第13讲 二次函数与圆综合

二次函数与圆综合【典型例题】例1. 如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线y=x2+bx+c经过C、B两点，与x轴的另一交点为D．（1）点B的坐标为（，），抛物线的表达式为；（2）如图2，求证：BD∥AC；（3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP 的长．例2. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．例3.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点．（1）试用含a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD 相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得∠POA=∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．1. 在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：①求出点A，B，C的坐标．②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP 面积的？若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．【参考答案】【典型例题】例1.【分析】（1）如答图1，作辅助线，证明△AOC≌△CEB，由此得到点B的坐标；再由点C、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）如答图2，作辅助线，求出△BCD三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判定其为直角三角形，从而问题得证；（3）如答图3，利用勾股定理依次求出CQ、CF、AF的长度，然后利用垂径定理AP=2AF求出AP的长度．【解答】（1）解：如答图1所示，过点B作BE⊥x轴于点E．∵AC⊥BC，∴∠ACO+∠BCE=90°，∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE．∵在△AOC与△CEB中，∴△AOC≌△CEB（ASA）．∴CE=OA=4，BE=OC=2，∴OE=OC+CE=6．∴B点坐标为（6，2）．∵点C（2，0），B（6，2）在抛物线y=x2+bx+c上，∴，解得b=，c=﹣7．∴抛物线的表达式为：y=x2+x﹣7．（2）证明：在抛物线表达式y=x2+x﹣7中，令y=0，即x2+x﹣7=0，解得x=2或x=7，∴D（7，0）．如答图2所示，过点B作BE⊥x轴于点E，则DE=OD﹣OE=1，CD=OD﹣OC=5．在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD===；在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC===．在△BCD中，BD=，BC=，CD=5，∵BD2+BC2=CD2∴△BCD为直角三角形，∠CBD=90°，∴∠CBD=∠ACB=90°，∴AC∥BD．（3）解：如答图3所示：由（2）知AC=BC=，又AQ=5，则在Rt△ACQ中，由勾股定理得：CQ===．过点C作CF⊥PQ于点F，=AC•CQ=AQ•CF，∵S△ACQ∴CF===2．在Rt△ACF中，由勾股定理得：AF===4．由垂径定理可知，AP=2AF，∴AP=8．【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、勾股定理、勾股定理的逆定理、垂径定理等知识点．本题设计考点清晰，层次合理：第（1）问主要考查全等三角形和待定系数法，第（2）问主要考查勾股定理及其逆定理，第（3）问主要考查垂径定理与勾股定理．例2. 【分析】（1）只需运用待定系数法就可解决问题；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后用割补法得到△ADC的面积是关于m的二次函数，运用二次函数的最值性就可解决问题；（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，根据切线的性质可得MF⊥EN．易得M的坐标、ME、MF、EF的长，易证△MEF ∽△NEM，根据相似三角形的性质可求出MN，从而得到点N的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，由题可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，如图2．设直线AC的解析式为y=kx+t，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y=x+2．设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，∴DH=﹣m2﹣m+2，GH=m+2，∴DG=﹣m2﹣m+2﹣m﹣2=﹣m2﹣m，=S△ADG+S△CDG∴S△ADC=DG•AH+DG•OH=DG•AO=2DG=﹣m2﹣2m=﹣（m2+4m）=﹣（m2+4m+4﹣4）=﹣[（m+2）2﹣4]=﹣（m+2）2+2．取到最大值2．∴当m=﹣2时，S△ADC此时y D=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2=2，即点D的坐标为（﹣2，2）；（3）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图3，则有MF⊥EN．∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB=6，MF=MB=MA=3，∴点M的坐标为（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．∵E（﹣1，﹣5），∴ME=5，∠EMN=90°．在Rt△MFE中，EF===4．∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，∴△MEF∽△NEM，∴=，∴=，∴NM=，∴点N的坐标为（﹣1+，0）即（，0）或（﹣1﹣，0）即（﹣，0）．设直线EN的解析式为y=px+q．①当点N的坐标为（，0）时，，解得：，∴直线EN的解析式为y=x﹣．②当点N的坐标为（﹣，0）时，同理可得：直线EN的解析式为y=﹣x﹣．综上所述：所求直线的解析式为y=x﹣或y=﹣x﹣．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、运用割补法求面积，二次函数的最值性、切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，当直接求一个图形面积比较困难时，通常可考虑采用割补法，另外，过圆外一点作圆的切线有两条，不能遗漏．例3. 【分析】（1）根据图象，易得点A、C的坐标，代入解析式可得a、b的关系式；（2）根据抛物线的对称性，结合题意，分a＞0，a＜0两种情况讨论，可得答案；（3）根据题意，设出P的坐标，按P的位置不同分两种情况讨论，可得答案．【解答】解：（1）解法一：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为（4，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，∴c=0，16a+4b=0．∴b=﹣4a（1分）．解法二：∵一次函数y=kx﹣4k的图象与x轴交于点A，∴点A的坐标为（4，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、A两点，∴抛物线的对称轴为直线x=2．∴x=﹣=2．∴b=﹣4a（1分）．（2）由抛物线的对称性可知，DO=DA∴点O在⊙D上，且∠DOA=∠DAO又由（1）知抛物线的解析式为y=ax2﹣4ax∴点D的坐标为（2，﹣4a）①当a＞0时，如图设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'∴点D'与点D也关于x轴对称∵点O在⊙D'上，且⊙D与OD'相切，∴点O为切点（2分）∴D'O⊥OD∴∠DOA=∠D'OA=45°∴△ADO为等腰直角三角形∴OD=2（3分）∴点D的纵坐标为﹣2∴﹣4a=﹣2，∴a=，b=﹣4a=﹣2．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x．（4分）②当a＜0时，同理可得：OD=2抛物线的解析式为y=﹣x2+2x（5分）综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为y=x2﹣2x或y=﹣x2+2x．（3）答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA=∠OBA设点P的坐标为（x，y），且y＞0①当点P在抛物线y=x2﹣2x上时（如图）∵点B是⊙D的优弧上的一点∴∠OBA=∠ADO=45°∴∠POA=∠OBA=60°过点P作PE⊥x轴于点E，∴tan∠POE=∴=tan60°，∴y=．由解得：（舍去）∴点P的坐标为．（7分）②当点P在抛物线y=﹣x2+2x上时（如图）同理可得，y=由解得：（舍去）∴点P的坐标为（4﹣2，﹣6+4）．（9分）综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为（4+2，6+4）或（4﹣2，﹣6+4）．【点评】本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．【课后练习】1.【分析】（1）四边形OKPA是正方形．当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA=PK，可判断结论；（2）①连接PB，设点P（x，），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=，利用sin∠PBG=，列方程求x即可；②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的M点坐标即可．【解答】解：（1）四边形OKPA是正方形．证明：∵⊙P分别与两坐标轴相切，∴PA⊥OA，PK⊥OK．∴∠PAO=∠OKP=90°．又∵∠AOK=90°，∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90°．∴四边形OKPA是矩形．又∵AP=KP，∴四边形OKPA是正方形．（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为．过点P作PG⊥BC于G．∵四边形ABCP为菱形，∴BC=PA=PB=PC（半径）．∴△PBC为等边三角形．在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=．sin∠PBG=，即．解之得：x=±2（负值舍去）．∴PG=，PA=BC=2．易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，∴OB=OG﹣BG=1，OC=OG+GC=3．∴A（0，），B（1，0），C（3，0）．设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c．据题意得：解之得：a=，b=，c=．∴二次函数关系式为：．②解法一：设直线BP的解析式为：y=ux+v，据题意得：解之得：u=，v=﹣．∴直线BP的解析式为：y=x﹣，过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为：．解方程组：得：；．过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．∴0=．∴．∴直线CM的解析式为：．解方程组：得：；．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．解法二：∵，∴A（0，），C（3，0）显然满足条件．延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．又∵点M的横坐标为AM=PA+PM=2+2=4．∴点M（4，）符合要求．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．解法三：延长AP交抛物线于点M，由抛物线与圆的轴对称性可知，PM=PA．又∵AM∥BC，∴．∴点M的纵坐标为．即．解得：x1=0（舍），x2=4．∴点M的坐标为（4，）．点（7，）的求法同解法一．综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为：（0，），（3，0），（4，），（7，）．【点评】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．。