高中数学第三章统计案例2独立性检验知识导航北师大选修2-3讲解
§2 独立性检验
自主整理
1.设A ，B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值, 变量A ：A 1，A 2=A 1； 变量B ：B 1，B 2=B 1. 通过观察得到下表所示数据:
其中，a 表示变量A 取A 1，且变量B 取B 1时的数据；b 表示变量A 取A 1，且变量B 取B 2时的数据；c 表示变量A 取A 2，且变量B 取B 1时的数据；d 表示变量A 取A 2，且变量B 取B 2时的数据.
设n=a+b+c+d,用_______________估计P(A 1B 1), ______________估计P(A 1), __________估计P(B 1). 若有式子
n
c a n b a n a +∙+=, 则可以认为______________独立.
同理,若
n d b n b a n b +∙+=，则可以认为______________独立；若n
c
a n d c n c +∙+=，则可以认为______________独立；若n
d
b n d
c n
d +∙+=，则可以认为______________独立.
但是,在n c a n b a n a +∙+=中，由于n
c
a n
b a n a ++,,表示的是______________，不同于
概率，即使变量之间独立，式子两边也不一定恰好相等.但是当两边相差______________时,
变量之间就不独立.
2.选取χ2
作统计量,用它的大小来检验变量之间是否独立. χ2
=______________________________________________________________________ 当数据量较大时,在统计中,用以下结果对变量的独立性进行判断.
(1)当χ2
≤______________时,没有充分的证据判定变量A,B 有关联,可以认为变量A,B 是没有关联的;
(2)当χ2
＞______________时,有90%的把握判定变量A,B 有关联;
(3)当χ2
＞______________时,有95%的把握判定变量A,B 有关联;
(4)当χ2
＞______________时,有99%的把握判定变量A,B 有关联. 高手笔记
1.独立性检验的基本思想
先假设两个分类变量X 与Y 无关系,即X 与Y 相互独立,计算χ2
的观测值k,把k 与临界值进
行比较,可以判断X 与Y 有关系的程度及无关系.在该假设下,构造的随机变量χ2
应该很小,
如果实际计算出的χ2的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理,根据χ2
的含义可以
利用统计估算出概率P(χ2
≥6.635)≈0.01,即有1%的把握认为X 与Y 无关,也就是说有99%的把握认为X 与Y 有关联. 2.独立性检验的一般步骤
(1)假设两个分类变量X 与Y 无关联;
(2)计算出χ2
=;)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n ++++-
(3)把χ2
的值与临界值比较确定X 与Y 有关联的程度或无关联. 名师解惑
从教科书中,我们得到“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌是有关的”这一结论,有的同学认为这一结论应该这样理解:即100个抽烟的人中,有99个患有肺癌.请问这样理解是否正确?
剖析：不正确.
首先要区别“事件发生的概率”与“独立性检验中X 与Y 有关联的概率”.
(1)事件发生的概率.例如袋中有100个球,其中99个白球,1个黑球,随机取一个球,则取到白球的概率为99%.
(2)两个变量X 与Y 有关系的概率.例如教科书中吸烟与患肺癌之间有关系的概率为99%,并非指吸烟者中有99%的人患肺癌,而是指我们有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”,(而在吸烟者中,只有 2.82%的人患肺癌）我们得到的结论是：吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，这里所说的“吸烟与患肺癌有关系”是指统计上的关系，而非因果关系，至于吸烟者患不患肺癌，应该由医学检查来确定，而非统计学上的事了. 讲练互动
【例1】在某医院,因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶;而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶,利用独立性检验的方法判断秃顶与患心脏病是否有关系.
分析：计算χ2
的值,然后与临界值进行比较.
故χ2
=772
6651048389)451175597214(14372
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈16.373＞6.635，
所以有99%的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.
黑色陷阱:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论只适合住院的病人群体,不要脱离这个前提而将结论推广到一般人群.. 变式训练
1.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取
由表中的数据，你认为在多大程度上可以认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？
解：χ2
=178
12222872)853514337(3002
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈4.513＞3.841,
在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提下，χ2应该很小，并且P （χ2
＞3.841)≈0.05，
而我们所得到的χ2
的观察值4.513超过3.841,这就意味着“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论是错误的可能性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”.
【例2】某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况进行了n=1 700次观测,列联表
分析：判断两个分类变量是否相关,只须计算χ2
的值然后与临界值比较即可. 解：列联表:
χ2
=700
10001520180)9028261898(17002⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈1.59＜2.706，
∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关.
绿色通道:当χ2
≤2.706时,一般认为没有充分证据显示“X 与Y 有关系”.. 变式训练
2.为了研究性格与血型的关系抽取80人测试，血型与性格汇总如下，试判断性格与血型是
χ2
=46
344535)17162918(802⨯⨯⨯⨯-⨯⨯≈2.030≤2.706.
所以认为没有充分的证据显示血型与性格有关系.
【例3】在一项有关医疗保健的社会调查中,发现调查的男性为530人,女性为670人,其中男性中喜欢吃甜食的为117人,女性中喜欢吃甜食的为492人,判断喜不喜欢甜食与性别是否有关系.
分析：先由题目中的条件画出列联表,然后计算χ2
. 解：作列联表如下:
χ2
=670
530591609)413492178117(12002⨯⨯⨯⨯-⨯≈312.272＞6.635，
∴有99%的把握认为喜不喜欢甜食与性别有关系.
绿色通道:统计方法是可能犯错误的,好的统计方法就是要降低犯错误的概率.. 变式训练
3.为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关,调查了339名50岁以上的人,调查结果如下表所示:
解：根据列联表中的数据，得到
χ2
=283
56134205)1316212143(3392
⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=7.469.因为7.469＞6.635,所以我们有99%的把握说50
岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关.。
北师大版高中数学选修2-3课件3.2独立性检验
学习目标导航 基础知识梳理 重点难点突破 典型例题剖析 随堂练习巩固
(1)这类问题的解决方法为先确定 a,b,c,d,n 的值并求出 χ2 的值,并与 临界值相比较,注意正确运用公式,准确代入数据. (2)当 χ2>3.841 时,有 95%的把握认为两个变量有关;当 χ2>6.635 时,有 99% 的把握认为两个变量有关. (3)当 χ2<2.706 时,一般认为没有充分证据显示两个变量有关.
对于教材中得到的结论“有 99%以上的把握认为吸烟与患肺癌是有关 的”,有的同学是这样理解的:100 个抽烟的人中,有 99 个患有肺癌.请问这样 理解是否正确?
剖析:不正确. 首先要区别“事件发生的概率”与“独立性检验中 X 与 Y 有关联的概 率”. (1)事件发生的概率.例如袋中有 100 个球,其中 99 个白球,1 个黑球,随 机取一个球,则取到白球的概率为 99%. (2)两个变量 X 与 Y 有关联的概率.例如教材中吸烟与患肺癌之间有关 联的概率为 99%,并非指吸烟者中有 99%的人患肺癌,而是指我们有 99%的 把握认为吸烟与患肺癌有关系,(而在吸烟者中,只有 2.82%的人患肺癌)我 们得到的结论是:吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性存在差异,这里所说的 “吸烟与患肺癌有关联”是指统计上的关系,而非因果关系,至于吸烟者患不 患肺癌,应该由医学检查来确定,而非统计学上的事了.所以题中的理解是错 误的.
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题型 独立性检验的应用
【例 1】 在调查的 480 名男人中有 38 名患有色盲,520 名女人中有 6 名患 有色盲,用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关.
分析:本题应首先作出调查数据的列联表,再利用独立性检验作出判断. 解:根据题目所给的数据作出如下的列联表:
2018年高中数学北师大版选修2-3课件：§2独立性检验
2． 选取 χ2 作统计量， 用它的大小来判断变量之间的独立 性． 2 n ad － bc χ2 ＝ a＋bc＋da＋cb＋d 当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立 性进行判断． (1)当 χ2≤ 2.706 时，没有充分的证据判定变量 A，B 有 关联，可以认为变量 A，B 是没有关联的； (2)当 χ2>2.706 时， 有 90%的把握判定变量 A， B 有关联； (3)当 χ2> 3.841 时， 有 95%的把握判定变量 A， B 有关联； (4)当 χ2>
§ 2 独立性检验
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解独立性检验的基本思想、方法和初步应用． (2)会从列联表、柱形图、条形图直观分析两个分类变量是否 有关． (3)会用 χ2 公式判断两个分类变量在某种可信度上的相关性．
2．过程与方法 运用数形结合思想，借助对典型案例的探究，来了解独 立性检验的基本思想，总结独立性检验的基本步骤． 3．情感、态度与价值观 (1)通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联 系，体会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作 用． (2)培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想作出 合理推断的实事求是的好习惯．
2.在独立性检验中，通过典型案例的研究，介绍了独立 性检验的基本思想、方法和初步应用．独立性检验的基本思 想和反证法类似，它们都是假设结论不成立．反证法是在假 设结论不成立基础上推出矛盾从而证得结论成立，而独立性 检验是在假设结论不成立基础上推出有利于结论成立的小概 率事件发生，于是认为结论在很大程度上是成立的．因为小 概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以有利于结论 成立的小概率事件的发生为否定假设提供了有力的证据．这 种教学方法可以使学生更好的理解统计结论的原因，培养学 生的随机思想．
高中数学北师大版选修2-3 统计案例 本章整合 课件(28张)
专题一
专题二
专题三
应用 2 10 名同学在高一和高二的数学成绩如下表 :
x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72
其中 x 为高一数学成绩,y 为高二数学成绩. (1)y 与 x 是否具有线性相关关系 ; (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求线性回归方程. 提示:利用相关系数公式判断其相关性,进一步求其线性回归方程.
专题一
专题二
专题三
应用 3 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 10 次试验,测得的数据如下 :
零件数 x/个 加工时间 y/分 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122
(1)y 与 x 是否具有线性相关关系 ? (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系,求线性回归方程. 提示:先求出 r 的值,|r|的值越接近于 1,表明两个变量的线性相关关系 越强,在线性相关关系较强,即|r|>0.75 时,求线性回归方程.
专题一
专题二
专题三
3.先判定相关性,再求线性回归方程 利用相关系数 r 来判断两个变量之间是否有线性相关关系时,可以依 据若|r|→1,我们认为两个变量间有很强的线性相关关系,可以求线性回归 方程,并可用求得的线性回归方程来预报变量的取值; 若|r|→0,则认为两个 变量之间的线性相关关系并不强,这时求线性回归方程没有太大的实际价 值.
∑ ������i ������i -10������ ������
10
8 80 108 8 640 6 400 11 664
北师大版数学高二-高中数学选修2-3 3.2独立性检验2
知识改变命运，学习成就未来程度，首先假设该结的思想方法和反证法类似，不同之处受原假设的结论相找到矛盾．北师大版高中数学选修2-3：3.2独立性检验22．2 独立性检验 2．3 独立性检验的基本思想 2．4 独立性检验的应用【学习目标】1．了解独立性检验的基本思想方法．2．会利用2×2列联表解决实际问题．3．了解独立性检验的简单应用．一、条件概率是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(B|A)＝P(AB)P(A).特别地，如果P(B|A)＝P(B)，从而P(AB)＝，则称A，B设A，B为两个变量，每一个变量都可以取，变量A：A1，A2＝A1；＝B通过观察得到下表所示数据：BA B1B2总计A1 a b a＋bA2 c d c＋d总计a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d并将形如此表的表格称为2×2列联表．是否独立的问题叫．＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).独立性判断的方法χ2的范围独立性判断χ2≤2.706没有关联χ2＞2.70690%的把握判定A、B有关联χ2＞3.84195%的把握判定A、B有关联χ2＞6.63599%的把握判定A、B有关联统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质，因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只列2×2列联表―→根据求随机变量值―→分析结论【解】事件独立性检验某大型企业人力资源部为了研究本企业员工工作积工作积极性对待企业改革的态度积极支持不太赞成工作积极5440工作一般3263总计86103是否又发作手术类别又发作过未发作过总计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196总计68324392①若统计量χ＞6.635，我们有99%的把握说吸烟与患肺病②若从统计中求出，有99%的把握说吸烟与患肺病有关，烟者中必有99个人患有肺病；取两个变量，且每一×2列联表yxy1y2总计x1 a 2173x2202545总计 b 462．在2×2列联表中，两个变量的取值a，b，c，d应是() 抽查了3000人，计算发现χ2＝6.023，则根据这一数据查阅下表作业情况。
高中数学课件-3.2独立性检验 课件(北师大版选修2-3)
课堂巩固训练
第否相关的计算中，有下面的说法： () ①若χ2＝6.635，我们有99%的把握判定吸烟与患肺病有 关联，那么在100个吸烟的人中必有99个人患肺病； ②从独立性检验可知有99%的把握判定吸烟与患肺病有 关联时，若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病； ③从统计量中求出有95%的把握判定吸烟与患肺病有关 联，是指有5%的可能性使得推断出现错误． 其中说法正确的个数为( )
第三章 §2
(2014·合肥一六八中高二期中)某学校对手工社、摄影社两
个社团招新报名的情况进行调查，得到如下的列联表：
手工社 摄影社 总计
女生
6
男生 42
总计
30
60
(1)请完成上表中所空缺的五个数字；
第三章 §2
(2)已知报名摄影社的 6 名女生中甲乙丙三人来自于同一个
班级，其他再无任意两人同班情况．现从此 6 人中随机抽取 2
第三章 §2
3．独立性检验的基本思想 利 用 2×2 列 联 表 检 验 变 量 之 间 是 否 独 立 ， 当 an－a＋n b·a＋n c ， bn－a＋n b·b＋n d ， nc－c＋n d·a＋n c ， dn－c＋n d·b＋n d大时，变量之间不独立．但不能解释这些量究竟 要多大才能说明变量之间不独立．
(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；
第三章 §2
(2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表，并问是否有 99%
的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．
零件的质量
分厂 甲厂
乙厂
合计
优质品 非优质品
合计
[分析] 根据题目中的数据对两个变量分厂及优劣品进行 分类，填写 2×2 列联表，计算 χ2 的值，并作出判断．
高中数学第三章统计案例3.2独立性检验课件北师大版选
B A A1 A2
总计
B1
B2
总计
a
b
a+b
c
d
c+d
a+c
b+d
n=a+b+c+d
其中,a 表示变量 A 取 A1,且变量 B 取 B1 时的数据;b 表示变量 A 取 A1,且变量 B 取 B2 时的数据;c 表示变量 A 取 A2,且变量 B 取 B1 时 的数据;d 表示变量 A 取 A2,且变量 B 取 B2 时的数据.
因为 χ2≈27.1>6.635,
所以我们有 99%的把握认为性别与色盲有关系.
题型一
题型二
反思1. 先确定a,b,c,d,n的值,再求出χ2的值,并与临界值相比较,注意 正确运用公式,准确代入数据.
2.当χ2>3.841时,有95%的把握认为两个变量有关;当χ2>6.635时, 有99%的把握认为两个变量有关.
,
������+������ ������表示的是频率,不同于概
率.即使变量之间独立,式子两边也不一定恰好相等.但是当两边相差
很大时,变量之间就不独立.
12
【做一做1-1】 下面是一个2×2列联表:
x1 x2 总计
y1
y2
a
21
8
25
b
46
总计
73 33
则表中a,b处的值分别为( ) A.94,96 B.52,50 C.52,60 答案:C
分析:本题应首先作出调查数据的列联表,再利用独立性检验作 出判断.
解:根据题目所给的数据作出如下的列联表:
男 女 合计
色盲
38 6 44
不色盲
高中数学北师大版选修2-3教学案第三章 2 独立性检验 Word版含解析
§独立性检验
．×列联表
设，为两个变量，每个变量都可以取两个值，变量：，＝；变量：，＝，用下表表示抽样数据
．χ的计算公式
χ＝ .
．独立性判断的方法
()当χ≤时，没有充分的证据判定变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
()当χ>时，有的把握判定变量，有关联；
()当χ>时，有的把握判定变量，有关联；
()当χ>时，有的把握判定变量，有关联．
()独立性检验是一种假设检验，在对总体的估计中，通过抽取样本，构造合适的统计
量，对假设的正确性进行判断．()使用χ统计量作×列联表的独立性检验时，一般要求表中的个数据都大于，数据越大
，越能说明结果的普遍性．
[例]
列联表．
[思路点拨]在×列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后出相应的数据，列表即可．
[精解详析]根据题目所给的数据作出如下的列联表：
[一点通]
．下面是一个×列联表：则表中，处的值分别为( )
． ． ．
解析：＝－＝，＝＋＝. 答案：
．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的名学生中有名在考前心情紧张，性格外向的名学生中在考前心情紧张的有人．试作出×列联表．
解：列联表如下：
[例](分)调查了位老年人，结果如下：。
2019_2020学年高中数学第三章统计案例2独立性检验课件北师大版选修2_3
巴西医生马廷思收集的犯有各种贪污、受贿罪的官员与廉洁官员的寿命的调查资 料如下：500 名贪官中有 348 人的寿命小于平均寿命，152 人的寿命大于或等于平 均寿命；590 名廉洁官员中有 93 人的寿命小于平均寿命，497 人的寿命大于或等于 平均寿命．这里，平均寿命是指“当地人均寿命”．试分析官员在经济上是否清 廉与他们的寿命长短是否有关？
本题是利用公式求出 χ2 的值，再利用其与临界值的大小关系来判断独立性，解题 时应注意准确代入数据与计算，不可错用公式，要准确地进行比较与判断．
1．从发生汽车碰撞事故的司机中抽取 2 000 名．根据他们的血液中是否含有酒精
以及他们是否对事故负有责任．将数据整理如下：
有无责任 有
有无酒精
无 总计
P(χ2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
[解析] (1)χ2＝100×58×404×2×275－5×184×5152＝224233030≈10.88>10.828， 所以有 99.9%的把握认为收看新闻节目的观众与年龄有关． (2)抽取的比例为455＝19，所以大于 40 岁的观众应该抽取19×27＝3(名)． (3)在年龄 20 至 40 岁的 2 名观众和年龄大于 40 的 3 名观众中任取 2 名，恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率为CC21C25 13＝35.
患 A 疾病 不患 A 疾病 合计
服用该药品
5
100
105
不服用该药品 18
400
高中数学第三章统计案例3.2独立性检验课件北师大版选修23
答案:无
第二十六页，共26页。
第八页，共26页。
一
二
【 做一做2】 想要检验(jiǎnyàn)喜欢参加体育活动是不是与性
别有关,应该检验(jiǎnyàn)(
)
A.H0:男性喜欢参加体育活动
B.H0:女性不喜欢参加体育活动
C.H0:喜欢参加体育活动与性别有关
D.H0:喜欢参加体育活动与性别无关
答案D
第九页，共26页。
一
二
思考辨析
探究
(tànjiū)二
思维(sīwéi)辨
析
反思感悟 独立性检验的具体做法
(1)根据实际问题作出两个分类变量的2×2列联表.
2
(2)利用公式
(-)
2
χ=
计算随机变量 χ2 .
(+)(+)(+)(+)
(3)比较χ2与临界值的大小,推断有多大把握认为两个分类变量之间有
关系.
第十六页，共26页。
答案A
第十三页，共26页。
)
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
思维(sīwéi)辨
析
探究二
独立性检验的基本思想
【例2】 为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量的好坏
有无影响,现统计数据如下:甲在生产现场时,990件产品中有合格品982
件,次品8件;甲不在生产现场时,510件产品中有合格品493件,次品17件.能
晕船情况
性别
男性
女性
合计
晕船
不晕船
合计
32
8
40
51
24
75
83
高中数学选修2-3知识点、考点、附典型例题
111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点第一章 计数原理 知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。
3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。
),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ5、公式：，11--=m n m n nA A6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n A A C m nm m m n mn-=+--==Λ)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ ;mn n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r+-==101() 考点：1、排列组合的运用2、二项式定理的应用★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。