第六章_循环码2
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k k+位 + 11 位
由此得到 (n－k) 个监督方程，进而得到 (n－k) 个监督数字的表 示式
Cn−k−1 = Cn−1 + h Cn−2 +⋯+ hk−1Cn−k 1 C n−k−2 = Cn−2 + h Cn−3 +⋯+ hk−1Cn−k−1 1 ⋯ C0 = Ck + h Ck−1 +⋯+ hk−1C 1 1
设
S = (Sn−k−1, Sn−k−2,⋯ S0 )， 到 随 各 量 表 式 , 得 伴 式 分 的 示 ST = H T R
hn−k−1RT Sn−k−1 hn−k−1 Rn−1 hn−k−1 T Sn−k−2 hn−k−2 Rn−2 hn−k−2 T hn−k−2R R = ⋮ ⋮ = ⋮ ⋮ = ⋮ S R h h RT 0 0 0 0 h 0
状态方程与 输出方程
消息 m(x) m0 0 m1 1 m2 0 m3 1 m4 0 m5 0 m6 0
D3=m D2=D3 D1=D2
C=m+ D1+D2
由表6.2可见，当 m(x)=x3 + x时，非系统码字 C(x) 为
C(x)= x6 + x5 +x4 + x
=(x3+x)(x3 + x2 +1)
H T Baidu Nhomakorabea0T C
n−k位 督 字 监 数
式 中
C = (Cn−1,Cn−2,⋯ Cn−k Cn−k−1,Cn−k−2,⋯ C0 )为 意 字 , , 任 码 。
k位 息 字 信 数
H 下 代 用 式 入
0 0 H(n,k) = ⋮ 1
⋯ hk−1 1 ⋯ 1 h ⋯ hk−1 1 0 1 ⋯ h ⋯ hk−1 1 ⋯ ⋮ 1 h ⋯ hk−1 1 0 ⋯ 0 1 ⋯ 0 1 h 1
0=1
2=1
3=1
(x)
(C0 ,C1 ,C2 ,C3C4 ,C5 ,C6)
(x) (m0 ,m1 ,m2 ,m3)
D3
D2
D1
图6.3.13 (7,4)汉明码非系统编码电路(低位在前)
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第六讲 循环码
6.5.1 非系统码编码电路
表 6.2 时钟 t 1 2 3 4 5 6 7 (7,4)非系统循环码编码电路工作过程 移位寄存器内容 D3 0 0 1 0 1 0 0 D2 0 0 0 1 0 1 0 D1 0 0 0 0 1 0 1 码字 C(x) 0 1 0 0 1 1 1 C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
举例：
由 g(x)=(x3+x +1) 作生成多项式所生成的 (7,4) 循环码的编 码电路如图6.16所示。 它包括 3 级寄存器 g1=1，第一级反馈接通； g2=0，到第二级的反馈断开。 每经四次移位，输入一个 四位信息组；寄存器中的 内容即为监督数字； 监督数字跟在信息数字之 后，便构成一个码字。
D0
控制门 时序控制
g1 2
D1 D2
K 输出
1 (x) 图6.3.16 (x)=x3+x+1生成的(7,4)循环码的编码电路
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
(3) 用 k 级移位寄存器实现的编码电路
循环码的监督方程
在 (n－k) 循环码中，若 k <(1/2)n，即信息位比监督位少时， 可采用 k 级移位寄存器的编码电路。 根据线性码的监督方程
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第六讲 循环码
6.6.1 接收矢量伴随式计算
Sn−k−1 = hn−k−1R T Sn−k−2 = hn−k−2R ⋮ S0 = h RT 0
T
输入
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
输出
所 以
S0
S1
S2
S3
图6.2.7 (7,3)码伴随式计算电路
这是前面介绍过的由接收矢量相应分量直接求和计算伴随式的 方法，对所有线性码都适用。 电路是 (n－k) 个多输入的奇偶校验器，每个奇偶校验器的输 入端由 H 阵的相应行 hi 中的1决定（参看图6.7）
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第六讲 循环码
6.6.1 接收矢量伴随式计算
1 1 T T S = H•R = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 R6 R 5 0 R6 + R4 + R3 S3 R4 0 R6 + R5 + R4 + R3 S2 = R3 = R + R + R S1 0 5 1 R2 6 1 R5 + R4 + R0 S0 R 1 R 0
C1×n = m1×k Gk×n
Gk×n = [Ik
GS = [Ik Q ×r ] k Q ×r = (P×k )T k r
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第六讲 循环码 得
6.5.2 系统码编码电路
0 0 ⋮ 1 ⋯ ⋯ ⋯ h 1 0 1 h 1 ⋯
1 1 1
h 1 ⋯ hk−1
Cn−1 h1h ⋯ ⋯ h khk−1 11 ⋮ 1 −1 h 1 ⋯ hk−1 1 C ⋯ hk−1 1 0 n−k T =0 hk−1 1 ⋯ ⋮Cn−k−1 1 0 ⋯ 0⋮ C0
(n,k) 循环码的码多项式为
C(x)=Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+Cn－kxn－k+Cn－k－1xn－k－1+…+C1x+C0
前 k 项系数为信息位，后 r= n－k 项为校验位。 所以 Cn－1xn－1+…+Cn－kxn－k=xn－k(mk－1xk－1+…+m0)=xn－km(x) Cn－k－1xn－k－1+…+C0=rr－1xr－1+…+r0=r(x)
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第六讲 循环码
6.6.1 接收矢量伴随式计算
(1) 根据伴随式定义 ST=HRT 计算伴随式S
设
hn−k−1 hn−k−2 H = ⋮ h 0 , , 其 h (i = n −k −1 n −k −2,⋯0) 中i 表 H 行 量 示 的 矢 。
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
(2) 用 (n－k) 级移位寄存器实现的编码电路
循环码编码电路结构和工作原理
工作原理：二元 (n,k) 循环码的编码是将信息多项式 m(x) 乘 xn－k 后再除以生成多项式 g(x) 求出它的余式，即为监 督数字多项式 r(x)。 二元 (n,k) 循环码的编码电路就是以 g(x) 为除式的除法电 路，而输入的被除式为 xn－km(x) 。 实际的编码电路如图6.15所示。 其级数等于 g(x) 的次数 (n－k) ； 反馈连接决定于 g(x) 的系数 • 当 gi=0 时 (i=0,1,2,…, n－k)，反馈断开； • 当 gi=1 时，对应级加入反馈。
工作过程：
门1开，门2关，k 位信息串行送入 k 级移位寄存器，并同 时送入信道； 门1关，门2开，每移位一次输出一位监督数字，并同时送 入信道，经 (n－k) 次移位，就在 k 位信息数字之后附加上 (n－k) 位监督数字，构成了一个码字。
举例：利用监督多项式构造 (7,3) 循环码的编码电路。
x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 任取一个三次因式为监督多项式 h(x)=x3+x+1 得 h3=1, h2=0, h1=1, h0=1
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
求生成多项式g(x)：分解多项式 (xn+1)，取 (n－k)次 因式作生
成多项式 g(x)，一般可通过查表完成。
(1) 系统码编码的基本原理
利用 g(x) 实现编码
设信息多项式为 设校验多项式为
m(x)=mk－1xk－1+mk－2 xk－2+…+m0 r(x)=rr－1xr－1+rr－2 xr－2+…+r0
6.6.1 接收矢量伴随式计算 6.6.2 循环码的通用译码法
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第六讲 循环码
6.6.1 接收矢量伴随式计算
(1) 根据伴随式定义 ST=HRT 计算伴随式S (2) 用 k 级移位寄存器的伴随式计算电路 (3) 用 n－k 级移位寄存器的伴随式计算电路 (4) 接收字循环移位的伴随式与伴随式循环移位的关系
6.5.2 系统码编码电路
工作过程：
各级移位寄存器清“0”，控制门开； k 位信息数字 mk－1, mk－2,…,m1, m0 依次从末端输入编码电 路；同时送入信道，在每加入一位信息数字时，各级移位 在每加入一位信息数字时， 在每加入一位信息数字时 寄存器移位一次。当 k 位信息数字都输入移位寄存器后， 寄存器移位一次 移位寄存器中 (n－k) 位数字即为监督数字； 控制门关，断开反馈，开关 K 由位置 位置1转到位置 位置2，寄存器 位置 位置 中的存数（监督数字）依次移出，送入信道。k 位信息数 字和 (n－k) 位监督数字组成一个码字。
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
由三级移位寄存器构成的 (7,3) 循环码的编码电路如图 6.18所示。
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第六讲 循环码
6.6 循环码的译码
线性码的译码是根据接收字多项式的伴随式和可纠的错误图 样间的一一对应关系，由伴随式得到错误图样； 循环码是线性码的一个特殊子类，循环码的译码与线性码的 译码步骤基本一致。不过由于循环码的循环特性，使它的译 码更加简单易行； 循环码的译码过程仍包括三个步骤： 接收多项式的伴随式计算； 求伴随式对应的错误图样； 用错误图样纠错。
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
电路如图6.17所示
控制
门2
hk－1 Cn-k-1
Dk-1
hk－2
h2 Cn-2
D2
h1 Cn-1
D1
控制 (x)
Cn-k
Dk
门1 输出
图6.3.17 用 (x)构造的编码电路(k 级)
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
由于被除式中含有因子 xn－k ，使被除式各项的次数都 ≥g(x) 的次数，所以被除式输入端可由第一级移到末级之 后，使移位次数减少 (n－k) 次。这样编一个码字求监督数 字所需的移位次数只要 k 次。
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第六讲 循环码
循环码码式是生成多项式倍式。 非系统编码电路/循环码乘法编码电路
输入 a(x)=m(x)， m(x)的次数 <k 输出 a(x)g(x)=C(x)即是码式，C(x)的次数 <n
举例：生成 (7,4) 汉明码的生成多项式为 g(x)=x3+ x2+1，非系
统编码电路如图6.13所示。电路共工作7个时钟节拍。
第六讲 循环码
第六讲 循环码
6.1 循环码的多项式描述 6.2 循环码的生成多项式 6.3 系统循环码 6.4 多项式运算电路 6.5 循环码的编码电路 6.6 循环码的译码 6.7 循环汉明码 6.8 缩短循环码 6.9 循环码的其它译码方法
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第六讲 循环码
6.5 循环码的编码电路
6.5.1 非系统码编码电路 6.2 系统码编码电路
(1) 循环码编码的基本原理 (2) 用 (n－k) 级移位寄存器实现的编码电路 (3) 用 k 级移位寄存器实现的编码电路
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第六讲 循环码
6.5 循环码的编码电路
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第六讲 循环码
6.5.1 非系统码编码电路
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
监督数字表示式特点
每个监督码元都是由它前面的 k 个码元按同一规律确定的； 第一个监督元 Cn－k－1 是 k 个信息元与 h(x) 的系数决定的； 第二个监督元是前面 (k－1) 个信息元和第一个监督元与 h(x) 的系数决定的； …，如此类推； 最后一个监督元 C0 都按同一规律决定。
由此得到 (n－k) 个监督方程，进而得到 (n－k) 个监督数字的表 示式
Cn−k−1 = Cn−1 + h Cn−2 +⋯+ hk−1Cn−k 1 C n−k−2 = Cn−2 + h Cn−3 +⋯+ hk−1Cn−k−1 1 ⋯ C0 = Ck + h Ck−1 +⋯+ hk−1C 1 1
设
S = (Sn−k−1, Sn−k−2,⋯ S0 )， 到 随 各 量 表 式 , 得 伴 式 分 的 示 ST = H T R
hn−k−1RT Sn−k−1 hn−k−1 Rn−1 hn−k−1 T Sn−k−2 hn−k−2 Rn−2 hn−k−2 T hn−k−2R R = ⋮ ⋮ = ⋮ ⋮ = ⋮ S R h h RT 0 0 0 0 h 0
状态方程与 输出方程
消息 m(x) m0 0 m1 1 m2 0 m3 1 m4 0 m5 0 m6 0
D3=m D2=D3 D1=D2
C=m+ D1+D2
由表6.2可见，当 m(x)=x3 + x时，非系统码字 C(x) 为
C(x)= x6 + x5 +x4 + x
=(x3+x)(x3 + x2 +1)
H T Baidu Nhomakorabea0T C
n−k位 督 字 监 数
式 中
C = (Cn−1,Cn−2,⋯ Cn−k Cn−k−1,Cn−k−2,⋯ C0 )为 意 字 , , 任 码 。
k位 息 字 信 数
H 下 代 用 式 入
0 0 H(n,k) = ⋮ 1
⋯ hk−1 1 ⋯ 1 h ⋯ hk−1 1 0 1 ⋯ h ⋯ hk−1 1 ⋯ ⋮ 1 h ⋯ hk−1 1 0 ⋯ 0 1 ⋯ 0 1 h 1
0=1
2=1
3=1
(x)
(C0 ,C1 ,C2 ,C3C4 ,C5 ,C6)
(x) (m0 ,m1 ,m2 ,m3)
D3
D2
D1
图6.3.13 (7,4)汉明码非系统编码电路(低位在前)
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第六讲 循环码
6.5.1 非系统码编码电路
表 6.2 时钟 t 1 2 3 4 5 6 7 (7,4)非系统循环码编码电路工作过程 移位寄存器内容 D3 0 0 1 0 1 0 0 D2 0 0 0 1 0 1 0 D1 0 0 0 0 1 0 1 码字 C(x) 0 1 0 0 1 1 1 C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
举例：
由 g(x)=(x3+x +1) 作生成多项式所生成的 (7,4) 循环码的编 码电路如图6.16所示。 它包括 3 级寄存器 g1=1，第一级反馈接通； g2=0，到第二级的反馈断开。 每经四次移位，输入一个 四位信息组；寄存器中的 内容即为监督数字； 监督数字跟在信息数字之 后，便构成一个码字。
D0
控制门 时序控制
g1 2
D1 D2
K 输出
1 (x) 图6.3.16 (x)=x3+x+1生成的(7,4)循环码的编码电路
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
(3) 用 k 级移位寄存器实现的编码电路
循环码的监督方程
在 (n－k) 循环码中，若 k <(1/2)n，即信息位比监督位少时， 可采用 k 级移位寄存器的编码电路。 根据线性码的监督方程
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第六讲 循环码
6.6.1 接收矢量伴随式计算
Sn−k−1 = hn−k−1R T Sn−k−2 = hn−k−2R ⋮ S0 = h RT 0
T
输入
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
输出
所 以
S0
S1
S2
S3
图6.2.7 (7,3)码伴随式计算电路
这是前面介绍过的由接收矢量相应分量直接求和计算伴随式的 方法，对所有线性码都适用。 电路是 (n－k) 个多输入的奇偶校验器，每个奇偶校验器的输 入端由 H 阵的相应行 hi 中的1决定（参看图6.7）
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第六讲 循环码
6.6.1 接收矢量伴随式计算
1 1 T T S = H•R = 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 R6 R 5 0 R6 + R4 + R3 S3 R4 0 R6 + R5 + R4 + R3 S2 = R3 = R + R + R S1 0 5 1 R2 6 1 R5 + R4 + R0 S0 R 1 R 0
C1×n = m1×k Gk×n
Gk×n = [Ik
GS = [Ik Q ×r ] k Q ×r = (P×k )T k r
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第六讲 循环码 得
6.5.2 系统码编码电路
0 0 ⋮ 1 ⋯ ⋯ ⋯ h 1 0 1 h 1 ⋯
1 1 1
h 1 ⋯ hk−1
Cn−1 h1h ⋯ ⋯ h khk−1 11 ⋮ 1 −1 h 1 ⋯ hk−1 1 C ⋯ hk−1 1 0 n−k T =0 hk−1 1 ⋯ ⋮Cn−k−1 1 0 ⋯ 0⋮ C0
(n,k) 循环码的码多项式为
C(x)=Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+Cn－kxn－k+Cn－k－1xn－k－1+…+C1x+C0
前 k 项系数为信息位，后 r= n－k 项为校验位。 所以 Cn－1xn－1+…+Cn－kxn－k=xn－k(mk－1xk－1+…+m0)=xn－km(x) Cn－k－1xn－k－1+…+C0=rr－1xr－1+…+r0=r(x)
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6.6.1 接收矢量伴随式计算
(1) 根据伴随式定义 ST=HRT 计算伴随式S
设
hn−k−1 hn−k−2 H = ⋮ h 0 , , 其 h (i = n −k −1 n −k −2,⋯0) 中i 表 H 行 量 示 的 矢 。
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
(2) 用 (n－k) 级移位寄存器实现的编码电路
循环码编码电路结构和工作原理
工作原理：二元 (n,k) 循环码的编码是将信息多项式 m(x) 乘 xn－k 后再除以生成多项式 g(x) 求出它的余式，即为监 督数字多项式 r(x)。 二元 (n,k) 循环码的编码电路就是以 g(x) 为除式的除法电 路，而输入的被除式为 xn－km(x) 。 实际的编码电路如图6.15所示。 其级数等于 g(x) 的次数 (n－k) ； 反馈连接决定于 g(x) 的系数 • 当 gi=0 时 (i=0,1,2,…, n－k)，反馈断开； • 当 gi=1 时，对应级加入反馈。
工作过程：
门1开，门2关，k 位信息串行送入 k 级移位寄存器，并同 时送入信道； 门1关，门2开，每移位一次输出一位监督数字，并同时送 入信道，经 (n－k) 次移位，就在 k 位信息数字之后附加上 (n－k) 位监督数字，构成了一个码字。
举例：利用监督多项式构造 (7,3) 循环码的编码电路。
x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 任取一个三次因式为监督多项式 h(x)=x3+x+1 得 h3=1, h2=0, h1=1, h0=1
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
求生成多项式g(x)：分解多项式 (xn+1)，取 (n－k)次 因式作生
成多项式 g(x)，一般可通过查表完成。
(1) 系统码编码的基本原理
利用 g(x) 实现编码
设信息多项式为 设校验多项式为
m(x)=mk－1xk－1+mk－2 xk－2+…+m0 r(x)=rr－1xr－1+rr－2 xr－2+…+r0
6.6.1 接收矢量伴随式计算 6.6.2 循环码的通用译码法
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第六讲 循环码
6.6.1 接收矢量伴随式计算
(1) 根据伴随式定义 ST=HRT 计算伴随式S (2) 用 k 级移位寄存器的伴随式计算电路 (3) 用 n－k 级移位寄存器的伴随式计算电路 (4) 接收字循环移位的伴随式与伴随式循环移位的关系
6.5.2 系统码编码电路
工作过程：
各级移位寄存器清“0”，控制门开； k 位信息数字 mk－1, mk－2,…,m1, m0 依次从末端输入编码电 路；同时送入信道，在每加入一位信息数字时，各级移位 在每加入一位信息数字时， 在每加入一位信息数字时 寄存器移位一次。当 k 位信息数字都输入移位寄存器后， 寄存器移位一次 移位寄存器中 (n－k) 位数字即为监督数字； 控制门关，断开反馈，开关 K 由位置 位置1转到位置 位置2，寄存器 位置 位置 中的存数（监督数字）依次移出，送入信道。k 位信息数 字和 (n－k) 位监督数字组成一个码字。
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
由三级移位寄存器构成的 (7,3) 循环码的编码电路如图 6.18所示。
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第六讲 循环码
6.6 循环码的译码
线性码的译码是根据接收字多项式的伴随式和可纠的错误图 样间的一一对应关系，由伴随式得到错误图样； 循环码是线性码的一个特殊子类，循环码的译码与线性码的 译码步骤基本一致。不过由于循环码的循环特性，使它的译 码更加简单易行； 循环码的译码过程仍包括三个步骤： 接收多项式的伴随式计算； 求伴随式对应的错误图样； 用错误图样纠错。
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
电路如图6.17所示
控制
门2
hk－1 Cn-k-1
Dk-1
hk－2
h2 Cn-2
D2
h1 Cn-1
D1
控制 (x)
Cn-k
Dk
门1 输出
图6.3.17 用 (x)构造的编码电路(k 级)
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6.5.2 系统码编码电路
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第六讲 循环码
6.5.2 系统码编码电路
由于被除式中含有因子 xn－k ，使被除式各项的次数都 ≥g(x) 的次数，所以被除式输入端可由第一级移到末级之 后，使移位次数减少 (n－k) 次。这样编一个码字求监督数 字所需的移位次数只要 k 次。
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第六讲 循环码
循环码码式是生成多项式倍式。 非系统编码电路/循环码乘法编码电路
输入 a(x)=m(x)， m(x)的次数 <k 输出 a(x)g(x)=C(x)即是码式，C(x)的次数 <n
举例：生成 (7,4) 汉明码的生成多项式为 g(x)=x3+ x2+1，非系
统编码电路如图6.13所示。电路共工作7个时钟节拍。
第六讲 循环码
第六讲 循环码
6.1 循环码的多项式描述 6.2 循环码的生成多项式 6.3 系统循环码 6.4 多项式运算电路 6.5 循环码的编码电路 6.6 循环码的译码 6.7 循环汉明码 6.8 缩短循环码 6.9 循环码的其它译码方法
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第六讲 循环码
6.5 循环码的编码电路
6.5.1 非系统码编码电路 6.2 系统码编码电路
(1) 循环码编码的基本原理 (2) 用 (n－k) 级移位寄存器实现的编码电路 (3) 用 k 级移位寄存器实现的编码电路
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6.5 循环码的编码电路
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6.5.1 非系统码编码电路
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6.5.2 系统码编码电路
监督数字表示式特点
每个监督码元都是由它前面的 k 个码元按同一规律确定的； 第一个监督元 Cn－k－1 是 k 个信息元与 h(x) 的系数决定的； 第二个监督元是前面 (k－1) 个信息元和第一个监督元与 h(x) 的系数决定的； …，如此类推； 最后一个监督元 C0 都按同一规律决定。