青岛版九年级数学下册5.4 二次函数的图象和性质(第2课时)
下 ，对称轴是y 轴 ，顶点 5.函数y=-2x2+4的图象开口向____ _____ 4 大 坐标是(0,4) _______，当x=____ 时，函数有最 ____值为 ____；当 0 x<0时，y随x的增大而 _______，当x>0时， y随x的增 增大 减小 _______。 直线 x=-1 ， 下 6.函数y =-2(x+1)2的图象开口向 ____，对称轴是 ________ -1 时，函数有最____ (-1,0) ，当x=____ 大 值为____ 0 ； 顶点坐标是_______
y轴
在x轴的下方( 除顶点外) 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
位置
开口方向 增减性 最值 开口大小
当x=0时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=0时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
2 2 1．会画二次函数 y ax + c 与 y a( x h) 的图象；
y-
1 2 x + 1 2
－6
1 2 y- x 2
－4
－2 －2 －4
2
4
y-
1 2 可以看出，抛物线 y - x + 1 的开口向下，对称轴 2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记作
1 2 x + 1 2
－6
y-
1 2 x - 1 2
1 2 x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y - x - 1 2 x= 1 下 的开口向_________ ，对称轴是________________ ，顶点
... ... -3 ... ... 10 2 y=x +1 y=x2-1 ... ... 8 x
2
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
-1
2 0
0 1
-1
1
2 0
2
5 3
3
10 8
... ... ... ... ... ...
y=x2+1
想一想：三条抛物线 有什么关系？
y=x2-1
答：形状相同，位置不同。 三个图象之间通过沿y轴平 移可重合。
开口方向
向上 向上
对称轴
y轴 直线X = h y轴
直线x
顶点坐标
（0，0） （h，0） （0，0）
向下
向下
= -h
（-h，0）
y=
ax2
+k
y = a(x
–h
2 )
上下平移，上加下减
左右平移，左加右减
上下平移 y = ax2 左右平移
2 2 + y a x h ) ( y ax c y ax 2.知道二次函数 及 与
2
的联系；
2 = 3.掌握二次函数 y ax + c 及 2 y a( x h)
的性
质，并会应用.
用描点法画出y=-2x2的图象，并指出它的开 口方向、对称轴以及顶点坐标.
参照下表画出函数y=x2+1与y=x2-1的图象.
< -1 时，y随x的增大而增大，当x> -1 时， y随x的增大 当x_____ _____
而减小. 7.抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2的 _______相同， 形状 位置 不同。抛物线y=3x2-4是由抛物线y=3x2向下 _______ ____平移4 右 ____单位而得到；抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3 x2向____1 平 移____单位而得到.
y=a(x+h)
1 2 y - x + 1 2 －4 －2
y-
a＞0时，开口_____, ____ 点是顶点; 向上 最 低
向下 最 ____ 高 点是顶点; a＜0时，开口_____, 对称轴是 直线x=h ， 顶点坐标 是 (h，0) 。在对称轴左侧（x<h)y随x的….
2
4
－2 －4
可以发现，把抛物线 y -
线 y - 1 x - 12 ． 2
－4
－2 －2 －4 －6
2
4
1 2 y - x + 1 2
y-
1 x - 12 2
1 y - x2 2
当向右平移h时
y=ax2
y=a(x-h)
y=a(x-h)2的图象
2 2
当向左平移h时
1 2 x - 1 2
左 先向
值 为0 .
移2个单
3.顶点坐标为(1,0)，且经过(0,-1)的抛物线的函数解析式是( D ).
C.y=(x–1)2
D. y= –(x–1)2
抛物 上 y轴 ， 4.函数y=2x2的图象是 ______线，开口向 __,对称轴是_____ (0,0) ，当x=___ 0 时，函数有最 小 0 ； 顶点坐标是_______ ____值为____ 减小 在对称轴左侧， y随x的增大而_______ ，在对称轴右侧， y随 x的增大而增大 _______.
结论 上下平移，上加下减
1.二次函数y=x2+c的图象是什么？答：是抛物线 2.二次函数的性质有哪些？请填写下表：
函数
开口方向
对称 顶 点坐 y的 标 轴 最值
y轴 y轴 y轴
（0,0） （0,0） （0,c）
增减性
在对称轴 左侧
在对称 轴右侧 y随x的增
大而增大
y=ax2
a＞0 a＜0 a＞0
向上
抛物线 y=ax2(a>0) y=ax2+k(a >0) y=ax2(a<0)
y=ax2+k(a <0)
开口方向
向上 向上
对称轴
y 轴 y 轴
顶点坐标
（ 0， 0） （ 0 ， k）
向下
向下
y 轴
y 轴
（ 0， 0）
（ 0 ， k）
抛物线
y=ax2(a>0) y=a(x-h)2(a>0) y=ax2(a<0) y=a(x+h)2(a<0)
x
1 x + 12 2 1 2 y - x - 1 2 y-
的图象，
· · ·
－3
－2
1 2
－1
0
1 2 1 2 -
1
2
1 2
3
· · · · · · · · ·
· · · －2
0
－2 －4.5 －8 0
-
· · · －8 －4.5 －2
－2
－4
－2 －2 －4
2
4
y1 2 x - 1 2
( 1 , 0 ) 是_________________ ．
1 2 1 1 2 2 y x 1 与抛物线 y - x 抛物线 y - x + 1 2 2 2
有什么关系？
1 2 x 向左平移1个单位，就得到抛物 2 1 2 1 2 y x 向右平移1个单位，就得到抛物 线 y - x + 1；把抛物线 2 2
1 2 y- x 2
－6
y=a(x+h)2的图象 向上 最 ____ 低 点是顶点; a＞0时，开口_____, 向下 最 ____ 高 点是顶点; a＜0时，开口_____,
对称轴是 直线x=-h ， 顶点坐标是 (-h，0) 在对称轴左侧（x<-h)y随x的增大而…..
y=0.5x2 1.抛物线y=0.5(x+2)2可以由抛物线 位得到. 大 –1 时，s取最 2.已知s= –(x+1)2，当x为 A.y=(x+1)2 B. y= –(x+1)2
向下 向上 向下
最小值 y随x的增 是0 大而减小 最大值 y随x的增 是0
大而增大
y随x的增
大而减小
y=ax2+c
最小值 y随x的增 大而减小 是c y随x的增
大而增大
y随x的增
大而增大
a＜0
y轴
最大值 （0,c） 是c
y随x的增
大而减小
1 1 2 2 y x + 1 , y x 1 画出二次函数 2 2 并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
5.4
二次函数的图象和性质
第2课时
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y ax
2
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=ax2 (a>0) 抛物线
顶点坐标 对称轴
y= ax2 (a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴 在x轴的上方(除顶点外) 向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
青岛版九年级下对函数的再探索二次函数的图象和性质微课
的思想．
检验与反馈
课本练习：课本 36 页练习；
补充练习：
1．将函数 y＝2x2－2 的图象先向___平移___个单位。
学生在画图和练习中，进一步感受二次函
通过学生练
就得到函数 y＝2x2 的图象，再向___平移___个单位得到函 数
习，培养学生运用知识
数
y＝ax2＋k、y＝a(x＋m)2 和二次函数 y＝ax2 的能力，加深对知识的
（3）根据图象，你能得出函数 y＝x2＋1 的图象的性质吗？
4．猜想：函数 y＝x2－2 的图象和 y＝x2 的图象的位置有何 关系？函数 y＝x2－2 的图象有哪些性质？
按照列表、描点、连线的过程画函数图象． y
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
等数学思想的理解．
_________，当 x＝_____时，y 有最______值，是______．
《二次函数的图象和性质（2）》教学设计
教学目标
教学重点 教学难点
1．会用描点法画函数 y＝ax2＋k 和函数 y＝a(x＋m)2 （a≠0）的图象； 2．能用平移变换解释二次函数 y＝ax2＋k．y＝a(x＋m)2 和二次函数 y＝ax2（a≠0）的位置关系； 3．能根据图象认识和理解二次函数 y＝ax2＋k．y＝a(x＋m)2（a≠0）的性质； 4．体会数学研究问题由具．体．到．抽．象．．特．殊．到．一．般．的思想方法．
总结与归纳 思考：（1）由上面的例子，函数 y＝a(x＋m)2 的图象与函数 y＝ax2（a≠0）的图象有什么关系？ （2）函数 y＝a(x＋m)2 有什么性质？
学生先交流、尝试概括，师生共同总结出结论： 通过学生相互交
【青岛版九年级数学下册教案】5.4二次函数的图象和性质(2)
5.4 二次函数的图象和性质（2）教课目标【知识与能力】会用描点法画二次函数y＝ ax2＋c 的图象，并经过图象认识其性质。
能利用描点法画出二次函数 y＝ a( x－ h)2的图象，并能理解它与二次函数y＝ ax2的图象的关系，理解a、 h对二次函数图象的影响【过程与方法】理解a、 c对二次函数图象的影响，能正确说出二次函数y＝ ax2＋ c图象的张口方向、对称轴和极点坐标。
可以正确说出二次函数 y＝ a( x－ h)2图象的张口方向、对称轴和极点坐标。
【感情态度价值观】领悟数形结合的思想方法。
教课重难点【教课要点】22理解二次函数y＝ ax ＋c 的图象与性质，理解抛物线y＝ a( x－ h)的图象与性质。
抛物线的平移规律。
课前准备多媒体教课过程环节 1阅读教材，完成下边练习．【3 min反响】1212 1．认真理解教材 P8 例 2 发现：将抛物线y＝2x向上平移 1 个单位，就获取抛物线y＝2x ＋1.2．将抛物线y＝－13x2向下平移 1 个单位，就获取抛物线y＝－13x2－1.3．函数y＝－ x2＋1，当x＞0时， y 随x 的增大而减小；当x＝0时，函数y 有最大值，最大值是1，其图象与y 轴的交点坐标是(0,1)，与x 轴的交点坐标是(1,0)， ( － 1,0).4．关于函数12y＝2( x－2)，当x＜2时，函数值y 随 x 的增大而减小；当x＞2时，函数值y随 x 的增大而增大；当x＝2时，函数获得最小值0.125．抛物线y＝2( x－ 2) 的张口方向是向上，对称轴是x＝2，极点坐标是(2,0)，可以看作是1 2由抛物线 y＝2x 向右平移2个单位而获取．6．抛物线y＝－1( x＋ 2) 2的张口方向是向下，对称轴是x＝－2，极点坐标是(－2,0)，可以3看作是由抛物线y＝－1x2向左平移2个单位而获取．3环节 2合作研究，解决问题活动 1小组谈论(师生互学)【例 1】抛物线y＝ ax2与 y＝ ax2±c( c>0)有什么关系？【互动研究】 ( 引起学生思虑 ) 画出函数图象，观察这两个抛物线之间的关系．【解答】 (1) 抛物线y＝ax2±c的形状与y＝ax2的形状完整同样，不过地址不一样；(2) 抛物线y＝ax 2向上平移c个单位2＋c；――→y＝ ax抛物线 y＝ax 2向下平移c个单位2――→y＝ ax － c.【互动总结】 ( 学生总结，老师评论) 抛物线y＝ax2的上下平移规律：上加下减常数项的绝对值．【例 2】已知抛物线y＝( a－2) x2＋ a2－2的最高点为(0,2)，求 a 的值．【互动研究】 ( 引起学生思虑 ) 抛物线y＝ ( a－ 2) x2＋a2－2的最高点为 (0,2) ，那么a－ 2<0，且 a2－2＝2.【解答】∵抛物线y＝( a－2) x2＋a2－2的最高点为(0,2) ，a－2<0，∴a2－2＝2.解得 a＝－2.【互动总结】 ( 学生总结，老师评论) 假如二次函数y＝ ax2＋ c 的图象有最高点，那么a＜0；最高点的纵坐标为，即最高点的坐标为 (0 ，) ．c c活动 2牢固练习(学生独学)1．若二次函数y＝(3 m－6)x2－1的张口方向向下，则 m的取值范围为( B )A．＞2B．＜2m mC．m≠2D．m＞－ 22．若二次函数y＝ a1x2与二次函数y＝ a2x2＋3图象的形状完整同样，则a1与 a2的关系为( A )A．a1＝a2B．a1＝－a2C．a1＝±a2D．没法判断3．将二次函数y ＝－ 2 2－ 1 的图象向下平移 5 个单位获取的抛物线的极点坐标为( A ) xA． (0 ，－ 6)B． (0,4)C． (5 ，－ 1)D． ( －2，－ 6) 4．求吻合以下条件的抛物线y＝ ax2－1的函数关系式：(1)经过点 ( － 3,2) ；(2)与 y＝1x2的张口大小同样，方向相反．2解： (1)y ＝12－ 1.3x1(2) y＝－x2－1.2活动 3拓展延伸 ( 学生对学 )【例 3】已知二次函数y＝ ax2＋ c，当 x 取 x1、x2( x1≠x2， x1、 x2分别是 A、B 两点的横坐标)时，函数值相等，则当x 取 x ＋x时，函数值为 ()12A．a＋c B．a－cC．－c D．c【互动研究】二次函数y＝ax2＋ c 的图象关于 y 轴对称．∵当x 取 x1、 x2( x1≠ x2，x1、x2分别是 A、 B两点的横坐标)时(如图)，函数值相等，∴ x1＋x2＝0，∴当 x＝ x1＋x2，即 x＝0时，函数值为 c，应选项D正确．【答案】 D【互动总结】 ( 学生总结，老师评论) 二次函数y＝ ax2＋ c 的图象关于y 轴对称，当x 取 x1、x2( x1≠x2)时，函数值相等，那么x1与 x2互为相反数．活动 4 小组谈论 ( 师生互学 )12【例1】极点为 ( － 2,0) ，张口方向、形状与函数y＝－2x的图象同样的抛物线的分析式为()A．y12)2＝ ( x－212B．y＝2( x＋2)C．1x ＋ 2)2＝－ (y212D．y＝－2( x－ 2)【互动研究】( 引起学生思虑 ) 由于抛物线的极点在x 轴上，因此可设该抛物线的分析式为y 22121＝a( x＋ h)( a≠0) ．而二次函数y＝a( x＋h)( a≠0) 与y＝－2x的图象同样，因此 a＝－2.121由于抛物线的极点为 ( － 2,0)，因此 h＝2.把 a＝－2， h＝2代入 y＝ a( x＋ h)，得 y＝－2( x ＋2) 2.【答案】 C【互动总结】 ( 学生总结，老师评论 ) 决定抛物线形状的是二次项系数，二次项系数同样的抛物线的形状完整同样．12【例 2】向左或向右平移函数y＝－2x的图象，能使获取的新的图象过点( － 9，－ 8) 吗？若能，央求出平移的方向和距离；若不可以，请说明原由．1212【互动研究】 ( 引起学生思虑) 假设法：设出抛物线y＝－2x平移后的分析式y＝－2( x＋h)→代入点 ( － 9，－ 8) ，求出h→若h存在，则假设成立；反之假设不成立．【解答】能．原由以下：设平移后的函数分析式为12 y＝－2( x＋ h) .1将 x＝－9， y＝－8代入，得－8＝－2(－9＋ h)2，解得 h＝5或 h＝13.因此平移后的函数分析式为y＝－1( x＋5)2或 y＝－1( x＋13)2. 22即平移后抛物线的极点为( －5,0) 或 ( －13,0) ，因此应向左平移 5 或 13 个单位．【互动总结】 ( 学生总结，老师评论个单位长度获取的图象的分析式为) 二次函数y＝ax2( a≠0)的图象向左y＝ a( x± h)2.(或右)平移h( h>0)活动5牢固练习( 学生独学)1．关于二次函数y＝9( x－1)2，以下结论正确的选项是( D )A．y随x 的增大而增大B．当x＞ 0 时，y随x的增大而增大C．当x＝－ 1 时，y有最小值0D．当x＞ 1 时，y随x的增大而增大2．已知抛物线y＝ a( x＋ h)2( a≠0)的极点坐标是( －2,0) ，且图象经过点( － 4,2) ，求a、h 的值．解：∵抛物线y＝ a( x＋h)2( a≠0) 的极点坐标为 ( － 2,0) ，∴h＝2. 又∵抛物线y＝a( x＋2)221经过点 ( － 4,2)，∴ a(－4＋2)＝2，∴a＝2.3．抛物线y＝ax2向右平移 3 个单位后经过点 ( － 1,4) ，求a的值和平移后的函数关系式．解：二次函数23 个单位后的二次函数关系式可表示为2 y＝ax 的图象向右平移y＝ a( x－3) .211把 x＝－1， y＝4代入，得4＝a( － 1－ 3) ，解得a＝4，∴平移后二次函数关系式为y＝4( x 2－3) .活动6拓展延伸( 学生对学)【例3】把函数1y＝2x2的图象向右平移 4 个单位后，其极点为C，并与直线y＝x分别订交于 A、 B 两点(点 A 在点 B 的左侧)，求△ ABC的面积．【互动研究】结合已知，求出A、 B、 C的坐标→依据坐标画出大体图形→求△ABC的面积．【解答】平移后的函数为y1x2C的坐标为 (4,0) ．＝ (－ 4) ，极点2y＝1x－2，解方程组2y＝ x，x＝2，x＝8，得或y＝2y＝8.∵点 A 在点 B 的左侧，∴A(2,2)，B(8,8)，11∴S△ABC＝ S△OBC－ S△OAC＝2OC×8－2OC×2＝12.环节 3课堂小结，当堂达标( 学生总结，老师评论)。
青岛版九年级下册5.4二次函数的图象和性质
《二次函数y= a (x-h)2的图象和性质》（教学设计）一、教学目标1．通过画二次函数y= a (x-h)2 图象体会抛物线的对称性。
2．结合图象观察探索y= a (x-h)2 性质，对比总结与y= ax2 的关系，体会数形结合及转化思想。
3．能利用图象和性质解决有关问题二、教学重点：观察探索二次函数y= a (x-h)2 图象和性质，三、教学难点：利用二次函数y= a (x-h)2图象观察总结性质并运用四、本章的关键：关键在于数形结合思想的建立，理解所学过的二次函数y= a x2的图象及性质五、教学方法：分组合作、启发引导、自主探究、学生展示六、课时安排：一课时七、教学过程环节一【导入新课】师：同学们，我们刚刚学习完了二次函数y= a x2的图象及性质，它是怎样平移得到二次函数y= a x2 + k 的？（学生答）通过沿y轴上下平移而得。
今天我们将学习y= a (x-h)2的图象和性质，猜想会与y= a x2有怎样关系？【板书】《二次函数y= a (x-h)2的图象和性质》师：同学们，下面我们来共同回顾本章所学y= a x 2的图象和性质，学生在黑板上画出草图，师引导学生填写图表并进行点拨1. 注意是研究图象的开口方向，对称轴，顶点坐标2. 对比二次函数y= a x 2 + k 观察顶点的变化。
环节二【课内探究】师：请同学们根据完成的课前延伸的内容，第二题：用描点法.在同一直角坐标系中分别画出221x y -=，21(1)2y x =--和2)1(21+-=x y 的图象.。
两人一组合作，对比完成的图象异同点并有什么疑惑？生反映图象不对称，为什么出现这样情况？师：根据巡视和小组的反映，我选取了几个图象照在白板上，请同学们看看，大家学二次函数y= a x 2时，图象性质左右是对成的，反过来再看你们列表中的数据是关于是对称的，因而图象画出是对称的，大家看怎样修正呢？生说在某个数左、右两边把图象补成对称的，师：结合纠正完善后的图象，类比二次函数y= a x 2学习完成课内探究（一）、（二）题，完成的小组可以展示在黑板和白板上，时间十五分钟。
青岛版九年级数学下册《二次函数的图像与性质》PPT课件(3篇)
1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的 顶点移到原点，则下列平移方法正确 的是（ C ） A、向上平移2个单位 B、向下平移2个单位 C、向左平移2个单位 D、向右平移2个单位
2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向 向上 ， 对称轴是 直线x=3，顶点坐标 是 （3，0） ，抛物线是最 低 点， 当x= 3 时，y有最 小 值，其值为 0 。 抛物线与x轴交点坐标 （3，0） ，与y轴交 点坐标 （0，36）。
2
2个单位
y 1 x2 2
向右-1 平移 y 1 (x 2)2
2个-2 单位
2
顶点(－2,0)
向左平移 2个单位
顶点(0,0)
向右-3 平移 2个-4 单位
顶点(2,0)
直线x=－2
向左平移对称轴:y轴 向右平移 2个单位即直线: x=0 2个单位
直线x=2
一般地,抛物线y=a(x－h)2有如下特点:
得到，当c<0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图
象向 下 平移 |c| 个单位得到，顶点是(0,c)，对
称轴是y轴，抛物线的开口方向由a的符号决定
y 10
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移5 个单位得到；y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移11个单位得到。
（4）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.4 二次函数的图象和性质
初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.4 二次函数的图象和性质【教学目标】通过教材自学，探究二次函数 y=ax2+c 和 y=a(x-h)2的图象与抛物线 y=ax2的关系 能正确说出函数y=a(x-h)2+k 的图象的性质能够应用y=a(x-h)2+k 的图象的性质解题【重点与难点】重点：函数y=a(x-h)2+k 的图象的性质难点：函数y=a(x-h)2+k 的图象的性质的应用课前预习案温故知新1.在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．（1）221x y -=，2212+-=x y ，1212--=x y ；（2）221x y -=，2)1(21+-=x y ，2)2(21--=x y ；课内探究案合作探究：1.填空：（1）3212+-=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 ． （2）2)2(41+=x y 的开口方向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）1)3(22---=x y 顶点坐标是 ，当x 时，函数值y 有最 值，是 ．2．把抛物线2x y -=向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则抛物线的解析式为 ．学以致用：抛物线2)1(-=x y 沿y 轴方向向上或向下平移后，经过点（3，0），则所得抛物线的解析式为 ．【变式拓展】已知二次函数()212--=x y ，（1）当32≤≤x 时，求函数的最值.（2）当30≤≤x 时，求函数的最值.【课堂小结】1. 知识方面：2. 数学思想方法：《课内达标题》 总分10分 得分 .已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线2x y =都相同，对称轴与抛物线2)2(+=x y 相同，且顶点的纵坐标为－1．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求这条抛物线与1+=x y 的两交点坐标及这两点的距离．。
青岛版数学九年级下册5.4《二次函数的图象和性质》教学设计2
青岛版数学九年级下册5.4《二次函数的图象和性质》教学设计2一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.4《二次函数的图象和性质》是本节课的主要内容。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和几何性质的基础上进行讲解的。
本节课的主要目的是让学生了解二次函数的图象特点，以及如何通过图象来分析二次函数的性质。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，为后续学习打下坚实的基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的一般形式和几何性质，对于如何画出二次函数的图象也有了一定的了解。
但是，学生对于如何通过图象来分析二次函数的性质，以及如何运用这些性质来解决问题可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析、归纳等方法，深入理解二次函数的图象和性质，提高他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数的图象特点，掌握二次函数的性质。
2.培养学生观察、分析、归纳的能力，提高他们解决实际问题的能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.二次函数的图象特点2.如何通过图象来分析二次函数的性质3.如何运用二次函数的性质来解决问题五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生观察、分析、归纳二次函数的图象和性质，提高他们解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题2.准备教学PPT3.准备黑板和粉笔七. 教学过程导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“某商店进行促销活动，商品的原价为x元，折扣价为0.8x元。
如果商店希望商品的售价能够覆盖成本，那么折扣价至少应为多少？”让学生思考如何通过二次函数来解决这个问题。
呈现（10分钟）教师通过PPT呈现二次函数的一般形式和几何性质，引导学生回顾已学的知识。
然后，教师通过PPT展示二次函数的图象，让学生观察并分析二次函数的图象特点。
青岛版(新)数学九年级下册 5.4二次函数的图象和性质
青岛版（新）数学九年级下册 5.4 二次函数的图象和性质1. 二次函数的定义二次函数是形如y=ax2+bx+c（a eq0）的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。
二次函数的图象是一个平面曲线，称为抛物线。
抛物线可以开口向上、向下或者是一个平行于 x 轴的线段。
2. 二次函数的图象2.1 平移二次函数的图象可以通过平移来得到不同的位置。
对于二次函数y=ax2+bx+c，平移的规律如下：•左右平移：将y=ax2+bx+c中的x替换为x−ℎ，其中ℎ代表水平方向上的平移量。
正数表示向右平移，负数表示向左平移。
•上下平移：将y=ax2+bx+c中的y替换为y−k，其中k代表垂直方向上的平移量。
正数表示向上平移，负数表示向下平移。
2.2 变形除了平移之外，二次函数的图象还可以通过拉伸、压缩、翻转等操作来得到不同的形状。
•拉伸、压缩：将y=ax2+bx+c中的a替换为ka，其中k是一个正数。
k>1时，函数图象被纵向拉伸；0<k<1时，函数图象被纵向压缩。
•翻转：将y=ax2+bx+c中的a替换为−a，图象将会关于 x 轴翻转。
3. 二次函数的性质3.1 零点二次函数的零点是函数图象与 x 轴交点的横坐标。
对于一般的二次函数y=ax2+bx+c，可以使用求根公式来计算其零点。
求根公式为：$$ x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$其中b2−4ac称为判别式。
当判别式大于零时，二次函数有两个不相等的实数根；当判别式等于零时，二次函数有两个相等的实数根；当判别式小于零时，二次函数没有实数根。
3.2 顶点二次函数的顶点是函数图象的最高点或者最低点。
对于一般的二次函数y=ax2+bx+c，其顶点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = -\\frac{b^2}{4a} + c$。
3.3 对称轴二次函数的对称轴是函数图象的对称轴，它与抛物线的顶点有关。
2019-2020学年九年级数学下册 第5章 对函数的再探索 5.4 二次函数的图像和性质教学课件
数学 九年级下册 青岛版
第5章 对函数的再探索
5.4 二次函数的图像和性质
5.4 二次函数的图象和性质
第1课时
1.知道二次函数的图象是抛物线； 2.会画y=ax2的图象，并能结合图象理解y=ax2的性质.
思考
一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的 图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？
m 1 x， 5
E F
4．已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ ax2，则下面图中，可以成立的是( C )
5．填空：已知二次函数
(1)其中开口向上的有_②__③__⑥__(填题号)； (2)其中开口向下且开口最大的是_⑤___(填题号)； (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后
【规律总结】 二次函数y=ax2的“两关系四对等” 1.a＞0⇔开口向上⇔有最小值⇔
x＞0时，y随x的增大而增大， x＜0时，y随x的增大而减小.
2.a＜0⇔开口向下⇔有最大值⇔ x＞0时，y随x的增大而减小， x＜0时，y随x的增大而增大.
1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系式
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作出 猜想吗？
描点,连线
1y
O
-4 -3 -2 -1
1
-1
-2
-3
-4
23
4x
y=-x2
二次函数y= -x2 的图象是抛物线.
二次函数y= -x2 的图象与y= x2 的图象关于x轴对称，顶点都为原点，但原点是 二次函数y= -x2的最高点，却是 y= x2 的最低点.
青岛版九年级数学下教案 二次函数的图象和性质
5.4 二次函数的图象和性质（4）教学目标【知识与能力】会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并通过图象认识函数的性质。
【过程与方法】掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移规律。
【情感态度价值观】体会数形结合的思想方法。
教学重难点【教学重点】二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质。
【教学难点】二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之间的平移关系。
课前准备无教学过程环节1阅读教材，完成下面练习．【3 min反馈】1．抛物线y＝－3(x＋2)2－4的顶点坐标是(－2，－4)，当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大．2．若抛物线的对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点坐标为(1,0)，则这条抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－3,0).3．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x＝h；顶点坐标是(h，k).4．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与抛物线y＝ax2的形状相同(因为a值相同)，而位置不同．将抛物线y＝ax2上下平移，可得到抛物线y＝ax2＋k(k＞0时，向上平移k个单位；k ＜0时，向下平移－k个单位)，再将抛物线y＝ax2＋k左右平移后，可得到抛物线y＝a(x －h)2＋k(h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移)．环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】关于二次函数y ＝－(x ＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是( ) A ．图象开口向上B ．图象的对称轴是直线x ＝1C ．图象有最低点D ．图象的顶点坐标为(－1,2)【互动探索】(引发学生思考)∵－1＜0，∴函数图象的开口向下，图象有最高点，故A 、C 错误．∵二次函数y ＝－(x ＋1)2＋2的图象的顶点是(－1,2)，∴对称轴是直线x ＝－1，故B 错误，D 正确． 【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数y ＝a (x －h )2＋k 图象的开口方向、最高(低)点由a 决定；对称轴由h 决定；顶点坐标由h 、k 共同决定．【例2】已知关于x 的二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)，且图象过点(1，－3)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)写出它的开口方向、对称轴．【互动探索】(引发学生思考)已知二次函数图象的顶点坐标，设顶点式y ＝a (x －h )2＋k . 【解答】(1)∵二次函数的图象的顶点坐标为(－1,2)， ∴设函数解析式为y ＝a (x ＋1)2＋2. 把点(1，－3)代入解析式，得a ＝－54.故抛物线的解析式为y ＝－54(x ＋1)2＋2.(2)由(1)可得抛物线的开口向下，对称轴为x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)已知二次函数图象的顶点，可以将二次函数的解析式设为y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的形式，再根据题目中的条件，利用待定系数法求出二次函数的解析式．活动2 巩固练习(学生独学)1．对于抛物线y ＝－(x ＋2)2＋3，下列结论中正确结论的个数为( A )①抛物线的开口向下；②对称轴是直线x ＝－2；③图象不经过第一象限；④当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．A ．4B ．3C ．2D ．12．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是( A )3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－4,3)，且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是y ＝－316(x ＋4)2＋3.4．已知二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3.(1)试确定a 、h 、k 的值；(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 图象的开口方向，对称轴和顶点坐标．解：(1)二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线解析式为y ＝a (x －h ＋2)2＋k ＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，－h ＋2＝1，k ＋4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，h ＝1，k ＝－1.(2)由(1)得y ＝a (x －h )2＋k ＝－12(x －1)2－1.故它的开口方向向下；对称轴为直线x ＝1；顶点坐标为(1，－1)． 活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知抛物线y ＝(x ＋h )2＋k 的顶点坐标为(1，－4)． (1)求抛物线与x 轴的两个交点A 、B 的坐标；(2)将抛物线沿y 轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式； (3)写出抛物线关于x 轴对称的抛物线的解析式．【互动探索】(引发学生思考)求出函数解析式→画出函数图象→观察抛物线沿y 轴翻折，沿x 轴翻折后的形状、位置特点→求出解析式．【解答】(1)抛物线y ＝(x ＋h )2＋k 的顶点坐标为(1，－4)．则h ＝－1，k ＝－4. 即函数的解析式是y ＝(x －1)2－4.令y ＝0，则(x －1)2－4＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 则A 、B 的坐标是(－1,0)或(3,0)．(2)∵抛物线沿y 轴翻折，∴顶点坐标是(－1，－4)，则函数的解析式是y ＝(x ＋1)2－4. (3)抛物线关于x 轴对称的顶点坐标是(1,4)，则函数的解析式是y ＝－(x －1)2＋4. 【互动总结】(学生总结，老师点评)二次函数的图象沿y 轴翻折，则开口方向不变，即二次项系数不变，翻折前后的顶点关于y 轴对称；沿x 轴翻折，则开口方向改变，即二次项系数变成相反数，翻折前后的顶点关于x 轴对称． 环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)二次函数y ＝a x －h 2＋k的图象与性质⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧开口方向⎩⎪⎨⎪⎧ 当a >0时，向上当a <0时，向下对称轴——x ＝h顶点坐标——h ，k 增减性⎩⎪⎨⎪⎧ 当a >0时，先减后增当a <0时，先增后减最值⎩⎪⎨⎪⎧ 当a >0时，有最小值k 当a <0时，有最大值k。
初中数学青岛版九年级下册高效课堂资料5.4(2)二次函数的图象和性质-ppt
• 1.抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；当x 时，y随x的增大而 ；当x= 时，y取得最 值，这个值是 .
• 2.将抛物线y＝- （x+2）2向________平移______个单位长度，可得 到抛物线y＝- x2.
• 3.写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相 同的二次函数解析式.
结束寄语下课ຫໍສະໝຸດ !•盛年不重来,一日难再晨, 及时宜自勉,岁月不待人.
5.4 二次函数的图象和性质 学案 第二课时 新城中学
• 学习目标
• 1.会用描点法画二次函数y＝ax2+k，y＝a（ x-h）2的图象，并能根据图象归纳二次函数 的性质.
• 2.掌握二次函数y＝ax2 ，y＝ax2+k，y＝a （x-h）2的图象之间的关系，理解二次函数 图象的平移规律并能正确应用.
• 3.通过动手操作、观察归纳，养成从图象中 抽象概括性质的能力，并在学习中获得成 功的体验.
• 1.抛物线y = ，开口方向向______，对称轴 是直线________，当x=______时有最____ 值,是__________;当x_________时,y随x的 增大而增大，当x_________时,y随x的增大 而减小.