二次函数的图象和性质(第1课时 )九年级数学上册课件(人教版)
九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质(第2课时)教案人教版
第1页 共2页 22.1 二次函数的图象和性质
教学时间 课题 22.1 二次函数的图象和性质 课型 新授课
教
学
目
标 知 识
和
能 力 使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。
过 程
和
方 法 使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程
情 感
态 度
价值观 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
教学重点 使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。
教学难点 用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、提出问题
1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?
(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)
2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)
3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?
二、范例
例1、画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点
(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
三、做一做
1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
人教版九年级上册数学：《二次函数y=ax2+k的图象和性质》学案
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．会用描点法画出y＝ax2＋k的图象．
2．掌握形如y＝ax2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．
3．理解二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系．
一、情境导入
在边长为15cm的正方形铁片中间剪去一个边长为x(cm)的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式是什么？它的顶点坐标是什么？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
【类型一】y＝ax2＋k的图象与性质的识别
若二次函数y＝ax2＋2的图象经过点(－2，10)，则下列说法错误的是( )
A．a＝2
B．当x＜0，y随x的增大而减小
C．顶点坐标为(2，0)
D．图象有最低点
解析：把x＝－2，y＝10代入y＝ax2＋2可得10＝4a＋2，所以a＝2，∴y＝2x2＋2，抛物线开口向上，有最低点，当x＜0，y随x的增大而减小，所以A、B、D均正确，而顶点坐标为(0，2)，而不是(2，0)．故选C.
方法总结：抛物线y＝ax2＋k(a≠0)的顶点为(0，k)，对称轴是y轴．
【类型二】二次函数y＝ax2＋k增减性判断
已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )
A．若y1＝y2，则x1＝x2
B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2
D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
解析：如图所示，选项A：若y1＝y2，则x1＝－x2，所以选项A是错误的；选项B：若x1＝－x2，则y1＝y2，所以选项B是错误的；选项C：若0＜x1＜x2，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，所以选项C是错误的；选项D：若x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，所以选项D是正确的．
方法总结：讨论二次函数的增减性时，应对自变量分区讨论，通常以对称轴为分界线．
人教版九年级数学上册教案设计：22.1二次函数的图象和性质第5课时
二次函数的图象和性质第5课时(教案）
教学目标：
1.使学生掌握用配方法把数字系数的二次函数cbxaxy2化成2()+yaxhk的形式，能确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；能画出二次函数一般式的图象，结合图象进一步说出二次函数的性质；能理解二次函数的顶点坐标公式的推导过程，了解二次函数的顶点坐标公式.
2.通过经历把二次函数 cbxaxy2化成2()+yaxhk的形式，体会它们之间的联系以及转化思想，进一步熟悉用配方法解决数学问题；通过图象了解二次函数的性质，体会数形结合的思想；通过具体的例子进行探究，在由特殊到一般归纳规律，体会从特殊到一般的认识事物的过程.
3.通过小组的合作交流，培养学生的合作意识.
重点问题：
用配方法把数字系数的二次函数cbxaxy2化成2()+yaxhk的形式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；画出二次函数一般式的图象，结合图象进一步说出二次函数的性质.
难点问题：
能理解二次函数的顶点坐标公式的推导过程，了解二次函数的顶点坐标公式.
教学准备：教案、课件.
教学方法：小组互助学习，启发式谈话法.
教学过程：
一、复习回顾
1.知识回忆：（1）抛物线2()+yaxhk的对称轴是_________，顶点坐标是___________，当0a时，开口________，当0a时，开口________.
（2）2212____(6)xxx
（3）画函数图象的一般步骤是怎样的？
2.知识小测：（1）抛物线2231yx的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；开口方向是__________；当x= 时y有最 值是 ；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.
（由课件出示以上问题，学生先自主解决，然后小组相互讨论解决情况，教师巡视了解各组的谈论情况.讨论完毕后容易的问题不再讲解，疑难问题集体解决，由能解决的学生进行讲解.）
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质(第3课时)公开课优质教案
22.1 二次函数的图象和性质
教学时间 课题 22.1 二次函数的图象和性质 课型 新授课
教
学
目
标 知 识
和
能 力 使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
过 程
和
方 法 让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
情 感
态 度
价值观 师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦
教学重点 会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系
教学难点 正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、提出问题
1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、分析问题，解决问题
问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?
(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)
问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?
教学要点
1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。
2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．
3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。 解：(1)列表：
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第
教材分析 之前学生已经学过一次函数、反比例函数的图像和性质，以及会建立二次函数的模型和理解二次函数的图像相关概念和性质基础之上进行的。是前面知识的应用和拓展，又为今后学习二次函数的应用及一元二次方程与二次函数之间的关系作预备。充分体现了数形结合的思想，因此本课无论在知识上还是培养学生动手能力上都起了很大的作用。学生已经会了上一节的二次函数图像及性质。
课标要求 会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
学情分析 可能有些学生对二次函数还不理解，甚至还不会描点法画出函数图像，看图能力差，不能类比一次函数的一些观察图像的方法来学习二次函数的图像。不能从图中获取相关的信息。由于放假的原因，学生对上下平移和左右平移的知识有很多淡忘，所以完成本节知识在理解方面会有难点。
教学目标 知识目标：让学生经历二次函数y＝a(x－h)2+k性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系
能力目标：通过画图象独立去探索交流图象的性质培养分析解决问题的能力。能说出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
情意目标：在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2+k的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质。能说出顶点坐标。
教学难点：理解二次函数y＝a(x－h)2+k的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2+k的图象与二次函数y＝ax2关系。
教学手段 导学案
教学方法 问答法、练习法、讨论法 教
学
过
程 1、创设情境：:（组织方法）
复习两个上下平移及左右平移的二次数学图像，对照图像说出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、性质。
详见导学案。 解决哪些教学目标：
在学习中体会知识之间的联系，体会知识的发生发展过程和知识体系。
九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质22.1.3第1课时二次函数y=ax2k的图象和性质分层
第1课时 二次函数y＝ax2＋k 的图象和性质
1．[2017·宜兴市一模]关于二次函数y＝2x2＋3，下列说法正确的是( )
A．它的开口方向是向下
B．当x<－1时，y随x的增大而减小
C．它的顶点坐标是(2,3)
D．当x＝0时，y有最大值是3
2．将二次函数y＝2x2－1的图象沿y轴向上平移2个单位长度，所得图象对应的函数解析式为_________________________________．
3．(1)填表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y＝－2x2 … …
y＝－2x2＋1 … …
y＝－2x2－1 … …
(2)在同一直角坐标系中，作出上述三个函数的图象．
(3)它们三者的图象有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
(4)由抛物线y＝－2x2怎样平移得到抛物线y＝－2x2＋1与y＝－2x2－1?
4．如图2218，两条抛物线y1＝－12x2＋1，y2＝－12x2－1与分别经过点(－2，－1)，(2，－3)，且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(
)
图2218
A．8 B．6
C．10 D．4
5．[2018·玉环市一模]小迪同学以二次函数y＝2x2＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图2219为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为________．
图2219
6．某水渠的横截面的形状呈抛物线，水面的宽度为AB，现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图22110的平面直角坐标系，设坐标原点为O.已知AB＝8 m，设抛物线的解析式为y＝ax2－4.
(1)求a的值；
(2)点C(－1，m)是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD，求△BCD的面积．
图22110
参考答案
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数
22.1二次函数的图象和性质
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
教学设计
第 1 课时
一、教学目标
1．使学生理解二次函数y=ax2＋k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系．
2．会确定二次函数y=ax2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
二、教学重点及难点
重点：
理解二次函数y=ax2＋k的性质及其图象与y=ax2的图象之间的关系．
难点：
正确理解二次函数y=ax2＋k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系以及二次函数y=ax2＋k的性质．
三、教学用具
多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源
《二次函数y=ax2图象与性质的复习》动画，《二次函数y=2x2＋1和y=2x2－1的图象画法》动画，《《二次函数y=2x2＋1和y=2x2－1的图象》图片，《函数2133yx，2123yx》动画）。
五、教学过程
【复习提问】
你能说出二次函数y=ax2的性质吗？
师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．
小结：一般地，抛物线2yax的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2yax，|a|越大，抛物线的开口越小，|a|越小，抛物线的开口越大． 如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫．
【合作探究】
1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y=2x2＋1，y=2x2－1的图象．
师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．
解：（1）列表：
x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
第1页 共20页 21.2 二次函数的图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
教学目标
【知识与技能】
使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.
【过程与方法】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.
【情感、态度与价值观】
使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.
重点难点
【重点】
使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.
【难点】
用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.
教学过程
一、问题引入
1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?
(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)
2.画函数图象的一般步骤是什么?
一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).
3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?
(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)
二、新课教授
【例1】 画出二次函数y=x2的图象.
解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.
第2页 共20页
思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:
(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?
(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?
九年级数学-二次函数的图象和性质
第二十二章 二次函数
第5讲 二次函数的图象和性质
【板块一】二次函数的图象和性质
题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置
【例1】(1)抛物线y＝2x²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数y＝－12(x＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2).
(2)抛物线y＝2x²＋1在x轴的 上 方；当x＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y＝－12(x＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x轴的 下方 ，顶点是 最高点 。
【解析】当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，y＝a(x﹣h)²＋k的顶点坐标为(h，k)，对称轴是直线x＝h；当a＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a＜0时，抛物线的顶点为最高点。
题型二 抛物线的开口大小
【例2】如图，若抛物线y＝ax²与四条直线x＝1，x＝2，y＝1，y＝2围成的正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是( )
A.14≤a≤1 B．12≤a≤2 C.12≤a≤1 D.14≤a≤2
【解析】确定a的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D时，开口最小；抛物线经过点B时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a值分别2，14，∴14≤a≤2.
故选Ｄ．
【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y＝x²；②y＝－12x²，③y＝－2x²的图象，则三个图象I，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③①
.
【解析】当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；当|a|越大，开口越小，当|a|越小，开口越大。故xy12O1 2D CA BxyⅢⅡⅠO抛物线I的解析式为y＝－12x²，抛物线Ⅱ的解析式为y＝﹣2x²；抛抛物线Ⅲ的解析式为y＝x².故填②③①
人教版九年级数学教案：22.1.3二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
二次函数y＝a(x－h) 2＋k的图象和性质
用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。二次函数的图像----抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用。这为学生进一步学习函数、体会函数思想奠定基础和积累经验
知识与技能：
会用描点法画出二次函数y＝a(x－h) 2＋k的图象；
过程与方法：
结合图象确定抛物线y＝a(x－h) 2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；
情感态度与价值观：
通过比较抛物线y＝a (x－h) 2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。
学情分析:
学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点
教学重点：画出形如y＝a (x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。
教学过程
一、复习导入新课
师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。 教材内容分析：
二次函数是最基本的一类初等函数，也是初中数学的重要的内容之一。本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，对函数知识系统的一个完善，也是以后学习高等函数知识的一个基础。因此，本章的内容在学生的知识系统中起着一个承上启下的作用，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所 观察y＝－x2 、 y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2
这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。
师： 同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1