2018届高考数学黄金考点精析精训考点05函数的性质(单调性、奇偶性、周期性理

考点5 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）【考点剖析】一．最新考试说明：1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性． 3．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 二．命题方向预测：1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2．函数的奇偶性是高考考查的热点．3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．4．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结：1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．2．若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =．即0()f x∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==．3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等． 4．若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为()()()()()1122f x f x f x f x f x =+-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．5．既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）． 6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．7．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称． 8．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称． 9．函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称． 10．函数x y a =与函数()log 0,1a y x a a =>≠的图像关于直线y x =对称． 四、名师二级结论： 一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y=x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接． 一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性． 两个应用1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值． 三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法． 判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f (－x )＝±f (x ) ⇔ f (－x )±f (x )＝0⇔()()f x f x -＝±1，f(x)≠0． 五、课本经典习题：(1)新课标人教A 版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：()21x f x x+=．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． (2)新课标人教A 版必修一第44页复习参考题A 组第八题设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-． 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． (3)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第3题【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展． (4)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第4题设(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==，求证： （1）[][]22()()1g x f x -=；（2）(2)2()()f x f x g x =∙；（3）[][]22(2)()()g x g x f x =+． 【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展． 六．考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1．【2018届湖北省荆州中学高三上学期第二次】已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时， ()()121,02{ 12,22x x f x f x x --<≤=->，则函数()()41g x f x =-的零点个数为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10 【答案】D【解析】求函数()()41g x f x =-的零点个数只需考查方程()14f x =的实根个数， 当02x <≤时， ()11121,1221{ 11,012x x x x f x x ----<≤=-=⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭， ()f x 在(]0,1上递减，在(]1,2上递增， ()21f =，值域为[]0,1.当2x >时， ()()122f x f x =- 当24x <≤时，函数()f x 的值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当46x <≤时，函数()f x 的值域为10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当68x <≤时，函数()f x 的值域为10,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ()14f x =在0x >上有5个实根，又函数为偶函数， ()14f x = 在()(),00,-∞⋃+∞上有10个实根，函数()()41g x f x =-的零点个数为10个，选D. (2) 函数的周期性与函数的零点交汇例2．【2017江苏，14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩ 其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况 在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质 因此10n mq p=，则10()nm q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈ 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D ∉ 的部分的交点，(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3．【2017河北定州中学】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()2,0111,12x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩,则方程()1f x x =在[]3,5-上的所有实根之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 【答案】C【考点分类】热点一 函数的单调性1．【2016高考北京文数】下列函数中，在区间(1,1)- 上为减函数的是（ ） A.11y x=- B.cos y x = C.ln(1)y x =+ D.2x y -= 【答案】D【解析】由12()2xx y -==在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D. 2.【2017北京，理5】已知函数1()3()3xx f x =-，则()f x（A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数（D ）是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A3．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D【解析】A 选项：由()()12f x y x y +=+，()()111222()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以A 错误；B 选项：由()()3f x y x y +=+，()()333()f x f y x y xy =⋅=，得()()()f x y f x f y +≠，所以B 错误；C 选项：函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是定义在R 上减函数，所以C 错误；D 选项：由()3x y f x y ++=，()()333x y x y f x f y +=⋅=，得()()()f x y f x f y +=；又函数()3x f x =是定义在R 上增函数，所以D 正确．故选D 【方法规律】1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．函数单调性的应用：f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f (x 1)<f (x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<0，若函数是增函数，则f (x 1)< f (x 2)⇔x 1<x 2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行． 【易错点睛】误区1．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错 【例1】求y【错解】令t ＝x 2－4x －12，则t ＝x 2－4x －12在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又yy(－∞，2]与[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}．【正解】由x 2－4x －12≥0，得x≤－2或x≥6，令t ＝x 2－4x －12，则t ＝(x －2)2－16在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数．又y是增函数，所以y的单调区间是(－∞，－2]与[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上递减，在[6，＋∞)上递增． 【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识． 误区2． 忽视隐含条件致误 【例2】已知f(x)＝(31)(4),1,1a a x a x log x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )()1101? 0? 13311()[)[)77A B C D ．，．，．，．， 【错解】误选B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R 上为减函数，还需使得f(x)＝(3a －1)x ＋4a 在x ＜1上的最小值不小于f(x)＝log a x 在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误． 【正解】据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足：31001(31)(14)1a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩11a<73⇒≤．故选C ． 【点评】一般地，若函数f(x)在区间[a ，b)上为增函数，在区间[b ，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a ，c]为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在[a ，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a ，c]上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在[a ，c]上为增函数，即只需f(x)在[a ，b)上的最大值不大于f(x)在[b ，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数1f(x)=x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说1f(x)=x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为当x 1＝－1，x 2＝1时，有f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝1不满足减函数的定义．(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数y ＝x 3－3x 的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 热点二 函数的奇偶性1．【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】【考点】函数的奇偶性、单调性2.【2017课标II ，文14】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(,0)x ∈-∞时，32()2f x x x =+,则(2)f = ________． 【答案】12图（2）图（1）3．【2016年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x f x =，则5()(1)2f f -+= . 【答案】-2【解析】因为函数()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，所以(1)(1),(1)(12)(1)f f f f f -=--=-+=，所以(1)(1)f f -=，即(1)0f =，125111()(2)()()422222f f f f -=--=-=-=-=-，所以5()(1)22f f -+=-.【方法规律】1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． 2.已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于x 的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值．【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f (x )和f (－x )必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数． 误区．不明分段函数奇偶性概念致错【例1】判断2223,0f(x)=3,023,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩的奇偶性．【错解】当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)． 当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数．【剖析】漏x ＝0情况．【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x ＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． 热点三 函数的周期性1．【2016高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x > 时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.2.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = ． 【答案】1【解析】311()()421224f f =-=-⨯+=． 【方法规律】函数周期性的相关结论：设a 是非零常数，若对f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f (x ＋a )＝－f (x )；②1f(x+a)=()f x ；③1f(x+a)=-()f x ；④f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2|a |是它的一个周期．(以上各式中分母均不为零)． 热点四 函数性质的综合应用1．【2016年高考北京理数】已知x ，y R ∈，且0x y >>，则（ ）A.11x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -<D.ln ln 0x y +> 【答案】C2.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =，即()21xf x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.3.【2016高考江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=，因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-．【方法规律】1．解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助．（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象． 2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以下结论(其中a ≠0)：若f (x )有对称轴x ＝a ，且是偶函数，则f (x )的周期为2a ； 若f (x )有对称轴x ＝a ，且是奇函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是偶函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是奇函数，则f (x )的周期为2a ． 【易错点睛】误区1．函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R 上，且对常数T ＞0，恒有f(x ＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【错解】由f(x)是R 上的奇函数，得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由f(x ＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个． 【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即()()f x f x -=-……①()()f x f x T =+……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．误区2．忽视隐含条件的挖掘致误【例2】设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，1,10()=2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________． 【错解】因为f (x )的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为211142f(-)=-a+1,f()=222312bb ++=+，所以14a+1=,3a+2b=-223b +-∴． 【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a 、b 的值．【正解】因为f(x)的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为 211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,23b +-．整理，得2a=-(b+1)3．① 又因为f(－1)＝f(1)，所以2-a+1=2b +，即b ＝－2a ． ②将②代入①，得a ＝2，b ＝－4．所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10．【热点预测】1．【2018届安徽省滁州市高三9月联考】若函数()()22f x x x a x a =+--|在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()()3,00,9-⋃ B. ()()9,00,3-⋃C. ()9,3-D. ()3,9- 【答案】B 【解析】()222232,{2,x ax a x a f x x ax a x a-+≥=+-<,分0,0,0a a a >=<三种情况讨论.当0a >时， 3a ->-，所以03a <<； 当0a =时， ()223,0{ ,0x x f x x x ≥=<，显然单调；当0a <时，33a>-，所以90a -<<. 综上： 90a -<<或03a <<. 故选B.2．【2018届河北省鸡泽县第一中学高三上第一次月考】若对任意的x ∈R ，y ＝均有意义，则函数y ＝log a的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由对数函数的定义知0a ＞ 且1a ≠ ，函数1ay log x= 的定义域为00-∞⋃+∞（，）（，） 由题对任意x R y ∈=，均有意义，则1-a |x|≥0，恒成立，可得01a ＜＜．又0x ＞ 时， 1a y log x =， 1u x= 单调递减， a y log u = 单调递减，∴由复合函数的单调性知1ay log x=单调递增， 1ay log x=为偶函数，其图象应关于y 轴对称， 0x ∴＜ 时， 1a y log x =单调递减，3．【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.4．已知)2()(),1()1(+-=-=+x f x f x f x f ，方程0)(=x f 在［0，1］内有且只有一个根21=x ，则0)(=x f 在区间[]2013,0内根的个数为（ ） A ．2011 B ．1006 C ．2013 D ．1007 【答案】C5．若()()()4f x x a x a x =+-+-的图像是中心对称图形，则a =( ) A ．4 B ．43- C ．2 D ．23- 【答案】B 【解析】)2424)(243()24(-++-+++=++a x a x a x a x f ，因为2424)(-++-+=a x a x x g 为偶函数，所以当且仅当0243=+a ，即34-=a 时，)24(++a x f 为奇函数，图像关于原点对称．故选B ． 6．若函数()()f x x R ∈是奇函数，函数()()g x x R ∈是偶函数，则一定成立的是( ) A ．函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 B ．函数()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 C ．函数()f f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 D ．函数()g g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数【解析】由题得，函数()(),f x g x 满足()()()(),f x f x g x g x -=--=，则有()()f g x f g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()g f x g f x g f x -=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()g g x g g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C 是正确的，故选C 7．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 （ ）（A ）()0,1 （B ）()1,+∞ （ C ） 51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦（ D ）5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由已知，得函数()y f x =在R 上单调递增，故满足101341a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得a 的取值范围是51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦．8.已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为（ ） （A ）)21,0( （B ）)2,21(（C ）1(,1](2,)2⋃+∞ （D ）11(0,)(,2)82⋃【答案】B【解析】∵01≥∀x ，02≥∀x ，21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ，∴定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在),0[∞+上是减函数．∵3)log (481>x f ， ∴43)log (81>x f ， 即)31()log (81f x f >．∴ ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧<≥x x 或 ,31log ,0log 8181⎪⎩⎪⎨⎧-><x x 解得121≤<x 或21<<x ．∴221<<x ．故选B ． 9.已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④ 【答案】A【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数()f x 是奇函数的充要条件是函数()f x 的图象关于原点对称，而()f x 的图象关于原点对称与函数()f x a -的图象关于点(,0)A a 对称是等价的，故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选A 了，对于③，我们知道函数()f x 满足“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”时，()f x 是周期为2a 的周期函数，但反过来一一定成立，如()f x 满足“对任意的R x ∈，都有1()()f x f x a =-”时，()f x 也是周期为2a 的周期函数，③错误，而函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象是关于直线x a =对称，而还是y 轴，故④错误．10.【2018届宁夏育才中学高三上学期第一次月考】设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝242,10{ ,01x x x x -+-≤<≤<则32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝________.【答案】1【解析】32f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＝21142122f ⎛⎫⎛⎫-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.【2018届四川省南充市高三零诊】若函数是奇函数，则__________． 【答案】 【解析】当时，,∴，又即，， ∴当时，.故答案为：. 12.【2018届江苏省常州市横林高级中学月考】定义在R 上的函数()f x 满足:()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时， ()()2log 3f x x =-+，则()2017f =________． 【答案】1213.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值集合是__________． 【答案】(- 1 ， 3 )．【解析】因为偶函数()f x 满足()20f =，若()10f x ->，则有(1)(2)(1)(2)f x f f x f ->⇒->｜｜，又函数()f x 在[)0,+∞单调递减，所以有|1|221213x x x -<⇒-<-<⇒-<<．14．【2018届河南省南阳市第一中学高三上学期第二次】已知0x ≠时，函数()0f x >，对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =，且()()11,279f f -==，当01x ≤<时，()[)0,1f x ∈（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在[)0,+∞上的单调性，并给出证明； （3）若0a ≥且()1f a +≤a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为偶函数；（2）证明见解析；（3）02a ≤≤.【解析】试题分析：（1）利用赋值法，先求出()11f -=，令1y =-，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；（2）设120x x ≤<， 1201x x ∴≤<， ()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数.；（3）先利用赋值法求得()3f =. 试题解析：（1）令1y =-，则()()()()1,11f x f x f f -=--=，()()f x f x -=， ()f x 为偶函数.（2）设120x x ≤<， 1201x x ∴≤<， ()()1112222x x f x f x f f x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵01x ≤<时， ()[)0,1f x ∈，∴121x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()12f x f x <，故()f x 在()0,+∞上是增函数.（3）∵()279f =,又()()()()()()()339393333f f f f f f f ⎡⎤⨯===⎣⎦∴()()()()()393,3113f f f a f a f ⎡⎤==+≤+≤⎣⎦∵[)0,1,30,a a ≥+∈+∞，∴13a +≤，即2a ≤，又0,a ≥故02a ≤≤.。