第7章 自由曲线与曲面
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《自由曲线与曲面》课件
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自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
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自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
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自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
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结论与展望
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• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
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自由曲线与曲面PPT课件
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01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
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02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力
第7章 自由曲线和自由曲面
通常， n 次 Bezier 曲线由 n 1 个顶点构成的特征多边形确定。
2. Bezier 曲线的数学表达
Bezier 曲线的数学基础是在特征多边形的第一和最后一个端点之间进行插值的多项式调和函数。设由
n 1 个顶点定义了一个 n 次多项式，这 n 1 个顶点所定义的 Bezier 曲线的参数方程为：
4. 光顺 光顺的通俗含义是使所构造的曲线光滑和顺眼，即曲线上的拐点不能太多，因为曲线拐来拐去就会不 顺眼。
通常，对于平面曲线来说，其相对光顺的条件为：曲线具有二阶几何连续、不存在多余拐点和奇异点、 曲率变化较小。 所谓几何连续性是指曲线或曲面在连接处的连接状态。零阶连续指边界重合；一阶连续指一阶导数连 续，即切线矢量连续；二阶连续指二阶导数连续，即曲率连续。
由式（7.7）可以给出参数曲线的代数形式，进而可以方便地得到曲线上任意一点的坐标值，即：
2 2 3 3 3 2 x(t ) t t t 1 0 0 1 0 2 2 3 3 3 2 y (t ) t t t 1 0 0 1 0 2 2 3 3 3 2 z (t ) t t t 1 0 0 1 0
(7.6)
其中，称 Fh (t ) Fh1 (t ) Fh2 (t ) Fh3 (t ) Fh4 (t ) 为调和函数，其中的各分量 Fh1 (t ) 、 Fh2 (t ) 、 Fh3 (t ) 和
Fh4 (t ) 分别对 P0 、 P1 、 P0' 和 P1' 起作用，使其在整个参数域范围内产生曲线的值，从而构成 Hermite 曲线。 可以看出，只要给出任意两个端点和这两个端点处的切线矢量，就可以用式（7.6）构造 Hermite 曲线。
自由曲线曲面的基本原理(上)
自由曲线曲面的基本原理（上）浙江黄岩华日（集团）公司梁建国浙江大学单岩1 前言曲面造型是三维造型中的高级技术，也是逆向造型（三坐标点测绘）的基础。
作为一个高水平的三维造型工程师，有必要了解一些自由曲线和曲面的基本常识，主要是因为：（1）可以帮助了解CAD/CAM软件中曲面造型功能选项的意义，以便正确选择使用；（2）可以帮助处理在曲面造型中遇到的一些问题。
由于自由曲线和自由曲面涉及的较强的几何知识背景，因此一般造型人员往往无法了解其内在的原理，在使用软件中的曲（线）面造型功能时常常是知其然不知其所以然。
从而难以有效提高技术水平。
针对这一问题，本文以直观形象的方式向读者介绍自由曲线（面）的基本原理，并在此基础上对CAD/CAM软件中若干曲面造型功能的使用作一简单说明，使读者初步体会到背景知识对造型技术的促进作用。
2 曲线（面）的参数化表达一般情况下，我们表达曲线(面)的方式有以下三种：（1）显式表达曲线的显式表达为y=f(x)，其中x坐标为自变量，y坐标是x坐标的函数。
曲面的显式表达为z=f(x,y)。
在显式表达中，各个坐标之间的关系非常直观明了。
如在曲线表达中，只要确定了自变量x，则y的值可立即得到。
如图1所示的直线和正弦曲线的表达式就是显式的。
曲线的隐式表达为f(x,y)=0，曲面的隐式表达为f(x,y,z)=0。
显然，这里各个坐标之间的关系并不十分直观。
如在曲线的隐式表达中确定其中一个坐标（如x ）的值并不一定能轻易地得到另外一个（如y ）的值。
图2所示的圆和椭圆曲线的表达式就是隐式的。
图2（3）参数化表达曲线的参数表达为x=f(t);y=g(t)。
曲面的参数表达为x=f(u,v);y=g(u,v);z=g(u,v)。
这时各个坐标变量之间的关系更不明显了，它们是通过一个（t ）或几个（u,v ）中间变量来间接地确定其间的关系。
这些中间变量就称为参数，它们的取值范围就叫参数域。
显然，所有的显式表达都可以转化为参数表达，如在图1所示的直线表达式中令x=t 则立即可有y=t 。
自由曲线与曲面
主要内容
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
第七讲自由曲线与曲面-2
四个角点处的混合导矢（扭矢）
p0v1
p0u1
p01
puv 01
p1v1
p11
p1u1
p1u1v
v
p0v0
p00
puv 00
p0u0 u
puv 10
p1v0
p10 p1u0
双三次参数曲面的边界条件
puv p uv
p p p p uv uv uv 00 10 01
uv 11
a33 a32 a31 a30 v3
4 Bezier曲面的定义-张量积曲面
给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n）， 则Bezier曲线定义为：
将Bezier曲线的方法推广到Bezier曲面。设有 (n+1) ×(m+1)个控制顶点，则构成的n×m次Bezier 曲面方程为：
双三次Bezier曲面
当n=m=3时，即为双3次 Bezier曲面，由16个控制 顶点组成的网格决定。
由边界条件确
pu,v u3
u2
u
1 a23
a22
a21
a20
v
2
定的方程可求 解出各aij
aa1033
a12 a02
a11 a01
a10 a00
v 1
v
B
u
pu, v F1u
F2 u
F3 u
F4 u
p00 p10
p0u0 p1u0
Fu F1u F2 u F3u F4 u u3 u2 u
pu ,v p1,0
u
pu,v p0,v u p1,v p0,v pu,v 1 u p0,v up1,v
pu,v 1 u 1 vp0,0 vp0,1 u 1 vp1,0 vp1,1
p0v1
p0u1
p01
puv 01
p1v1
p11
p1u1
p1u1v
v
p0v0
p00
puv 00
p0u0 u
puv 10
p1v0
p10 p1u0
双三次参数曲面的边界条件
puv p uv
p p p p uv uv uv 00 10 01
uv 11
a33 a32 a31 a30 v3
4 Bezier曲面的定义-张量积曲面
给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n）， 则Bezier曲线定义为：
将Bezier曲线的方法推广到Bezier曲面。设有 (n+1) ×(m+1)个控制顶点，则构成的n×m次Bezier 曲面方程为：
双三次Bezier曲面
当n=m=3时，即为双3次 Bezier曲面，由16个控制 顶点组成的网格决定。
由边界条件确
pu,v u3
u2
u
1 a23
a22
a21
a20
v
2
定的方程可求 解出各aij
aa1033
a12 a02
a11 a01
a10 a00
v 1
v
B
u
pu, v F1u
F2 u
F3 u
F4 u
p00 p10
p0u0 p1u0
Fu F1u F2 u F3u F4 u u3 u2 u
pu ,v p1,0
u
pu,v p0,v u p1,v p0,v pu,v 1 u p0,v up1,v
pu,v 1 u 1 vp0,0 vp0,1 u 1 vp1,0 vp1,1
UG4.0教程-第7章_曲面操作
7.5 安全帽主体造型
• 7.5.3 常用命令 • 【椭圆】：【曲线】工具条上的【椭圆】按钮； • 【修剪】：【编辑曲线】工具条上的【修剪曲线】按钮； • 【变换】：【编辑】下拉菜单中的【变换】； • 【隐藏】：【编辑】下拉菜单中的【隐藏】； • 【样条】：【曲线】工具条上的【样条】按钮； • 【分割曲线】：【编辑曲线】工具条上的【分割曲线】按钮； • 【已扫掠】：【曲面】工具条上的【已扫掠】按钮； • 【修剪体】：【特征操作】工具条上的【修剪体】按钮； • 【外壳】：【特征操作】工具条上的【外壳】按钮； • 【边倒圆】：【特征操作】工具条上的【边倒圆】按钮。
7.2 点构造曲面
• 7.2.1 通过点 • 大致沿U向和V向排列输入一个矩形点阵，从而生成一个 曲面。 • 选择菜单【插入】|【曲面】|【通过点】命令或单击【 曲面】工具条上的【通过点】按钮，弹出【通过点】对 话框。选择适当的参数后，单击【确定】按钮，弹出【 过点】对话框。
7.2 点构造曲面
• 7.2.2 从极点 • （1）单击【曲线】工具条上的【从极点】按钮，创建过程和【通过 点】方式类似，不同之处在于，是所有的极点都要选中； • （2）每选完一行点，都要确定一次，其他和【通过点】方式一样； • （3）当选择完4行点，弹出 【过点】对话框，单击【指定另一行】按 钮继续选择点； • （4）选择完成后，单击【所有指定的点】按钮，单击【确定】按钮 ，即可完成【从极点】曲面创建，通过从极点可得到如图7-9所示曲面 ；
7.2 点构造曲面
• 7.2.3 从点云 • （1）单击【曲线】工具条上的【从点云】按钮； • （2）然后在弹出的【从点云】对话框设定曲面的参数，如图7-10 所示； • （3）然后选择创建曲面的点云，单击【确定】按钮，即可完成【 从点云】方式创建曲面，通过从点云方式可得到如图7-11所示曲面 。
第7章创建NURBS曲线和曲面
END
图7-1 NURBS Curves命令面板
返回
图75nurbssurfaces命令面板在3dsmax6中还有一种创建nurbs曲面的方法在视图上创建一个三维几何体然后选择它单击鼠标右键就会出现如图710所示的菜单在其中选择convertnurbs选项该几何体就变成了nurbs曲面
第7章 章 创建NURBS曲线和曲面 创建 曲线和曲面
本章导读
NURBS是创建具有光滑表面的理想工具，它提供了无缝结合，在曲面扭曲时仍 能保持平滑，功能十分强大。
图7-10 转换为NURBS曲面
7.3 编辑NURBS
创建完NURBS曲线或曲面后，在Modify面板的堆栈中，点击前面的“＋”就会 出现NURBS的次对象，如图7-11所示。同样，NURBS的次对象也可进行编辑，但 是不同的次对象有着不同的编辑工具，这可利用NURBS工具箱来完成。
图7-11 NURBS Curve和Surface的次对象
本章主要知识点
NURBS曲线和曲面 NURBS编辑
7.1 创建NURBS曲线
NURBS模型是由曲线和曲面组成的，NURBS建模也就是创建NURBS曲线和NURBS曲面 的过程。NURBS是Non-Uniform Rational B-Splires的缩写，使用它可以使以前实体 建模难以达到的圆滑曲面的构建变得简单、方便。我们可通过在视窗中交互地调整构 成曲面的点来完成复杂曲面造型的构建。NURBS模型大大扩展了3ds max 6的建模功能。 在前面所讲的建模中，只能通过增加面数、段数的方法使构建对象的表面看起来尽量 平滑。它们的缺点是难于创建复杂的曲面对象。另外由于对象是由一些小的平面为基 础而构建的，在渲染时可以看到面的边界；要得到平滑的曲线边缘则需增加面数，这 样就会影响计算速度。而NURBS建模是解析生成的，计算速度相对快一些，并且渲染 结果也是令你绝对满意的平滑曲面。 单击Shapes命令面板，在下拉列表中选择NURBS Curves，就会出现如图7-1所示 的命令面板。 在NURBS Curves命令面板中有两种NURBS曲线。 Point Curve（点曲线）：是一种用点来控制的光滑曲线，与直线类似，但它是 光滑的。 CV Curve（可控曲线）：是由带控制柄的点创建的曲线，其中控制柄可以影响 曲线的弯曲程度。
计算机图形学第七章自由曲线与曲面
参数方程表示：
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt
2
czt
dz
矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,1d 〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
1
p(t) Pi Bi,1 (t) (1 t) P0 t P1 i0
可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。
2.二次Bezier曲线
当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有 三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线 是二次多项式。
2
p(t) Pi Bi,2 (t) (1 t) 2 P0 2t(1 t) P1 t 2 P2 i0 (t 2 - 2t 1) P0 (2t 2 2t) P1 t 2 P2
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物 线。
3.三次Bezier曲线
当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形 有四个控制点P0、P1、P2和P3， Bezier曲线是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0
x(t)
y(t)
axt3 ayt3
bxt 2 byt 2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t)
azt3
bzt
2
czt
dz
矢量表示：
p(t) at 3 bt 2 ct d
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,1d 〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
1
p(t) Pi Bi,1 (t) (1 t) P0 t P1 i0
可以看出，一次Bezier曲线是一段直线。
2.二次Bezier曲线
当n＝2时，Bezier曲线的控制多边形有 三个控制点P0、P1和P2，Bezier曲线 是二次多项式。
2
p(t) Pi Bi,2 (t) (1 t) 2 P0 2t(1 t) P1 t 2 P2 i0 (t 2 - 2t 1) P0 (2t 2 2t) P1 t 2 P2
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物 线。
3.三次Bezier曲线
当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形 有四个控制点P0、P1、P2和P3， Bezier曲线是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0
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t [0,1]
加权和形式
P(t ) C T P0 t P t n Pn t [0,1] 1
缺点
Pi 没有明显的几何意义 Pi 与曲线的关系不明确，导致曲线的形状控制困难
11
参数多项式曲线（3/4）
矩阵表示
矩阵分解
C GM
P(t ) C T G M T t [0,1]
1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
3
4
参数曲线基础
曲线的表示形式
P0 P1
37
B样条曲线
B1
P(0.5)
P(0)
P(1)
M
B2
B0
38
B样条曲线
几何特征分析 2. 曲线的切线
t [0,1]
10
参数多项式曲线（2/4）
矢量表示形式
x(t ) x0 P(t ) y (t ) y0 z (t ) z0
x1 xn 1 t 记为 C T y1 yn z1 zn t n
3 2 1 3 2 1 0 0
8P0 12 P1 6 P2 P3
27 2P P 2P P 2P P 2P P 2 0 1 1 2 2 1 2 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3
25
P 1
2
8 4 2 P0 3P1 3P2 P3
ti ti 1
i 0, 1, 2
34
2 B样条基函数
0 Bi ,k t 0 ti t ti 1 t ti或t ti 1 tk t tn 1
i
B t 1
i ,k
35
B样条曲线
二次B样条
n=2
几何矩阵
G G0 G1 Gn
控制顶点 Gi 基矩阵M
M T 确定了一组基函数
12
参数多项式曲线（4/4）
例子—直线段的矩阵表示
P(t ) P0 tP P0 (1 t ) ( P0 P )t 1 1 P0
几何矩阵G
1 1 1 P0 P 1 t t [0,1] 0 1
型值点 控制点
边界条件 连续性要求
8
曲线曲面拟合方法
生成方法
插值
点点通过型值点 插值算法：线性插值、抛物样条插值、Hermite插 值
逼近
提供的是存在误差的实验数据
最小二乘法、回归分析 Bezier曲线、B样条曲线等
9
提供的是构造曲线的轮廓线用的控制点
拟合（P294）
参数多项式曲线（1/4）
32
B样条曲线
产生：
1946年，Schoenberg发表关于B样条函数的第1篇论文 1973年前后，Gordon,Riesenfield,Forrest等人受到Bezier方法的 启发，将B样条函数拓广成参数形式的B样条曲线 与控制多边形的外形更接近 局部修改能力 任意形状，包括尖点、直线的曲线 易于拼接 阶次低，与型值点数目无关，计算简便
A3
A2
A1
A0 8
A3 2 A2 4 A1 8 A0
8
P0 P P2 P3 1 2 2 P P2 1 2 2 2
26
Bezier曲线
同理推导出
P 2
3
27
Bezier曲线
几何特征分析 2. 曲线的切线
P ' t 3 A3t 2 2 A2t A1 P ' 0 A1 3 P P0 起点处与起始边相切 1 P ' 1 3A3 2 A2 A1 3 P3 P2 终点处与终止边相切 3A P ' 1 3 A2 A1 3 P0 P P2 P3 1 2 4 4 同理推导出P ' 1 和P ' 2 3 3
非参数表示
显式表示
y f ( x) z g ( x)
隐式表示
f ( x, y , z ) 0 g ( x, y , z ) 0
5
参数曲线基础
参数表示
x x(t ) y y (t ) z z (t )
t [ a, b]
参数的含义
i 0
n
t [0,1]
BEZ i ,n t C t 1 t
i n i
n i
n! C i ! n i !
i n
16
Bezier曲线
Bezier曲线的性质
端点位置
P(t ) |t 0 P0 P(t ) |t 1 Pn
P0
P1
P2
P3
17
2
A2
4
2
A0
P0 P2 P 1 P0 P2 2 P 1 2 中心点 4 2
P1
P(0.5)
P(0)
P0
M
P2
P(1)
21
Bezier曲线
几何特征分析 2. 曲线的切线
P ' t 2 A2t A1 P ' 0 A1 2 P P0 起点处与P P0边相切 1 1 P ' 1 2 A2 A1 2 P2 2 P P0 2 P P0 2 P2 P 1 1 1 终点处与P2 P 边相切 1 P 1
第七章 曲线与曲面
概
述
从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面
（2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
2
自由曲线曲面的发展过程
目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片
为什么采用参数多项式曲线
表示最简单 理论和应用最成熟
定义--n次多项式曲线
x (t ) x0 x1 t xn t n y (t ) y0 y1 t yn t n z (t ) z z t z t n 0 1 n
28
Bezier曲线
曲线的拼接
P(t ) Pi Q j BEZ i ,n ( s)
j 0
n
29
Bezier曲线
零阶几何连续条件
(1)
Pm Q0
一阶几何连续条件
(1) Pm Q0
(2) 0
P t t 3 t 2
P t A3t 3 A2t 2 A1t A0 A3 P0 3P 3P2 P3 1 A2 3P0 6 P 3P2 1 A1 3P0 3P 1 A0 P0
P2 P1 P(0) P0 P(1) P3
P0+P1
基矩阵MT
P1 P0
13
7.1曲线 Bezier曲线
1962年，法国雷诺汽车公司 P.E.Bezier工程师 以“逼近”为基础 UNISURF系统 1972年雷诺汽车公司正式使用
14
15
Bezier曲线
Bezier曲线的定义
n次多项式曲线P(t)称为n次Bezier曲线
P(t ) Pi BEZ i ,n (t )
' 2 1 2
2 A A P 2P P 2P 2P P P
1 0 1 0 2
P1
P(0.5)
0
1 点处与底边的平行线相切 2
P(0)
P0
M
P2
P(1)
22
Bezier曲线
三次Bezier曲线
n=3
1 3 t 1 3 1 3 6 3 0 3 3 0 0 1 P0 0 P 1 0 P2 0 P3
Bezier曲线
端点切矢量
P(t ) |t 0 P P0 1 P(t ) |t 1 Pn Pn1
P0 P1 P2
P3
导数曲线
P(t ) n ( Pi 1 Pi ) BEZ i ,n 1 (t )
i 0
n 1
t [0,1]
18
Bezier曲线
P t A2t 2 A1t A0 A2 P2 2 P P0 1 A1 2 P P0 1 A0 P0
20
Bezier曲线
几何特征分析 1. 曲线起始点、终点
P 0 A0 P0 P 1 特征多边形起点 特征多边形终点 A1 P 1 A2 A1 A0 P2
Pm Pm1 (Q1 Q0 )
三点共线，且Q1,Pm-1在连接点的异侧
二阶几何连续条件？
30
Bezier曲线
优点：
形状控制直观 设计灵活
31
Bezier曲线
缺点：
所生成的曲线与特征多边形的外形相距较远 局部控制能力弱，因为曲线上任意一点都是所有给定 顶点值的加权平均 控制顶点数增多时，生成曲线的阶数也增高 控制顶点数较多时，多边形对曲线的控制能力减弱 曲线拼接需要附加条件，不太灵活