3-扭转

D 2 0
dρ
π D4
32
ρ
O
D
≈ 0.1D 4
§3–4 4 公式的讨论： 4. 公式的讨论：
圆轴扭转时的应力和变形
对于空心圆截面：
dρ
I p = ∫ A ρ 2 dA = ∫ ρ 2 ⋅ 2 ρ ⋅ π ⋅ dρ =
D 2 d 2
ρ
d d ) D O
D
π
32 π D4 = (1 − α 4 ) ≈ 0.1D 4 (1 − α 4 ) 32
§3–4 4
圆轴扭转时的应力和变形
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力： 长度上，圆柱的两端面相对转过角度d 1、在dx长度上，圆柱的两端面相对转过角度dϕ 2、若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱 3、半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径 半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同， 越小者剪应变越小。 越小者剪应变越小。
(D 4 − d 4 )
(α =
§3–4 4 公式的讨论： 4. 公式的讨论： 3） 应力分布 实心截面
圆轴扭转时的应力和变形
空心截面
§3–4 4 1、相对扭转角 由公式
圆轴扭转时的应力和变形
三. 等直圆杆在扭转时的变形
dϕ T = dx Gp I
l
当长为 l 一段杆两截面间相对扭转角ϕ 为
Tdx ϕ = ∫ dϕ = ∫ 0 GI p
cy ta源自τ´bττ´
dx
τ
x
d
z
§3–3 薄壁圆筒的扭转 3 五、剪切胡克定律 T=m
τ
ϕ
τ =
T 2A 0t
γ
γ =ϕ
R L
τ ∝γ
剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（ 剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ 剪应力与剪应变成正比关系。 ≤τp )，剪应力与剪应变成正比关系。
材料力学
材料力学
第三章 扭转
第三章 扭转
§3-1 工程实际中的扭转问题 §3-2 扭转时的内力 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3 - 4 §3 - 5 圆轴扭转时的应力和变形 圆轴扭转时的强度和刚度计算
第三章 扭转
§3–1 工程实际中的扭转问题 1
§3–1 1
工程实际中的扭转问题
一、工程中的扭转问题 以扭转为主要变形的工程构件有：传动轴、钻杆等。 以扭转为主要变形的工程构件有：传动轴、钻杆等。
L
ϕ
R 纵向线变成斜直线。 2) 纵向线变成斜直线。 3.结论 结论： 3.结论： 圆筒表面的各圆周线的形状、 1) 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未
改变，只是绕轴线作了相对转动。 改变，只是绕轴线作了相对转动。 2) 各纵向线均倾斜了同一微小角度 γ 。 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。 3) 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。 4) ϕ 与 γ 的关系
dϕ T = ∫ A Gρ dA dx dϕ =G ∫ A ρ 2 dA dx
2
O
ρ
dA
dϕ T = dx Gp I
令
I p = ∫ A ρ dA
2
——极惯性矩 极惯性矩
T⋅ρ τρ = Ip
§3–4 4
圆轴扭转时的应力和变形
圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式： 圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式：
kN⋅ m
n — 转速，转/分（rpm） 转速， rpm）
§3–2 2 二、扭矩及扭矩图
扭转时的内力
扭矩： 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“ 1 扭矩： 构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T ”。 2 截面法求扭矩
∑M
x
=0
T −m = 0
T =m
3 扭矩的符号规定： 扭矩的符号规定：
m
τ
A0：平均半径所作圆的面积。 平均半径所作圆的面积。
§3–3 薄壁圆筒的扭转 3 四、切应力互等定理 正六面体， 单元体 截取abcd 正六面体， 单元体—— 边长为微量的正六面体
L
R
y t
a
γ
τ´
b
a
dy
c
τ
τ´
dx
b′
d
τ
x
d′
γ
b
τ
d
c
τ
z
纯剪切应力状态: 纯剪切应力状态 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。 作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。
§3–4 4
圆轴扭转时的应力和变形
二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 等直圆杆扭转时横截面上的应力： 变形几何关系： 1. 变形几何关系：
G1G′ ρ ⋅ dϕ γ ρ ≈ tgγ ρ = = dx dx
dϕ γρ = ρ dx
成正比。 距圆心为 ρ 任一点处的γρ与到圆心的距离ρ成正比。
dϕ dx
§3–2 2 解：（3）绘制扭矩图 ）
扭转时的内力 m2 m3 m1 m4
T =−4.8kN⋅ m 1 T =−9.6kN⋅ m 2
n
A B C D
T = 6.3kN⋅ m 3
BC 段为危险截面: 段为危险截面:
T
⊕ – – 9.6
6.3
x
T
max
= 9.6 kN ⋅ m
4.8
第三章 扭转
§3–3 薄壁圆筒的扭转 3
§3–3 薄壁圆筒的扭转 3 四、切应力互等定理
L
∑m
z
=0
R
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
τ =τ′
该定理表明：在单元体相互垂 在单元体相互垂 直的两个平面上， 直的两个平面上，切应力必然 成对存在，且数值相等， 成对存在，且数值相等，两者 都垂直于两平面的交线，其方 都垂直于两平面的交线， 向则共同指向或共同背离该交 线。 dy
A B
O
A
γ
ϕ
B
O
m 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。
m
扭转角（ 扭转角（ϕ）： 任意两截面绕轴线相对转动的角位移。 任意两截面绕轴线相对转动的角位移。 直角的改变量。 剪应变（ 剪应变（γ）： 直角的改变量。
§3–1 1
工程实际中的扭转问题
三、非圆截面杆的扭转 箱式截面梁的扭转
检查轴在外力偶的作用下是否平衡。 检查轴在外力偶的作用下是否平衡。
§3–2 2
扭转时的内力
2
解：（2）求扭矩（扭矩按正方向设） ）求扭矩（扭矩按正方向设） m2 1 m3 1-1 截面
∑M
x
=0
T1 + m2 = 0
m1
3
m4
T =−m =−4.8kN⋅ m 1 2
n
Am
1
2
2-2 截面
B
2
C
3
D
式中： 式中： 内力扭矩（ 内力扭矩 可以是x 的函数） T ——内力扭矩（可以是 的函数） 极惯性矩（ 极惯性矩 可以是x 的函数） I p ——极惯性矩（可以是 的函数） 剪切弹性模量 G ——剪切弹性模量
式中： 式中：
T⋅ρ τρ = Ip
T — 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ρ — 该点到圆心的距离。 该点到圆心的距离。 Ip — 极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。 极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。
4. 公式的讨论： 公式的讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料， 1） 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的 等圆截面直杆。 等圆截面直杆。
§3–4 4 公式的讨论： 4. 公式的讨论：
圆轴扭转时的应力和变形
尽管由实心圆截面杆推出， 2） 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面 杆，只是极惯性矩Ip值不同。 值不同。 对于实心圆截面： 对于实心圆截面：
I p = ∫ A ρ 2 dA = ∫ ρ 2 ⋅ 2 ρ ⋅ π ⋅ dρ =
τ = G ⋅γ
dϕ dϕ τ ρ = G ⋅γ ρ = G ⋅ ρ = ρ ⋅G dx dx
dϕ τρ = ρ G dx
§3–4 4 3.
圆轴扭转时的应力和变形
静力学关系： 静力学关系：
T = ∫ A dA ⋅τ ρ ⋅ ρ
代入物理关系式得： 代入物理关系式得：
dA
ρ
dϕ τρ = ρ G dx dx
E G= 2(1+ µ)
第三章 扭转
§3–4 圆轴扭转时的应力和变形 4
§3–4 4 分析应力的方法： 分析应力的方法：
圆轴扭转时的应力和变形
①变形几何关系 等直圆杆横截面应力 ②物理关系 ③静力学关系
§3–4 4
圆轴扭转时的应力和变形
一、等直圆杆扭转实验观察： 等直圆杆扭转实验观察： 横截面变形后仍为平面； 1. 横截面变形后仍为平面； 轴向无伸缩； 2. 轴向无伸缩； 纵向线变形后仍为平行线。 3. 纵向线变形后仍为平行线。
m
x
m
T
右手螺旋法则： 右手螺旋法则： 与外法线方向一直为正 与外法线方向相反为负
– 扭矩图 扭矩图
扭
的
扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。 扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。 目 的 扭矩变化规律 。
⊕
§3–2 扭转时的内力 2 例题1 已知：一传动轴， =300r/min， 例题1 已知：一传动轴，n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW， =500kW， =150kW， =150kW， =200kW， 试绘制扭矩图。 试绘制扭矩图。 解：（1）计算外力偶矩