正弦函数、余弦函数的性质-高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)
高一数学人教A版(2019)必修第一册教案：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 (1)
中学教育
中学教育 第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
教学设计
一、教学目标
1. 理解正弦函数、余弦函数图象的画法。
2. 借助图象变换，了解函数之间的内在联系。
3. 通过三角函数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象。
二、教学重难点
1. 教学重点
正弦函数、余弦函数的图象。
2. 教学难点
利用单位圆画出正弦函数的图象；正弦函数与余弦函数图象之间的关系。
三、教学过程
1. 新课导入
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式,,来表示。这说明，自变量每增加（减少），正弦函数值、余弦函数值将重复出现。利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程。
2. 探索新知
下面先研究的图象，从画函数的图象开始。
如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A(1，0)。在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0.由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图像上的点T0(x0,sinx0). 中学教育
中学教育
若把x轴上从0到这一段分成12等份，使x0的值分别为0, ,,,…,,它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T0(x0,sinx0)的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点。
事实上，利用信息技术，可使x0在区间上取得足够多的点T(x0,sinx0)，再将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数的图象。
由诱导公式一可知，函数,且k≠0的图象与的图象形状完全一致。因此将函数的图象不断向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数的图象。
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。如图所示：
高一数学人教A版必修第一册教案：5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第二课时) Word版含答案
高中数学讲义
1 第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）
教学设计
一、教学目标
1. 借助图象理解正弦函数、余弦函数的单调性和最值。
2. 运用整体代换的思想，令，借助y=sin t，y=cos t的性质研究函数,的性质。
3. 掌握正弦函数、余弦函数的单调性，会求最大（小）值。
二、教学重难点
1. 教学重点
正弦函数、余弦函数的性质
2. 教学难点
理解正弦函数、余弦函数的性质
三、教学过程
1. 新课导入
由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期区间(如[])上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域。
2. 探索新知
观察图象，可以看到：当x由增大到时，曲线逐渐上升，sinx的值由-1增大到1；高中数学讲义
2 当x由增大到时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到-1，sinx的值的变化情况如下表：
这就是说，正弦函数y=sinx在区间[]上单调递增，在区间[]上单调递减。
由正弦函数的周期性可得，正弦函数在每一个闭区间[]上都单调递增，其值由-1增大到1，在每一个闭区间[]上都单调递减，其值由1减小到-1。
类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如[]）上函数值的变化规律，可以得到，
由此可得，函数y=cosx，在区间上单调递增，其值由-1增大到1；在区间上单调递减，其值由1减小到-1。
由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间[]上都单调递增，其值由-1增大到1，在每一个闭区间[]上都单调递减，其值由1减小到-1。
从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；
余弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1。
3. 课堂练习
1．下列函数中，周期为π，且在π4，π2上为减函数的是( )
A．y＝sin2x＋π2 B．y＝cos2x＋π2 高中数学讲义
高一数学人教A版(2019)必修第一册教案：5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)
中学教育
中学教育 第五章 三角函数 5．4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)
教学设计
一、教学目标
1. 了解周期函数、周期、最小正周期的定义。
2. 运用整体代换的思想，令，借助y=sin t，y=cos t的性质研究函数,的性质。
3. 掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性，会判断简单函数的奇偶性。
二、教学重难点
1. 教学重点
正弦、余弦函数周期性和奇偶性。
2. 教学难点
准确理解周期函数、最小正周期的意义。
三、教学过程
1. 新课导入
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的那些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有那些性质？
2. 探索新知
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等。另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别重要的。
观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映，即自变量x的值增加整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等。数学上，用周期性这个概念来定量的刻画这种“周而复始”的变化规律。
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。 中学教育 中学教育 周期函数的周期不止一个。例如，，，，…以及，，，…都是正弦函数的周期。事实上，且，常数都是它的周期。
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是。
类似地，余弦函数也是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是。
高一数学人教A版必修第一册教案：5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第一课时) Word版含答案
高中数学讲义
1 第五章 三角函数
5．4 三角函数的图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)
教学设计
一、教学目标
1. 了解周期函数、周期、最小正周期的定义。
2. 运用整体代换的思想，令，借助y=sin t，y=cos t的性质研究函数,的性质。
3. 掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性，会判断简单函数的奇偶性。
二、教学重难点
1. 教学重点
正弦、余弦函数周期性和奇偶性。
2. 教学难点
准确理解周期函数、最小正周期的意义。
三、教学过程
1. 新课导入
类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的那些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有那些性质？
2. 探索新知
根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等。另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别重要的。
观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映，即自变量x的值增加整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等。数学上，用周期性这个概念来定量的刻画这种“周而复始”的变化规律。
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，高中数学讲义
2 都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。
周期函数的周期不止一个。例如，，，，…以及，，，…都是正弦函数的周期。事实上，且，常数都是它的周期。
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是。
类似地，余弦函数也是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数两角和与差的正弦余弦正切公式讲义
最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
知识点一 两角和的余弦公式
cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．
知识点二 两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和
的正弦 S（α＋β） sin（α＋β）＝
sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R
两角差
的正弦 S（α—β） sin（α—β）＝
sin_αcos_β—cos_αsin_β α，β∈R
错误! 公式的记忆方法
（１）理顺公式间的联系．
C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）
（２）注意公式的结构特征和符号规律．
对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．
对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），
sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），
cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），
cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．
知识点三 两角和与差的正切公式
名称 公式 简记符号 使用条件
两角和
的正切 tan（α＋β）＝
错误! T（α＋β） α，β，α＋β≠
kπ＋错误!（k∈Z）
两角差
的正切 tan（α—β）＝
错误! T（α—β） α，β，α—β≠
kπ＋错误!（k∈Z）
错误! 公式T（α±β）的结构特征和符号规律
（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．
（２）
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[教材解难]
１．教材P２１7思考
能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．
２．教材P２１9思考
成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.
高中数学必修第一册人教A版(2019)5 《三角函数的概念》课标解读
《三角函数的概念》课标解读
教材分析
三角函数的概念是整个三角函数部分的重要基础知识，在教材内容上起到一个承上启下的作用，对三角函数的整体学习至关重要，同时也是为平面向量、解析几何等内容的学习做必要的准备.
三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想.三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用.
本节内容所涉及的主要核心素养有数学抽象、直观想象、逻辑推理及数学运算等.
学情分析
学生在前面学习了函数的概念，以及任意角与弧度制，具备了学习三角函数的概念的基础知识，同时高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立解决问题，具有一定的能力基础.
学生熟悉的函数是实数到实数的对应，这里给出的函数首先是实数（弧度数）到点的坐标的对应，然后才是实数（弧度数）到实数（横坐标或纵坐标）的对应，学生在理解上可能会有一定的困难.
教学建议
利用多媒体工具，可以很容易地建立起角的终边和单位圆的交点坐标的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，提升学生直观想象素养，增强趣味性.另外，教师要引导学生通过自己的思维活动得出教材中“探究”栏目里问题的结论，提升学生的逻辑推理与数学运算素养.
第1课时 三角函数的概念
学科核心素养
目标与素养 借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，会求具体弧度的三个三角函数值，在知识的探究过程中促进学生数学抽象、直观想象、逻辑推理素养的发展，达到水平二的要求.
情境与问题
先复习前面学过的函数和弧度制的概念，之后让学生思考如何刻画圆周运动中点的位置变化，引出用三角函数表示这种运动关系的需求，导入新课学习.
高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)
.正弦、余弦、正切函数图象和性质
函
数 正弦函数y sinx,x R 余弦函数y cos x, x R 正切函数 y tan x, x k 一 2
有
界
性 有界 有界 无界
士 7E
义
域 (,) (,) x | x k — , k Z
2
值
域 [1,1]
当 X — 2k (k Z)时，ymax 1 2
当 x — 2k (k Z)时， 2
ymin 1 [1,1]
当 x 2k (k Z)时，ymax 1
当 x 2k (k Z)时,
ymin 1 (,)
周
期
性 是周期函数，最小正周期 T 2 是周期函数，最小正周期 T 2 T
奇
偶
性 奇函数，图象关于原点对称 偶函数，图象关于 y轴对称 奇函数，图象关于原点对称
单
调
性 在[—2k，- 2k ],(k Z) 2 2
上是单调增函数
在[- 2k ,3— 2k ], (k Z) 2 2
上是单调减函数 在[ 2k ,2 2k ], (k Z)上 是单调增函数
在[2k , 2k ], (k Z)上是单 调减函数 在(一k ,— k ),(k Z)
2 2
上是单调增函数
对
称
轴 x k 一，(k Z) 2 x k ,(k Z)
对
称
中
心 (k ,0) (k Z) (k — ,0) (k Z) 2 k
(y,0) (k Z)
正弦 函数、余弦函数、正切函数的图既
… y
y=sinx :
/c、-5- -2-1 $
3 7
-4 -7 -3 -2 -3 .
T T -1 o \_J 2 5 3、/ 叫
2 T
(2) /(航+如型三角函数的奇偶性
（i ） g （x） = /沏（颜+如（x€ R）
(x)为偶函数匕鼠
U 力（而+ 出=j4sin（-
7T
cos 卯=。=上7T+一1左 e Z）
由此得 2 ,
同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)
（ii）飙# = +劭SwR]
高一数学常用三角函数
高一数学常用三角函数
三角函数是高中数学中的一个重要内容，常用的一些基本三角函数包括正弦函数sin、余弦函数cos、正切函数tan、余切函数cot等。
以下是这些函数的定义和基本性质：
1.正弦函数sin：表示直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，即sinθ=y/r（其中θ为锐角，r为斜边长度，y为对边长度）。正弦函数的值域为[-1,1]，在第一象限内，随着角度的增大而增大；在第二象限内，随着角度的增大而减小。
2.余弦函数cos：表示直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，即cosθ=x/r（其中θ为锐角，r为斜边长度，x为邻边长度）。余弦函数的值域也为[-1,1]，在第一象限内，随着角度的增大而增大；在第二象限内，随着角度的增大而减小。
3.正切函数tan：表示直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，即tanθ=y/x（其中θ为锐角，x为邻边长度，y为对边长度）。正切函数的值域为全体实数，在每个象限内，随着角度的增大而增大。
4.余切函数cot：表示直角三角形中锐角的邻边与对边的比值，即cotθ=x/y（其中θ为锐角，x为邻边长度，y为对边长度）。余切函数的值域也为全体实数，在每个象限内，随着角度的增大而减小。
除了这四个基本的三角函数之外，还有一些其他的三角函数和公式，例如两角和与差的三角函数公式、倍角公式、半角公式等。这些公式可以用来进行三角函数的计算和变换。
6-1.正弦,余弦函数的图象和性质14-2
标 准 教 案
教师姓名：
学
科 数学 第 六 章：三角函数的图象和性质
第 1 节：正弦函数的图象和性质2 教研组长
审批签字
授课时数 4 授课时间 6.3-4 授课班级 08
教材分析 三角函数的图象和性质在数学中具有比较重要的位置。它在许多学科中有着极其广泛的应用。而正弦函数、余弦函数的图象和性质又是三角函数图象和性质的基础。
教学目标 知识目标：使学生掌握正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx的定义域和值域； 正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性和单调性。会求正弦函数和余弦函数的周期、定义域和值域、会判断其奇偶性和会利用其单调性进行比较大小。
能力目标：培养学生形象思维的能力，让学生会由图象进行分析其性质。
思想目标：提高学生的分析问题的能力和形象思维的能力。
重点、难
点和关键 重点： 正弦函数的性质 。
难点： 正弦函数和余弦函数的单调性。
关键： 由图象分析入手引出正弦函数和余弦函数的性质。
授课方式、
方法及手段 讲授法及教学挂图等。
课外作业 教材P 习题1，2，3，4，5，6
教学回顾
教学方法、过程及主要内容 教学意图 时间
板书设计
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）
正弦函数和余弦函数是高中数学中的基础函数，也是三角函数中最常见的函数之一。这两个函数有许多重要的性质，其中包括它们的单调性。
正弦函数是以π/2为周期的函数，表示为y=sin x。在每个周期内，正弦函数分别在x=0、x=π/2、x=π、x=3π/2等点上取得最大值1，同时在x=π/2、x=3π/2、x=5π/2、x=7π/2等点上取得最小值-1。在每个周期内，正弦函数是一个奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)。
因为正弦函数在每个周期内都是周期性的，并且在一个周期内单调递增，所以可以得到以下结论：
当0 综合以上结论，可以得到在[2kπ,2(k+1)π]区间内，当k是奇数时，sin x单调递减；当k是偶数时，sin x单调递增。 总结 正弦函数和余弦函数的单调性是学习三角函数的初学者必须掌握的基础知识。在计算中，可以通过掌握正弦函数和余弦函数的单调性来简化计算，提高计算效率。在实际应用中，也有很多场合需要用到正弦函数和余弦函数的单调性，比如在信号处理、音频处理、图像处理等领域中。因此，正确理解和运用正弦函数和余弦函数的单调性具有十分重要的意义。