立体图形染色
人教版六年级数学讲义-4染色和表面积
染色和表面积学生姓名年级学科授课教师日期时段教学核心三视图求表面积、染色问题课型培训辅导/课堂讲解教学目标1、进一步认识立体图形的特征2、利用三视图掌握求不规则立体图形的表面积3、利用长方体与正方体的特征.解决实际生活问题4、增强小升初考试的应试能力重点难点教学重点1、2教学难点3、4课前引导1、询问上次课学习内容2、检查上次作业知识导图课前检测1.小红从三个不同的角度观察这个立体图形.从正面看到是（）.从左面看到的是（）.从上面看到的是（）.2.小明从不同方向观察一个物体.看到的情况如下：下面的图形中.满足小明所观察到的图形是（）.导学一：三视图求表面积重点讲解 1三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形.我们可以利用三视图求由小正方体拼成的不规则立体图形的表面积.也可以根据三视图还原立体图形.例 1. 16个边长为1厘米的小正方体堆成如图的形状.求它的表面积.例 2. 有一个棱长是4厘米的正方体.从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后.得到的物体的表面积是多少平方厘米？课堂练习1.用棱长为1厘米的小正方体拼成下图（1）和（2）的形状.请分别求出它们的表面积.2.下图是由17个棱长2厘米的小正方体重叠而成的.求这个立体图形的表面积.3.有一个棱长是5厘米的正方体.从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后.粘在另一个面上（如图）.那么得到的物体的表面积是多少平方厘米？4.一个长5厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体.被切去一块后（如图）.剩下部分的表面积是多少平方厘米？导学二：染色问题重点讲解 1在长方体和正方体的问题中.有些问题是对表面涂色.再根据已知条件进行计算.解决这类问题时.要抓住“顶点”、“棱”、“面”的不同情况.结合图形进行分类计算.且要谨记：一个正方体（或长方体）有8个顶点、6个面、 12条棱.例 1. 下图是由16个相同的正方体拼成的.在它的外面全部涂成红色后分开.4个面涂有红色的小正方体有（）个.3个面涂有红色的小正方体有（）个.2个面涂有红色的小正方体有（）个.课堂练习1.有25个相同的白色小方块堆成了如图所示形状.将它的外面全部涂成红色后分开.4个面涂有红色的小正方体有（）个.3个面涂有红色的小正方体有（）个.2个面涂有红色的小正方体有（）个.2.给下图的每个小正方体涂上红色再分开.每个小正方体涂色的面数是怎样的？请你在图中标记出来.导学三：拓展练习重点讲解 1：对一个正方体的表面涂色.再分成棱长是1的小正方体.有如下结论（表中为对应的小正方体的个数）：例 1. 把一个棱长为3厘米的正方体每个面都涂上颜色后.再把它切割成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中. 其中三个面涂有颜色的有多少个？两个面涂有颜色的有多少个？只有一个面涂有颜色的有多少个？各个面都没有涂颜色的有多少个？课堂练习1.把一个棱长为4厘米的正方体的每个面上都涂上颜色后.再把它切割成棱长为1厘米的小正方体.①三个面涂有颜色的有多少个？②两个面涂有颜色的有多少个？③只有一个面涂有颜色的有多少个？④各个面都没有涂颜色的有多少个？2.把一个棱长是整厘米数的正方体的表面涂颜色后再分割成体积为1立方厘米的小正方体.其中有27个小正方体的表面没有涂颜色.那么有一个面涂有颜色的小正方体有多少个？限时考场模拟1.下图是由10个棱长为1分米的小正方体构成的图形.求它的表面积.2.下图是由34个棱长1厘米的小正方体重叠而成的.求这个立体图形的表面积.3.如图是一个由8个小正方体拼成的图形.在它的四周都涂上颜色.那么四个面涂有颜色的小正方体有（）个.两个面涂有颜色的小正方体有（）个.4.把一个棱长为2厘米的正方体每个面上都涂上颜色后.再把它切割成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中.其中三个面涂有颜色的有（）个.课后作业1.下图是由28个棱长1厘米的小正方体重叠而成的.求这个立体图形的表面积.2.下图是一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体.从它的一个角切下一个棱长是2厘米的小正方体.剩下图形的表面积是多少？3.有5个相同的白色小方块堆成了如图所示形状.将它的外面全部涂成红色后分开.问：5个小方块各有几个面是红色的？4.如图是一个由12个小正方体拼成的图形.在它的四周都涂上颜色.那么四个面涂有颜色的小正方体有（）个.两个面涂有颜色的小正方体有（）个.1.完成本堂课的课后作业.2.标注理解不深刻的例题回去复习.将错题誊写到错题集上.课前检测1.C、A、B2.A导学一重点讲解 1例题1.48平方厘米解析:前（后）：1＋1＋2＋3＝7（个）上（下）：3×3＝9（个）左（右）：1＋2＋2＋3＝8（个）表面积：（7×2＋8×2＋9×2）×（1×1）＝48（平方厘米）2.96平方厘米解析:4×4×6＝96（平方厘米）课堂练习1.28平方厘米.26平方厘米解析:①（6×2＋4×2＋4×2）×（1×1）＝28（平方厘米）②（4×2＋6×2＋3×2）×（1×1）＝26（平方厘米）2.216平方厘米解析:（9×2＋9×2＋9×2）×（2×2）＝216（平方厘米）3.154平方厘米解析:5×5×6＋1×1×4＝154（平方厘米）4.48平方厘米解析:（5×1＋5×3＋1×3）×2＋1×1×2＝48（平方厘米）导学二重点讲解 1例题1.4、8、4解析:四个角落的是涂色4面.正方形中央的4个是图有2面的.棱的中间是图有3面的课堂练习1.4、12、92.4、4、4、3、4、5解析:导学三重点讲解 1：例题1.8、12、6、1解析:三个面涂有颜色的小正方体有8个.两个面涂有颜色的小正方体有（3－2）×12＝12（个）.只有一个面涂有颜色的小正方体有（3－2）×（3－2）×6＝6（个）.各个面都没有涂颜色的小正方体有（3－2）×（3－2）×（3－2）＝1（个）课堂练习1.8、24、24、8解析: ①8个.②（4－2）×12＝24（个）.③（4－2）×（4－2）×6＝24（个）.④（4－2）×（4－2）×（4－2）＝8（个）2.54解析:27＝3×3×3.3＋2＝5（个）.（5－2）×（5－2）×6＝54（个）限时考场模拟1.34平方分米解析:（7×2＋5×2＋5×2）×（1×1）＝34（平方分米）2.66平方厘米解析:（3×4＋3×3＋4×3）×2＝66（平方厘米）3.5个.1个4.8课后作业1.66平方厘米解析:（3×4＋3×3＋4×3）×2＝66（平方厘米）2.376平方厘米解析:（10×8＋10×6＋8×6）×2＝376（平方厘米）3.5、5、2、5、5 解析:4.4个.2个。
小学奥数题目-六年级-计数类-立方体染色
通常，在一个大的立方体表面进行染色，染色之后再进行切割，将大立方体切割成许多小的立方体，这样得到的小立方体中，染色的情况会有许多种，一面染色、两面染色、三面染色……本讲主要讲解解决这类问题的一些方法。
包括染色一面，两面，三面等小立方体个数的计算公式。
例1、将下图中棱长为10厘米正方体表面涂上红色，如果沿着虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？1. 1.长宽高分别为3，4，5的长方体，将其表面涂上红色，然后将其切成60个边长为1的小立方体，这些小立方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少？2. 2.长宽高分别为6，8，12的长方体，将其表面涂上红色，然后沿着与边长分别为6和8的侧面平行的面切3次，沿着与边长分别为8和12的侧面平行的面切2次，沿着与边长分别为6和12的侧面平行的面切3次，将其分成若干个小长方体，这些小长方体中没有被涂成红色的所有表面的面积是多少？3. 3.将棱长为8厘米正方体表面涂上红色，如果把它切成64个边长为2厘米的小立方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？例2、有30个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？1. 1.如下图，由44个边长为1厘米的小正方体组成的如图所示的形式，现在把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？2. 2.有55个边长为1分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方分米？3. 3.如下图，由35个边长为2厘米的小正方体堆成的形状，然后把露出的表面涂成红色，被涂成红色的表面积是多少平方厘米？视频描述例3、一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是1分米的正方体木块。
问锯成的木块中三面涂有油漆有多少块？两面涂有油漆的有多少块？1. 1.一个长方体木块，长10分米，宽6分米，高8分米，在它六个面上都漆满油漆，然后锯成棱长都是2分米的正方体木块。
高中立体图形染色问题教案
高中立体图形染色问题教案
教学目标
- 让学生掌握立体图形的基本性质和相关公式。
- 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
- 教会学生如何通过染色方法解决立体图形的问题。
教学内容与过程
引入阶段
教师可以展示一些常见的立体图形模型，如立方体、长方体、球体等，并引导学生观察它们的特点。
提出染色问题：如果我们要对这些立体图形进行染色，最少需要多少种颜色才能确保相邻面不重色？
探索阶段
将学生分组，让每组选择一个立体图形，使用彩纸或者绘画工具来进行染色尝试。
在此过程中，教师需巡视指导，鼓励学生发现规律，比如立方体的六个面染两种颜色即可满足条件。
讨论阶段
各小组分享他们的染色方案，并解释其背后的逻辑。
教师点评各种方案的优劣，并总结出染色问题的一般性原则，即“欧拉公式”在立体图形中的应用。
应用阶段
给学生提供更复杂的立体组合图形，如多面体的组合，要求他们运用所学知识进行染色。
这一步骤旨在巩固学生的理解和应用能力。
总结阶段
教师应总结立体图形染色问题的关键点，包括：
- 立体图形的性质和面的相邻关系。
- 染色问题的解题策略和欧拉公式的应用。
- 逻辑推理在解决问题中的重要性。
课后作业与反思
布置相关的习题，让学生在家中继续练习，加深对立体图形染色问题的理解。
同时，教师应根据学生的反馈和作业表现，反思教学方法和内容，以便不断优化教学效果。
第3讲.切片与染色.B版
64 个同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的．现将它们拼成一个 4×4×4 的大正方体，大 正方体表面上白色部分的面积与黑色部分的面积之比最小是多少? 【分析】中心 8 个都用白色，在面上但不在边上的小正方体 24 个，也都用白色，还有 2 个白色放在棱上，
所以白色小正方形有 24+4=28 个，黑色小正方形有 96-28=68 个，那么面积之比最小为 28:68=7:17.
综合数论模块
将一个棱长为整数分米的长方体 6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为 1 分米的小正方体；在这些小
正方体中，6 个面都没有涂红色的有 12 块，仅有两个面涂红色的有 28 块，仅有一个面涂红色的有
3
+
切片与染色
预习
本讲内容
切片法解决立体图形体积 标数法解决立体图形表面积 立体图形的染色计数问题
前铺知识
长方体与正方体——五年级寒假第 1 讲(第 10 级上) 立体图形和空间想象——五年级春季第 12 讲(第 10 级下)
后续知识
圆柱与圆锥——六年级秋季第 2 讲(第 11 级下) 旋转与轨迹——六年级秋季第 6 讲(第 11 级下)
3 第 3 讲 切片与染色（优秀 B 版 教师版）
4
故体积为 21 9 21 9 21 81 . 求例 1 中各个立体图形的表面积：
(1)
(2)
(3)
【分析】(1)标数法解决表面积：先把立体图形的正视图画好，然后考虑从每一个小方格的中心“穿进去” 时，将会“穿过”多少面“墙”，注意这里仅计算从正面这个方向看见(穿过)的面.这样就可以求 出正方体前面的面积(如下图).其余 5 个方向的小方格亦可用同样的方法被计算，故这个方法可以 求出立体图形的表面积；
第五讲 立体图形染色问题
第五讲立体图形染色问题
姓名成绩
【例1】一个正方体棱长7cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
【例2】一个长方体长9cm，宽4cm，高8 cm，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，三面涂红色的、两面涂红色的、1面涂红色的各有多少个？没有涂成红色的有多少个？
〖练习1〗一个正方体，表面涂成红色，切成棱长1cm的小正方体，期中一面涂色的有216个小正方体，这个正方体的体积是多少？
〖练习2〗一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切4刀，沿着高边等距离切n次后，要使各面上均没有红色的小方块为24块，则n的取值是________。
综合试题
1、某学生语文和数学平均分为90分，语文和英语的平均分为94分，英语和数学平均分为91分。
这位学生语文考（）分，数学考（）分。
2、甲仓库有大米95.8吨，乙仓库有大米54.5吨。
要从甲仓库中运（）吨到乙仓库后，乙仓库中的大米吨数是甲仓库中的2倍。
3、有一组数据如下图排列：
一二三四五
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13
17 16 15 14
······如此规律，1991排在第（）列。
4、一个长方体，如果长减少2厘米，宽、高不变，它的体积减少48立方厘米，如果宽增加3厘米，长、高都不变，它的体积增加99立方厘米，如果高增加4厘米，长、宽都不变，它的体积增加352立方厘米，求原长方体的表面积是多少平方厘米？。
二年级下册数学思维拓展：第一讲 染色问题
小朋友，学过的知识可以用思维导图表示出来哦。
试着自己画一画吧！下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上橙色，想一想，有多少个小正方形没有被涂色？用小正方体拼成了一个如下图的模型，然后把它粘在地上喷上蓝色油漆。
这堆正方体中共有多少个小正方形没有被喷上颜色？（1）艾迪把一个大长方体表面都涂上了黄色，然后切成了4个长方体，这些长方体中有多少个面没有被涂上颜色？（2）薇儿把刚才艾迪涂好色并切割好的长方体又切了三刀，变成下图的样子，请问现在有多少个面没有被上颜色？武西看到了薇儿切割好的长方体，开心地说：“这些小长方体中，有的1面被涂上黄色了，有的2面被涂上黄色了，有的3面被涂上黄色了，还有的4面被涂上黄色了！真神奇呀！”薇儿说：“你说的不对哦。
”小朋友们，武西哪里说错了？请你帮他数一数吧。
加加把下面的立体图形粘在地上喷上绿色油漆，并切成了如图所示的样子。
请你数一数，0面、1面、2面、3面、4面被涂色的小正方体块各有多少个。
一个大正方体的表面都涂上橙色，然后切成64个小正方体。
在这些切成的小正方体中，0面、1面、2面、3面、4面被涂色的小正方体块各有多少个？减减搬来了27块小正方体，请加加帮忙喷油漆。
加加把这27块小正方体摆成了一个新的立体图形，并在外边喷上了一层油漆。
减减把这27个小正方体块一一拿开，发现有8个小正方体3面喷上了油漆，12个小正方体2面喷上了油漆，6个小正方体1面喷上了油漆，1个小正方体6个面都没有喷上油漆。
请问加加把这27个小正方体摆成了什么样的立体图形呢？乘乘用正方体小砖块垒成了下面的形状，粘到地上后从里到外喷上了橙色的油漆，中间是空心的。
请你数一数，0面、1面、2面、3面、被涂色的小正方体块各有多少个。
小航老师给下面的立体图形从里到外喷上了绿色的油漆，然后把它放到了桌子上。
仔细观察，下图中有多少个小正方形没有被染色？（中间是空心的）你能用不同的方法算一算吗？如图，这是一个用小正方体粘成的模型。
棋盘染色法的分类与应用
棋盘染色法的分类与应用华师大二附中王崇熙指导教师施洪亮摘要组合数学是数学应用中非常重要的一门分支，染色法是其中非常重要的一种方法，随着染色法的发明，一大系列难解的组合问题都得到了非常简便地解决，本研究着重将过去比较模糊的染色法的概念做了一个系统的分类，创造了一种可行的发现新的染色方案的比较系统的思想，并将普遍的二维染色法做了一个推广，解决了一个三维中的组合问题。
研究得出的主要结论为：1、二维染色法的分类：（1）双色染色法（国际象棋盘染色法）；（2）多色规则染色法（高度对称）；（3）不规则染色法（根据问题灵活转变）；2、三维染色法的初步结论：三维染色法基于二维的一些情况进行推广，解决了一个较为困难的三维覆盖问题。
关键词：染色法；博弈问题；覆盖问题；分类；推广一、引言：组合数学是一门研究离散的量的变化规律的学科。
组合数学的方法千变万化，没有一种适用于所有问题。
这些方法有一些共同点：1、所有的方法追求的是简单与清晰。
2、所有的方法都较难想到，而说破了却又很简单，解决问题后经常有一种恍然大悟的感觉。
作为一名数学爱好者，很多人喜欢解组合数学的问题，其中染色法是颇受欣赏的方法。
但是在中学或大学数学教与学的过程中缺乏对染色法的系统研究，这使得人们很难学习与掌握该方法。
做题时并不能真正的掌握问题的本质，在下一次遇到可能用染色法解决的问题时并不能很好地找到正确的解决方法。
我们不妨来看一下过去使用染色法解决问题的过程，一道问题的解答一半多以这样开头：“这道问题我们用染色法来解决，把点A涂上红色……，如图，分析一下各类不变量，我们得到……”。
在做了大量的练习之后，笔者初步掌握了棋盘染色方法，对该染色法进行了分类，并研究了该染色法在解决组合问题中的具体应用。
二、棋盘染色法的分类:棋盘染色法是一类借助国际象棋棋盘通过染色解决组合问题的解踢方法的简称。
经过对染色法问题的系统研究，分析每种方法的解题特点，经过归纳整理，可将棋盘染色法大致分为以下几类：1、双色相邻染色法（国际象棋棋盘染色法）这个染色法的基本构图（如右图），正如它的名字所言，是分析问题的奇偶本质。
小学奥数 长方体正方体染色问题、三视图 知识点+例题+练习 (分类全面)
教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图重点染色问题、沉浸问题、三视图难点染色问题、沉浸问题、三视图教学过程一、染色问题一个棱长1分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长1厘米的小正方体。
在这些小正方体中：（1）三个面涂有红色的有多少个？（2）两个面涂有红色的有多少个？（3）一个面涂有红色的有多少个？（4）六个面都没有涂色的有多少个？下面我们结合图示，分别来看看这几个问题。
（1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三个面涂有红色的有8个。
（2）两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有8个，正方体有12条棱，所以两个面涂有红色的有8×12=96个。
（3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有8×8=64个，正方体有6个面，所以一个面涂有红色的有8×8×6=384个。
(4)六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：算法1： 1000－8－96－384=512（个）；算法2： 8×8×8=512（个）。
公式：（1）正方体有8个顶点、12条棱、6个面假设把棱n等分（n≥3），那么:N的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色,则未被涂色的小立方体有(n-2)3个.一面被涂色的小立方体为(n-2)2*6个.两面被涂色的小立方体有(n-2)*12个.三面被涂色的有8个.（2）长方体, 有a*b*c个立方体组成的长方体表面涂上颜色.则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2)个一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4三面被涂色的有8个【例 1】下图是333⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：1； 1面：6；两面：2；三面：8【巩固】下图是456⨯⨯长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？0面：24； 1面：52；两面：36；三面：8图1图2【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．26图2图3课堂作业：1．一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切5刀，沿着宽边等距离切3刀，沿着高边等距离切_______次后，要使各面上均没有红色的小方块为40块．5.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个形体最少由________个小正方体构成，6.小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2所示，从上面看如图3所示，那么这个几何体至少用了块木块．。