第五章循环码的译码-Xidian
循环码的编码和译码
信息编码技术实验艮告三题目：循环码的编码和译码院系：计算机科学与工程学院班级：姓名：学号：【实验目的】1. 通过实验了解循环码的工作原理。
2. 了解生成多项式g(x)与编码、译码的关系。
3. 了解码距d 与纠、检错能力之间的关系。
【实验条件】仪器设备：PC 机，应用软件：Matlab 。
【实验内容］1、编程实现(7,4)系统循环码的编、译码。
已知(7, 4)循环码的生成多项式和校验多项式分别为：£(/)=疋+兀+ 1, h(x) = x 4+x 2+x + U 其生成矩阵和校验矩阵分别为：2、计算出所有的码字集合，可纠错误图样E (X 〉表和对应的错误伴随式表。
【程序代码】% (7,4)系统循环码编码.译码 clc;clear all;close all;n=7;k=4;r=n-k;mx=input ('请输入信息码字:m=\n' ) ; %输入信息码字 gx=[l Oil];x_nk=[l, zeros (1, r)];messg=conv(x.nk> mx); [qx, rxO] =deconv(messg, gx); %模 gx> qx 为所得除式，rxO 为余式 rx=mod (rxO, 2); %将余式rxO 转换为二进制cx=me ssg+rx;%编码码字多项式 c=cx瀚出编码码字 %=====绘图======== fs=1000;ts=l/fs;%fs 为一个单位内的样点 for i=l ：n%以方波形式输出编码码字，一个单位内一个码字for j=l ：fscx.wave ((i-1) *fs+j) =c (i);end endt=O ：ts ：n-ts;1 0 1 1000 0 10 1 1 00 G= 00101 1 0000 10 11 1110100 H = 0 1110 10 0011001%循环码生成多项式 %x* (n-k)> %x*(n-k)*mxplot (t, cx_wave); %以方波形式输出编码码字xlabel ('时间');ylabel C 幅度');title C (7,4)循环码编码输出波形')；axis([0 7 0 1. 2]);%==^ 码===============S=zeros (1, r); 颂始化校验子gx=[l Oil]; %循环码生成多项式Rx=input (*请输入接收码字:R=\n ) ;%接收码字多项式% Rx=[l 0 1 0 1 1 1];R=Rx；繊收码字[nx, SxO]=deconv(Rx, gx); %接收码字多项式除以gx, SxO为余式(十进制) Sx=mod(SxO, 2); %将SxO转换为G (2)域下多项式S=Sx(5:7); %SxO最后3位为检验子if S=[0 0 0] 燈验子二0disp('There is no wrong!'); % 显示接收码字无错E=[0 0 0 0 0 0 0]; %査表得出错误图样为0C=R; %译码输出为接收码字elseif S=[0 0 1] %接收码字第一位r0错dispC1 r0 is wrong!'); % 显示rO 错E=[0 0 0 0 0 0 1]; %査表得出错误图样C=xor (R, E); %译码输出C=R+Eelseif S=[0 1 0] %rl 错disp('rl is wrong!');E=[0 0 0 0 0 1 0];C=xor (R, E);elseif S=[l 0 0] 紐2 错disp('ir2 is wrong!');E=[0 0 0 0 1 0 0];C=xor(R, E);elseif S=[0 1 1] %r3 错dispC1 r3 is wrong!');E=[0 0 0 1 0 0 0];C=xor (R, E);elseif S=[l 1 0] %r4 错disp('r4 is wrong!');E=[0 0 1 0 0 0 0];C=xor (R, E);elseif S=[l 1 1] %r5 错dispC r5 is wrong!');E=[0 1 0 0 0 0 0];C=xor (R, E);elseif S=[l 0 1] %r6 错dispC* r6 is wrong!1);E=[l 0 0 0 0 0 0]; C=xor (R, E);endC %输出译码码字【实验结果】请输入信息码字:[10 110 10]10 110 1 0 1 1请输入接收码字:R 二 [10 11010 110] There is no wrong!C =10 11 0 1 0 1 1 0【实验心得】通过本次实验，我加深了对循环码的1:作原理的理解，也了解了生成多项式 g(x)与编码、译码的关系和码距d 与纠、检错的关系，在动手实验过程中，对知 识点的印象更加清晰，让我的理解更加深刻了。
(完整版)循环码
2、循环码2.1循环码的基本原理 1.定义循环码是满足循环特性的线性分组码，是线性分组码的子类，之所以这样说是因为线性分组码要求所选择的码是线性的，循环码则是在线性分组码的基础之上进一步要求所选择的码具有循环性。
假设C 是一个(n,k)线性码，如果C 中任意一个码字经任意循环移位之后仍然是C 中的码字，那么此码是一个循环码。
循环码具有规则的代数结构，且是自封闭的，因此用多项式来描述更方便。
长度为n 的循环码可用一个n-1次多项式来描述，此多项式称为码多项式，表示如下：(1)左移i 位后的码多项式为(2)码多项式与循环移位后的多项式之间的关系为)1()(c xC(x)1)1(021121-n -+=++⋅⋅⋅++=---nn n n n x c x C x c x c x c x (3)也即是)1m od()()()1(-≡n x x xC x C (4)以此类推，可以得到)1m od()()()(-≡n i i x x C x x C (5)2.循环码的性质(1)GF(q)上的(n,k)循环码中，存在唯一的一个n-k 次首一多项式0111)(g x g x g x x g k n k n k n ++⋅⋅⋅++=-----，每一个码多项式)(x C 都是)(x g 的倍式，即循环码的码多项式)(x C 中次数最低且其常数项为1的码多项式有且仅有一个，为码的生成多项式，记做)(x g 。
循环码C 中的每个码多项式)(x C 都可唯一表示成)()()(x g x m x C =。
(2))(,),(),(),(12x g x x g x x xg x g k -⋅⋅⋅都是生成多项式，他们的线性组合也是生成多项式。
(3)GF(q)上(n,k)循环码的生成多项式)(x g 一定是)1(-nx 的因子。
(4)循环码的生成矩阵H 和校验矩阵H 的正交性可以用多项式表示为1)()(-=n x x h x g 。
循环码的译码
纠错能力与正交一致校验矩阵 的关系
一个线性分组码若在任一位上都能建立J个正交 一致校验和式,则该码能纠正t≤J/2个错误. t≤J/2 大数逻辑译码:当要判断第I位码元处是否发生 错误时,可以根据J个该位的正交一致校验和式 为0的个数来判断,如果为不为0的个数大于J/2 时则该位有错,否则该位正确.
循环码译码算法之一: 伴随式译码
将常数项(或最高项)非零的可纠错误 图案E(x)组成一个集合,计算它们的伴随 式,构成一张表.译码时,先计算出S(x), 然后对其做0, 1, …, n-1次模g(x)移位,得 到Sj(x).比较Sj(x)是否在可译表中,若在, 则得到循环移位j次后的错误图案.
运算量分析
纠t个错的(n,k)线性分组码译码所需错误 图案表大小为
n t
,而纠t个错的(n,k)循
t 1
环码译码所需错误图案表大小为 n 1,
循环码伴随式译码举例
纠一个错的循环码:汉明码
– 共有n种可纠的错误图案,而它们都是 000…001 000…001(伴随式为S0(x))的循环移位.因 S (x) 此它们可以归为一类,即对计算出的S(x)做 0~n-1次模g(x)移位,直到出现S0(x)为止,将 R(x)做相应次移位后最后一位反转,再做剩 余的移位,即得到正确的译码结果.可见伴 随式表可以大大缩小.
线性分组码小结
为了分析和译码的方便而引入线性分组 为了同样的原因引入循环码 为了分析循环码而引入近世代数 循环码是模xn-1剩余类结合代数是的理想 用根定义的循环码 循环码的译码
�
时非变对称DMC中的最大似然准则
对接收矢量R,和一个可能的许用码矢量C,它 们的相应的似然值为∏iP(ri|ci),这里用到了信 道的无记性,再利用非时变性和对称性得 Pcm[(1-Pc)/(M-1)]n,其中m为序列中ri=ci的符号 个数,n为序列中ri≠ci的符号个数,M为符号集 大小;此外根据最大似然准则且在信道容量不 为0的情况下,有Pc >(1-Pc)/(M-1).因此有最小 差错概率的序列就是与R的汉明距离最小的序 列.
循环码编译码实验ppt课件
SE•HT
CP K1 K2
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0
2、封锁性：循环码中任两个码组之和〔模2〕必定为该码组集合中的一个码组。 如 0100110+ 0010010=0110100也为一个码组
〔二〕生成多项式与编译码电路的关系
编码：循环码的码多项式可表示为 到的余式，代表监视位。结论：只需知道
，其中 为 就能构造编码器。
与 相除得
译码：由于 就可以构造一个除法电路，把接纳码组除以 字没有错码，否那么有错码。
数字通讯原理实验 循环码编、译码实
验
指点教师:李冰、梁仕文
一、实验目的
❖ 1. 了解生成多项式g(x)在循环码编码器和译码器之间的关系。 ❖ 2.了解码距与纠、检错才干之间的关系。
二、循环码引见
〔一〕循环码是一类很重要的线性码，具有循环性和封锁性。
1、循环性：循环码中任一码组循环一位〔将最右端的码移至左端〕以后，仍为该 码中一个码组。如0100110为一个码组，那么0010011也为一个码组。
随
发生2个错码
其中一个错码在正交位（e14）上 A3 A2 A1 A0中有三个“1”
式
两个错码均在非正交位上
A3 A2 A1 A0中有两个“1”或0个“1”
修
发生3个错码
超出纠错范围，不研究
正
结论：当三个或以上的正交方程为1时，正交位有 错码，需求纠错；当三个以下的正交方程为1时，
循环码的编码电路6.6循环码的译码6.7循环汉明码
*
*
6.5 循环码的编码电路
*
6.5.1 非系统码编码电路
循环码码式是生成多项式倍式。 非系统编码电路/循环码乘法编码电路 输入 a(x)=m(x)， m(x)的次数 <k 输出 a(x)g(x)=C(x)即是码式，C(x)的次数 <n 举例：生成 (7,4) 汉明码的生成多项式为 g(x)=x3+ x2+1，非系统编码电路如图6.13所示。电路共工作7个时钟节拍。
*
6.5.2 系统码编码电路
*
(2) 用 (n－k) 级移位寄存器实现的编码电路 循环码编码电路结构和工作原理 工作原理：二元 (n,k) 循环码的编码是将信息多项式 m(x) 乘 xn－k 后再除以生成多项式 g(x) 求出它的余式，即为监督数字多项式 r(x)。 二元 (n,k) 循环码的编码电路就是以 g(x) 为除式的除法电路，而输入的被除式为 xn－km(x) 。 实际的编码电路如图6.15所示。 其级数等于 g(x) 的次数 (n－k) ； 反馈连接决定于 g(x) 的系数 当 gi=0 时 (i=0,1,2,…, n－k)，反馈断开； 当 gi=1 时，对应级加入反馈。
*
*
6.6.1 接收矢量伴随式计算
设 E(x) 为 R(x) 的错误图样，那么 R(x)=C(x)+E(x)，由于 C(x)为 g(x) 的倍式，所以
S(x)≡C(x)+E(x)≡E(x) (mod g(x)) 上式表明：伴随式是由错误图样决定的，与具体码字无关。 说明：循环码伴随式的表示式 (6.4) 是由系统码推出的，但由于伴随式仅与错误图样有关，因而对非系统码也是适用的。
工作过程：
x7+1=(x+1)(x3+x+1)(x3+x2+1) 任取一个三次因式为监督多项式 h(x)=x3+x+1 得 h3=1, h2=0, h1=1, h0=1
第5章循环码
性空间， 称为剩余类线性结合代数。
在[n, k]循环码中，码字(an-1, an-2, …, a1, a0) 的多项式：a(x)=an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0， 它 的循环移位一次后所得码字为(an-2, …, a1, an-1)， 相对应的码多项式表示为
问题 如何寻找k维循环子空间？
如何设计[n,k]循环码？
—— 利用多项式和有限域的概念
二、 码的多项式描述
从第二章可知，GF(p)上的所有n重构成一 个 线 性 空 间 Vn ， 其 中 每 个 矢 量 是 分 量 取 自 GF(p)上n重， 若将每个n重和系数取自GF(p)上 的多项式相对应：
定理 5.1.1 以多项式xn-1为模的剩余类线性 结合代数中， 其一个子空间V n，k是一个循环子空 间(循环码)的充要条件是：V n，k是一个理想。
结论：一个循环码是模xn-1多项式剩余类线性结合 代数中的一个理想；反之，其中的一个理想必是一 个循环码。
(Review)引理4.2.2 多项式环Fp[x]中的一切理想均是主 理想。
循环码是线性分组码中最重要的一个子类码，具 有如下性质：
严谨代数结构，性能易于分析；大部分线性码 是循环码；
其循环结构有利于编译码实现； 实际差错控制系统中所使用的线性分组码，几
乎都是循环码。
(Review)定义3.3.1 GF(2)上汉明码的H矩 阵的列， 是由不全为0， 且互不相同的二进制 m重组成。 该码有如下参数： n =2m-1， k =2m1-m， R=(2m-1-m)／(2m-1)， d=3。
y-Chap6
t
S T HRT
(a m0 ) n 1 (a m0 ) n 2 T (a m0 1 ) n 1 (a m0 1 ) n 2 HE m0 2t 1 n 1 ) (a m0 2t 1 ) n 2 (a
0 0 Yt 1 1 0 1 Y1 0 0
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
第五章 循环码的译码
循环码的译码
一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
一、一般译码原理
基本思想与线性分组码类似
C Cx cn1 x E Ex en1 x
n1
n 2
n1
n 2
x snk 1 x nk 1 snk 2 x nk 2 s0 S S
系统循环码的一致校验矩阵H
~ n1 T , ~ n2 H x x
T
三、大数逻辑译码原理
大数逻辑译码
g ( x) x4 x3 x2 1
1 1 H 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
A1 s3 e6 e4 e3 A2 s1 e6 e5 e1 A3 s2 s0 e6 e2 e0
BCH码与RS码
BCH码
定义：给定任一有限域GF(q)及其扩域GF(qm),其中q是素 数或素数的幂，m为某一正整数。若码元取自GF(q)上的 一循环码，它的生成多项式g(x)的根集合R中含有以下d-1 个连续根， {an,an+1,…,an+d-2} 时，则由g(x)生成的循环码为q进制BCH码。 本原BCH码，非本原BCH码
循环码的编译码方法..
循环码的编译码方法..***************** 实践教学****************** 兰州理工大学计算机与通信学院2013年秋季学期《计算机通信》课程设计题目：(15,7)循环码的编译码方法专业班级：通信工程一班姓名：学号：指导教师：成绩：摘要本次课程设计研究的是循环码的编译码方法，在设计过程中，首先要介绍了线性分组码的编码和译码原理，并介绍了循环码的定义及其相关内容；其次给定的生成多项式g?x?求解出了生成矩阵和监督矩阵，并且利用MATLAB编写循环码的编码器和译码器代，实现编码及译码功能；求出该码的最小码距，并分析讨论该码的纠错能力以及在高斯信道下的误码性能。
关键词: 循环码；编码；译码；MATLAB 目录一前言............................................................... ..................................................................... .................................. 1 二循环码编译码的基本原理............................................................... ...................................................................2 循环码的简介............................................................... ..................................................................... ......... 2 循环码的定义............................................................... ....................................................................2 线性分组码与循环码的区别............................................................... ............................................3 循环码的最小码距............................................................... ............................................................ 3 循环码的检纠错能力...............................................................环码编译码原理及过程............................................................... (4)循环码的编译码原理............................................................... ........................................................ 4 循环码编译码的............................................................... (5)三系统分析............................................................... ..................................................................... .......................... 7 循环码编译码方法的实现框图............................................................... ................................................. 7 循环码编译码实现过程............................................................... . (8)四系统设计....................................................................................... 10 生成矩阵和监督矩阵............................................................... . (10)循环码的编码............................................................... ..................................................................... ....... 10 循环码的的译码............................................................... ..................................................................... ... 11 循环码在高斯信道下的误码性能............................................................... ............................................ 13 总结............................................................... ..................................................................... .. (14)线性分组码与循环码的区别线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 循环码的译码
循环码的译码
一般译码原理 捕错译码 大数逻辑译码
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
一、一般译码原理
基本思想与线性分组码类似
~x 0 T modgx
非门
输入R(x) 门
与门 七级缓存
循环汉明码译码电路 (需要14移位)
Example：设计一个由g(x)=x4+x3+1 生成的[15,11]循环汉明码译码电路。
基本要求：需要一个除法电路和一个逻辑电路
要设计逻辑电路，须知道该码可纠正的错误图样及伴随式
汉明码可纠一个错误，只需知道一个错误图样的伴随式
x5 x 2 x 1 mod x3 x 1
循环汉明码译码电路
[7,4,3]循环汉明码的生成多项式为x3+x+1
H ~x 6 T
~x 5 T ~x 4 T
1 1
0 1
1
1
~x 3 T ~x 2 T ~x1 T
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1
伴随式又可由校验矩阵H得到
扩展汉明码的译码 缩短循环码的译码
扩展汉明码的译码
扩展汉明码的码长是8的整数倍。 扩展汉明码d=4，能纠正一个错误同时发现两个错 误。 译码电路主要部分与循环汉明码译码器相同，需 要加上检错电路。
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
wSi x t
其中w(Si(x))是伴随式Si(x)的重量
E x en1 x n1 enk x nk enk 1 x nk 1 e0
若前面k位没有错误，则可用捕错译码实现 若前面k位也有错误，此时伴随式S(x)为：
Sx EP x EI xmodgx EP x SI x
二、捕错译码
基本原理
Sx Rx Ex EI x EP x modgx EI x en1x n1 en2 x n2 enk x nk EP x enk1x nk1 enk2 x nk2 e0
基本原理
若错误集中在校验元的n-k位上，即EI(x)=0, E(x)=EP(x)
N1
t j1
(q
1)
j
n j
11
使得循环码译码器的错误图样识别电路大为简 化， 由原来识别N2个图样减少到N1个
N2
t j1
n j
(q
1)
j
Example:循环码生成多项式g(x)=x3+x+1， 计算E(x)=x6和E(x)=x5的伴随式
x6 x2 1 mod x3 x 1
系统循环码的一致校验矩阵H
H
~x n1
T
,
~x n2
T
,
~x 1
T
,
~x 0
T
(mod g(x))
S
RH T
rn1, rn2 ,
r0
~x ~x
n1 n2
mod
g
x
~x 0
cn1 , cn2 ,
~x ~x
n1 n2
c0
mod gx
en1 , en2 ,
~x ~x
n1 n2
若EI(x)和SI(x)已知，可由此得到EP(x)， 进而确定E(x)= EI(x) +EP(x)，即是修正捕错译码
修正的捕错译码
当循环码的信息比特数k等于n/t或比n/t稍大时，可 采用某种方法，将大部分错误集中在n-k位上，而 把个别错误集中在固定的某几位上，即可实现修正 的捕错译码
固定几位错误
覆盖多项式的数目
对于纠正t个错误的GF(q)上的[n, k]循环码， 当且仅当R<2/t时，覆盖多项式集合必存在。 对于t=2，覆盖多项式{Qj(x)}中，最少的多 项式数目为
j n /(2(n k))
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
S1x xSx modgx
循环码计算伴随式电路的特点
推论：xjR(x)的伴随式Sj(x)≡xjS(x) (mod g(x))， j=0， 1， …， n-1。
而任意多项式a(x)乘R(x)所对应的伴随式 Sa(x)≡a(x)S(x) (mod g(x))
在q进制时， 若码要纠正≤t个错误，
则错误图样代表共有
Sx Ex EP x modgx
此时，伴随式就是错误图样，C’(x)=R(x)-S(x)
可用捕错译码循环码必须满足
1、错误必须集中在任意连续的n-k位上 可利用循环码的特点将错误移到后n-k位上 2、k < n/t 或 t < n/k 或 R < 1/t
பைடு நூலகம்
错误集中在n-k个校验元上的条件
纠正t个错误的GF(q)上的[n,k]循环码，捕错译码 过程中，已把t个错误集中在Ri(x)的最低次n-k 位 以内的充要条件是：
e0
mod
gx
~x 0
~x 0
0
S 如何用多项式表示？
循环码伴随式 可用除法电路实现
Sx Cx Ex Rx Ex modgx
由此可知：循环码的检错电路易于实现。
循环码计算伴随式电路的特点
定理：若S(x)是R(x)的伴随式，R(x)的循环移位 xR(x)的伴随式为S1(x)，则S1(x)是伴随式计算电 路中无输入时右移一位的结果。
大部分错误
修正捕错译码原理
E I x en1 x n1 enk x nk
x nk ek 1 x k 1 enk
x nk Qx SI j x xnk Qxmodgx
修正捕错译码原理
因此，如果能找到一个k-1次多项式Q(x) ，使 错误图样E(x)或E(x)的循环移位在前k位码段 内与Q(x)一致，即可找到最终的错误图样
1、根据接收序列R计算伴随式S=RHT(n-k维向量) 2、根据伴随式S寻找错误图样E 3、根据错误图样E估计码向量C’，
进而计算信息序列
伴随式计算的多项式表示
R R x rn1x n1 rn2 x n2 r0
C C x cn1x n1 cn2 x n2 c0 E E x en1 x n1 en2 x n2 e0 S S x snk 1 x nk 1 snk 2 x nk 2 s0