年龄分组的种群增长模型
种群增长的三个模型
种群增长的三个模型一、引言种群增长是生态学中的重要研究领域，对于了解生物群体的数量和结构变化、探究物种在自然环境中的适应性和竞争性等具有重要意义。
在研究种群增长过程中，学者们提出了多个模型，以便更好地解释和预测种群数量变化。
本文将介绍三个经典的种群增长模型：指数增长模型、对数增长模型和S形曲线增长模型，并探讨它们在实际应用中的意义。
一、指数增长模型的概述指数增长模型作为一种基础的种群增长模型，其基本假设在于环境资源充足、个体间无竞争、出生率和死亡率保持恒定。
在这种理想条件下，一个物种的数量会以指数级速度增长。
然而，在现实的自然环境中，这种理想条件往往难以实现。
因此，指数增长模型在实际应用中，更多地被用于描述短期内资源丰富、无竞争压力下物种数量变化的情况，如某些繁殖周期短、繁殖率高的昆虫。
二、对数增长模型的提出对数增长模型是对指数增长模型的一种修正和拓展。
它考虑到了资源有限和种群间的竞争因素。
在對数增长模型中，种群数量的增长速率随着数量的增加而逐渐减缓，最终趋于稳定。
相较于指数增长模型，对数增长模型在描述实际种群数量变化时更为准确。
例如，在资源有限且个体间存在竞争压力的情况下，种群数量会逐渐达到一个稳定值，这个稳定值被称为种群的容量极限。
三、S形曲线增长模型的综合特点S形曲线增长模型是一种更复杂且更符合实际情况下种群增长规律的模型。
它融合了指数增长模型和对数增长模型的特点，同时考虑了环境因素、竞争压力以及其他影响因素。
S形曲线增长模型最早由人口学家托马斯·马尔萨斯提出，后在生态学领域得到广泛应用。
四、S形曲线增长模型的应用价值S形曲线增长模型描述了一个物种在资源有限且存在竞争时，从指数生长逐渐过渡到饱和状态，并最终趋于稳定的过程。
这种增长模型在描述人类和其他大型哺乳动物种群的数量变化时非常有用。
通过对S 形曲线增长模型的研究，我们可以更好地了解生物种群在自然界中的生长规律，为生态环境保护、资源利用和人口管理等领域提供理论依据。
种群增长特征模型
种群增长特征模型
种群增长特征模型主要有两种：J型增长模型和S型增长模型。
J型增长模型：J型增长是在理想条件下，种群数量呈指数增长的模式，其数学模型为Nt=N0λt，其中Nt代表t年种群数量，N0是初始种群数量，λ是种群增长率，t是时间。
J型增长的种群数量每年以一定的倍数增长，不受种群密度制约，无环境容纳量（K 值）限制。
S型增长模型：S型增长是在自然条件下，由于资源和空间的限制，种群数量呈逻辑斯蒂增长的模式。
其数学模型为dN/dt=rN*(1-N/K)，其中r是种群增长率，K是环境容纳量，N是种群数量。
S型增长的种群数量在达到环境容纳量K值后将停止增长，有时在K值左右保持相对稳定。
环境阻力在S型增长模型中表现为抑制种群增长的因子，这些因子在生存斗争中被淘汰的个体数占个体总数的比例随种群密度的增大而增加。
数学建模种群分年龄组增长模型
问题陈述：一群动物最高年龄为15岁(年)，繁殖周期为5年，因此每5岁一组分成3个年龄组，各组繁殖率为0, 4, 3，存活率为1/2,1/4。
建立种群增长模型。
(1)开始每组各有1000只，求30年内每5年各组动物数量; 并确定种群的固有增长率和稳定分布。
(2)如果饲养者每5年出售一次动物，出售量为龄组i在这5年的增量，记出售量与该龄组存量之比为本时段收获系数H，即hi(n)ai (n)=ai (n)-ai (n-1)，H(n)=diag(h1(n), h2 (n), h3(n)) 。
建立稳定收获模型。
(3)如果饲养者只出售幼龄组动物，即h2 =h3 =0。
求稳定收获的收获系数h1，该种群的稳定分布和收获量。
（所谓稳定收获指收获量不变，这时收获系数和收获后的种群数量与时间n无关）问题（1）分析：问题（1）蕴含着三个平衡关系：第k个5年的幼年=第k-1个5年的中年和老年所繁殖之和；第k个5年的中年=第K-1个5年的存活下来的幼年；第k个5年的老年=第K-1个5年的存活下来的中年；于是可以依此给出LESLIE矩阵，建立模型，求出30年内每5年各组的数量。
至于固有增长率和稳定分布，归结为求矩阵的特征值特征向量的问题。
问题假设：幼年经过5年存活下来的就成长为中年，中年经过5年存活下来的就成长为老年，老年经过5年全部死亡。
变量：幼年在第K个5年的数量a1(k)中年在第K个5年的数量a2(k)老年在第K个5年的数量a3(k)LESLIE矩阵A建立模型：根据平衡关系可以列出方程：[a1(k) a2(k) a3(k) ]’=A*[ a1(k-1) a2(k-1) a3(k-1)] ’;其中A=[0 4 3;0.5 0 0 ;0 0.25 0];初始条件为:[a1(1) a2(1) a3(1) ]’=[1000 1000 1000]’1按照这个递推关系求出30年内各个年龄组的数量为第个5年0 1 2 3 4 5 6 幼年1000 7000 2750 14375 8125 29781 21641中年1000 500 3500 1375 7188 4063 14891老年1000 250 125 875 344 1797 10162 画出各个年龄组数量随时间变化图像如下蓝色代表幼年，绿色代表中年，红色代表老年。
按年龄分组的种群增长模型【精选】
按年龄分组的种群增长模型
前面我们多次介绍到种群增长的阻滞型增长模型, 微分方程模型为
dx rx(1 x )
dt
N
差分方程模型为
yk1
yk
ryk (1
yk ),k N
0,1,2,
这里我们对于种群中的个体之间的差异没有考虑,特 别是没有考虑不同的年龄组的种群对该种群数量的 增长的影响有很大的不同这一特点.
s1s2
12
,,
s1s2 sn1
1n1
]T
L矩阵的其他n-1个特征根满足
| k | 1, k 2,3,, n
验 证
(5)
注:若某个si=0,则第i+1组应该取消.
定理2 若L矩阵的第一行有两项顺次的元素bi, bi+1都 大于零,则
| k | 1, k 2,3,, n
i1
n
x1(k 1) bi xi (k), xi1(k 1) si xi , i 1,2,, n 1. i1
将第k时段的各年龄组的人数写成向量:
x1(k)
x(k)
x
2
(k
)
xn
(k
)
b1 b2 bn1 bn
s1
(6)
且差分方程组(1)的解(3)满足
x(k)
lim
k
1k
cx *
(7)
其中常数c由bi,si和x(0)确定.
定理1,2的条件对于种群增长来说通常满足.
x(k) Lk x(0), k 1,2, (3)
x(k)
lim
cx *
按年龄分组的人口模型
按年龄分组的种群增长模型——Leslie 模型 种群直接通过雌性个体的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量的变化为研究对象比较方便。
下面提到的种群数量均指其中的雌性，总体数量可按照一定的性别比算出。
将种群按年龄大小等间隔地分成n 个年龄组，如每1岁或5岁为1组。
与之相对应，时间也分成与年龄组区间大小相等的时段，如1年或5年为一个时段。
记时段k 第i 年龄组的种群数量为x i (k),k=0,1,2，……，i=1，2，3，4，……，n 。
在稳定的环境下和不太长的时间内，合理地假设种群的繁殖率和死亡率不随时段k 变化，只与年龄组有关。
记第i 年龄组的繁殖率为b i ，即每个（雌性）个体在1个时段内繁殖的数量；记第i 年龄组的死亡率为d i ，即1个时段内死亡数量（占总量）的比例。
s i =1-d i 称为存活率。
通常，b i 和s i 可由统计资料获得，且有以下性质：b i >=0，i=1，2，3，……，n ，且至少有一个b i >0；0<s i <=1,i=1，2，3，……，n-1。
种群数量x i (k)的变化规律由2个基本关系得到：时段k+1第1年龄组的数量是各年龄组在时段k 的繁殖数量之和；时段k+1第i+1年龄组（i=1，2，……，n-1）的数量是时段k 第i 年龄组存活下来的数量，由此得到x 1(k+1)= 1b ()ni i i x k =∑,k=0，1，2， (1)x i+1(k+1)=s i x i (k)，k=0，1，2，……，i=1，2，……，n-1（2）（1），（2）是差分方程组，记种群数量在时段k 按照年龄组的分布向量为x(k)=[（x 1(k),x 2(k),......,x n (k)]T ,k=0，1，2 (3)由繁殖率b i 和存活率s i 构成的矩阵1()limk k x k λ→∞11212100000000n n n b b b b s L s s --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则（1），（2）可表为x(k+1)=Lx(k)，k=0，1，2 (5)当矩阵L 和按年龄组的初始分布x(0)已知时，可以预测种群数量在时间段k 按年龄组的分布为x(k)=L k x(0)，k=1，2， (6)有了x(k)，不难算出种群在时段k 的总数。
实验22 按年龄分组的种群增长模型
实验22 按年龄分组的种群增长模型实验目的1、利用常差分方程建立实际问题的数学；2、学会用MATLAB 软件计算出模型的相关问题。
实验内容1、用常差分方程建立按年龄分组的种群增长模型；2、用MATLAB 软件求按年龄分组的种群模型的一些问题。
实验步骤问题 野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率、死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑按年龄分组的种群增长。
将种群按年龄等间隔地分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率（在稳定环境下不妨假定它们与时段无关），建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。
模型及其求解 设种群按年龄等间隔地分成n 个年龄组，记0,1,2,...,i n =，时段记作0,1,2,...k =，且年龄组区间与时段长度相等（若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段）。
以雌性个体为研究对象比较方便，以下种群数量均指其中的雌性。
记第i 年龄组在时段k 的数量为()x k i ；第i 年龄组的繁殖率为i b ，表示每个（雌性）个体在一个时段内繁殖的数量；第i 年龄组的死亡率为i d ，表示一个时段内死亡数与总数的比。
1i i s d =-是存活率。
为建立()i x k 的变化规律，我们注意到:第1年龄组在时候1k +的数量为各年龄组在第k 时段繁殖的数量之和，即11(1)()0,1,ni i i x k b x k k =+==∑(22.1)而第1i +年龄组在时段1k +的数量是第i 年龄组在时段k 存活的数量，即 1(1)()1,2,,1,0,1,i i i x k s x k i n k ++==-=(22.2) 记在时段k 种群各年龄组的数量为12()((),(),,())T n x k x k x k x k = 。
(22.3)这样，有1(1)(),0,1,k x k Lx k k ++== (22.4)将()x k 归一化后的向量记做()xk ,称种群按年龄的分布向量。
具有年龄结构的种群增长模型模拟(生态学实验报告)
生态学实验报告具有年龄结构的种群增长模型模拟姓名：学号：时间：一、实验原理种群统计的核心是建立反映种群生活史的各年龄组成出生率和死亡率等信息的综合表，即生命表。
种群生命表都是在假设种群的数量和年龄结构不变的前提下，反映一个特定年龄种群的个体存活率、死亡率和生殖率所呈现的变化；或特定时间内的各龄级间的个体存活、死亡及增值力的变化。
Leslie矩阵，可以依据生命表的参数，使种群数量与年龄结构的变化得到定量的表达和预测。
二、实验假设假设对一个人群的数量增长进行监控，寿命范围0-100年，以十年为一个年龄级，现设0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个年龄级对应的存活率分别为1 , 0.9 , 0.8 , 0.7 , 0.65 , 0.55 , 0.35 , 0.15 , 0.05 , 0 。
调查当天，前四个年龄级对应人数为10 ， 8，5， 3，其余年龄级人数均为零，通过改变各年龄段的平均生殖率模拟计划生育对种群总数增长的影响（假设各年龄级存活率不变）。
实验猜测，计划生育会降低种群的增长速度，降低各年龄级的平均生殖率对种群数量控制有显著效果。
三、实验过程1.打开population程序，设置年龄级为0-92.设置lx分别为1 , 0.9 , 0.8 , 0.7 , 0.65 , 0.55 , 0.35 , 0.15 , 0.05 , 03.设置1，2，3级对应的Mx为1,4,24.设置1,2,3,4级对应的Sx（0）为10,8,5,35.设置代数为5，绘制∑Sx-Time曲线图6.改变1，2，3级Mx为0,1,1，绘制5代内∑Sx-Time曲线图四、实验数据（1）假如不对该人群进行计划生育，1，2,3年龄级对应的平均生殖率分别为1,4,2，用population 软件模拟种群五代内的种群增长曲线表一、不进行计划生育时该人群生命表部分数据表二、表一数据设置对应的Leslie矩阵图一、不进行计划生育时五代内人群数量增长曲线图（2）假如对该人群进行计划生育，使其1,2,3,年龄级对应的平均生殖率分别降低至0,1,1然后用population软件模拟该群体五代内的增长曲线表三、进行计划生育时该人群生命表部分数据表四、表三数据设置对应的Leslie矩阵图二、进行计划生育时五代内人群数量增长曲线图图三、进行计划生育时20代内人群数量增长曲线图五、结果分析1.在软件中通过改变各年龄级平均生殖率的参数，从而改变各年龄级特殊出生率，影响种群增长速率，从改变参数前后的图形趋势变化可以看出，各年龄级平均生殖率的降低明显使种群增长速度降低，初始种群总数为26人，未计划生育时五代后群体总数增长到了2200左右，而计划生育降低各年龄级平均生殖率后五代时种群总数为80左右，20代时种群总数也才不到1000人。
种群增长模型(完全版)
种群连续增长模型
种群离散增长模型 种群连续增长模型
（一）与密度无关的种群增长模型 1、种群离散增长模型（差分方程）
假设：①种群在无限环境中增长,增长率不变
②世代之间不重叠，增长不连续
③种群没有迁入、迁出
④种群没有年龄结构
N t+1=λNt
或
Nt=N0 λt lgNt=lgN0+(lgλ)t 式中：N —— 种群大小；
（2）种群连续增长模型（逻辑斯谛方程）
模型增加了两点假设：
①有一个环境容纳量（通常以K表示），当Nt = K 时，种群为零增长，即dN/dt = 0；
②增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。
每增加一个个体，就产生1/K的抑制影响。例如K=100，每增加
一个个体，产生0.01影响，或者说，每一个体利用了1/K的“空间”，
大不列颠颈圈斑鸠的指数增长(Hengeveld,1988)
与密度无关的种群增长曲线
※ r 和 的关系:
Nt=N0 λt Nt =N0ert
r
λ
λ= er
即，r = lnλ
种群变化
种群上升
种群稳定 种群下降 雌体无生殖，种群灭亡
r>0
r=0 r<0 r=－∞
λ >1
λ =1
0<λ <1
λ =0
① 是许多两个相互作用种群增长模型的基础；
② 是渔捞、林业、农业等实践领域中，确定最
大持续产量（maximum sustained yield）的
主要模型； ③ 模型中两个参数 r、K ，已成为生物进化对 策理论中的重要概念。
种群密度每偏离平衡密度 一个单位,λ改变的比例
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以雌性个体数量为对象
建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律
模型建立
种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,… , n
时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，k=1,2,…
第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi
第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di
10级应数（3）班
张林
任凯
郭腾飞
xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量
X(k+1)=LX(k),k=0,1,2,…
当矩阵L和按年龄组的初始分布向量x（0）已知时，可以预测任意时段k种群按年龄组的分布为：
稳定状态分析的数学知识
P的第1列是x*
在按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物的最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为b1=0,b2=4,b3=3,存活率为s1=1/2,s2=1/4,开始时3组各有1000只。求15年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种群的增长率（即固有增长率）和按年龄的分布。
讨论问题：在按年龄分组的种群增长模型中，设一群动物的最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率为b1=0,b2=4,b3=3,存活率为s1=1/2,s2=1/4,开始时3组各有1000只。求15年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种群的增长率（即固有增长率）和按年龄的分布。
成员：