均值不等式的常见题型
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题目总结
均值不等式练习题目总结
本文总结了一些常见的均值不等式练题目。
均值不等式是数学中常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在解题过程中，我们可以使用不等式的性质和特点来帮助求解。
一、算术平均值和几何平均值
1. 题目：已知两个正数a和b，证明：(a + b) / 2 ≥ √(ab)
解析：这是算术平均值和几何平均值不等式的基本形式，根据不等式的性质，我们可以将等式两边平方，然后进行变形和推导，最终得到证明结果。
2. 题目：已知n个正数a1, a2, ..., an，证明：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
解析：这是n个正数的算术平均值和几何平均值不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
先证明n=2的情况，然后假设n=k成立，再推导n=k+1的情况，最终得到证明结果。
二、均值不等式的应用
1. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)² / 4 ≥ ab
解析：这是均值不等式的应用题，我们可以使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
2. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)³ / 8 ≥ a²b
解析：这是均值不等式的应用题，同样使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
以上题目只是一部分均值不等式的练题目，通过练以上题目，可以加深对均值不等式的理解和运用能力，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
高考考前复习均值不等式典型题汇编
高考考前复习均值不等式典型题汇编【典型例题】例1、若x 、y +∈R ，求4()f x x x=+)10(≤<x 的最小值。
例2、已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
例3、已知正数x y 、满足3xy x y =++，试求xy 、x y +的范围。
例4、 求函数221632y x x =++的最小值.例5、已知0,0x y >>，且满足3212x y +=，求lg lg x y +的最大值.例6、 已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.例7、 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 例8、已知0,0x y >>且22283y x +=求.例9、求函数25y x =+的最大值.【高考题汇编】例1、（重庆理，2005）若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是【 】 A ．3 B ．27 C ．4 D ．29例2、（天津文，2009） 设yx b a b a b a R y x yx11,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为【 】A. 2B.23 C. 1 D. 21 例3.（福建文，2011）若0,0>>b a ,且函数224)(23+--=bx ax x x f 在1=x 处有极值，则ab 的最大值等于【 】A.2 B ．3 C ．6 D ．9例4、（重庆文，2011）若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在x a =处取最小值，则a =【 】 A.21+ B ．31+ C ．3 D ．4例5、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.例6、函数1(3)3x x x +>-的最小值为【 】 A. 2B. 3C. 4D. 5例7、函数232(0)x x x+>的最小值为【 】A. B. 例8、（天津文，2011）已知22log log 1a b +≥，则39ab+的最小值为__________.例9、（重庆文，2009）已知0,0a b >>，则11a b++ 】A.2 B ．．4 D ．5 例10、（四川理，2009）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是【 】A.2B.4C.5 例11、（重庆文，2005）若y x y x -=+则,422的最大值是 .例12、（福建理，2005）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是【 】A ．22-B ．335-C ．3-D ．27-例13、设,x y 是实数，且224,x y +=则22xyS x y =+-的最小值是【 】A.2-B.C. 2-1)例14、已知实数,,0a b c >满足9,24,a b c ab bc ca ++=++=,则b 的取值范围为例15、（重庆理，2011）已知2,0,0=+>>b a b a ，则14y a b=+的最小值是【 】 A.72 B ．4 C ．92D ．5例16、（天津理，2009）设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 【 】A. 8B. 4C. 1D.14例17、已知,,a b c 都是正实数，且满足93log (9)log a b +=4a b c +≥恒成立的c 的取值范围是【 】A.4[,2)3B. [0,22)C. [2,23)D. (0,25]例18、（重庆文，2010）0t >已知，则函数241t t y t-+=的最小值为__________.例19、（湖北文，2004）已知4254)(,252-+-=≥x x x x f x 则有【 】A ．最大值45 B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值1 例20、（浙江理，2011）设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 .例21、(重庆文，2004)已知()2320,0x y x y+=>>,则xy 的最小值是 . 例22、（重庆理，2007）若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为【 】A.15 B ．4 C ．5 D ．2例22、（重庆文，2006）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是【 】A. B. 3 C. 2例23、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222a b c ++最小值为【 】A.12 B. 13 C. 14D. 15 例24、若,,1a b R a b +∈+=，则1ab ab+的最小值为【 】 A. 144 B. 142 C. 124D. 2 例25、已知1a b +=，则44a b +的最小值是【 】A. 1B.12 C. 14D. 18例26、已知0,0,01,a b c a b c >>>++=且则222111a b c ++最小值为【 】 A. 12 B. 18 C. 24 D. 27例27、（全国1，2004）,2,2,1222222=+=+=+a c c b b a 则ca bc ab ++的最小值【 】12 B ．12 C ．12- D ．12+例28、（湖南理，2004）设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是【 】 A ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||例29、（陕西理，2006）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为【 】A. 8B. 6C. 4D. 2例30、（全国1理，2008）若直线1x ya b+=通过点()cos sin M αα，，则【 】 A ．221a b +≤B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b+≥例31、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求证：425)1)(1(≥++b b a a . 例32、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++b a。
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析）一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式常见题型版
均值不等式一、根本知识梳理1. 算术平均值：如果a﹑ b∈ R ，那么叫做这两个正数的算术平均值 .+2. 几何平均值：如果a﹑ b∈ R+，那么叫做这两个正数的几何平均值3. 重要不等式：如果a﹑ b∈ R，那么 a2 +b2≥( 当且仅当 a=b 时，取“ =〞 ) 均值定理：如果a﹑ b∈ R ，那么 a b ≥( 当且仅当 a=b 时，取“ =〞)+2均值定理可表达为：4．变式变形：1 ab a2 b2;22a2b; 23 ba ab 0 ;a ba 2b；4 25 2 a2 b2 .5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小〞，即两个正数的和为定值，那么可求其积的最大值；积为定值，那么可求其和的最小值。
注意三个条件：“一正，二定，三相等〞即：〔 1〕各项或各因式非负；〔 2〕和或积为定值；〔3〕各项或各因式都能取得相等的值。
6. 假设屡次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=〞号的一致性。
有时为了到达利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑别离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。
二、常见题型：1、分式函数求最值，如果y f ( x) 可表示为 y mg(x)A B的形式，且g (x) 在定g(x)义域内恒正或恒负， A 0, m 0, 那么可运用均值不等式来求最值。
例：求函数y ax 2 x 1 (x1 0)的最小值。
x 1 且 aax 2 x 1 1 ax xax (1 a) a解： yx 1 axx 1 1xa(x 1)a1 2a 2a 1 2a 1 x 1a当a( x 1) 即 x=0 时等号成立，ymin 1x 112、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
例： a 0, b0,且19 1 ，求 a b 的最小值。
a b解法一： a b 1 9 b 9a 10 2 9 16a b思路二：由191 变形可得 (a 1)(b 9) 9,a 1,b 9, 然后将 a b 变形。
专题03 均值不等式基础方法15类
专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (4)【题型四】“积定求和”型 (6)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (7)【题型六】“常数”因子法： (8)【题型七】“单分母”构造因子法 (9)【题型八】“双分母”构造法 (11)【题型九】有和有积无常数型 (12)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (14)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (15)【题型十二】多元分离型 (16)【题型十三】反解消元型 (18)【题型十四】换元型 (19)【题型十五】较简单的三元均值 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (27)培优第三阶——培优拔尖练 (31)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（ ） A ．x ≥2y B ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >. 故选：B.【提分秘籍】 基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（ ） A ．32B ．42C ．4D ．2【答案】A【分析】利用基本不等式可求出12x x+和12y y +的最小值，相加可得出结果.【详解】由基本不等式得111122222223222x y x y x y x y +++≥⋅⋅ 当且仅当2x =，2y =时等号成立，因此，1122x y x y +++的最小值为32故选A.2.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13 D ．3【答案】C【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】∵a >0，∵19296a a +≥，当且仅当19a a =，即13a =时，等号成立，故选：C【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（ ）A ．22B ．222C ．2D 2【答案】D【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，20x ->， ∵()()11(2)2(2)22222y x x x x =-+≥-⋅=--22x =时等号成立，∵2故选：D.【提分秘籍】 基本规律 对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 222. 若a,b?R，则时取“=”）*a?b?ab2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*a?ba2?b2?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数）一、基本技巧技巧1：凑项例已知x?技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3：利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换例已知x?0,y?0，且19??1，求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34ab11?的最小值为ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项，则8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是．①ab?1；②；③ a2?b2?2；④a3?b3?3；⑤11??ab210.设a＞b＞0，则a?11?的最小值是abaa?b123411.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1，则2x?4y 的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一．均值不等式1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab2. 若a,b?R*，则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”）ab 若a,b?R，则a?b?22aba?b?若a,b?R，则ab??）?? ?2a?b2注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域y＝3x解：y＝3x＋11y＝x＋xx13x ＝∴值域为[，+∞）2x1x· ＝2；x1x· =－2x1≥22x1当x＞0时，y＝x＋≥x11当x＜0时，y＝x＋= －≤－2xx∴值域为解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?54，求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
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均值不等式的常见题型
一 基本习题
2、已知正数a,b 满足ab=4，那么2a+3b 的最小值为( ) A 10 B 12 C 43 D 46
3、已知a ＞0,b ＞0，a+b=1则b
a 11+的取值范围是( ) A ( 2,+∞) B [2,+∞) C (4,+∞) D [4,+∞)
4、设x,y 为正数，(x+y)(+x 1y
4)的最小值为（ ） A 6 B 9 C 12 D 15
5、设+
∈R b a ,，则下列不等式中不成立的是( ) A 4)11)((≥++b a b a B ab ab
b a 22
2≥+ C 21≥+ab ab D ab b a ab ≤+2 6、设0,0>>b a ，则下列不等式中成立的是 （ ） A 221≥++ab
b a B 4)11)((≥++b a b a C b a ab b a +≥+22 D ab b a ab >+2 8、已知下列不等式：①)(233+∈>+R x x x ；②),(322355+
∈+≥+R b a b a b a b a ；③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是( )
A0个 B1个 C2个 D3个
9、已知1,01a b ><<则log log a b b a +的取值范围是（ ）
A (2,)+∞
B [2,)+∞
C (,2)-∞-
D (,2]-∞-
二 有关范围问题
1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .
以及b a +的取值范围 .
2、已知x ＞0,y ＞0且x+2y+xy=30,求xy 的最大值 .
3、已知0,0x y >>且
211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是——————————。
4、问是否存在正整数k ，使不等式
11a b b c k a c
-+-≥-恒成立？如果存在，求出所有k 值；如果不存在，试说明理由。
5、较难：设0a b c >>>，则221121025()
a ac c a
b a a b ++-+-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ．25 D ．5
6、已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求
b
a 11+的最小值
三 典型例题分析
1、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++
b a
2、是否存在常数c ，使得不等式
y x y y x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立，试证明你的结论.
注：考虑y x =的特殊情况.
3、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(
>---z y x
4、若a > b > 0,求)
(162b a b a -+的最小值
5、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值
6、已知x > 0,y > 0,且14
3=+y x ,求xy 的最大值
四求函数的值域或者最值
1、已知3
10<
<x ，求函数)31(x x y -=的最大值
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