过点P 0(-3,-4),求角α的正弦、余弦.练习.已知角α的终边经过点P (2,-3)，求角α的正弦、余弦.R R定义域 函数sin αcos αyxπ53π5313(,22P -3sin 2α∴=-1cos .2α=变式.设角 的终边过点 ,其中 , 则 .例3.确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π.例4.已知sin θ＜0且cos θ＞0,确定θ角的象限.（四）、归纳整理，整体认识：（1）任意角的正弦、余弦函数的定义.（2）三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.(3)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
413任意角的正弦、余弦、正切函数的定义
（3） （4）
自我挑战三
我的知识网络图——归纳总结 串联整合
规律方
法总结：
创新思维能力培养反思体验过程
自我评价——激励创新思维意识
1.你完成本节学习设计方案的情况为（ ）
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
2.你今天所学的重要数学知识是：
3.你本节课感悟最深的数学思想（数学方法）是：
③正切值 对于第一、三象限为_____对于第二、四象限为______．
2）确定下列三角函数的符号：
（1） ；（2） ；（3）
话题4：
已知角 的终边在直线 上，求 的正弦、余弦、正切的值
小组共性问题：
展示提高——形成创新思维能力
自我挑战一
0
30
45
60
90
120
135
150
180
270
弧度
自我挑战二
确定下列三角函数值的符号：
（3）求出角 的正弦，余弦，正切函数值
话题2：
已知角 的终边经过点 ，求 的正弦、余弦、正切值.
探究点二
话题3：1）由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号：
①正弦值 对于第一、二象限为_____对于第三、四象限______；
②余弦值 对于第一、四象限为______对于第二、三象限为_____；
5．若点P(－3，ｙ)是角 终边上一点，且 ，则ｙ的值是
6． 是第二象限角，P（x, ）为其终边上一点，且cos = x，
则sin 的值为_______
3.认识锐角三角函数是任意角的三角函数的一种特例，体会特殊与一般的关系。
学习重点
正弦、余弦、正切的定义（三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。
它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。
首先，我们来看正弦函数的定义。
对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。
也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。
接下来，我们来看余弦函数的定义。
与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。
也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。
点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。
接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。
首先，我们来看正弦函数的诱导公式。
对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。
这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。
根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。
如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。
根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
正弦函数：
1、正弦函数又称三角函数之一，用来描述某个角（通常用弧度制来表示）对应的正弦值。
其定义为：sinθ=y/r，其中θ是一个角、y表示线
段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，r为OP线段
的长度。
2、正弦函数在数学和科学研究中被广泛使用，可以描述很多自然现象，如波形、格林函数、化学反应的振荡及循环等。
3、由于定义中引入了角θ，因此正弦函数也被称为周期函数，其拥有
可预测的周期性，其周期性就受到了角θ的周期性所控制，其周期
T=2π/θ。
余弦函数：
1、余弦函数也是三角函数之一，与正弦函数正交，从定义上来看：
cosθ=x/r，其中θ是一个角、x表示线段OP（P是原点O与某角θ之间
所成的角）的水平宽度，r为OP线段的长度。
2、余弦函数也被人们广泛使用，用来描述很多自然现象，如电磁场的
振荡、微波加热、声反射、图像处理、建筑设计、数控加工中的刀具
轨迹等。
3、余弦函数具有预测的可重复性，其周期T=2π/θ。
正切函数：
1、正切函数也可以称为三角函数之一，定义为：tanθ=y/x，其中θ是一个角，y表示线段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，x为OP线段的水平宽度。
2、正切函数也被广泛应用于数学和科学研究中，可以用来描述很多自然现象，如太阳辐射、抛物线分布、圆周运动及天文学等。
3、正切函数也具有可预测的周期性，其周期T=2π/θ。
任意角的正弦、余弦函数的定义
y
记作xrsi叫n叫α做做，角角即αα的s的in余α正=弦弦，，ry；
y
记记作r作xytc叫aons做αα，角,即即αc的otsa正αn=α切= ，rx；xy
P
r yA
m
x
xl O
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
终边相同的角，三角函数值分别相等。
角α的其他三种函数：
角α的正割：
sec
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
其中 k z
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为
求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
任意角的三角函数
复习回顾
c
Oa
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
b
sin c
b
a
cos c
M
b
tan a
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
b
Oa M y
x
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中:
OM a
sin MP b
OP r
MP b OP r a2 b2
解：r= b2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
探究： 三角函数值在各象限的符号
P(x,y)
sin y
r
o
x
cot
x y
cos x
r sec r
单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义
永丰中学 陈保进
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P
c a
O bM
a
sin c
b
cos c
a
tan b
新知学习
下面我们在直角坐标系中，利用单位圆来进一步研
究锐角 的正弦函数、余弦函数.
sin MP v,
OP
cos OM u,
OP
y P(u, v)
答案：③④
探究点一 利用周期求值 例 1 求下列角的三角函数值．
(1)cos(－11005500o°)；(2)cos139π；(3)sin(－341π)．
解 (1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°， ∴－1 050°的角与 30°的角终边相同， ∴cos(－1 050°)＝cos 30°＝ 23；
OM1 x
能否推广到任意角？
任意角的三角函数定义： P(u,v) y
如图，设α是一个任意 角，它的终边与单位圆 交于点P(u,v)，那么：
MO
sinα=v，v叫作α的正弦函数
1x
纵坐标
cosα=u，u叫作α的余弦函数
横坐标
用x,y表示自变量，因变量，则有：
正弦函数：y sin x 余弦函数： y cos x
的正弦、余弦和正切值 .
例4.已知角 终边上一点P(1,m), cos 5 ，求 sin
5
变式.已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限.
变式.已知角的终边上一点P3a,4aaR且a 0，
求角的sin, cos, tan的值.
随堂练习
1. 若角 的终边过点 Pa，8 ，且 cos 3 ，
果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R