完全平方式法因式分解
第2课时 用完全平方公式进行因式分解
解:原式=a(x2+2ax+a2) =a(x+a)2
解:原式=-3(x2-2xy+y2) =-3(x-y)2
能提公因式的，要先提公因式再用完全平方公式进行因式分解
【例4】 利用完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²
(2)原式＝(34＋16)2
=1.
＝2500.
【例5】 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
第十四章 整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时 运用完全平方公式因式分解
1.能够运用完全平方公式进行因式分解（重点）2.能综合运用各种方法进行因式分解（难点）
学习目标
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
1.完全平方式
问题四 这两个多项式有什么共同的特点？
(4m)2
16m2 +8mn+n2；
=(4m+n)2 .
+2•(4m)
+n2
a2 - 2 ab + b2
y2
解:原式=
【例2】分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.
解:原式=(4x)2+2∙4x∙3+32 =(4x+3)2
解:原式=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2∙x∙2y+(2y)2] =-(x-2y)2.
完全平方公式法因式分解
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍， 等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。
因式分解—完全平方公式
因式分解—完全平方公式因式分解是将一个代数式分解为若干个乘积的形式，其中每个乘数都是不可再分解的因子。
因式分解在数学中有着广泛的应用，在解方程、化简表达式、证明定理等方面都是必不可少的工具。
"完全平方公式"是因式分解中一个重要的概念，它可以用来将一元二次三项式分解为两个完全平方的乘积形式。
下面我将详细介绍因式分解的基本概念和完全平方公式的应用。
首先，我们来看一元二次三项式的一般形式：$ax^2+bx+c$。
其中，$a, b, c$都是常数，并且$a \neq 0$。
我们的目标是将这个三项式分解成两个完全平方的乘积形式。
要想将一元二次三项式分解为两个完全平方的乘积形式，我们需要根据一元二次三项式的常数项$c$来判断因式分解的形式。
如果$c$为正数，我们可以将三项式分解为两个完全平方的乘积形式。
否则，当$c$为负数时，我们需要进行配方操作，然后再进一步分解。
首先，我们来看$c$为正数的情况。
在这种情况下，我们可以根据常数项$c$来构造两个因式，使得它们的平方和等于$c$，然后将这两个因式乘到$x$上。
例如，当$c=4$时，我们可以构造两个因式$x+2$和$x-2$，使得$(x+2)(x-2)=x^2-4$。
这样，我们就将$x^2-4$分解为两个完全平方的乘积$(x+2)(x-2)$。
更一般地，当$c$为正数时，我们可以根据常数项$c$的平方根$\sqrt{c}$来构造分解因式。
具体地，我们可以将分解因式设为$(x+\sqrt{c})$和$(x-\sqrt{c})$，然后将它们相乘。
这样，我们就可以将$x^2-c$分解为两个完全平方的乘积$(x+\sqrt{c})(x-\sqrt{c})$。
接下来，我们来看$c$为负数的情况。
在这种情况下，我们首先需要将一元二次三项式进行配方操作。
具体地，我们可以通过将常数项$b$的一半加到$x$的系数上，然后将其整体平方来得到完全平方的形式。
例如，对于三项式$x^2-6x+9$，我们可以将常数项$9$的一半$4.5$加到$x$的系数$-6$上得到$-6+4.5=-1.5$，然后将$-1.5$的平方得到$2.25$。
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
初中八年级数学 因式分解完全平方公式法
12.5.3因式分解（完全平方公式法）教学目标：1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力重点：掌握公式法进行因式分解. 难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底. 学习过程:一、课前导入：1、分解因式学了哪些方法?⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)⑵运用公式法：①a2-b2=(a+b)(a-b)练习把下列各式分解因式①②x4-162．除了平方差公式外，还学过了哪些公式？完全平方式: 用公式法正确分解因式关键是什么？仔细观察，试着发现以上式子所具有的特征：从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.从符号看：平方项符号相同（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）二、讨论探究：四、巩固提高练习填空：（1）a2+ +b2=(a+b)2（2）a2-2ab+ =(a-b) 2（3）m2+2m+ =( ) 2（4）n2-2n + =( ) 2（5）x2-x+0.25=( ) 2 （6）4x2+4xy+( ) 2=( ) 2例题（先观察再因式分解）①x2＋14x＋49 ②③3ax2＋6axy＋3ay2④-x2-4y2＋4xy⑤⑥16x4-8x2＋1判断因式分解正误，并写出正确过程(1）-x2-2xy-y2= -(x-y)2 （2）a2+2ab-b224axax-9)(6)(2++-+nmnm229124baba++2)(ba-=五、总结与反思： 1:、整式乘法的完全平方公式是：2:、利用完全平方公式分解因式的公式形式是：3:、完全平方公式特点：①含有三项；②两平方项的符号同号；③首尾2倍中间项六、检测与提高 1、知识检测：（1）25x 2＋10x ＋1（4）-a 2-10a -25（5）-a 3b 3+2a 2b 3-ab 3 （6）9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2（7）x 2-12xy+36y 2 (8)16a 4+24a 2b 2+9b 4(9) -2xy-x 2-y 2 (10)4-12(x-y)+9(x-y)22、知识提高：（1）若x 2-8x+m 是完全平方式,则m=（2） 若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a=( ) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12（3）提高计算：(y 2 + x 2 )2 - 4x 2y 2 （a+1)2-2(a 2-1) ＋(a-1)2（4）已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,求 x-y 的值2269)2(b ab a +-ab b a 1449)3(22++()2222a b a ab b ±=±+()2222a ab b a b ±+=±)3(492b a b a --22363ay axy ax ++2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-。
用完全平方公式因式分解教案
用完全平方公式因式分解教案一、教学目标1、学生能正确理解并使用完全平方公式因式分解原理；2、能熟练掌握并使用完全平方公式因式分解；3、能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。
二、教学重点1、教育学生正确理解并使用完全平方公式因式分解原理；2、让学生熟练掌握并使用完全平方公式因式分解；3、让学生能够正确使用完全平方公式因式分解解决实际问题。
三、教学内容1、完全平方公式因式分解的概念：完全平方公式因式分解是指把已知的式子按照公式的形式进行因式分解，它将一个多项式分解成多个完全平方式，可以利用此方法减少复杂的运算，求出更简单的表达式，便于解题。
2、完全平方公式因式分解的原理：完全平方公式因式分解的原理是把一个多项式按完全平方的方式分解，因为是平方的变化，所以可以得到输出的式子乘积比输入的式子中的幂次（未分解之前的）总数要少，因而也能得到不那么复杂的结果，更便于进行解答。
3、完全平方公式因式分解的步骤：（1）将多项式分开化简；（2）查看乘积中对称的字母数量；（3）如果有两个就可以分解出平方根；（4）如果只有一个就可以把它们包装成一个平方；（5）将结果拆分成平方根；（6）最后将项按照完全平方的左右结构组合，即完成完全平方公式因式分解。
四、教学方法主要采用讲授法、示范法、讨论法等，使学生运用完全平方公式因式分解解决实际问题，即“先上一道习题，把学生教会讲解，通过几道练习让学生自己解决，通过交流方式归纳总结，使得学生由解答变为分析，从而更好的掌握完全平方公式因式分解的知识。
五、教学设计（1）课前准备：准备若干相关的实际问题供学生讨论解答；（2）课前检测：通过一些随机出的习题，检测学生对完全平方公式因式分解的现有知识水平；（3）概念讲解：讲解完全平方公式因式分解的定义、特征及原理；（4）实例讲解：以实例分析演示完全平方公式因式分解的步骤和思想；（5）讨论练习：准备一些重难点习题，学生分组分析，练习完全平方公式因式分解；（6）总结归纳：学生就讨论的情况发表自己的看法，总结归纳完全平方公式因式分解的方法。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
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合峪中学高效课堂 八年级数学（上册）导学案
1
课题：因式分解(完全平方公式法)（29、30）
授课班级：八年级 授课时间： 授课教师： 审核人：牛晓云 学习目标. 能熟练运用公式将多项式进行因式分解 学习重难点：掌握完全平方公式法进行因式分解.
一自主学习⑴提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)⑵运用公式法： ①a 2-b 2=(a+b)(a-b)
练习 把下列各式分解因式 （1）24
ax ax
- ② x 4-16
二、合作探究（a+b ）2
= (a-b)2
=
2222()a ab b ++=2222()a ab b ++=
从每一项看：都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍. 从符号看：平方项符号相同(即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项)填一填
判断因式分解正误，并写出正确过程
(1)-x 2-2xy-y 2= -(x-y)2 (2)a 2+2ab-b 22
)(b a -= 总结与反思：1:、整式乘法的完全平方公式是： 2:、利用完全平方公式分解因式的公式形式是： 3:、完全平方公式特点：
①含有三项；②两平方项的符号同号；③首尾2倍中间项
三、拓展延伸例题(①x 2
＋14x ＋49
② 9)(6)(2++-+n m n m ③ 3ax 2＋6axy ＋3ay 2
④ -x 2-4y 2＋4xy ⑤229124b ab a ++ ⑥ 16x 4-8x 2＋1
四、堂清反馈1、知识检测：
(1)25x 2＋10x ＋1 2269)2(b ab a +- ab b a 1449)3(2
2++
(4)-a 2-10a -25 (5)-a 3b 3+2a 2b 3-ab 3 (6)9 - 12(a-b) + 4 (a-b)2
(7)x 2-12xy+36y 2 (8)16a 4+24a 2b 2+9b 4 (9) -2xy-x 2-y 2
(10)4-12(x-y)+9(x-y)2
2、知识提高：
(1)若x 2-8x+m 是完全平方式,则m= (2) 若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a=( ) A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12
(3)提高计算：(y 2 + x 2 )2 - 4x 2y 2 (a+1)2-2(a 2-1) ＋(a-1)2
2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+- )3(492b a b a --
(4)已知x 2+4x+y 2-2y+5=0,求 x-y 的值
【课后反思】
()
2
22
2a b a ab b ±=±+()
2
222a ab b a b ±+=±2
2363ay axy ax ++。