苏科版八年级数学勾股定理复习讲义

《勾股定理》复习讲义
一、知识体系：
二、知识点：
1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。

即：a2＋b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）.
注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。

（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两直角边的
平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。

2、勾股定理的验证
验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下几个步
3、勾股定理的逆定理：（重点）
如果三角形的三边长a、b、c且a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）证明时不能说成“在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角形，当然也不能说成“斜边、直角边”
（2）a2＋b2=c2它只是一种表现形式，不能因为a2＋b2≠c2就说这个三角形不是直角三角形。

如a =5，b=3,c=4. a2＋b2≠c2但此三角形是直角三角形。

a为斜边。

利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三角形，否则不是。

勾股数：满足a2＋b2=c2的3个正整数，且满足a2＋b2=c2。

三、应用举例：
（基础题）利用勾股定理求三角形的边长
1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b（c为斜边、a、b为直角边），
（1）如果a=7，b=24，求c；
（2）如果a=15，c=17，求b。

2、已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长
填空：
（1）直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5，已知这条直角边的长是12，则斜边长为
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，b=6（c为斜边，a、b为直角边）则c= ，a= 3、利用勾股定理说明边的关系
如图，AD是△ABC的中线，试说明：AB2＋AC2=2（AD2＋CD2）
方法总结：说明三角形各边之间的平方关系的方法：首先观察各边是否在直角三角形中，如果在，可直接利用勾股定理进行说明；否则需要作垂线，使所证明各边在直角三角形中，再利用勾股定理来说明。

4、利用勾股定理求面积：
如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将
直角边AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，求△ACD的面积是多少?
5、求等腰三角形底边上的高
如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD是BC边上的中线，求AD的长。

6、利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＋338=10a＋24b＋26c 试说明：这个三角形是直角三角形。

7、勾股定理及其逆定理的综合应用：
E
D
C B A
（1）如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积。

（2）、下列几组数中是勾股数的是 （填序号） ①32
、42
、52
②5、12、13 ③
31、41、5
1
④0.9、1.2、1.5 （3）如图，在Rt △ABC 中，∠A CB ＝90°，AD 、BE 、CF 分别是三边上的中线． (1)若AC ＝1，BC ＝2．求证：AD 2＋CF 2＝BE 2；
(2)是否存在这样的Rt △ABC ，使得它三边上的中线AD 、BE 、CF 的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a 2＋b 2＝c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数．）
8、构造直角三角形求角的度数
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3.把△ACP 绕C 点逆时针旋转90°使点A 和点B 重合，得到四边形ABDC 求 ∠BPC 的度数。

9、勾股定理在实际生活中的应用
如图，在公路l 旁有一块山地正在开发，现有C 处需要爆破，已知C 与公路停靠站A 的距离为300米，与公路上的另一停靠站B 的距离为400米，且CA ⊥CB ，为了安全起见，爆破点C 周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险，需要暂时封锁吗？ 四、基础训练： （一）选择题：
（1）已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A 、25
B 、14
C 、7
D 、7或25
（2）Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ） A 、121
B 、120
C 、132
D 、不能确定
B
A C
D
（3）已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ） A 、24cm 2
B 、36cm 2
C 、48cm 2
D 、60cm 2
（4）等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ） A 、56
B 、48
C 、40
D 、32
（5）已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A 、25海里 B 、30海里 C 、35海里 D 、40海里
（二）填空题：
（5）在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC =________。

（6）直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。

（7）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水
面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是________m 。

（8）已知两条线段的长为
5c m
和
12c m,当
为 c m 时,
（9）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的
（10）正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

（三）解答题：
（10）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E
站应建在离A 站多少km 处？
（11）如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b.利用这个图试证明勾股定理。

A
D E
B
C
第10题图。