第7章 自由曲线与曲面 1
《自由曲线与曲面》PPT课件
7.6 B样条曲线
• Gordon和Riesenfeld于1974年用B样条基函数代替了Bernstein基函数，构造了B样条 曲线。
• 比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生C2连续性），曲线的次数 可根据需要指定
• 增加了对曲线的局部修改功能，B样条曲线是分段组成的，所以控制多边形的顶点对曲 线的控制灵活而直观。
2.一阶导数
• 将式（7-12）求导，有
n
p' (t) Pi Cni [i t i1 (1 t)ni (n i) t i (1 t)ni1 ] i0 在闭区间〔0，1〕内，将t＝0和t＝1 代入上式，得到
p' (0) n (P1 P0 ) p' (1) n (Pn Pn1)
可以证明，二次Bezier曲线是一段抛物线。
3.三次Bezier曲线
• 当n＝3时，Bezier曲线的控制多边形有四个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线 是三次多项式。
3
p(t) Pi Bi,3 (t) (1 t)3 P0 3t(1 t)2 P1 3t 2 (1- t) P2 t3 P3 i0 (t3 3t 2 - 3t 1)P0 (3t 3 6t 2 3t)P1 (3t3 3t 2 ) P2 t3P3
• 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成组合曲线， 或将一些曲面片连接成组合曲面，才能描述复杂的形状。
• 为了保证在连接点处平滑过渡，需要满足连续性条件。连续性条件有两种：参数连续 性和几何连续性。
•
参数连续性
• 零阶参数连续性，记作C0，指相 邻两个曲线段在交点处具有相同的 坐标。
菅光宾
数字媒体系
• 7.1 基本概念 • 7.4 Bezier曲线 • 7.5 Bezier曲面 • 7.6 B样条曲线 • 7.7 B样条曲面
《自由曲线与曲面》课件
课件演示流程及时间安排
开场介绍：5分钟 添加标题
自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
15分钟
进：10分钟
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提问与互动：5分钟 添加标题
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自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
添加标题
自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
添加标题 总结与展望：5分钟
课件素材及资源获取方式
结论与展望
课件页码及内容安排
• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
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自由曲线与曲面PPT课件
大纲
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
添加目录项标题
02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力
自由曲线曲面的基本原理(上)
自由曲线曲面的基本原理（上）浙江黄岩华日（集团）公司梁建国浙江大学单岩1 前言曲面造型是三维造型中的高级技术，也是逆向造型（三坐标点测绘）的基础。
作为一个高水平的三维造型工程师，有必要了解一些自由曲线和曲面的基本常识，主要是因为：（1）可以帮助了解CAD/CAM软件中曲面造型功能选项的意义，以便正确选择使用；（2）可以帮助处理在曲面造型中遇到的一些问题。
由于自由曲线和自由曲面涉及的较强的几何知识背景，因此一般造型人员往往无法了解其内在的原理，在使用软件中的曲（线）面造型功能时常常是知其然不知其所以然。
从而难以有效提高技术水平。
针对这一问题，本文以直观形象的方式向读者介绍自由曲线（面）的基本原理，并在此基础上对CAD/CAM软件中若干曲面造型功能的使用作一简单说明，使读者初步体会到背景知识对造型技术的促进作用。
2 曲线（面）的参数化表达一般情况下，我们表达曲线(面)的方式有以下三种：（1）显式表达曲线的显式表达为y=f(x)，其中x坐标为自变量，y坐标是x坐标的函数。
曲面的显式表达为z=f(x,y)。
在显式表达中，各个坐标之间的关系非常直观明了。
如在曲线表达中，只要确定了自变量x，则y的值可立即得到。
如图1所示的直线和正弦曲线的表达式就是显式的。
曲线的隐式表达为f(x,y)=0，曲面的隐式表达为f(x,y,z)=0。
显然，这里各个坐标之间的关系并不十分直观。
如在曲线的隐式表达中确定其中一个坐标（如x ）的值并不一定能轻易地得到另外一个（如y ）的值。
图2所示的圆和椭圆曲线的表达式就是隐式的。
图2（3）参数化表达曲线的参数表达为x=f(t);y=g(t)。
曲面的参数表达为x=f(u,v);y=g(u,v);z=g(u,v)。
这时各个坐标变量之间的关系更不明显了，它们是通过一个（t ）或几个（u,v ）中间变量来间接地确定其间的关系。
这些中间变量就称为参数，它们的取值范围就叫参数域。
显然，所有的显式表达都可以转化为参数表达，如在图1所示的直线表达式中令x=t 则立即可有y=t 。
自由曲线与曲面
11.1 解析曲面 11.2 Bezier曲面 11.3 B样条曲面 11.4 NURBS曲面 11.5 曲面的其它表达 11.6 曲面求交算法
11.1 解析曲面（代数曲面）
代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复 杂曲面造型的要求
适合构造简单曲面，不能构造自由曲面 不同类型曲面拼接连续性难以保证 不同曲面求交公式不一，程序实现量大 工程设计交互性差
通常样条曲面的求交算法采用离散逼近、迭代求精 与跟踪的方法，求交精度不高，计算量大，速度慢，对 共点、共线、共面难以处理，从而影响布尔运算的效率 和稳定性。
基本的求交算法：
由于计算机内浮点数有误差，求交计算必须引进容差。假定
容差为e，则点被看成是半径为e的球，线被看成是半径为e的圆管， 面被看成是厚度为2e的薄板。
c）然后固定指标i，以第一步求出的n＋1条截面曲线的控制顶 点阵列中的第i排即： di,j, j 0,1,, n 为“数据点”，以上一 步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢 量V上应用曲线反算，分别求出m＋3条插值曲线即控制曲线的 B样条控制顶点di.j ,i 0,1,,m 2; j 0,1,,n 2 ，即为所求双
superquadric
superquadric曲面在商用 CAD系统应用相对较少，但 在动画软件中常用
superquadric toroids
(
x
)2/E2
(
y
)2/E2
E2/E1 a
(
z
)2/E1
1
rx
ry
rz
superquadric ellipsoids
(
x
)2/E2
(
y
E2/E1 )2/E2
5_1自由曲线与曲面PPT精品文档29页
记为 GC 1
P(t0)P(t0) 0为任一常数
参数曲线基础（6/6）
2阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处2阶几何连续，如果它在 t 0处
（1） GC 1
（2）副法矢量方向连续 B(t0)B(t0)
（3）曲率连续
k(t0)k(t0)
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数 如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x)
z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]
空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
x x(t) y y(t) z z(t)
t [a,b]
t[0,1]
几何矩阵G
基矩阵MT
P1
P0
P0+P1
三次Hermite曲线(1/7)
定义
给定4个矢量 P0,P1,R0,R1 ，称满足条件的三 次多项式曲线P(t)为Hermite曲线
P(0)P0,P(1)P1 P(0)R0,P(1)R1 R0
P1 P0
R1
三次Hermite曲线(2/7)
矩阵表示
参数曲线基础（1/6）
曲线的表示形
z
g(x)
隐式表示
f (x, y) 0
f
(x,
y,
z)
0
参数曲线基础（2/6）
参数表示
x x(t) y y(t) z z(t)
自由曲线曲面造型技术
自由曲线曲面造型技术自由曲线曲面造型技术是一种用于制作3D图形的先进技术。
它可以让设计师轻松地将自己的想法转化成真实的3D模型。
该技术旨在为设计师提供更高的创作自由度，使其能够以更自然、更流畅的方式来表现自己的创意。
下面我们来详细了解一下自由曲线曲面造型技术。
一、基础知识1. 什么是自由曲线曲面造型技术？自由曲线曲面造型技术是一种用于编辑多边形网格模型的技术。
它允许设计师自由地绘制曲线和曲面，以创建具有复杂形状和曲率变化的物体。
2. 自由曲线曲面造型技术的应用范围自由曲线曲面造型技术广泛应用于艺术设计领域、工业设计领域、建筑设计领域和汽车设计领域等。
它可以用于设计和制造车身、雕塑、建筑立面和自然景观等。
二、自由曲线曲面造型技术的基本原理自由曲线曲面造型技术的基本原理是“控制点—曲线/曲面—几何体”的过程。
它的主要思想是通过控制点操纵曲线/曲面的形状，最终得到所需的几何体。
三、自由曲线曲面造型技术的工具和实现方式1. 曲线工具曲线工具允许设计师创建用于控制曲面形状的曲线。
这些曲线可以是贝塞尔曲线、NURBS曲线等，设计师可以自由选择。
2. 曲面工具曲面工具是将曲线连接起来形成的曲面。
设计师可以通过调整控制点、曲线和曲面的参数，来控制曲面的形状。
3. 几何体工具几何体工具是将曲面转换成带有体积的3D模型，如球体、立方体、圆柱体等。
设计师可以通过这些工具来创建真实的3D模型。
四、自由曲线曲面造型技术的优点1. 创意自由度高自由曲线曲面造型技术可以允许设计师非常灵活地表达自己的想法。
它可以让设计师轻松创建复杂形状和曲率变化的物体。
2. 精度高自由曲线曲面造型技术具有非常高的精度，可以帮助设计师创建精细的3D模型，并且不会出现几何失真的问题。
3. 可控性强自由曲线曲面造型技术基于控制点和曲线，具有非常强的可控性。
这意味着设计师可以精确地控制曲线和曲面的形状，从而创造出高质量的3D模型。
五、自由曲线曲面造型技术的应用案例自由曲线曲面造型技术已经被应用于许多领域，以下是一些典型的应用案例：1. 工业设计中的3D模型制作自由曲线曲面造型技术广泛应用于工业设计领域，例如汽车、飞机、手机等产品。
自由曲线曲面造型技术
2、简单技术 (插值与拟合)
2.1曲 线 拟 合 问 题 的 提 法
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所 有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
y
+
+
+
+ + (xi +i,yi)
+
+
y=f(x) +
但人们并不安于现状，继续探索新的造型方法。相继 出现了自由变形造型、偏微分方程造型、能量法造型、 小波技术等。这些方法目前还处于深入研究阶段，有 望于21世纪得到广泛的应用。
插值(interpolation)、拟合（fitting)和
逼近（approximation)，一直是曲线曲面 造型基本的方法。
问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面 解决方案： •若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； •若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作 为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同 的。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？
4)线性插值
等等
样条插值
比分段线性插值更光滑。
y
a
xi-1 xi
bx
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲
线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光
滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低
次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次 样条插值就是一个很好的例子。
自由曲线和曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第5讲 三维曲面的表示 —孔斯（Coons）曲面
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第2讲 三次参数样条曲线
第2讲 三次参数样条曲线
第3讲 Bezier曲线
第3讲 Bezier曲线
3．Bezier曲线的性质
第3讲 Bezier曲线
4．Bezier曲线的性质(续)
第3讲 Bezier曲线
5．常用Bezier曲线的矩阵表示
第3讲 Bezier曲线
6．常用Bezier曲线的矩阵表示
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第6讲 三维曲面的表示 —贝塞尔（Bezier）曲面
第4讲 B样条曲线
1．B样条基函数
第4讲 B样条曲线
2．B样条基函数的性质
第4讲 B样条曲线
3．B样条曲线
第4讲 B样条曲线
4．B样条曲线的性质
第4讲 B样条曲线
5．B样条曲线的性质(续)
第4讲 B样条曲线
第4讲 B样条曲线
第4讲 参数曲线相关概念
第4讲参数曲线相关概念
第4讲参数曲线相关概念
第2讲 三次参数样条曲线
第2讲 三次参数样条曲线
1．Hermite曲线的二阶导数形式
第2讲 三次参数样条曲线
2．三次参数样条曲线 设有点列{Pi}(i=0,1,…,n)，用Hermite三次 参数曲线将相邻点连接起来，使得最终的曲线 在已知点处具有连续的二阶导数，该曲线是一 条三次样条曲线。
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（1） GC1
（2）副法矢量方向连续
B (t0 )
B
(t
0
)
（3）曲率连续
k (t0
)
k
(t
0
)
18
参数表示的好处
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算 设计或表示形状更直观，许多参数表示的基函数 如Bernstein基和B样条函数，有明显的几何意义
β为任意常数。当α=1，β=0时，G2连续就 成为C2连续。
14
至此可以看到，C1连续能保证G1连续，C2 连续能保证G2连续，但反过来不行。也就 是说，Cn连续的条件比Gn连续的条件苛刻 。
15
参数曲线基础（4/6）
参数连续性
传统的、严格的连续性
称曲线P = P(t)在t t0处n阶参数连续，如果 它在 t0处n阶左右导数存在，并且满足
7
自由曲线曲面的发展过程 目标：美观，且物理性能最佳
1963年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲 面片 1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片 1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面 1974年，美国通用汽车公司，Cordon和 Riesenfeld, Forrest, B样条曲线曲面 1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条 80年代，Piegl和Tiller, NURBS方法
对在不同测量坐标系测得的同一组数据点进行拟合， 用同样的数学方法得到的拟合曲线形状不变。
哈工大计算机学院 苏小红
5
概述
（3）易于定界
（4）统一性：
统一的数学表示，便于建立统一的数据库
标量函数：平面曲线 y = f(x) 空间曲线 y = f(x)
z = g(x) 矢量函数：平面曲线 P(t) = [x(t) y(t)]
第四章 自由曲线与曲面 （一）
1
曲线的分类
规则曲线 自由曲线 随机曲线
概述
哈工大计算机学院 苏小红
2
概述
研究分支
计算几何
1969 Minsky, Papert提出 1972 A.R.Forrest给出正式定义
CAGD (Computer Aided Geometrical Design)
1阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处1阶几何连续，如果它在该 处 GC0 ,并且切矢量方向连续
记为 GC1
P(t0 ) P(t0 ) 0为任一常数
1几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处2阶几何连续，如果它在 t0处
(1 ) (1 )
(t) 明明是一条直线，却非C1连续，说明用
参数连续描述光滑性是不恰当的，因此有
必要引进一种新的连续性度量，这就是几
何连续。
P(t)
Q(1)
如图所示，对于参数 P(0) T∈[0,1]的两条曲线
P(1) Q(t) Q(0)
13
P(t)和Q(t)，若要求在结合处达到G0连续或 C0连续，即两曲线在结合处位置连续，则 需要：P(1)=Q(0)
19
曲线曲面拟合方法
1974 Barnhill, Riesenfeld, 美国Utah大学的一次国 际会议上提出
哈工大计算机学院 苏小红
3
概述
研究内容
对几何外形信息的计算机表示 对几何外形信息的分析与综合 对几何外形信息的控制与显示
哈工大计算机学院 苏小红
4
概述
对形状数学描述的要求？ 从计算机对形状处理的角度来看 （1）唯一性 （2）几何不变性
12
例：
(t)
V0
V0
V1
V0 t 3
0 t
V1
V0 3
(t
1)
2(V1
3
V0
)
1
1 t
2
(t)在[0，2]上表示一条连接V0、V1的直线段
，但却有 即 ≠ (1)
1 3
(V1
V0),(1 )
2 3
(V1
V0),
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条 曲线在结合处满足G0连续的条件下，并有 公共的切失Q’(0)=αP’(1) (α>0)
当α=1时，G1连续就成为C1连续。
若要求在结合处达到G2连续，就是说两条 曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并 有公共的曲率失，即：Q (0) 2P (1) P (1)
8
参数曲线基础（1/6）
曲线的表示形式
非参数表示
显式表示
y f (x)
z
g
(
x)
隐式表示
f (x, y, z) 0
g
(
x,
y,
z
)
0
9
参数曲线基础（2/6）
参数表示
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
参数的含义
t [a,b]
时间，距离，角度，比例等等
d k P(t) dt k
t t0
d k P(t) dt k
, k t t0
0,1, n
记号 C n
16
参数曲线基础（5/6）
几何连续性
直观的、易于交互控制的连续性
0阶几何连续
称曲线P=P(t)在 t t0处0阶几何连续，如果它在 t0 处位置连续，即
P(t0 ) P(t0 ) 记为 GC 0
空间曲线 P(t) = [x(t) y(t) z(t)]
x x(t)
y
y(t)
z z(t)
t [a,b]
6
概述
从形状表示与设计的角度来看 （1）丰富的表达能力：表达两类曲线曲面 （2）易于实现光滑连接 （3）形状易于预测、控制和修改 （4）几何意义直观，设计不必考虑其数学表达
规范参数区间[0，1]
10
参数曲线基础（3/6）
参数矢量表示形式
例子：直线段的参数表示
P P(t ) P0 t ( P1 P0) (1 t ) P0 tP1 t [0,1]
11
参数的连续性
设计一条曲线时，出于设计和制造上的考 虑，通常通过多段曲线组合而成，这需要 解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题 。曲线间连接光滑度的度量有两种：一种 是函数的可微性，使得组合参数曲线在连 接处具有n阶连续导失，即n阶连续可微， 这类光滑度称为Cn或n阶参数连续性；另一 种称为几何连续性，组合曲线在连接处满 足不同于Cn的某一组约束条件，称为n阶几 何连续性，简记为Gn. Cn连续包含在Gn连续 之中。