2016-2017学年广东省普通高中1月学业水平考试数学真题(一) 解析版
广东省广州市南沙区第一中学2016-2017学年高一下学期
南沙第一中学2016级高一下学期第一次统测试题平行班 数学 2017.3.14一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2cos3π=（ ） A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的弧长为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3．与角3π-终边相同的角是（ ）A.56πB.3πC.116π D.35π4 ）A ．12x =B ．6x =C ．3x π=D ．12x π=-5．已知1312sin -=α，且α是第四象限的角，则αtan 的值为（ ） A ．512 B ．512- C ．125 D ．125-6．已知α为第二象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限7．已知α为锐角，且4sin 5α=，则()cos πα-=（ ）． A ．35- B ．35 C ．45- D ．458. 函数1sin 2y x =（ ）A ．在[],ππ-上是增函数B ．在[]0,π上是减函数C ．在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．在[],0π-上是减函数9.为了得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位10.） A ．．()(),k k k Z πππ+∈C11.()0000cos6cos36sin6cos54+=A ．C ． 0 D12.A ．tan α B ．tan 2α C ． 2tan α D ．2tan 2α二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知sin 2cos 12sin cos αααα-=-+，则tan α= ．14．()0cos75-＝________15.定义域为________ 16.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为________三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知4cos ,,tan 5ααα=-求sin 的值。
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案详细解析2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={0,2,4}。
N={1,2,3}。
P={0,3}，则(M∪N)∩P=（）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0}2.函数y=XXX(x+1)的定义域是（）A.(−∞,+∞)B.(0,+∞)C.(−1,+∞)D.[−1,+∞)3.设i为虚数单位，则复数i−1=（）A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i4.命题甲：球的半径为1cm；命题乙：球的体积为πcm³，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知直线l过点A(1,2)，且与直线y=4/3x+1垂直，则直线l的方程是（）A.y=2xB.y=−2x+4C.y=x+1D.y=x−16.顶点在原点，准线为x=−2的抛物线的标准方程是（）A.y²=8xB.y²=−8xC.x²=8yD.x²=−8y7.已知三点A(−3,3)，B(0,1)，C(1,0)，则AB+BC=（）A.5B.4C.13+2D.13−28.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点P(5,−2)，下列等式不正确的是（）A.sinα=−1/5B.sin(α+π)=C.cosα=D.tanα=−3/39.下列等式恒成立的是（）A.(x≠0)log3(x²+1)+log3(2)=log3(x²+3)B.3x(3x²+1)=(3x)²+1C.x/(x²+1)+x/(x²+4)=2x/(x²+2)D.x²/(x²+1)+4x²/(4x²+1)=5(x²+1)/(x²+1)(4x²+1)10.已知数列{an}满足a1=−x/x³=1，且an+1−an=2，其中x≤3，则{an}的前n项之和Sn=（）A.n+1B.n²C.2−1D.211.已知实数x,y,z满足y≤x，则z=2x+y的最大值为（）A.3B.5C.9D.1012.已知点A(−1,8)和B(5,2)，则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A.(x+2)²+(y+5)²=32B.(x+2)+(y+5)=181.(x-2)^2 + (y-5)^2 = 322.(x-2) + (y-5) = 183.A。
[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题
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[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题234522(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)xx ++=+ D.31log 3x x =-10.已知数列{}na 满足11a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ） A. 21n + B.2n C. 21n -D.12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)32x y +++= B. 22(2)(5)18x y +++= C.22(2)(5)32x y -+-= D.22(2)(5)18x y -+-= 13.下列不等式一定成立的是（ ）A.12x x +≥ (0x ≠)B. 22111x x +≥+ (x R ∈)C. 212x x+≤ (x R ∈) D.2560x x ++≥(x R ∈)614.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时,2()sin f x x x=-,则当[0,)x ∈+∞时,()f x =（ ）A.2sin x x+ B. 2sin x x-- C. 2sin x x- D.2sin x x-+15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是7三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=(1)证明: ABC∆为等腰三角形;(2)若a =2, c=3,求sin C 的值.821.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA AB⊥,PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. (1)证明:PA CD⊥;(2)求三棱锥P -ABC 的体积; (3) 证明:AE PCD⊥平面PBCDAE2017年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C【解析】对数函数要求真数大于0, ∴x+1>0即x>-1.3.D【解析】===-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.96.A【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x 轴上,且-=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A【解析】=(3,-2),=(1,-1),+=(4,-3),∴|+|==5.8.D【解析】r===3,sin α=,cos α=,tan α=∴A,B,C正确,D错误,tan α===-.9.D【解析】 A.=(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B【解析】{a n}为公差为2的等差数列,10由S n=na1+d=n+·2=n2.11.C【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(,)=(2,5)半径r===3所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B【解析】A选项:错在x可以小于0; B选项:x2+≥2=2=2≥1,其中≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.15.C【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5【解析】,x,15成等比数列,∴x2=×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2 x+1)最小正周期T===π.18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数: 1 2 3 4选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.19.+=1【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0)离心率:e==长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b===∴椭圆标准方程为+=1.三、解答题20.(1)证明:∵=,=∴=,即tan A=tan B,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C9=4+4-8cos C,∴cos C=∵C∈(0,π),∴sin C>0∴sin C==.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴V=S△ABC·APP-ABC=×AB·BC·sin∠ABC·AP=××2×2×sin60°×2=.(3)证明:∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A∴CD⊥平面APC,又∵AE⊂平面APC∴CD⊥AE由AB=BC=2且∠ABC=60°得△ABC为等边三角形,且AC=2又∵AP=2且E为PC的中点,∴AE⊥PC又∵AE⊥CD,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD.。
2016年-2017年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(全国卷2,参考版解析)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2016年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析一、 选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知集合{123}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =I （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}，【答案】D【解析】由29x <得，33x -<<，所以{|33}B x x =-<<，所以{1,2}A B =I ，故选D. 2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【答案】C【解析】由3z i i +=-得，32z i =-，故选C. 3. 函数=sin()y A x ωϕ+ 的部分图像如图所示，则（A ）2sin(2)6y x π=-（B ）2sin(2)3y x π=-（C ）2sin(2+)6y x π=（D ）2sin(2+)3y x π=【答案】A4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ）323π （C ）8π （D ）4π 【答案】A【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为233，所以球面的表面积为243)12ππ⋅=，故选A.5. 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ）12 （B ）1 （C ）32（D ）2【答案】D【解析】(1,0)F ，又因为曲线(0)ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，所以21k =，所以2k =，选D.6. 圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =（A ）−43 （B ）−34（C ）3 （D ）2 【答案】A【解析】圆心为(1,4)，半径2r =，所以2211a =+，解得43a =-，故选A.7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为28S π=，故选C.8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）710 （B ）58 （C ）38 （D ）310【答案】B【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34【答案】C【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n; 第二次运算，a=2，s=2226⨯+=，k=2，不满足k>n; 第三次运算，a=5，s=62517⨯+=，k=3，满足k>n ， 输出s=17，故选C ．10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 （A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x（D ）y x=【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．11. 函数π()cos 26cos()2f x x x =+-的最大值为 （A ）4 （B ）5（C ）6（D ）7【答案】B【解析】因为2311()2(sin )22f x x =--+，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =时，取最大值5，选B.12. 已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数 y =|x 2-2x -3| 与 y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 【答案】B【解析】因为2(),y |23|y f x x x ==--都关于1x =对称，所以它们交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22m m ⨯=，当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. 【答案】6-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．14. 若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z =x -2y 的最小值为__________.【答案】5-15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________. 【答案】2113【解析】因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin(C)sin cos cos sin 65B A AC A C =+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==.16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+= （I ）求{n a }的通项公式；(II)设nb =[na ]，求数列{nb }的前10项和，其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2【试题分析】（I ）先设{}n a 的首项和公差，再利用已知条件可得1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；（II ）根据{}n b 的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列{}n b 的前10项和．18． (本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（I ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。
广东省阳春市第一中学2016-2017学年高一上学期第一次考试(10月月考)数学试题Word版含答案
数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，{1,3,5,7}A =，{2,4,5}B =，则()U C A B =（） A ．{6,8} B ． {5,7} C ． {4,6,7} D ．{1,3,5,6,8}2.函数()f x =+ ）A ． [1,)-+∞B ．[2,)+∞C ．[1,2]-D ．(1,2)-3.下列函数在(0,)+∞上是增函数的是（ ）A ．1y x = B ．||y x = C ．2y x =- D ．21y x =-+4.下列选项中的两个函数表示同一个函数的是（ ）A ．()f x =2()g x =B ．0(1)1,()f g x x ==C. 2()()f x g x == D ．21()1,()1x f x x g x x -=+=-5.已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为（）A ． 1B ． 2 C. 4 D ．56.已知集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是（） A ． P Q = B ．P Q ⊆ C. P Q ⊇ D ．P Q φ=7.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=（ ）A ． -2B ． 0 C. 1 D ．28.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）A ． 3x y =B ．2(11)y x x =-≤< C. 22,0,0x x x y x x x ⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩D ．22x x y -=-9.集合{,}A a b =，{1,0,1}B =-，从集合A 到B 的映射:f A B →满足()()0f a f b +=，那么这样的映射:f A B →的个数是（ ）A ． 2B ． 3 C. 5 D ．810.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）11.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足：()()xf xg x e +=，则（ ） A ．()2x x e e f x -+= B ．()2x x e e f x --= C. ()2x xe e g x --= D ．()2x xe e g x --= 12.已知()1f x x =+，()2g x x =-，(),()()()(),()()f x f x g x F x g x f x g x <⎧=⎨≥⎩，则()F x 的最值是（ ） A ．有最大值为23，无最小值 B ．有最大值为13-，无最小值 C. 有最小值为13-，无最大值 D ．有最小值为23，无最大值 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数12y x=+-的定义域为 ． 14.有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有 人．15.函数2()26(22)f x x x x =-+-<≤的值域为 ．16.已知函数(21)72(1)()(1)x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨≥⎩在(,)-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）不用计算器化简计算：（1）1013823()27-++； （2）220.53327492()()(0.008)8925---+⨯. 18. （本小题满分12分）已知集合{|32}A x x =-≤≤，集合{|131}B x m x m =-≤≤-.（1）求当3m =时，,AB A B ； （2）若A B A =，求实数m 的取值范围.19. （本小题满分12分） 已知函数21()f x x =. （1）判断并用定义证明函数的奇偶性；（2）判断并用定义证明函数在(,0)-∞上的单调性.20. （本小题满分12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2f x x x =+.（1）求(0)f 的值；（2）求此函数在R 上的解析式；（3）若对任意t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f k t -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数2()23,[2,2]f x x ax x =++∈-.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）若()f x 在区间[2,2]-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）记()f x 在区间[2,2]-上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式及值域.22.（本小题满分12分） 已知函数11()()212x f x x =+-. （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）求证：当0x ≠时，()0f x >.试卷答案一、选择题1-5: ACBCD 6-10: CADBD 11、12：BA二、填空题13. [3,2)(2,)-+∞ 14. 2 15. 9(20,]2- 16. 31[,)82 三、解答题17.（1）原式121233=++=. （2）原式22133284910002()()()279825=-+⨯472171252932599=-+⨯=-+=.（2）由A B A =，得：A B ⊆，则有13312m m -≤-⎧⎨-≥⎩，解得：41m m ≥⎧⎨≥⎩，即4m ≥， ∴实数m 的取值范围为4m ≥.19.（1）()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，它关于原点对称， 且2211()()()f x f x x x -===-，∴()f x 为偶函数. （2）任取12,(,0)x x ∈-∞，且12x x <，则12221211()()f x f x x x -=-2121221()()()x x x x x x +-= ∵120x x <<，∴120x x +<，210x x ->，221()0x x >， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴()f x 在(,0)-∞上为增函数.20.（1）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =（2）设0x <，则0x ->，∴22()()2()2f x x x x x -=-+-=-，又∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即2()()2f x f x x x =--=-+，∴222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩. （3）∵2()2f x x x =+在(0,)+∞上为增函数，且(0)0f =，()f x 为R 上的奇函数，∴()f x 为R 上的增函数，∴原不等式可变形为：22(2)(2)f t t f t k -<-即2222t t t k -<-，对任意t R ∈恒成立，（分离参数法）∴2min (2)1k t t <+=-另法：即220t t k +->，对任意t R ∈恒成立，∴440k ∆=+<解得：1k <-，∴k 的取值范围为(,1)-∞-.21.（1）当1a =-时，22()23(1)2f x x x x =-+=-+ ∵对称轴1[2,2]x =∈-，∴min ()(1)2f x f ==，max ()(2)11f x f =-=.（2）22()()3f x x a a =+-+，对称轴方程为x a =-当()f x 在[2,2]-上单调增时，2a -≤-，即2a ≥ 当()f x 在[2,2]-上单调减时，2a -≥，即2a ≤- 故实数a 的取值范围为：2a ≤-或2a ≥.（3）由（2）知：①当2a ≤-时，()f x 在[2,2]-上递减，∴min ()(2)47f x f a ==+ ②当2a ≥时，()f x 在[2,2]-上递增，∴min ()(2)47f x f a =-=-+ ③当22a -<<时，2min ()3f x a =-+综上：247,2()3,2247,2a a g a a a a a +≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≥⎩22.（1）由210x -≠，得0x ≠∴()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，它关于原点对称 ∴111121()()()()1212212212x x x x f x x x x --=-+=-+=-+--- 21111111()()()()122122212x x x x x x x f x -+=-+=--=+=--- ∴()f x 为偶函数.（2）证明：当0x >时，∴21x>，∴210x -> ∴1021x >-，∴1112122x +>- ∴11()()0212x f x x =+>- 又∵()f x 为偶函数，∴当0x <时，()0f x >综上可得：当0x ≠时，()0f x >.。
广东省普通高中学高三数学1月业水平考试试卷(含解析)
2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则()MN P = （ ）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0} 2.函数y=lg (x+1) 的定义域是（ ）A.(,)-∞+∞B. (0,)+∞C. (1,)-+∞D. [1,)-+∞3.设i 为虚数单位,则复数1ii-= （ ）A. 1+iB.1-iC. -1+iD. -1-i4.命题甲：球的半径为1cm;命题乙:球的体积为43πcm 3,则甲是乙的（ ）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线112y x =+垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y =2x B. y =-2x +4 C. 1322y x =+ D. 1522y x =+6.顶点在原点，准线为x =-2的抛物线的标准方程是（ ）A.28y x = B. 28y x =- C. 28x y = D. 28x y =-7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),=+（ ）8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P )2-,下列等式不正确的是（ ）A.2sin3α=- B.2sin()3απ+=C. cosα=D. tanα=9.下列等式恒成立的是（）23x-= (0x≠) B. 22(3)3x x=C.22333log(1)log2log(3)x x++=+ D.31log3xx=-10.已知数列{a}n满足1a1=,且1a a2n n+-=,则{a}n的前n项之和nS=（）A. 21n+ B. 2n C. 21n- D. 12n-11.已知实数x, y, z满足32xy xx y≤≤+≥,则z=2x+y的最大值为（）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB为直径的圆的标准方程是（）A.22(2)(5)x y+++=22(2)(5)18x y+++=C. 22(2)(5)x y-+-=22(2)(5)18x y-+-=13.下列不等式一定成立的是（）A.12xx+≥ (0x≠) B. 22111xx+≥+(x R∈)C. 212x x+≤ (x R∈) D. 2560x x++≥ (x R∈)14.已知 f (x)是定义在R上的偶函数,且当(,0]x∈-∞时, 2()sinf x x x=-,则当[0,]x∈+∞时, ()f x=（）A. 2sinx x+ B. 2sinx x-- C. 2sinx x- D. 2sinx x-+15.已知样本12345,,,,x x x x x的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x+++++的平均数和方差分别为（）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x=17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字,将它们组成一个两位数,该两位数小于20的概率是 19.中心在坐标原点的椭圆,其离心率为12,两个焦点F 1 和F 2在x 轴上,P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4,则椭圆的标准方程是三、 解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步骤）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=（1）证明: ABC ∆为等腰三角形； （2）若a =2, c=3,求sin C 的值.21.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60o ABC ∠=,PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点.（1）证明: PA CD ⊥； （2）求三棱锥P-ABC 的体积； （3）证明: AE PCD ⊥平面.2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（答案解析）1、B 解析：{}4,3,2,1,0=N M {}3,0)(=∴P N M .2、C 解析： 对数函数要求真数大于0 101->⇒>+∴x x .3、D 解析:i i i i i i i i i --=--=-+=⋅-=-1111)1(1. 4、C 解析：充分性：若cm R 1=，则233434cm R V ==π；同样利用此公式可证必要性.5、B 解析：121-=⇒k k 两直线垂直 2-=∴k l 的斜率为直线. 根据点斜式方程)(00x x k y y -=-可得)1(22--=-x y ，整理得42+-=x y .6、A 解析：由准线方程2-=x 可知焦点在x 轴上 422=⇒-=-∴p p由px y 22=可得x y 82=.7、A 解析：)1,1(),2,3(-=-=BC AB )3,4(-=+∴BC AB5)3(422=-+=+.8、D 解析：xy r x r y y x r ====-+=+=αααtan ,cos ,sin ,3)2()5(2222 C B A ,,∴正确，D 错误55252tan -=-==x y α. 9、 D解析：A.)0(1313≠=-x x x； B.xx 223)3(=；C.)1(2log 2log )1(log 22222+=++x x .10、B 解析：由已知可得{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列2122)1(2)1(n n n n d n n na S n =⨯-+=-+=∴. 11、C 解析：如图，画出可行域，当直线z x y +-=2平移经过点A 时在y 轴上的截距z 取得最大值，由)3,3(333A y x x y x ⇒⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==得 9332max =+⨯=∴z .12、D 解析：圆的标准方程为222)()r b y a x =-+-（，其中圆心为)5,2()228,251(=++-C ，半径为23)28()51(2122=-+--=r ∴所求圆的标准方程为18)5()222=-+-y x （. 13、B 解析：A 选项：错在x 可以小于0； B 选项：1111)1(2111111222222=-+⋅+≥-+++=++x x x x x x （当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时等号成立） C 选项：0)1(2122≥-=-+x x x x x 212≥+∴D 选项：设652++=x x y 可知二次函数与x 轴有两个交点，其值可以小于0.14、A 解析：)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时, 2()sin f x x x =- 当[)+∞∈,0x 时，(]0,∞-∈-x )(sin )sin()()(22x f x x x x x f =+=---=-∴∴当[)+∞∈,0x 时，x x x f sin )(2+=.15、C 解析：平均数加6，方差不变. 16、5 解析：15,,35x 成等比数列 2515352=⨯=∴x 又0>x 5=∴x . 17、π 解析：)12sin()1sin()1sin(cos )1cos(sin )(+=++=+++=x x x x x x x x f∴函数)(x f 的最小正周期为ππωπ===222T . 18、41解析：所有可能的基本事件有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43共12个，其中小于20的两位数有12，13，14共3个，由古典概型计算公式可得该两位数小于20的概率为41123==P . 19、13422=+y x 解析：根据焦点在x 轴上可设椭圆标准方程为12222=+by a x 离心率21==a c e ，长轴长4221=+=PF PF a 312,1,22222=-=-===∴c abc a∴所求椭圆的标准方程为13422=+y x .20、解：（1）证明：B bA a cos cos =由正弦定理得，BBA A cos sin cos sin =，即B A tan tan = 又),0(,π∈B A B A =∴ ∴ABC ∆为等腰三角形. （2）由（1）知B A = 2==∴b a 根据余弦定理，得 C ab b a c cos 2222-+= 即81cos cos 222223222-=⇒⨯⨯-+=C C 又),0(π∈C 863)81(1cos 1sin 22=-=-=∴C C . 21、解：（1）证明：AB PA ⊥ ，AD PA ⊥，A AD AB = ，ABCD AD AB 平面⊂,ABCD PA 平面⊥∴ 又 ABCD CD 平面⊂ CD PA ⊥∴（2）由（1）知ABCD PA 平面⊥332260sin 222131sin 213131=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅∠⋅⨯=⋅=∴∆- PA ABC BC AB AP S V ABC ABC P （3）证明：CD PA ⊥ ，CD AC ⊥，A AC PA = ，PAC AC PA 平面⊂,PAC CD 平面⊥∴ 又PAC AE 平面⊂ AE CD ⊥∴60,2=∠==ABC BC AB ABC ∆∴为等边三角形，且2=AC2==∴AC PA 又 E 为PC 的中点 PC AE ⊥∴又CD AE ⊥ ，C CD PC = ，PCD CD PC 平面⊂,PCD AE 平面⊥∴.。
广东省湛江第一中学2016-2017学年高二上学期第一次大考数学(理)试题Word版含答案
湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. ,a b 是任意实数，a b >，且0a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 33a b --<B. 1b a< C. 1lg()lg a b a b ->- D. 22a b > 2. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ）A. 1B. 4C. 2D. 3log 53. 下列函数中，最小值为4的是( ) A.4()f x x x =+ B.4()cos cos f x x x=+ C.()343x x f x -=+⨯ D.()lg 4log 10x f x x =+ 4．ABC ∆中，1b =，6B π∠=，则ABC ∆的形状一定为（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2014的值为( ) A ．57 B ． 67 C ．37 D ．176．某船开始看见灯塔在南偏东30o 方向，后来船沿南偏东60o 的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是（ ）A B.30km C ．15km D.7.数列{}n a 满足1a ，21a a -，32a a -，，1n n a a --是首项为1，公比为2的等比数列，那么n a 等于( )A ．41n -B ．121n --C ．21n +D ．21n-8.设n s 是等差数列{}n a 的前n 项和，若 5359a a =，则95s s 等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．129．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列四个命题：①0d <；②110S >；③ 使0n S >的最大n 值为12；④数列{}n S 中的最大项为11s ，其中正确命题的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则ba 的取值范围是( ) A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1(11. 若实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+01032033my x y x y x ，且y x +的最大值等于9，则实数m 等于( )A ．2-B ．1C ．1-D ．212.己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则21445n n S a ++的最小值为（ ） A ．4- B ．272 C ．1219D ．675 第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知实数,x y 满足1000x y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最大值为 .14．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,2,A b =︒=ABC S ∆=，则a = .15．已知数列1, 111,,,,,12123123n ++++++则其前n 项的和等于 .16．给出下列命题：① ,A B 是ABC ∆的内角，且A B >，则sin sin A B >;② {}n a 是等比数列，则{}1n n a a ++也为等比数列；③ 在数列{}n a 中,如果n 前项和22n S n n =++，则此数列是一个公差为2的等差数列；④ O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足：sin sin AB AC OP OA C B λ⎛⎫=++⎪ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定通过ABC ∆的内心； 则上述命题中正确的有 （填上所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17（本小题满分10分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且990S =，15240S =．（I ）求{}n a 的通项公式n a ；(II)若数列{}n b 满足：3n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T ．18（本小题满分12分）已知函数23()cos()cos()22f x x x x ππ=+--+. （I ）求()f x 的最小正周期和最大值；(II) 求()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间．19（本小题满分12分） 已知不等式的解集为或 （I ）求a ,b 的值；(II)解不等式2()0ax am b x bm -++<.20.(本小题满分12分)假设我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用H （万元）与隔热层厚度x (厘米)满足关系式：)100(53)(≤≤+=x x k x H （当0=x 时表示无隔热层），若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元.设)(x f 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （I ）求k 的值和)(x f 的表达式；(II)当隔热层修建多少厘米厚时，总费用)(x f 最小，并求出最小值.21（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 对应的边长分别为,,a b c ,已知(,)m c a b =+,(,n a b a =-, //m n（I ）求角A ；(II)若a =求b c +的取值范围．22（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,12-=n n a S ()*n N ∈.（I ）求数列{}n a 的通项公式；(II)若数列{}n b 满足n n a n b ⋅=2，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(III)若数列{}n c 满足()n n n n a c λ1123--+=（λ为非零常数），确定λ的取值范围,使*n N ∈时，都有n n c c >+1.湛江一中2016-2017学年度第一学期“第一次大考”高二级数学理科试卷答案第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 1214. 15. 21n n + 16. ①④ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分10分)解：（I ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知可得1193690,15105240a d a d +=+=， ———————1分解得12a d == ————————3分 2n a n = ————————5分(II) 323n n n b a ==⋅ —— ——————7分 由13n nb b +=，{b n }是首项为6，公比为2的等比数列 ———————8分 则13(13)23313n n n T +-==-- ————————10分18（本小题满分12分）解：1cos 2()-cos )(sin )22x f x x x +=⋅-+（1sin 22sin(2)23x x x π==- ——————4分 （I ）()f x 的最小正周期为π，最大值为1； ——————8分(II) 当()f x 递增时，222 ()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈， 即51212k x k ππππ-≤≤+()k Z ∈, ——————10分 所以，()f x 在5[,]612ππ上递增 即()f x 在2[,]63ππ上的单调递增区间是5[,]612ππ —— ——— 12分 19（本小题满分12分）解：（I ）因为不等式的解集为或 所以，是方程的两个解 —————1分 所以， ———————3分 解得 ———————5分 (II) 由（I ）知原不等式为，即， —————— 6分 当时，不等式解集为 ———————— 8分 当时，不等式解集为; ——————— 10分 当时，不等式解集为; ———————12分20.(本小题满分12分)解：（I ）当0=x 时，8=H ，即85=k ，解得40=k ————2分 故5340)(+=x x H ——————3分5380065340206)(++=+⨯+=∴x x x x x f )100(≤≤x ————6分 (II) 由（I ）知35535≤+≤x ————7分7010160021053800)53(25340206)(=-≥-+++=+⨯+=∴x x x x x f —————10分 当且仅当53800106+=+x x ，即5=x 时)(x f 取得最小值 ————11分 即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元. —12分 21（本小题满分12分）（I ）∵//m n 221cos 2c a B b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭, —————1分 由余弦定理得2222222a c b bc a b +--=-,222a b c bc =+- ——————3分 ∵2222cos a b c bc A =+-,∴1cos 2A =————————4分 ∵()0,πA ∈,∴π3A =————————5分 (II)由余弦定理得2sin sin sin a b c A B C===, ∴2sin b B =,2sin c C =—————6分 ∴()2sin 2sin 2sin 2sin b c B C B A B +=+=++ ———————7分 2sin 2sin cos 2cos sin B A B A B =++12sin 22sin 2B B B =++⨯ π3sin 6B B B ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭； ————————9分 ∵2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,∴ππ5π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,π1sin ,162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦． ————————11分所以b c +∈ ————————12分 22（本小题满分12分）解：（I ）当n =1时，11121a s a ==-，11a ∴= ————— 1分 当1n >时，21n n s a =-，1121n n s a --∴=-112n n n n s s a a --∴-=-122n n n a a a -∴=-12n n a a -∴={}n a 是首项为1，公比为2的等比数列1*2,n n a n N -∴=∈ —————3分(II) 22n n n b n a n =⋅=⋅212222n n T n =⋅+⋅+⋅ ① 23121222(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅ ②①-②得23122222n n n T n +-=+++-⋅1(1)22n n +=-⋅-1(1)22n n T n +∴=-⋅+ ———————7分 (III) ∵11-2)1(23--⋅+=n n n n C λ n n n 2)1(31λ--+=∴n n C C >+1即 >-+++112)1(3n n n λn n n 2)1(31λ--+ 即02)1(2)1(33111>---+--++n n n n n n λλ即0)22()1(321>+-+⋅+n n n n λ 即023)1(32>⋅-+⋅nn n λ ∴>-λn)1(n n 2332⋅⋅- 即>-λn )1(1)23(--n —————— 8分 当n 为偶数时≤--1)23(n 23-∴23->λ —————10分 当n 为奇数时≤--1)23(n 1- ∴1->-λ 即 1<λ 又∵0λ≠∴ 123<<-λ且0λ≠ —————— 12分。
广东省湛江一中2016-2017学年高一上学期第二次大考数学试卷Word版含解析
2016-2017学年广东省湛江一中高一（上）第二次大考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．集合M={4，5，﹣3m}，N={﹣9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3或﹣1 B．3 C．3或﹣3 D．﹣12．已知两条不同的直线m，n和平面α，下列说法正确的是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n与α相交C．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n3．用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．已知a=2log52，b=21.1，c=（）﹣0.8，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数y=2|x|﹣x2（x∈R）的图象的是（）A．B．C．D．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）是R上的奇函数．当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．18．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2nC． D．log2m＞log2n9．对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞） B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2 C．D．111．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）12．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是．14．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．则直线AB1和EF所成的角为．16．已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．若已知函数，则f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）求值：（1）（﹣1.8）0+（）﹣2•（3）﹣+（2）lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2．18．（12分）已知函数f（x）=x+（a为非零实数）（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）当a=4时，•①用定义证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；‚②写出f（x）在（﹣∞，0）的单调区间（不用加以证明）19．（12分）如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．20．（12分）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．21．（12分）函数f（x）=x2﹣2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g （t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．22．（12分）已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的取值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数①存在t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）有解，求k的取值范围；②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），若对任意x∈R，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，求实数m的最大值．2016-2017学年广东省湛江一中高一（上）第二次大考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．集合M={4，5，﹣3m}，N={﹣9，3}，若M∩N≠∅，则实数m的值为（）A．3或﹣1 B．3 C．3或﹣3 D．﹣1【考点】交集及其运算．【分析】利用M∩N≠∅，列出关系式，直接求出m的值即可．【解答】解：由M∩N≠∅，可知﹣3m=﹣9，或﹣3m=3，解得m=3或﹣1，故选A．【点评】本题考查集合的基本运算，集合的交集的应用，考查计算能力．2．已知两条不同的直线m，n和平面α，下列说法正确的是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，那么n与α相交C．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】由空间中的线面关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：如果m⊂α，n⊄α，m、n是不在任何同一个平面内的直线，如图，那么n∥α或n与α相交，故A、B错误；如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n或m与n相交，故C错误；如果m⊂α，n∥α，m、n共面，由线面平行的性质可得m∥n．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．3．用二分法求方程lgx=3﹣x的近似解，可以取的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】设f（x）=lgx﹣3+x，∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f （x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3﹣x在区间（a，b）上有解，进而得到答案．【解答】解：设f（x）=lgx﹣3+x，∵当连续函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0时，f（x）在区间（a，b）上有零点，即方程lgx=3﹣x在区间（a，b）上有解，又∵f（2）=lg2﹣1＜0，f（3）=lg3＞0，故f（2）•f（3）＜0，故方程lgx=3﹣x在区间（2，3）上有解，故选：C【点评】本题考查的知识点是方程的根，函数的零点，其中熟练掌握函数零点的存在定理是解答的关键．4．已知a=2log52，b=21.1，c=（）﹣0.8，则a、b、c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】分别判断a，b，c的取值范围即可得到结论．【解答】解：2log52＜1，1＜=20.8＜211，∴a＜c＜b．故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和对数函数的单调性是解决本题的关键，比较基础．5．在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数y=2|x|﹣x2（x∈R）的图象的是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】分析函数的奇偶性，可排除B，D；由函数图象过（0，1）点，可排除C；进而得到答案．【解答】解：函数y=f（x）=2|x|﹣x2满足f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除B，D；当x=0时，函数图象过（0，1）点，故排除C；故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数图象的判断，多采用排除法进行解答．6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．已知函数f（x）是R上的奇函数．当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）的值是（）A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1【考点】函数奇偶性的性质．【分析】已知函数f（x）是R上的奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），可以令x ＜0，可得﹣x＞0，可得x＜0的解析式，从而求解．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，∴20+b=0，∴b=﹣1，∵当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，令x＜0，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣2﹣x+2x+1，∴f（﹣1）=﹣2﹣2×（﹣1）+1=﹣3．故选B．【点评】此题主要考查函数的奇偶性，知道奇函数的性质f（0）=0，这是解题的关键，此题比较简单．8．若0＜m＜n，则下列结论正确的是（）A．B．2m＞2nC． D．log2m＞log2n【考点】不等关系与不等式．【分析】根据指数函数与对数函数的底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质进行做题．【解答】解：观察B，D两个选项，由于底数2＞1，故相关的函数是增函数，由0＜m＜n，∴2m＜2n，log2m＜log2n，所以B，D不对．又观察A，C两个选项，两式底数满足0＜＜1，故相关的函数是一个减函数，由0＜m＜n，∴，所以A不对，C对．故答案为C．【点评】指数函数与对数函数的单调性是经常被考查的对象，要注意底数大于1时单调递增，底数大于0小于1时单调递减的性质．9．对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），x∈R．若函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是（）A．（﹣1，1]∪（2，+∞） B．（﹣2，﹣1]∪（1，2]C．（﹣∞，﹣2）∪（1，2]D．[﹣2，﹣1]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义的运算法则化简函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1），的解析式，并画出f（x）的图象，函数y=f（x）﹣c的图象与x轴恰有两个公共点转化为y=f （x），y=c图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．【解答】解：∵，∴函数f（x）=（x2﹣2）⊗（x﹣1）=，由图可知，当c∈（﹣2，﹣1]∪（1，2]函数f（x）与y=c的图象有两个公共点，∴c的取值范围是（﹣2，﹣1]∪（1，2]，故选B．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3 B．2 C．D．1【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体△SCD积．【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30°得：AC=2，SA=2又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30°得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S，△SCD因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==则：sin∠SDC==由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD•CD•sin∠SDC==3==所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB•S△SCD故选C【点评】本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．11．函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，3）C．（1，3] D．[3，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】由已知中f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围．【解答】解：若函数f（x）=log a（6﹣ax）在[0，2]上为减函数，则解得a∈（1，3）故选B【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，其中根据已知分析出内函数为减函数，则外函数必为增函数，是解答的关键．12．设函数f（x）=1﹣，g（x）=ln（ax2﹣3x+1），若对任意的x1∈[0，+∞），都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的最大值为（）A．2 B．C．4 D．【考点】函数的值．【分析】设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，则（﹣∞，0]⊆A，从而h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，由此能求出实数a 的最大值．【解答】解：设g（x）=ln（ax2﹣3x+1）的值域为A，∵f（x）=1﹣在[0，+∞）上的值域为（﹣∞，0]，∴（﹣∞，0]⊆A，∴h（x）=ax2﹣3x+1至少要取遍（0，1]中的每一个数，又h（0）=1，∴实数a需要满足a≤0或，解得a≤．∴实数a的最大值为．故选：B．【点评】本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）13．函数y=的定义域是1＜x＜2．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】真数要大于0，负数不能开偶次方根，分母不能为0．【解答】解：要使函数有意义则：∴1＜x＜2故答案是：1＜x＜2【点评】本题主要考查函数定义域及求法．14．设f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）的值域是[﹣10，2] ．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．【分析】根据函数奇偶性的性质，确定定义域的关系，然后根据方程f（﹣x）=f （x），即可求出函数的值域．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+2是定义在[1+a，2]上的偶函数，∴定义域关于原点对称，即1+a+2=0，∴a=﹣3．又f（﹣x）=f（x），∴ax2﹣bx+2=ax2+bx+2，即﹣b=b解得b=0，∴f（x）=ax2+bx+2=﹣3x2+2，定义域为[﹣2，2]，∴﹣10≤f（x）≤2，故函数的值域为[﹣10，2]．故答案为：[﹣10，2]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．15．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．则直线AB1和EF所成的角为60°．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】通过平移直线作出异面直线AD1与EF所成的角，在三角形中即可求得．【解答】解：连接A1C1、A1D和DC1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AD=B1C1，AD∥B1C1，可知AB1∥DC1，在△A1AD中，E，F分别是AD，AA1的中点，所以，有EF∥A1D，所以∠A1DC1就是异面直线AB1和EF所成角，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1、A1D和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△A1DC1是正三角形，∠A1DC1=60°故异面直线AB1和EF所成角的大小为60°．故答案为：60°．【点评】本题在正方体中求异面直线所成的角，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于基础题．利用平移法构造出异面直线的所成角，是解答本题的关键．16．已知函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．若已知函数，则f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是．【考点】基本不等式．【分析】根据已知中函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对∀x1∈D，∃唯一的x2∈D，使得，则称常数C是函数f（x）在D上的“湖中平均数”．根据函数f（x）=（）x，x∈[0，2016]，为单调减函数，可得f（x）在[0，2016]上的“湖中平均数”是其最大值和最小值的几何平均数【解答】解：由已知中湖中平均数的定义可得C即为函数y=f（x），x∈D最大值与最小值的几何平均数又∵函数f（x）=（）x，x∈[0，2016]为减函数故其最大值M=1，最小值m=（）2016故C==；故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，其中根据已知判断出C等于函数在区间D上最大值与最小值的几何平均数，是解答本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•赤坎区校级月考）求值：（1）（﹣1.8）0+（）﹣2•（3）﹣+（2）lg500+lg﹣lg64+50（lg2+lg5）2．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出．（2）利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式==．（2）原式=．【点评】本题考查了对数的运算法则、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．（12分）（2016秋•赤坎区校级月考）已知函数f（x）=x+（a为非零实数）（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（2）当a=4时，•①用定义证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；‚②写出f（x）在（﹣∞，0）的单调区间（不用加以证明）【考点】函数与方程的综合运用；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可．（2）①利用函数的单调性的定义证明即可．②集合函数的单调性，写出单调区间即可．【解答】解：（1）函数f（x）=x+是奇函数…（1分）函数f（x）=x+的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称…（2分）且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x+）=﹣f（x）…∴f（x）是奇函数…（2） ①任取x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则=…当0＜x1＜x2＜2时，x2﹣x1＞0，x1x2＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（0，2）上单调递减；…（8分）当2＜x1＜x2时，x2﹣x1＞0，x1x2﹣4＞0，x1x2＞0∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；…（10分）②‚∵f（x）Z是奇函数，f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（﹣∞，﹣2）上单调递增；…（12分）【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．19．（12分）（2012•惠州一模）如图所示的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=，M是线段B1D1的中点．（1）求证：BM∥平面D1AC；（2）求三棱锥D1﹣AB1C的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由四边形D1OBM是平行四边形得D1O∥BM，由线面平行的判定得到BM∥平面D1AC（Ⅱ）由OB1⊥D1O，AC⊥D1O，得到D1O⊥平面AB1C，确定D1O为三棱锥D1﹣AB1C的高，同时确定△AB1C为底．【解答】解：（Ⅰ）连接D1O，如图，∵O、M分别是BD、B1D1的中点，BD1D1B是矩形，∴四边形D1OBM是平行四边形，∴D1O∥BM．（2分）∵D1O⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，∴BM∥平面D1AC．（Ⅱ）连接OB1，∵正方形ABCD的边长为2，，∴，OB1=2，D1O=2，则OB12+D1O2=B1D12，∴OB1⊥D1O．又∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC⊥D1D，且BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1B1，又D1O⊂平面BDD1B1，∴AC⊥D1O，又AC∩OB1=O，（10分）∴D1O⊥平面AB1C，即D1O为三棱锥D1﹣AB1C的高．（12分）∵，D1O=2∴．14【点评】本题主要考查平面图形中的线线关系，培养学生平面与空间的转化能力，熟练应用线面平行和线面垂直的判定定理．20．（12分）（2016秋•辽宁期中）某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P（x）=2（其中t为关税的税率，且t∈[0，]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=时，市场供应量曲线如图所示：（1）根据函数图象求k，b的值；（2）若市场需求量Q，它近似满足Q（x）=2．当P=Q时的市场价格为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）能根据图象知时，有，即可求出k、b的值；（2）能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．【解答】解：（1）由图可知时，有解得（2）当P=Q时，得，解得．令，∵x≥9，∴，在中，对称轴为直线，，且图象开口向下，∴时，t取得最小值，此时x=9．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！21．（12分）（2016秋•原州区校级月考）函数f（x）=x2﹣2x+2在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的函数表达式；（2）作g（t）的简图并写出g（t）的最小值．【考点】二次函数的图象；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意可知，f（x）为二次函数，要求其在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间）讨论可得二次函数的最小值即得g（t）的函数表达式；（2）画出分段函数的简图，由简图可知g（t）的最小值．【解答】解：（1）据题意可知函数为二次函数且开口向上，所以函数有最小值，即当x=﹣==1，f min=1分情况讨论函数在闭区间[t，t+1]（t∈R）：①当闭区间[t，t+1]（t∈R）⊂（﹣∞，1）即t＜0时，得：二次函数在x=t+1时取到最小值，∴g（t）=（t+1）2﹣2（t+1）+2=t2+1；②当1∈[t，t+1]即0≤t≤1时，得x=1时，二次函数取到最小值∴g（t）=1；③当闭区间[t，t+1]⊂（1，+∞）即t＞1时，得：x=t时，二次函数取到最小值∴g（t）=t2﹣2t+2．综上（2）由（1）可知g（t）为分段函数作出图象如下：从图象上可知g（t）min=1．【点评】本题考点是二次函数的图象，考查通过二次函数的图象求二次函数在闭区间上的最值，求解本题主要依据函数的单调性，要根据二次函数的图象判断出所研究区间的单调性，确定最值在那个位置取到，再求出最值，本题中所给的区间是一个不定的区间，故解题时要根据区间与对称轴的位置进行分类讨论，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间），解题时注意总结分类讨论思想在求解本题中的作用．22．（12分）（2016秋•如东县月考）已知函数f（x）=．（1）当a=b=1时，求满足f（x）=3x的x的取值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数①存在t∈R，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）有解，求k的取值范围；②若函数g（x）满足f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），若对任意x∈R，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，求实数m的最大值．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（1）把a=b=1代入f（x），化简得3•（3x）2+2•3x﹣1=0，求解即可得答案；（2）①f（x）是奇函数，得f（﹣x）+f（x）=0，代入原函数求解得a，b的值，判断函数f（x）的单调性，不等式f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k）恒成立，由函数的单调性可得k的取值范围；②由f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），化简得不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，然后构造函数和由函数f（x）的单调性即可求得实数m的最大值．【解答】解：（1）由题意，，化简得3•（3x）2+2•3x﹣1=0，解得3x=﹣1（舍）或，∴x=﹣1；（2）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=0，∴，化简并变形得：（3a﹣b）（3x+3﹣x）+2ab﹣6=0，要使上式对任意的x成立，则3a﹣b=0且2ab﹣6=0，解得：或，∵f（x）的定义域是R，∴，（舍去）∴a=1，b=3，∴．①=对任意x1，x2∈R，x1＜x2有：=，∵x1＜x2，∴，∴f（x1）＞f（x2），因此f（x）在R上递减．∵f（t2﹣2t）＜f（2t2﹣k），∴t2﹣2t＞2t2﹣k，即t2+2t﹣k＜0在t∈R时有解∴△=4+4k＞0，解得：k＞﹣1，∴k的取值范围为（﹣1，+∞）；②∵f（x）•[g（x）+2]=（3﹣x﹣3x），∴即g（x）=3x+3﹣x，∴g（2x）=32x+3﹣2x=（3x+3﹣x）2﹣2，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣11恒成立，即（3x+3﹣x）2﹣2≥m•（3x+3﹣x）﹣11，即：恒成立．令t=3x+3﹣x，t≥2，则在t≥2时恒成立，令，，t∈（2，3）时，h′（t）＜0，∴h（t）在（2，3）上单调递减，。
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2017年1月广东省普通高中学业水平考试真题卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分) 1．已知集合M＝{0，2，4}，N＝{1，2，3}，P＝{0，3}，则(M∪N)∩P 等于()A．{0，1，2，3，4} B．{0，3} C．{0，4} D．{0}解析：M∪N＝{0，1，2，3，4}，(M∪N)∩P＝{0，3}，故选B.答案：B2．函数y＝lg(x＋1)的定义域是()A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－1，＋∞) D．－1，＋∞)解析：对数函数要求真数大于0，所以x＋1＞0，解得x＞－1，故选C.答案：C3．设i为虚数单位，则复数1－ii等于()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i解析：1－ii＝（1－i）·ii·i＝i－i2i2＝i＋1－1＝－1－i，故选D.答案：D4．已知甲：球的半径为1 cm；乙：球的体积为4π3cm3，则甲是乙的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：充分性：若r ＝1 cm ，由V ＝43πr 3可得体积为43π cm 3，同样利用此公式可证必要性也成立．答案：C5．已知直线l 过点A (1，2)，且与直线y ＝12x ＋1垂直，则直线l的方程是( )A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝12x ＋32D ．y ＝12x ＋52解析：因为两直线垂直时，斜率互为倒数的相反数(k 1k 2＝－1)，所以直线l 的斜率k ＝－2，由点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)可得，y －2＝－2(x －1)，整理得y ＝－2x ＋4，故选B.答案：B6．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y解析：因为准线方程为x ＝－2，所以焦点在x 轴上，且－p2＝－2，所以p ＝4，由y 2＝2px 得y 2＝8x .答案：A7．已知三点A (－3，3), B (0, 1)，C (1，0)，则|AB →＋BC →|等于( ) A ．5 B ．4 C.13＋ 2 D.13－ 2解析：因为AB →＝(3，－2)，BC →＝(1，－1)，所以AB →＋BC →＝(4，－3)，所以|AB→＋BC →|＝42＋（－3）2＝5，故选A.答案：A8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P (5，－2)，则下列等式不正确的是( )A ．sin α＝－23B ．sin(α＋π)＝23C ．cos α＝53 D ．tan α＝－52解析：依题意得，r ＝x 2＋y 2＝5＋4＝3，sin α＝y r ，cos α＝xr，tan α＝yx，所以sin α＝－23，cos α＝53，tan α＝－25＝－255，所以A ，B ，C 正确，D 错误．答案：D9．下列等式恒成立的是( ) A.13x＝x －23(x ≠0)B ．(3x )2＝3x 2C ．log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 3(x 2＋3) D ．log 313x ＝－x解析：13x ＝x －13(x ≠0)，故A 错；(3x )2＝32x ，故B 错；log 3(x 2＋1)＋log 32＝log 32(x 2＋1)，故C 错． 答案：D10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝2，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n 2＋1B ．n 2C ．2n －1D ．2n －1解析：数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n （n －1）2·2＝n 2，故选B.答案：B11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，y ≤x ，x ＋y ≥2，则z ＝2x ＋y 的最大值为()A ．3B ．5C ．9D ．10解析：如图，画出可行域，当y ＝－2x ＋z 移动到A 点时，直线与y 轴的截距z 取得最大值，因为A (3，3)，所以z ＝2x ＋y 的最大值为9.答案：C12．已知点A (－1，8)和B (5, 2)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝3 2B ．(x ＋2)2＋(y ＋5)2＝18C ．(x －2)2＋(y －5)2＝3 2D ．(x －2)2＋(y －5)2＝18解析：圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－1＋52，8＋22＝(2，5)，半径r ＝12（5＋1）2＋（2－8）2＝32，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －5)2＝18.答案：D13．下列不等式一定成立的是( )A．x＋2x≥2(x≠0) B．x2＋1x2＋1≥1(x∈R)C．x2＋1≤2x(x∈R) D．x2＋5x＋6≥0(x∈R)解析：A选项中，当x＜0时，显然不成立；C选项中，当x＝－1时，显然不成立；D选项中，当x∈(－3，－2)时，x2＋5x＋6＜0，所以不成立；B选项中，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2（x2＋1）·1x2＋1－1＝1(x∈R)，当且仅当x＝0时取“＝”．答案：B14．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x2－sin x，则当x∈0，＋∞)时，f(x)＝()A．x2＋sin x B．－x2－sin x C．x2－sin x D．－x2＋sin x解析：设x∈0，＋∞)，则－x∈(－∞，0]，所以f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin x，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝x2＋sin x，故选A.答案：A15．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的平均数为4, 方差为3，则x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数和方差分别为() A．4和3 B．4和9 C．10和3 D．10和9解析：由平均数的定义可知x1＋6，x2＋6，x3＋6，x4＋6，x5＋6的平均数＝x－＋6＝10，方差不变．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．已知x ＞0，且53，x ，15成等比数列，则x ＝____________．解析：因为513， x ，15成等比数列，所以x 2＝53×15＝25，又x ＞0，所以x ＝5.答案：517．函数f (x )＝sin x cos(x ＋1)＋sin(x ＋1)cos x 的最小正周期是____________．解析：f (x )＝sin x cos(x ＋1)＋sin(x ＋1)cos x ＝sin x ＋(x ＋1)]＝sin(2x ＋1)，所以最小正周期T ＝2π2＝π.答案：π18．从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是____________．解析：从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数一共有如下12个基本事件：12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43；其中该两位数小于20的共有12，13，14三个，所以该两位数小于20的概率为312＝14. 答案：1419．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1和F 2在x轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆的标准方程是________．解析：根据焦点在x 轴上可以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)，因为长轴长2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4，离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y23＝1.答案：x 24＋y 23＝1三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos A ＝b cos B. (1)证明：△ABC 为等腰三角形； (2)若a ＝2，c ＝3，求sin C 的值． (1)证明：因为a cos A ＝bcos B ，所以a cos B ＝b cos A ，由正弦定理知sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以tan A ＝tan B ， 又A ，B ∈(0，π)， 所以A ＝B ，所以△ABC 为等腰三角形．(2)解：由(1)可知A ＝B ，所以a ＝b ＝2，根据余弦定理有：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以9＝4＋4－8cos C ，解得cos C ＝－18，因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＞0， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝638.21．(12分)如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ＝2，E 为PC 的中点．(1) 证明：AP ⊥CD ； (2) 求三棱锥PABC 的体积； (3) 证明：AE ⊥平面PCD .(1)证明：因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，所以PA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ， 所以AP ⊥CD .(2)解：由(1)可知AP ⊥平面ABC ，所以V P －ABC ＝13S △ABC ·AP ，又S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×2×2×sin 60°＝3，所以V P －ABC ＝13×3×2＝233.。