高中数学破题致胜方法双曲线焦点三角形的面积
双曲线焦点三角形面积公式推导
双曲线焦点三角形面积公式推导要推导双曲线焦点三角形的面积公式，我们首先需要了解双曲线的一般方程以及焦点的定义。
一般的双曲线方程可以写为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$其中$a$和$b$分别是双曲线的半轴长度。
双曲线的焦点定义为具有特殊性质的点。
对于双曲线方程，焦点的坐标可以表示为$(\pm c,0)$，其中$c$满足$c^2=a^2+b^2$。
焦点到双曲线上任意一点$(x,y)$的距离等于焦距中双曲线的长半轴长度$a$，即$\sqrt{(x\pm c)^2 + y^2} = a$。
现在，我们来推导双曲线焦点三角形的面积公式。
对于双曲线焦点三角形，我们可以选择一个具有特殊性质的点作为三角形的顶点，如双曲线上的一个点$(x,y)$。
首先，我们需要确定这个点到两个焦点的距离。
根据焦点的定义，我们可以得到：$\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a$ 和 $\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a$将方程两边平方，可得：$(x-c)^2+y^2=a^2$和$(x+c)^2+y^2=a^2$将这两个方程展开，我们可以得到两个等式：$x^2-2cx+c^2+y^2=a^2$ 和 $x^2+2cx+c^2+y^2=a^2$将这两个等式相减，我们可以消去$c^2+y^2$的项：$-4cx=0$由于$c\neq 0$，所以我们可以确定$x=0$。
将$x=0$代入任一方程中，我们可以得到$y=\pm b$。
因此，我们可以得到顶点坐标为$(0,b)$和$(0,-b)$的两个焦点三角形。
既然我们已经了解了这些点的坐标，我们可以使用向量积的方法来求得焦点三角形的面积。
根据三角函数的性质，我们可以得到焦点三角形的面积公式：$S=b(x-b)$这就是双曲线焦点三角形的面积公式的推导过程。
双曲线的焦点三角形面积的公式推导
双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。
在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。
让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。
双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。
它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。
现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。
在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。
我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。
我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。
我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。
现在，我们要计算这个三角形的面积。
根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。
通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。
然而，这只是一个简单的推导过程。
如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。
我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。
在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。
双曲线焦点三角形面积推导过程
双曲线焦点三角形面积推导过程稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊双曲线焦点三角形面积的推导过程，准备好跟我一起探索啦！咱先说说啥是双曲线焦点三角形哈，就是双曲线两个焦点和双曲线上一点构成的那个三角形。
那怎么推导它的面积呢？假设双曲线方程是标准形式，两个焦点之间的距离叫焦距，用 2c 表示。
然后呢，设双曲线上一点的坐标是 (x, y) ，两个焦点的坐标分别是 F1 和 F2 。
咱们来算算三角形的两边 F1P 和 F2P 的长度，用距离公式就能搞定啦。
然后呢，通过余弦定理，可以求出角 F1PF2 的余弦值。
再用三角函数的关系，就能求出正弦值啦。
三角形面积就等于两边乘积乘以正弦值的一半，也就是 S = 1/2 × |F1P| × |F2P| × sin∠F1PF2 。
经过一番推导，就得出了双曲线焦点三角形的面积公式啦！是不是还挺有趣的呀？稿子二哈喽呀，朋友们！今天咱们要一起搞清楚双曲线焦点三角形面积的推导过程哟！开始之前，咱们先熟悉熟悉相关的概念哈。
双曲线大家都知道吧，那焦点三角形就是由双曲线的两个焦点和上面的一个点组成的三角形。
那面积咋算呢？假设双曲线方程在那摆着，咱们设这个三角形的两条边长度分别是 m 和 n 。
然后呢，两个焦点之间的距离是 2c 。
根据双曲线的定义，m n = 2a ，这可是关键的一步哟！接着，咱们用余弦定理来表示出角的余弦值。
再通过三角函数的巧妙转换，求出正弦值。
这时候，面积就出来啦！面积等于1/2 × mn × sin∠F1PF2 。
经过一通计算和推导，就把这个神秘的面积公式给弄出来啦！是不是感觉数学也没那么难，还挺好玩的呀？好啦，今天的推导就到这里，希望大家都明白了哟！。
高中数学破题致胜方法双曲线焦点三角形的形状判定
今天我们介绍椭圆双曲线焦点三角形的形状判。
椭圆双曲线上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。
双曲线焦点三角形的形状判定时，除了应用已有的解三角形知识，经常利用双曲线的第一定义，对定义式平方等技巧。
先看例题： 例：已知双曲线()222120x y bb =>-的左、右焦点分别为12,F F ，其一条渐近线方程为y x =，点0)P y 在改该双曲线上，判断12F PF V 的形状.解：由渐近线方程得：22b =，即双曲线方程是22122x y -=, 点F 1(－2,0),F 2(2,0).由点P 在该双曲线上得203122y -=,201y =,212000(2)(2)10PF PF y y y =---=-+=u u u r u u u u r g g ∴12.PF F ∆为直角三角形整理：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得：221212||2,()4.r r a r r a -=∴-=在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：22121212()22cos 4.r r r r r r c θ-+-=即221242(1cos )4.a r r c θ+-=222122()2.1cos 1cos a c b r r θθ-∴==--注意：判断三角形形状，一般依据仍是余弦定理，勾股定理。
所不同的是，要注意结合双曲线的定义，利用双曲线自身特点。
再看一个例题，加深印象：例：已知有相同两焦点F 1、F 2的椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化 解：∵|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，|PF 1|－|PF 2|＝±2n ，又m －1＝n ＋1，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝4(m －1)＝|F 1F 2|2.∴三角形为直角三角形，所以选B总结：1.双曲线焦点三角形是一个很重要的三角形，双曲线焦点三角形的形状判定时，应用已有的解三角形知识，例如正弦定理、余弦定理、向量等2.双曲线焦点三角形的形状判定时，除了应用已有的解三角形知识，经常利用双曲线的第一定义，对定义式平方等技巧。
高孝高频考点(圆锥曲线)12、椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式
第12讲 椭圆、双曲线的焦点三角形面积公式知识与方法1.如图1所示，1F 、2F 是椭圆的焦点，设P 为椭圆上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2S b θ=.2.如图2所示，1F 、2F 是双曲线的焦点，设P 为双曲线上任意一点，记12F PF θ∠=，则12PF F 的面积2tan2b S θ=.典型例题【例1】设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，122tan4tan 3023PF F S b θ==⨯︒=.变式1 设1F 、2F 是椭圆22218x y b+=(0b <<的两个焦点，点P 在椭圆上，1260F PF ∠=︒， 且12F PFb =________.【解析】由焦点三角形面积公式，1222tantan 30223F PF S b b b θ==︒=⇒=. 【答案】2变式2 设1F 、2F 是椭圆22184x y +=的焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】设12F PF θ∠=，则21221tan 12cos cos 31tan 2F PF θθθ−∠===+，所以21tan 22θ=，由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而tan 2θ=，故122tan422PF F Sb θ==⨯=【答案】变式3 设1F 、2F 是椭圆22214x y a +=()2a >的焦点，点P 在椭圆上，且1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=________.【解析】记12F PF θ∠=，则60θ=︒，122tan4tan 302PF F S b θ==⨯︒=又1212121sin 2PF F SPF PF PF θ=⋅⋅=⋅，12PF ⋅=，故12163PF PF ⋅=. 【答案】163变式4 设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________.【解析】解法1：如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得12F F =由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +−∠==⋅，所以12sin 3F PF ∠=，故12121211sin 3122PF F SPF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯= 解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式，123PF PF =即为00232x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，解得：0x =， 又2200142x y +=，所以22002114x y ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，从而01y =，易求得12F F =1212012PF F SF F y =⋅=.【反思】不是每一道题都能很方便地代公式计算焦点三角形面积，所以掌握焦点三角形面积公式的推导方法也是有必要的.【例2】已知双曲线22:13y C x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且1260F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，1223tan 30tan2PF F b Sθ===︒【答案】变式1 已知双曲线22:13y C x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且121cos 3F PF ∠=，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则22212222cos sin 1tan 1222cos cos 3cos sin 1tan 222F PF θθθθθθθ−−∠====++，所以21tan 22θ=， 由1cos 03θ=>知02πθ<<，所以024θπ<<，从而tan 22θ=，故122tan2PF F b Sθ==.【答案】变式2 已知1F 、2F 是双曲线22:13y C x −=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上的一点，12120F PF ∠=︒，则1PF =________.【解析】由焦点三角形面积公式，1223tan 60tan2PF F b Sθ===︒，又121212121sin 2PF F SPF PF F PF PF =⋅⋅∠⋅12PF ⋅= 故124PF PF ⋅=，由双曲线定义，122PF PF −=，解得：11PF =+【答案】1变式3 （2020·新课标Ⅲ卷）双曲线2222:1x y C a b−=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上一点，12F P F P ⊥，若12PF F 的面积为4，则a =（ ）A.1B.2C.4D.8【解析】解法1：22222552ce c c a a b a b a a==⇒=⇒=⇒+=⇒=， 不妨设P 在双曲线C 的右支上，则122PF PF a −=，因为12F P F P ⊥，所以2221212PF PF F F +=，故()221212122PF PF PF PF F F −+⋅=，从而2212424a PF PF c +⋅=，故22212222PF PF c a b ⋅=−=，所以12212142PF F S PF PF b =⋅==，解得：2b =，故1a =. 解法2：1222242tan 45tan 2PF F b b Sb b θ====⇒=︒，222225512c be c c a a b a a a ==⇒=⇒=⇒+=⇒==. 【答案】A强化训练1.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22154x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且1230F PF ∠=︒，则12PF F 的面积为________.【解析】()122tan 60tan 45tan4tan154tan 60454821tan 60tan 45PF F Sb θ︒−︒==⨯︒=⨯︒−︒=⨯=−+︒︒【答案】8−2.（★★★）设1F 、2F 是双曲线22:145x y C −=的左、右焦点，P 为C 上一点，若12PF PF ⊥，则12PF F 的面积为________. 【解析】由焦点三角形面积公式，12255tan 45tan2PF F b Sθ===︒.【答案】53.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且121cos 3F PF ∠=−，则12PF F 的面积为________.【解析】记12F PF θ∠=，则221221tan 112cos cos tan 23321tan 2F PF θθθθ−∠==−⇒=−⇒=+， 由1cos 03θ=−<知2παπ<<，所以422πθπ<<，从而tan 2θ=，故121PF F S==4.（★★★）设1F 、2F 是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上的一点，且1260F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________.【解析】设()00,P x y ()000,0x y >>，一方面，122tan2233PF F S b θ==⨯=，另一方面，12120001122PF F SF F y =⋅=⋅=03=，解得：03y =, 又2200142x y +=，结合00x >可得0x =P的坐标为33⎛ ⎝⎭.【答案】⎝⎭5.（★★★）已知双曲线22:163x y C −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=，则12PF F 的面积为________. 【解析】设12F PF θ∠=，则2221tan 312cos tan 4271tan 2θθθθ−==⇒=+， 因为0θπ<<，所以022θπ<<，故tan 2θ=122tan2PF F b Sθ==.【答案】6.（★★★）已知双曲线22142x y −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上一点P 满足12PF F 的面积为2，则12PF F 的周长为________. 【解析】122222121222tan190242tantan22PF F b SPF PF F F θθθθ===⇒=⇒=︒⇒+==，又124PF PF −=， 所以22212121212122242164PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF −=+−⋅=−⋅=⇒⋅=，从而12PF PF +==，故12PF F的周长1212L PF PF F F =++=.【答案】7.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:12x C y −=的左、右焦点，P 为C 在第一象限上的一点，若12120F PF ∠=︒，则点P 的坐标为________. 【解析】设()00,P x y ()000,0x y>>，一方面，12120001122PF F S F F y =⋅=⋅=， 另一方面，1221tan 60tan2PF F b Sθ===︒03=，从而013y =，代入双曲线方程结合00x >可解得：0x =P 的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭. 【答案】13⎫⎪⎪⎝⎭8.（2020·新课标Ⅰ卷·★★★）设1F 、2F 是双曲线22:13y C x −=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 上且2OP =，则12PF F 的面积为（ ） A.7 B.3 C.52D .2 【解析】如图，设(),P x y ，则222243213x y y y x ⎧+=⎪⇒=⎨−=⎪⎩, 由题意，124F F =，所以12134322PFF S=⨯⨯=.解法2：如图，由题意，124F F =， 12212121329032tan 45tan2PF F b OP F F F PF Sθ==⇒∠=︒⇒===︒.【答案】B9.（2010·全国Ⅰ卷·★★★）已知1F 、2F 是双曲线22:1C x y −=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则|12PF PF ⋅=（ ） A.2 B.4 C.6 D.8【解析】一方面，1221tan 30tan2PF F b Sθ===︒另一方面，121212121sin 2PF F S PF PF F PF PF =⋅⋅∠⋅，12PF ⋅124PF PF ⋅=. 【答案】B10.（★★★）设1F 、2F 是椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且123PF PF =，则12PF F 的面积为________.【解析】如图，由题意，1211223341PF PF PF PF PF PF ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨+==⎪⎪⎩⎩，易求得12F F =，由余弦定理，222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +−∠==−⋅，所以12sin 3F PF ∠=，故12121211sin 31223PF F SPF PF F PF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯= 解法2：设()00,P x y ，由焦半径公式，123PF PF =即为0023222x x ⎛⎫+=− ⎪ ⎪⎝⎭，解得：03x =， 又220014x y +=，所以22002143x y =−=，从而0y ，易求得12F F =，如图，1212012PF F S F F y =⋅=.。
高中数学论文双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用
双曲线焦点三角形面积公式的应用定理 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则2cot 221θ⋅=∆b S PF F . 证明：记2211||,||r PF r PF ==，由双曲线的第一定义得.4)(,2||222121a r r a r r =-∴=-在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =-+-θ即.4)cos 1(242212c r r a =-+θ .cos 12cos 1)(222221θθ-=--=∴b a c r r 由任意三角形的面积公式得：2cot 2sin 22cos 2sin 2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=-⋅==∆b b b r r S PF F . .2cot 221θ⋅=∴∆b S PF F 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，公式仍然成立. 典题妙解例1 设1F 和2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，且满足︒=∠9021PF F ，则△21PF F 的面积是（ ）A. 1B.25 C. 2 D. 5 解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2 (03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.解: ,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF例3 已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122=+=ab e .41212=+∴a从而.42=a ∴所求的双曲线的标准方程为112422=-y x ，或112422=-x y . 金指点睛1. 已知双曲线1422=-y x 的两个焦点为1F 、2F ，点P 在双曲线上，且△21PF F 的面积为3，则 21PF PF ∙的值为( )A. 2B. 3C. 2-D. 3-2.（05北京6）已知双曲线的两个焦点为)0,5(),0,5(21F F -，P 是此双曲线上的一点，且2||||,2121=⋅⊥PF PF PF PF ，则该双曲线的方程是（ ） A. 13222=-y x B. 12322=-y x C. 1422=-y x D. 1422=-y x 3.（05全国Ⅲ）已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且021=⋅MF ，则点M 到x 轴的距离为（ ） A.34 B. 35 C. 332 D. 34. 双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为( )A ．163B ．323C ．32D ．42 5. 双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6. 已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率.参考答案1. 解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ. 又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF PF . ∴21PF PF ∙=2214cos ||||21=⨯=⋅⋅θPF PF . 故答案选A. 2. 解： ,21PF PF ⊥∴1221||||212121=⨯=⋅=∆PF PF S PF F . 又145cot 2cot22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b ，而5=c ，∴2=a .故答案选C. 3. 解： 021=⋅MF ，∴21MF MF ⊥. ∴245cot 22cot 221=︒==∆θb S MF F .点M 到x 轴的距离为h ，则23||212121===⋅⋅=∆h ch h F F S MF F ，∴332=h . 故答案选C.4. 解：设θ=∠21PF F ，则3πθ=. ∴3166cot 162cot 221===∆πθb S PF F .故答案选A. 5. 解：由14491622=-y x 得116922=-y x . 设θ=∠21PF F （︒≤︒1800 θ）. ∴2cot 162cot221θθ==∆b S PF F . 又θθsin 16sin ||||212121=⋅⋅=∆PF PF S PF F .∴2cot sin θθ=，即2sin 2cos 2cos 2sin 2θθθθ=. 整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.6. 解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF PF ∴︒=90θ. ∴22245cot 2cot21b b b S PF F =︒==∆θ. 又 ab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=. 得2=ab . ∴离心率5)(12=+=ab e .。
双曲线焦点三角形面积公式在高考中的妙用,DOC
双曲线焦点三角形面积公式的应用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）定理在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，∠F 在△1F 即42a +21=∆S PF F 例︒，则△解：,145cot 2cot 221=︒=⋅=∆θb S PF F ∴选A.例2(03天津)已知1F 、2F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，P 在双曲线上，若△21PF F 的面积是1，则21PF PF ⋅的值是___________.解:,12cot 2cot 221==⋅=∆θθb S PF F ︒=∴452θ,即.90︒=θ∴21PF PF ⊥，从而.021=⋅PF例3已知1F 、2F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且︒=∠6021PF F ，△21PF F 的面积是312，离心率为2，求双曲线的标准方程. 解：由31230cot 2cot 2221=︒=⋅=∆b b S PF F θ得：.122=b 又,2122=+=ab e∴，则 0，则A.34B.35C.332 D.3 4.双曲线116922=-y x 两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，直线PF 1，PF 2倾斜角之差为,3π则 △F 1PF 2面积为()A ．163B ．323C ．32D ．425.双曲线14491622=-y x ，1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小.6.已知双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）的焦点为1F 、2F ，P 为双曲线上一点，且021=⋅PF PF ，ab PF PF 4||||21=⋅，求双曲线的离心率. 参考答案1.解：32cot 2cot 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=60,302θθ. 又3sin ||||212121=⋅⋅=∆θPF PF S PF F ，∴4||||21=⋅PF . ∴2.3.4.5.∴又∴2cot sin θθ=，即2sin 2cos 2cos 2sin 2θθθθ=. 整理得：212sin 2=θ，∴222sin =θ，︒=452θ，︒=90θ. 故21PF F ∠的大小为︒90.6.解：设θ=∠21PF F ， 021=⋅PF ∴︒=90θ.∴22245cot 2cot 21b b b S PF F =︒==∆θ. 又 ab ab PF PF S PF F 2421||||212121=⨯=⋅=∆， ∴ab b 22=.得2=ab . ∴离心率5)(12=+=ab e .。
专题12 焦点三角形的面积公式(学生版)-2024年高考二级结论速解技巧
则△F1PF2 的面积为（ ）
A．3
B．9
C． 3 3
D． 9 3
2．（2019
秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期中）设
F1,
F2
是椭圆
x2 25
+
y2 16
= 1 的两个焦点，点
M
在
椭圆上，若△MF1F2 是直角三角形，则△MF1F2 的面积等于（ ）
48 A． 5
36 B． 5
C．16
48 D． 5 或 16
离心率为 5 ． P 是 C 上一点，且 F1P ⊥ F2P ．若 ∆PF1F2 的面积为 4，则 a =（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
三、针对训练 举一反三
1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆
x2 25
+
y2 9
= 1的焦点为 F1 、F2 ，P 为椭圆上的一点，若 ∠F1PF2
= 60° ，
+
y2 4
= 1上，F1 与 F2 分别为左右焦点，若 ∠F1PF2
= 2π ，则 3
△F1PF2
的面积为( )
A． 4 3
B． 6 3
C．8 3
D．16
5．（2021
秋·江苏南京·高三金陵中学校考阶段练习）已知双曲线 C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
>
0, b
>
0) 的左焦点为
F，直
线 y = kx 与双曲线 C 交于 A，B 两点（其中点 A 位于第一象限），∠AFB =90° ，且 FAB 的面积为 3 a2 ，则 2
S ② ∆PF1F2
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今天我们研究双曲线焦点三角形的面积。
12PF F ∆由两焦点和双曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形. 求焦点三角形的面积时，通常会利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理等，焦点三角形的面积主要有两种求法：1212121211
sin =2c |y |22PF F PF F P S r r F PF S =∠和。
例:已知双曲线22
1916x y -=的左、右焦点分别为12F F 、，若双曲线上一点P 使 1290F PF ∠︒＝，则1F PF 的面积是（ ） A.12 B.16 C.24 D.32
解：根据双曲线的定义有：126PF PF =－ 两边平方得：22
1212236PF PF PF PF ＋－＝
由勾股定理有：
22
2121212||10032PF PF F F PF PF ∴＋＝＝，
＝
121
2S PF PF ∴=＝16
所以本题选B 。
整理： 焦点三角形的面积求法：
2211||,||r PF r PF ==，12F PF θ∠=；
12121sin 2PF F S r r θ=；121=2||2PF F P S c y ；
注意：讨论焦点三角形的相关性质时，要结合双曲线的定义，简化运算。
再看一个例题，加深印象：
例：已知12F F ，为双曲线22
1C x y -=：的左、右焦点，P 点在C 上，1260F PF ∠︒＝，则P 到x 轴的距离为（ ）
解：不妨设 设12(,),,,P x y PF m PF n ＝＝ 由双曲线的定义有：12 2.PF PF m
n －＝－＝ 在△21PF F 中，由余弦定理得： 2222(22)-2cos 608(-).
4
m n mn m n mn mn =+︒
=+=
从而由三角形面积公式有：
11sin 6022
1422
2
y mn y y ⨯︒⨯⨯∴＝，＝
总结：
1.双曲线焦点三角形是一个很重要的三角形，相关的知识有双曲线的定义、余弦定理等.
2.掌握双曲线焦点三角形的面积公式，根据已知条件合理选择面积公式计算.
练习：
1.已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，12,F F 为左右焦点， P 是双曲线上一点，且1260,F PF ∠=
12PF F S ∆=.
2.设P 为双曲线2
2
112y x -= 上的一点,12,F F 是该双曲线的两个焦点.若 12||:||3:2PF PF =,则12PF F 的面积为( )
A.
B.12
C. D.24
已知点P 是双曲线22
145
x y -= 上一点,若PF 1⊥PF 2,则△PF 1F 2的面积为( ) A.54 B.52 C.5 D.10
答案：
1. 【解析】设双曲线方程为()22
2210,0x y a b a b -=>>
2,2e c a =∴= 所以，2224,16,12a c b ===，双曲线标准方程为22
1412x y -=.。