必修四3.2简单的三角恒等变换

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3.2简单的三角恒等变换

数学C1版课件人教版必修4 第三章3.2 简单的三角恒等变换优思教辅共享课件分享人：教员–黄钟吕CONTENTS 半角公式的应用01积化和差、和差划积公式的应用02三角恒等式的证明03目录角的构造技巧与公式的灵活运用0405向量与三角知识的综合运用3．2简单的三角恒等变换重点：①半角的正弦、余弦、正切公式及推导．②积化和差公式及和差化积公式的推导．难点：公式的运用．1．半角公式、和积互化公式不要求记忆，要求能够结合题目特点选用公式．若想记忆公式可参照下列口诀：(1)半角公式无理半角常戴帽，半角确定帽前号；数1余弦加减连，余弦用加正弦减，半角正切不用记，同角弦切有关系．若要不用符号式，分母正弦分子减．(2)和差化积公式正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、余减反正弦．(3)积化和差公式正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和，正积反余差．注：“反”即添负号换名称．2．倍角公式、半角公式与和(差)角公式的内在联系：3．注意下列问题(1)应用半角公式注意正负号的确定，半角公式根号前的正负号由α2所在的象限确定，能避免开方的尽量避免．(2)注意理解简单的三角变换的思路：①观察不同三角函数式结构形式方面的差异；②观察不同三角函数式所包含的角的差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异．③依据“差异”选取变换途径及公式．(3)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(4)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化积结果可能不一致．引入辅助角公式也是一种化积公式，在解题中有广泛应用．[例1] 化简：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ.[解析] 解法一：∵tan θ2＝1－cos θsin θ＝sin θ1＋cos θ＝1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ， ∴1tan θ2＝1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ∴原式＝tan θ2＋1tan θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法二：原式＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法三：原式＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ.已知3π2<θ<2π，化简1＋sin θ－1－sin θ＝______.[解析] 原式＝|sin θ2＋cos θ2|－|sin θ2－cos θ2|，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0，则原式＝－(sin θ2＋cos θ2)－(sin θ2－cos θ2) ＝－2sin θ2.[例2] 已知cos α＝35，α的终边在第四象限，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解析] 因为α是第四象限的角，所以 2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )k π＋3π4<α2<k π＋π(k ∈Z )，当k 为偶数时，α2是第二象限角，此时，sin α2＝1－cos α2＝55，cos α2＝－1＋cos α2＝－255； tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12；当k 为奇数时，α2是第四象限角，此时， sin α2＝－1－cos α2＝－55， cos α2＝1＋cos α2＝255， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12.已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝________，cosθ2＝________，tan θ2＝________.[答案] －255 －552[解析] ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. ∵cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2.[例3]化简求值(1)求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值；(2)求sin75°－sin15°的值．[解析](1)解法一：原式＝－14(cos60°－cos40°)sin70°＝－18sin70°＋14sin70°cos40°＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°＝sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20° ＝sin80°cos80°8sin20°＝sin160°16sin20°＝116.(2)解法一：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30° ＝2×22×12＝22.解法二：sin75°－sin15°＝cos15°－sin15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos15°×22－sin15°×22 ＝2cos(15°＋45°)＝2cos60°＝2×12＝22.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则sin(α＋β)的值为________．[答案] 1213[分析] 对于这类题目，前面我们曾用两边平方相加减产生过cos(α±β)，但sin(α＋β)的展开式为异名积，因此不能用前面用过的方法．如果两个等式分别用和差化积公式变形，再相除可得tan α＋β2的值，进而可求sin(α＋β)的值．[解析] ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②①÷②得－tan α＋β2＝－32.∴tan α＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例4] 证明：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .[解析] 解法一：2sin x cos x ＋cos2x ＝sin xcos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x 2.解法二：tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2·cos x 2－cos 3x 2·sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .求证：cos2x ＋cos2y 1＋cos2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y ).[证明] 左边＝2cos(x ＋y )cos(x －y )2cos 2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y )＝右边.[例5]设A、B、C是△ABC的三个内角，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sin A sin B sin C.[分析]左和右积，故考虑和差化积，然后利用A＋B＝π－C转化．[证明]∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π－(A＋B)]＝2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sin C·(－2)sin A·sin(－B)＝4sin A sin B sin C＝右边．在△ABC中，求证：cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sin A2sinB2sinC2.[证明] ∵A ＋B ＝π－C ， ∴cos A ＋B 2＝sin C 2，cos(A ＋B )＝－cos C ，左边＝2cos A ＋B 2cos A －B 2－cos(A ＋B )＝2cos A ＋B 2(cos A －B 2－cos A ＋B 2)＋1＝1＋2sin C 2·(－2)·sin A 2·sin(－B 2) ＝1＋4sin A 2sin B 2sin C 2＝右边．[例6]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．[分析]从不同的观察角度入手，可产生不同的解题思路．①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°，这样整个式子中只含10°角的正余弦，便于化简有解法一．②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构造对偶式，这样两式相加减都容易化简，有解法二．③平方可降幂，积可化和差，然后由变形后的式子考虑下步变形方法有解法三．④从a 2＋b 2＋ab 入手考虑完全平方式(a ＋b )2，化同名，和差化积可产生特殊角，故有解法四．[解析] 解法一：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10° ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34.解法二：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°，则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34.解法三：原式＝1－cos20°2＋1＋cos80°2＋12(sin50°－sin30°)＝1＋12(cos80°－cos20°)＋12sin50°－14＝34＋12(－2sin50°sin30°)＋12sin50°＝34.解法四：原式＝(sin10°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(cos80°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(2cos60°·cos20°)2－12(sin50°－sin30°)＝1＋cos40°2－12cos40°＋14＝34.解法五：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2＝34cos 220°＋34sin 220°＝34.[点评]解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．解法五：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．求值：sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝________.[答案]1 4[解析]令x＝sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°y＝cos220°＋sin280°＋3cos20°sin80°，则x＋y＝2＋3sin100°，x －y ＝－cos40°＋cos160°－32＝－2sin100°sin60°－32＝－3sin100°－32，∴x ＝14.自己试解下列各题并总结你的解题体会． ①求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值；求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；②求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值；求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosαsin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sin x sin y为定值3 4；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sin x sin y为定值34；⑤若sin(β－α)＝a2或sin(α＋β)＝－a2，则sin2α＋cos2β＋a sinαcosβ＝1－14a 2.。

第三章三角恒等变换详案

第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换一、教学内容及其分析本节内容《简单的三角恒等变换》选自人教A 版必修四第三章第二节,其中新任务是通过已知的两角和差公式及二倍角公式探索简单的三角恒等变换，通过简单运用，使学生初步理解简单的三角恒等变换的基本原则、方法. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.二、教学目标及学科素养分析课程目标：1、能用两角和与差的正弦、余弦，二倍角正弦、余弦公式进行简单的三角恒等变换，记住sin cos y a x b x ωω=+的化简方法.2、能正确的对形如sin()y A x ωϕ=+的三角函数性质进行讨论，能灵活利用公式，通过三角恒等变换，解决函数的最值、周期、单调性等问题.3、能运用三角公式解决一些实际问题.4、通过三角恒等变换的训练，能够培养转化与化归的数学思想. 学科素养：1、数学抽象：三角函数公式之间的内在联系；2、逻辑推理：运用三角函数公式进行简单的三角恒等变换；3、数学运算：利用三角函数公式进行计算和化简；4、直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法；5、数学建模：通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解转化、化归、换元等数学思想方法在数学中的应用.三、教学重难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，进行三角恒等变换，对形如sin()y A x ωϕ=+的三角函数性质进行讨论教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．对形如sin()y A x ωϕ=+三角函数的应用. 四、教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．五、教学过程探究一：形如sin()y A x ωϕ=+函数性质的探究三角函数主要刻画的是周期性质，随着周期变化，函数的图象发生变化，从而导致函数的相关性质而发生改变.问题1.求函数2sin(2)()6y x x R π=+∈的周期，最大值. 生：函数2sin(2)()6y x x R π=+∈的周期为T π=，最大值为2.问题2.求函数sin ()y x x x R =+∈的周期，最大值.生：函数sin ()y x x x R =+∈的最大值为2，周期为2T π=.学生也可能不会回答.师：通过第一章的学习我们已经对形如sin()y A x ωϕ=+的函数性质做了探究，今天再继续探究形如sin()y A x ωϕ=+的函数性质.只不过今天我们研究的函数没有直接给出sin()y A x ωϕ=+的形式，需要先将所给的函数式化简为sin()y A x ωϕ=+的形式，从而使三角函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用.这就是本节课我们学习的内容.问题.函数sin y x x =+如何化简为sin()y A x ωϕ=+的形式？提问学生回答：因为sin y x x =12(sin cos )22x x =+ 2(sin cos cos sin )33x x ππ=+2sin()3x π=+. 所以函数sin ()y x x x R =+∈的最大值为2，周期为2T π=.问题4.刚才所化简的函数是形如sin cos y a x b x ωω=+的函数，那么我们如何将形如sin cos y a x b x ωω=+的函数化简为sin()y A x ωϕ=+的形式呢？生：思考后讨论（2分钟），提问回答：sin cos )y a x b x x x ωωωω=+=+ 令cos ϕϕ==则sin cos y a x b x ωω=+cos cos sin )x x ωϕωϕ=+)x ωϕ=+.师：sin cos y a x b x ωω=+)x ωϕ+，其中tan b aϕ=.这个公式我们称为辅助角公式.现在我们利用这个公式解决下面的例题.例题：函数3sin ()22x x y x R =∈的周期为 .生：思考后，提问回答：3sin 22x x y =-1cos )222x x =-cos cos sin )2626x x ππ=-sin()26x π=-. 所以函数3sin ()22x x y x R =∈的周期为=4T π.。

2014年人教A版必修四课件 3.2 简单的三角恒等变换

(三) 构造变换补充例1. 已知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值.
解: 将已知两式分别平方得 sin 2 a sin 2 b 2sina sin b 1 , 9 cos2 a cos2 b 2cosa cos b 1 , 4 将两式相加得 , 22(sina sinbcosa cosb) 13 36 即 22cos(a b) 13 ,
于是可以根据第 (1) 题求证.
(二) 和差角公式的变换使用例2. 求证: (1) sina cos b 1 [sin(a b ) sin(a b )]; 2 (2) sin sin 2sin cos . 2 2 a , b, (2) 证明: 令 2 2 则 a b , a b , 2sin cos 2sina cos b 2 2 sin(a b ) sin(a b ) ( (1)结论 ) sin s知 sina sin b 1 , cosa cos b 1 , 3 2 求 cos(a b) 的值. 分析: ∵cos(a b) sina sinbcosa cosb, 考虑需要的sina sinb 和cosa cosb从哪里来, 将已知中的两式分别平方就有了.
. 得 cos (a b) 59 72
36
(构造和 (差) 角形式)
(三) 构造变换补充例2. 求证: cos 2a 1 tana . 1 sin2a 1 tana 分析: 等式的左边是二倍角, 右边是单角, 思想: 用二倍角公式化为单角,
问题: cos2a 化成哪一个? 不妨把右边切化弦观察, 1 sina 右边 cosa cosa sina , 1 sina cosa sina cosa 若分子乘以cosa sina 就得cos2a sin2a,

人教B版高中数学必修四《第三章三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式》_1

3.2.1倍角公式一、教学目标（1）在理解两角和的正弦、余弦和正切公式的基础上，能够推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，并能运用这些公式解决简单的三角函数问题。

（2）通过公式的应用（正用、逆用、变形用），使学生掌握有关化简技巧，提高分析、解决问题的能力。

二、教学重难点1、教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式2、教学难点：二倍角的理解及其正用、逆用、变形用。

三、教学过程1、问题情境，复习公式复习回顾两角和的正弦、余弦、正切公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan αβ+=2、建构数学试用上述公式推导sin 2α、cos2α、tan 2α的公式.（提示：上述公式中令=βα即可） sin 2=sin )ααα+=（ =cos 2=cos()ααα+= = ①tan 2=tan()ααα+= =对①式的变形（根据22sin cos 1αα+=）变形一：把22sin 1cos αα=-代入①可得cos2α=变形二：把22cos 1sin αα=-代入①可得cos2α=（由学生自行讲解，体会公式推导过程）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．以上这些公式都叫做倍角公式，从形式上看，倍角公式给出了αα与2的三角函数之间的关系。

既公式中等号左边的角是右边角的2倍。

第三章 3.2简单的三角恒等变换(一)答案

2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.2 简单的三角恒等变换（一）班级_______姓名________座号________一、选择题1．已知tan θ－1tan θ＝m ，则tan2θ＝( ) A ．－1m B ．－2mC ．2m D.2m解析：tan θ－1tan θ＝m ＝tan 2θ－1tan θ又tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2tan θtan 2θ－1，∴tan θ＝－2m . 答案：B2．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 3．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( ) A ．tan α B ．tan 2α C ．1 D ．2考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案 B解析原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α. 4．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( )A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的，∴a <c <b .6．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用辅助角公式化简求值答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ.当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为()A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z )考点简单的三角恒等变换的综合应用题点简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α，所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tan α21－tan α2等于( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用弦化切对齐次分式化简求值答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45 ＝－12.故选A. 10．化简：sin50°(1＋3tan10°)．解：原式＝sin50°cos10°＋3sin10°cos10°＝2sin50°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝1. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解析 (1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．因为cos(α＋β) ＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255. 因此tan(α＋β)＝－2. 因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan 2α＝－247，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tan （α＋β）1＋tan2αtan （α＋β）＝－211.13．已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π4，π4]上的值域．解：(1)由已知有f (x )＝cos x (12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x cos x －32cos 2x ＋34＝14sin2x －34(1＋cos2x )＋34＝14sin2x －34cos2x＝12sin(2x －π3)．∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵x ∈[－π4，π4]，∴2x －π3∈[－5π6，π6]．当2x －π3＝－π2，即sin(2x －π3)＝－1时，f (x )取最小值为－12.当2x －π3＝π6，即sin(2x －π3)＝12时，f (x )取最大值为14.∴f (x )在区间[－π4，π4]上的值域为[－12，14]14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于() A ．－13 B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213， tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 15．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)解析：∵sin2α＝2sin2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)， ∴3cos(α＋β)sin(α－β)＝sin(α＋β)cos(α－β)， ∴tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.答案：A。

高中数学必修四第三章三角恒等变换 3.2.1三角恒等变换

<
0.
∴tan
�� 2
=
−
1-cos�� 1+cos��
=
−
1-
3 3
1+
3 3
=
−
2-
3
=−
1 2
8-4
3
=
−
1 2
( 6- 2)2 =
22
6.
解法二:
用
tan
�� 2
=
1-cos�� sin��
来处理
∵α 为第四象限角,∴sin α<0.
∴sin α=−
(2)y=sin
x(cos
x-sin
x)+
1 2
=sin
xcos
x-sin2x+
1 2
=
1 2
sin
2x−
1-cos2�� 2
+
1 2
=
1 2
sin
2x+
1 2
cos
2x−
1 2
+
1 2
22
2
= 2 2 sin2�� + 2 cos2��
2
π
= 2 sin 2�� + 4 .
�� 2
的值为
()
A.
6 3
B.
−
6 3
C.
±
6 3
D.
±
3 3
解析:∵α∈(0,π),∴
�� 2
∈
0,
π 2
,
∴cos
�� 2

人教A版高中数学必修四 3.2 《简单的三角恒等变换》示范教案

3.2 简单的三角恒等变换整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点. 推进新课新知探究提出问题 ①α与2a有什么关系? ②如何建立cos α与sin22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin22a ,将公式中的α用2a代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cos α=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±aa cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β后，解相应的以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入(1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β, 将以上两式的左右两边分别相加,得 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β, 即sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β.① 设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-.把α,β的值代入①, 即得sin θ+sin φ=2sin2ϕθ+cos2ϕθ-.教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过程中用到了换元的思想,如把α+β看作θ,α-β看作φ,从而把包含α,β的三角函数式变换成θ,φ的三角函数式.另外,把sin αcos β看作x,cos αsin β看作y,把等式看作x,y 的方程,通过解方程求得x,这就是方程思想的体现.讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）.应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.变式训练化简:sin50°(1+3解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+∙=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41,即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611.点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证.活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BAB A , ∴c os 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos +B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B.∴=+A B A B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BAa B A sin sin ,cos cos cos 22==sin α,则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2k π(k∈Z ),即B=2k π+α(k∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1.点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元. 变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1.证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(4π+2x )=2sin2cos 2sin2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x,得x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,①3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π.解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β). ∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0. 又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π.结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-a a a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -==βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+=βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sin β=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tan α. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sin β=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=m0[sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α]⇒(1-m)·sin(α+β)cos α=(1+m)·cos(α+β)sin α⇒tan(α+β)=mm-+11tan α. 知能训练1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2a 的值为( )A.5B.-5C.51D.51-2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( )A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a-- 3.已知sin θ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________.解答:1.A2.D3.-3 课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3.2 B 组2.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换第2课时导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开. 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. 推进新课新知探究提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2k π（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是k π（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题. 我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sinx，y=cosx 的周期是2k π（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1. ②—③(略)见活动. 应用示例思路1 例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值. 解:在Rt△OBC 中,BC=cos α,BC=sin α, 在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sin α. 所以AB=OB-OA=cos α33-sin α. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cos α33-sin α)sin α=sin αcos α33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63.由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP=α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点. 变式训练 (2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx-6π)-2cos 22x ω,x∈R (其中ω(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间. 解:(1)f(x)=23sin ωx+21cos ωx+23sin ωx-21cos ωx-(cos ωx+1)=2(23sin ωx-21cos ωx)-1=2sin(ωx-6π)-1.由-1≤sin(ωx-6π)≤1,得-3≤2sin(ωx-6π)-1≤1, 可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2k π-2π≤2x -6π≤2k π+2π(k∈Z ),解得 k π-6π≤x≤k π+3π(k∈Z ). 所以y=f(x)的单调增区间为［k π-6π,k π+3π］(k∈Z ). 点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间. 活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π). 故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π].点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值. 解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π), 所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1. 所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.思路2例1 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数,其图象关于点M(43π,0)对称,且在区间[0,2π]上是单调函数,求φ和ω的值. 活动：提醒学生在解此题时,对f(x)是偶函数这一条件的运用不在问题上,而在对“f(x)的图象关于M(43π,0)对称”这一条件的使用上,多数考生都存在一定问题.一般地:定义在R 上的函数y=f(x)对定义域内任意x 满足条件:f(x+a)=2b-f(a-x),则y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,反之亦然.教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练.解：由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cos φsin ωx=cos φsin ωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cos φ=0.依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x). 取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+k π,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,….当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数; 当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数.所以,综合得ω=32或ω=2. 点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题. 变式训练已知如图2的Rt△ABC 中,∠A=90°,a 为斜边,∠B、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n,且a 2=2mn.问:是否能在区间(π,2π］中找到角θ,恰使等式cos θ-sin θ=4(cos2C B +-cos 2CB -)成立?若能,找出这样的角θ;若不能,请说明理由. 解:在Rt△BAD 中,m AB =cos 2B,在Rt△B AC 中,a AB =sinC,∴mcos 2B=asinC.图2同理,ncos 2C=asinB. ∴mncos 2B cos 2C =a 2sinBsinC.而a 2=2mn, ∴cos2B cos 2C =2sinBsinC=8sin 2B ·cos 2B cos 2C sin 2C .∴sin 2B sin 2C =81.积化和差,得4(cos 2C B +-cos 2CB -)=-1, 若存在θ使等式cos θ-sin θ=4(cos 2C B +-cos 2C B -)成立,则2cos(θ+4π)=-1,∴cos(θ+4π)=22.而π<θ≤2π, ∴45π<θ+4π≤29π.∴这样的θ不存在. 点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的,再进行演绎推理,若推证出现矛盾,即可否定假设;若推出合理结果,即假设成立.这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论.例2 已知tan(α-β)=21，tan β=71-，且α,β∈(0,π)，求2α-β的值. 解：∵2α-β=2(α-β)+β,tan(α-β)=21，∴tan2(α-β)=)(tan 1)tan(22βαβα---=34.从而tan(2α-β)=tan ［2(α-β)+β］=713417134tan )(2tan 1tan )(2tan ⨯+-=--+-ββαββα=121252125=.又∵tan α=tan ［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π. 又tan β=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cos α;若α∈(2π-,2π)，则求sin α等.变式训练若α,β为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α=cos2β， ① 3sin αcos α=sin2β， ②①÷②，得a a cos sin =ββ2sin 2cos ，即cos αcos2β-sin αsin2β=0， ∴cos(α+2β)=0.∵0<α<2π，0<β<2π，∴0<α+2β<23π.∴α+2β=2π.知能训练课本本节练习4. 解答:4.(1)y=21sin4x.最小正周期为2π,递增区间为[28,28ππππk k ++-](k∈Z ),最大值为21; (2)y=cosx+2.最小正周期为2π,递增区间为[π+2k π,2π+2k π](k∈Z ),最大值为3; (3)y=2sin(4x+3π).最小正周期为2π,递增区间为[224,2245ππππk k ++-](k∈Z ),最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学. 作业课本复习参考题A 组10、11、12.设计感想1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大.应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点.。

【高中数学必修四】3.2简单的三角恒等变换

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对于（C2）公式的变形用，即升（降）幂公式的运用，已介绍。
复习：
凑角公式
a sin x b cos x a 2 b 2 sin x b a, b所在象限决定其中tan , 角所在象限由点 a
功能：把形如“asinx+bcosx”的多项式化成“一角一函数” 形式，从而使问题简化，蕴含了化归思想。
三.课堂小结
1.( S2 )公式的变形用 2.(C 2 )公式的变形用
2 tan 3.万能公式： sin 2 1 tan2 1 tan2 cos 2 1 tan2
5.积化和差与和差化积公式
2 tan tan 2 1 tan2
4.三角恒等变换在实际问题中的应用
万能公式
例4.求证（教材140页例2） 1 1sin cos sin sin 2 2sin sin 2 sin cos 2 2
此例中(1)与教材142练习2，称为积化和差公式此例中(2)与教材142练习3，称为和差化积公式
1 2 4 解法二：原式 cos cos cos 2 9 9 9 8 2 4 8 sin sin sin sin 1 1 9 9 9 9 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 4 16 sin 16 9 9 9 9 1 2 3 4 5 cos cos cos cos cos 32 .
R, k
2 , k
(T2 )

4 (k Z )
二.新课：题型1：二倍角中的连乘积问题
例1 求值： cos 80o cos 40o cos 20o

数学课件：3-2-1 三角恒等变换

2
1 6 1－3＝－ 3 .
6 －3 － 6 2－ 6 α sinα ∴tan2＝＝＝＝ 2 . 1＋cosα 3 3＋ 3 1＋ 3
规律总结：比较上述三种解法，可知在求半角的正切 α α tan 时，用tan ＝± 2 2 1－cosα 来处理，要由α所在的象限确定 1＋cosα
α 2 所在的象限，再用三角函数值的符号取舍根号前的双重符 α 1－cosα α sinα 号；而用tan2 ＝ sinα 或tan 2 ＝来处理，可以避免这 1＋cosα 1－cosα α 些问题，尤其是tan 2 ＝ sinα ，分母是单项式，容易计 α 1－cosα 算．因此常用tan2＝ sinα 求半角的正切值．
[解析]
α 解法一：(用tan2＝±
1－cosα 来处理) 1＋cosα
∵α为第四象限角； α α ∴2是第二或第四象限角．∴tan2<0. α ∴tan2＝－ 1－cosα ＝－ 1＋cosα 3 1－ 3 ＝－ 2－ 3 3 1＋ 3
2－ 6 1 1 2 ＝－2 8－4 3＝－2 6－ 2 ＝ 2 .
2C
)
[答案] B
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
科目一考试驾驶员理论考试科目二考试场地考试科目三考试实际道路考试科目四考试安全文明驾驶常识考试 2016年驾驶员试题网学车试题大全
在三角函数中也有这样的演员——三角恒等变换，它们摇身一变又会呈现出怎样的新面孔呢？
自主预习阅读教材P139－140回答下列问题． 1．半角公式(不要求记忆) α sin2＝±
± 1－cosα 1＋cosα
1－cosα α ± 2 ，cos2＝
1＋cosα 2

简单的三角恒等变换教学设计

简单的三角恒等变换高一备课组一、教课内容及其分析（1）教课内容：简单的三角恒等变换（2）分析：本节课选自人教版 . 必修四第三章第二节，是学习了两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式后的内容，本节主要包含利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换 , 以及三角恒等变换在数学中的应用 . 本节的内容都是用例题来显现的 , 经过例题的解答 , 指引学生对变换对象和变换目标进行对照、剖析 ,促进学生形成对解题过程中如何选择公式, 如何依据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中表现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识, 进而加深理解变换思想 , 提升学生的推理能力 .二、教课目的及其分析（一）教课目的：1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；2、能依据问题的条件进行公式变形，领会在变换过程中表现的换元、逆向使用公式等数学思想方法 .（二）分析：1、经过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式, 领会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提升学生的推理能力.2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形 , 领会三角恒等变换在数学中的应用.3、经过例题的解答，指引学生对变换对象目标进行对照、剖析，促进学生形成对解题过程中如何选择公式，如何依据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中表现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，进而加深理解变换思想，提升学生的推理能力 .三、学生学习况情剖析本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上 , 进而使三角函数性质的研究获得延长 . 三角恒等变换不一样于代数变换，后者常常着眼于式子构造形式的变换，变换内容比较单调 . 而对于三角变换，不单要考虑三角函数是构造方面的差别，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差别，它是一种立体的综合性变换 . 从函数式构造、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依照选择能够联系它们的适合公式进行转变变形，是三角恒等变换的重要特色 . 所以学生对三角变换与代数变换的划分理解会比较困难，在教课中教师应增强对这两者的内在联系和差别加以剖析。

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当堂检测
6．化简：
1 sin2 2 1 3 cos cos 2 2
1 sin 2
1 1 7．已知 sin ( ) ，si n ( ) ，则 tan cot 5 2 3
8．若
1 （ tan 1 舍之） 2 2 tan sec 3 ，则 tan _______________________ ．
3 1 最大值为 4 ，最小值为 4 ．
函数
的最小正周期为
π
分析：欲求最小正周期主最大最小值，首先要将函数式化为单一函数．
sin 4 x 2 sin 2 x cos2 x cos4 x sin 2 x cos2 x f ( x) 2 2 sin x cos x
1 si n2 xcox2 x 2(1 si n x cos x ) 1 (1 si n x cos x ) 2
2
3.2简单的三角恒等变换
复习
和(差)角公式 cos( ) sin( )
tan( )
倍角公式
sin 2 cos 2 tan 2
例1 试用cos 表示 sin 解是

的二倍角.
2

2
, cos
2

2
, tan
2

2
.
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin 2 2
①

2
,

2
把,的值代入①,即得
sin sin 2 sin

2
cos

2
.
思考
在例2证明过程中用到了哪些数学思想方法?
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
3 3 3 OA DA BC sin 3 3 3 3 AB OB OA cos sin 3
设矩形ABCD的面积为S,则
S AB BC 3 sin cos sin 3
3 2 sin cos sin 3
f ( x)
1
2 sin cos 2 2

，则 f (

12
) 的值是（
）
4 3 A． 3
C．
B．
4 3
4 3
D． 2
3
3 2 1 22 ． tan ( ) _______ 5． tan ( ，，则 ) tan ( ) 4 5 4 4
1 3 ，最小值为。 f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 4 4
1 1 sin 2 x 4 2
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1 tan2 75 1． tan 75
的值是（）
2 3 A． 3
C． 2
2 3 B． 3
D．
3
2 3
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2．cos 40 cos 60 cos 80 cos 160 的值是（

cos
2

1 cos tan 2 1 cos
2

2
所在象限决定.
例2 求证 1sin cos
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
以从右边着手 sin(+) ＝ sincos+cossin sin(-) ＝ sincos-cossin 两式相加,得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
3 sin 2 6 6 3 由于0 , 所以当 2 , 即时, 3 6 2 6 1 3 3 S最大 6 3 6
1
1 3 1 cos 2 sin 2 2 6 1 3 3 sin 2 cos 2 2 6 6 1 3 1 3 sin 2 cos 2 2 3 2 6
1 sin sin ; 2 2sin sin 2 sin cos . 2 2
1 sin cos sin sin 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos 设 +=, -=
2
在公式 cos 2 2 cos 1中, 以代替2 , 以 2 1 cos cos 2 2 2 cos 2 cos
2

1
2
代替 ,
sin 由于
2

2 得 2
可表示为 : 1 cos sin 2 2 1 cos cos 2 2 1 cos t an 2 1 cos 称为半角公式, 符号由
）
A． 0
B．3Βιβλιοθήκη 21 C． 2D．－1
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3．设则
1 7 ) (0, ) ， ( , ) ，且 cos ，sin ( 9 2 2 3

sin
等于（
）
1 A． 27 1 C． 3
5 B． 27 23 D． 27
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2 sin
2

2
4．若
值例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.
解 y sin x 3 cos x
1 3 2 sin x cos x 2 2 2 sin x cos cos x sin 3 2 sin x 3
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变 3 换在化简三角函数式中的作用 .
所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
例4 如图，已知 OPQ是半径为1，圆心角为

3 弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP , 求
通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数转化为形如通过三角变换把形如 y=asinx+bcosx的函数转化为形如 y=Asin(+)的函数, 从而使问题得到简化
小结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
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sin 4 x cos4 x sin 2 x cos2 x f ( x) 2 sin 2 x
的扇形，C是扇形
当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积 .
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解
在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin
在Rt△OAD中,
DA tan 60 3 OA