人教版九年级数学上22.1二次函数的图象和性质(第4课时)
2024年人教版九年级数学上册教案及教学反思全册第22章 二次函数(教案)22.1.1 二次函数教案
22.1二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数
一、教学目标
【知识与技能】
1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【过程与方法】
通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一
次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.
【情感态度与价值观】
在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.
【教学难点】
1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；
2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.
五、课前准备课件
六、教学过程
（一）导入新课
如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到池中央，在这条曲线
的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
（出示课件2）
教师问：上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与
以前学习的函数、方程有哪些联系？
（二）探索新知
探究一二次函数的概念
出示课件4：教师问：正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形
的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为.学生答：y=6x2①.
出示课件5：教师问：多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？
如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,可以作条对角线.
学生答：n；（n-3）教师问：多边形的对角线总数为，即.学生答：d=12n(n-3)；d=12n2-32n②
教师强调：②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n
的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
出示课件6：教师问：某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年
增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将
数学人教版九年级上册22.1.4《二次函数y=ax2 bx c的图象和性质》教案.1.4教学设计
《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质。
2.内容解析
在讨论了二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象和性质的基础上，本节课对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c（a≠0）向y=a（x-h）2+k（a≠0）转化，体会知识之间的内在联系。在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a<0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过配方将数字系数的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，并由y=a（x-h）2+k（a≠0）得到二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）能够用配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）转化成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，体会转化的数学思想。
（2）类比y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象性质了解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象性质，体会数形结合的思想。
2.目标解析
达成目标(1)的标志是：
会通过配方法将数字系数的二次函数解析式化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，并能由y=a（x-h）2+k（a≠0）得到y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标和对称轴。
达成目标(2)的标志是：
经历观察y=a（x-h）2+k（a≠0）图象得出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）性质的研究过程，能够说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标等。
三、教学问题诊断分析
在本节课前，学生已经探究过二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象和性质，学生已经有了这方面的学习经验，这对本节课的学习可以起到借鉴作用。面对形如y=ax2+bx+c（a≠0）的二次函数，要想将其转化为y=a（x-h）2+k（a≠0）形式的化归思想是学生学习经验中有所欠缺的。在将y=ax2+bx+c（a≠0）通过配方化为y=a（x-h）2+k（a≠0）时，学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆。
《22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》教案、导学案、同步练习
《22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质》教案
【教学目标】
1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．
3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．
【教学过程】
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.
方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．
第3套人教版初中数学九年级上册22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时 配方法求二次函数解析式
1.掌握用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式以及性质.
3.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.
【重点难点】
1.掌握用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式以及性质.
【新课导入】
1.学习了二次函数的几种特殊形式(1)y=ax2;(2)y=ax2+k;(3)y=a(x-h)2;(4)y=a(x-h)2+k.
2.我们能否将y=ax2+bx+c变形为上述特殊形式,再研究此函数的特征?
【课堂探究】
一、利用配方法把y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式
1.将二次函数y=-x2-2x-2配方后得( D )
(A)y=-(x-1)2-3 (B)y=-(x+1)2-3
(C)y=-(x-1)2-1 (D)y=-(x+1)2-1
2.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为( D )
(A)0,5 (B)0,1 (C)-4,5 (D)-4,1
二、y=ax2+bx+c的图象的画法及性质
3.(2013河南)在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( A )
(A)x<1 (B)x>1
(C)x<-1 (D)x>-1
4.已知二次函数y=-x2+6x-10.
(1)用配方法将它改写成y=a(x-h)2+k的形式;
(2)说出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)画出其图象;
(4)说出其图象与二次函数y=-x2的图象的关系.
解:(1)y=-x2+6x-10
=-(x2-12x+20)
=-(x2-12x+36-36+20)
=-[(x-6)2-16]
=-(x-6)2+8.
(2)∵a=-<0,
初三数学22.1.4 习题课-二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质教案表格版
XX市XXX中学统一备课用纸
科 目 数学 年级 班 级 授课时间
课 题 22.1.4 cbxaxy2的图象和性质 习题课 课 型 新授课
教学目标 1.熟练掌握用配方法、公式法得到二次函数cbxaxy2的顶点式，能画出其图象、得出其性质,并灵活应用其性质解决相关问题；
2.在得出函数cbxaxy2的图象的过程中，体会归纳、数形结合等能力的发展；
3.通过函数cbxaxy2的图象和性质及其应用，体会数学的生活应用性。
教学重点 cbxaxy2的图象与性质
教学难点 cbxaxy2的图象与性质的实际应用
教具准备 多媒体及课件
教学内容及过程 教学方法和手段
一、复习回顾 抛物线cbxaxy2的性质
三、典例解析
例1：填空：(1)二次函数21432yxx的图象是由抛物线_______向___平移___个单位长度，再向___平移___个单位长度得到的. 开口_______；顶点坐标为_________；x=___，y有最____值_____；对称轴是直线_______；
当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大．
(2)二次函数22yxx的图象是由抛物线_______向___平移___个单位长度，再向___平移___个单位长度得到的. 开口_______；顶点坐标为_________；x=___，y有最____值_____；对称轴是直线_______；
当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大．
例2：求抛物线解析式.
(1)将抛物线1212xxy向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是 ．
(2)二次函数y=4x2-24x+26的对称轴为 .
(3)已知抛物线y=3x2-mx-2的对称轴是x=1，则m= .
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1 / 11 二次函数cbxaxy2的图象和性质
要点链接
★二次函数y=ax²+bx+c可配方为：224()24bacbyaxaa，其顶点坐标为（ ， ），对称轴直线是 .
★求抛物线顶点和对称轴的方法：
（1）直接代入顶点公式24(,)24bacbaa，对称轴公式2bxa
（2）将函数y=ax²+bx+c配方成y=a（x-h）²+k的形式得到顶点坐标和对称轴.
★a、b、c与图象的关系：
1.a正负决定抛物线的 ：a＞0时， ；a＜0时， .|a|决定抛物线的开口大小：|a|越大，则 ，|a|越小，则 .
2.a、b同时决定 ：①当b=0时，对称轴是 ；②左同右异，即当a、b同号时，对称轴在 ；当a、b异号时，对称轴在 .
3.c决定抛物线与y轴 ：①当c＞0时，抛物线与y轴交点在 ；②当c＜0时，抛物线与y轴交点在 ；③当c=0时，抛物线经过 .
题型一 直接利用cbxaxy2获取图象信息
例1 下列对于二次函数xxy2的图象描述正确的是（ ）
A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.经过原点 D.在对称轴右侧部分是下降的
【变式训练1】对于二次函数12842xxy下列说法正确的是（ ）
A.图象开口向下 B.顶点坐标是（-1,3）
C.当0x时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线1x 人教版九上数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
2 / 11 题型二 确定抛物线cbxaxy2的解析式
22.1 二次函数的图象和性质(第4课时)
1
课题 22.1 二次函数的图象和性质（第4课时）
课时 1 主备人:张红亮
一、教材内容分析
本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax 2，y = ax 2 + k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函
数图象和性质研究的延续．
二、学情分析
三、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）
四、教学重点
五、教学难点
六、教学方法 自主、合作、探究 七、教具 多媒体
八、教学过程
教师活动 学生活动 设计意图
激情导入 （1）二次函数 y = ax 2，y = ax 2+k 的图象是什么？
（2）它们具有怎样的图象特征和性质？
（3）你是怎么研究的？
展示目标 明确学习目标 2 自主学习 在同一直角坐标系中，画出二次函数
的图象，并探究它们的图
象特征和性质．
通过对二次函数
的探究，你能说出二次函数 的图象特征和性质
吗？
归纳：
一般地，当 a＞0 时，抛物线 的对称轴
是 x = h，顶点是（h，0），开口向上，顶点是抛物线的
最低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随
x 的增大而减小，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而增大．
归纳：
一般地，当 a＜0 时，抛物线 的对称轴
是 x = h，顶点是（h，0），开口向下，顶点是抛物线的
最高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜h 时，y 随
x 的增大而增大，当 x＞h 时，y 随 x 的增大而减小．
3 小组合作
达标测评 例 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池
中心 3 m，水管应多长？
小组评价与总结
这节课你有什么收获？
九、作业： 教科书习题 22.1，第 5 题（2）（3），第 7题（1）． （1，3） y/m
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数yax2+bx+c的图象和性质教案
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数yax2+bx+c的图象和性质教案
1 / 7 年级 九年级 拟授课学校
科目 数学 拟授课班级
主备人 拟授课教师
拟授课时间
教学内容 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
教案课时 1课时 教学准备 多媒体
教学目标 知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象
过程与方法 经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对
称轴和顶点坐标以及性质
情感态度价值观 让学生在数学活动中感受数学思想方法之美
教学重点 用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难点 理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
板书设计
人教版九年级数学上册22.1.4二次函数yax2+bx+c的图象和性质教案
2 / 7 教学过程设计
教 学 过 程 设计意图 个性思考栏
一、我们知道,作出二次函数23yx的图象,通过平移抛物线23yx可以得到二次函数23yx-6x+5的图象.
（一）怎样直接作出函数23yx-6x+5的图象?
2365yxx
提取二次项系数得
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
（二）直接画函数y=ax²+bx+c的图象
1.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2).
2.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
2.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象．
做一做
作出函数221213yxx的图象.
提高学生学习
兴趣，渗透数学
建模思想.
复习待定系数法，为求二次函数的解析式作好铺垫.
体现类比思想，了解求二次函数解析式就是要求什么.
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》教案
1 / 51 第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.1 二次函数
1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3.通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.
4.在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣.
【教学重点】
结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.
【教学难点】
1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；
2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.
一、情境导入，初步认识
问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为 ，y是x的函数吗？
问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他 个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为 ，这里m是n的函数吗？
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 2 / 51 二、思考探究，获取新知
全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=12n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2.
【教学说明】上述活动的目的在于引导同学们能通过具体问题情境建立二次函数关系式，体会二次函数是刻画实际生活中自变量与因变量的关系的重要模型之一.
人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2 bx c的图像和性质》教学设计
1
《二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质》教学设计
教材依据
人民教育出版社义务教育教科书《数学》（九年级上册）22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质．
设计思路
一、指导思想
新课程标准指出，义务教育阶段的数学课程应突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生。在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导思想，结合新课标“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展．”的教育理念，设计了二次函数的图像和性质这节课。
二、设计理念
本节课授课班级的学生已经获得的二次函数解析式中待定系数与图象的关系、二次函数图象的性质的基础上学习的，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学过程中重点运用我校的三段两重心教学模式：揭示目标，突破目标，检测目标。使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。这就需要我们在教学的过程中，利用教师的智慧，对教材和资源进行重新整合，并根据具体的学生的环境和接受能力，对课堂教学内容进行合理设2
计，将图象与数量结合到一起、将代数与几何结合到一起解决问题，提高学生在动手操作能力、分析问题能力的过程中，养成认真观察、主动思考的习惯，体会数形结合思想在解题中的优势。从而提高课堂教学的效率。
三、教材分析
本节属于《数学课程标准》（2011年）中“数与代数”领域的内容，课标中明确指出要求学生“会用配方法将数字系数的的二次函数的表达式化为y=a(x-h)²+k的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。”设计本节课是学生在已经学习了二次函数的顶点式的基础上，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为一节课（探究图象及其性质）。二次函数的图象与性质也是中考内容的重点考察之一。
四、学情分析
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，只是像单调性、对称性、零点这种性质还没有规范，课本给出的例题对于学生来说非常熟悉。本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。 3