第8节 子群的陪集
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子群的陪集教案
h H ，也就是说 b ~ a ，
b a
定义 1： 由上面的等价关系 ~ 所决定的类叫做子群 H 的右陪集，包含元 a 的右陪集用符号 Ha 表示。 由引理 1 右陪集既是等价类，又是子集的乘法 aH ， 有等价类的性质可以推出右陪集的一些性质 （1） Ha Hb ab H （2） b Ha Ha Hb （3） He H
Ha Hb ab1 H ba 1 H a 1H b1H
所以 是一个单射。证毕 定义 3：一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪 集）的个数叫做 H 在 G 里的指数。 4．拉格朗日定理 定理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群， 那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并 且 N nj 证明：G 的阶 N 既是有限， H 的阶 n 和指数 j 也都 是有限正整数。 G 的 N 个元被分成 j 个右陪集，而 且由引理，每一个右陪集都有 n 个元，所以 N nj 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶。 证明： a 生成一个阶是 n 的子群，有以上定理， n 整 除 G 的阶。 约瑟夫· 拉格朗日
1
1
H 13 H 132 13 , 132 H 23 H 123 23 , 123
e H ，所以 a ~ a
（ 2 ） ab H ab
1 1
ba 1 H ， 所 以
a ~ bb ~ a
（3）
ab1 H , bc1 H ab1 bc 1 ac 1 H
所以 a ~ b, b ~ c a ~ c 则~是一个等价关系。利用这个等价关系，可以得到
子群的陪集
第二章：群的进一步讨论 Chapter 2 Extension of Group Theory
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
《子群的陪集》课件
《子群的陪集》PPT 课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
子群的陪集
思考题 1 若 H G ,又设 a G ,那么“ Ha aH ”成立吗? 为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
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二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
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五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
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证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
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是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
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定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
离散数学第2版教学课件-子群
8.2 子群与陪集子群与群的关系：拉格朗日定理。
子群判定定理典型子群陪集H 是G 的非空子集(1)a,b ∈H 有a b ∈H(2) a ∈H 有a -1∈H.H 是G 的非空子集a,b ∈H,有ab -1∈HH 是G 的非空有穷子集a,b ∈H 有ab ∈H 陪集的性质Lagrange 定理及推论子群非空子集、群8.2 子群与陪集子群定义设G是群，H是G的非空子集，定义8.5(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.(2) 若H是G的子群，且H G，则称H是G的真子群，记作H<G.例如nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子群.任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.（子群判定定理1 ）定理8.5设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a-1∈H.证必要性是显然的.为证明充分性，只需证明e∈H.因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a-1∈H，根据条件(1) aa-1∈H，即e∈H.（子群判定定理2 ）定理8.6设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H,有ab-1∈H.证必要性显然.只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H.根据给定条件得aa-1∈H，即e∈H.任取a∈H, 由e,a∈H 得ea-1∈H，即a-1∈H.任取a,b∈H，知b-1∈H. 再利用给定条件得a(b-1) -1∈H，即ab∈H.综合上述，可知H是G的子群.（子群判定定理3 ）定理8.7设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H. 证必要性显然.为证充分性，只需证明a∈H有a-1∈H.任取a∈H, 若a = e, 则a-1= e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H.由于H是有穷集，必有a i= a j（i<j）.根据G中的消去律得a j-i= e，由a ≠ e可知j-i>1，由此得a j-i-1a = e 和 a a j-i-1= e从而证明了a-1= a j-i-1∈H.根据子群判定定理1，可知H是G的子群。
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。
本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们需要了解子群的定义与性质。
子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。
子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。
左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。
右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。
左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。
假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。
我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。
通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。
最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。
子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。
此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。
子群及其陪集
使用同样办法可以证明下面练习：
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
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6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
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例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
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例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
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判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
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6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
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例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
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例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
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判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
子群与陪集
定义7.4.2 由上述等价关系～决定的 G 中元素的每 个等价类，都称为子群H的一个右陪集。 以 a 为代表元的右陪集记为Ha。
• 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 集合Ha恰好由在～下所有与 a等价的元素组成。 b～a ⇔ b ∘ a-1∈ H ⇔ b=h ∘a ⇔ b ∈ Ha h= b ∘a-1 h∈ H 故有 Ha={ h∘a | h ∈ H }
• 给定一个G的非空子集 S，则 S生成唯一的一个G 的子群H ；反之不然，即给定一个G的子群H ， 则一般来说生成 H 的子集不唯一。通常，称生成 H的子集中一个最小的子集为H 的生成元集。
• G的子群H的生成元集是不唯一的。
例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = { A | |A|≠0 }
7.4 子群与陪集
定义7.4.1 设( G, ∘)是群，H 是G的一个非空子集， 若H 关于运算 ∘ 构成一个群，则称H是( G, ∘)的一 个子群。
• 任何群( G, ∘)都至少有两个子群：群G本身，以及 只包含单位元的集合{e}。称为群 G的平凡子群。
定理7.4.1 群( G, ∘)的一个非空子集 H构成 G的子 群的充要条件是： （1）若a, b ∈ H, 则 a∘b ∈ H, （2）若a ∈ H, 则 a-1∈ H。 推论7.4.1 若 H是群( G, ∘)的一个子群，则H的单位 元就是G的单位元；H的任意一个元素在H中的逆 元就是它在G中的逆元。
例7.4.4 考察三次对称群S3及其子群 H={(1), (12)} S3的阶是6；H的阶是2；H有3个右陪集，因此 H 在 S3中的指数是3。 当然2和3都整除6，并且6=2x3。 S3的6个元素是(1), (12), (13), (23), (123), (132)，它 们的阶分别是1 2 2 2 3 3，都能整除S3的阶。 S3的6子群是{(1)}, {(1), (12)}, {(1), (13)}, {(1), (23)}, {(1), (123), (132)}, {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
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9
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集 Lagrange定理 Lagrange定理的应用 正规子群与商群
预备知识：
➢ 等价关系 ➢ 等价类 ➢ 集合的划分
1
近世 代数
陪集的定义
定义1 设H是群G的子群，a∈G. 令 aH={ah | h∈H}
称aH是子群H在G中的左陪集. 称a为aH的代表元素.
11
近世 代数
Lagrange定理的应用
命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群.
证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
因此G是Abel群.
12
近世 代数
Lagrange定理的应用
例3 证明 6 阶群中必含有 3 阶元.
证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶
或6阶. 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G中只含1阶和2阶元，即a∈G，有 a2=e，由命题知G是Abel群. 取G中2阶元 a 和 b， a b，令 H = {e, a, b, ab}，则H 是G的子群， 但 |H| = 4，|G| = 6，与Lagra, c},
c cbae
cH={c, b}
不同的左陪集只有两个，即H和{b, c}.
H所有的右陪集？
3
近世 代数
陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123), (132)}. H={(1), (1 2)}是S3的子群.
H所有的左陪集是： (1)H={(1), (12)}=(12)H=H (13)H={(13), (132)}=(132)H (23)H={(23), (123)}=(123)H 不同的左陪集只有3个, 即H, (13)H, (23)H.
H所有的右陪集是：
H(1)={(1), (1 2)}=H(12)=H
令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
2
近世 代数
陪集的实例
例1 设G={e, a, b, c}是Klein四元群，
H=(a)={e, a}是G的子群. H所有的左陪集是：
eH={e, a}=H,
aH={a, e}=H,
eabc
e eabc a aecb b bcea
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近世 代数
Lagrange定理的应用
例4 证明阶小于6 的群都是Abel群.
证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的 循环群，都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则 G=(a)是循环群，可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可 知G也是Abel群.
性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构 成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则
| Sl | = | Sr |.
8
近世 代数
Lagrange定理
定理1 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则
| G | = | H | ·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为H在G 中的指数.
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G .
性质4′ 设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成
的集族是G的一个划分.
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近世 代数
Lagrange定理的推论
推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = (a).
证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则(a)是G的子群. 根据Lagrange 定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是 p或1. 显然 (a)的阶不是1，这就推出G = (a).
H(13)={(13), (123)}=H(123)
H(23)={(23), (132)}=H(132)
不同的右陪集只有3个, 即H, H(13), H(23).
4
近世 代数
左陪集的基本性质
性质1 设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH.
性质2 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH .
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
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近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
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近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
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近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集 Lagrange定理 Lagrange定理的应用 正规子群与商群
预备知识：
➢ 等价关系 ➢ 等价类 ➢ 集合的划分
1
近世 代数
陪集的定义
定义1 设H是群G的子群，a∈G. 令 aH={ah | h∈H}
称aH是子群H在G中的左陪集. 称a为aH的代表元素.
11
近世 代数
Lagrange定理的应用
命题：如果群 G 只含 1 阶和 2 阶元，则 G 是Abel群.
证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取 x, y∈G，则 xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
因此G是Abel群.
12
近世 代数
Lagrange定理的应用
例3 证明 6 阶群中必含有 3 阶元.
证 设G是6 阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶
或6阶. 若G中含有6 阶元，设为a，则 a2是3 阶元. 若G中不含6 阶元，下面证明G中必含有3阶元. 如若不然，G中只含1阶和2阶元，即a∈G，有 a2=e，由命题知G是Abel群. 取G中2阶元 a 和 b， a b，令 H = {e, a, b, ab}，则H 是G的子群， 但 |H| = 4，|G| = 6，与Lagra, c},
c cbae
cH={c, b}
不同的左陪集只有两个，即H和{b, c}.
H所有的右陪集？
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近世 代数
陪集的实例
例2 设 S = {1, 2, 3}, S3={ (1), (12), (13), (23), (123), (132)}. H={(1), (1 2)}是S3的子群.
H所有的左陪集是： (1)H={(1), (12)}=(12)H=H (13)H={(13), (132)}=(132)H (23)H={(23), (123)}=(123)H 不同的左陪集只有3个, 即H, (13)H, (23)H.
H所有的右陪集是：
H(1)={(1), (1 2)}=H(12)=H
令Ha={ha | h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
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近世 代数
陪集的实例
例1 设G={e, a, b, c}是Klein四元群，
H=(a)={e, a}是G的子群. H所有的左陪集是：
eH={e, a}=H,
aH={a, e}=H,
eabc
e eabc a aecb b bcea
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近世 代数
Lagrange定理的应用
例4 证明阶小于6 的群都是Abel群.
证 1 阶群是平凡的，显然是Abel群. 2, 3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的 循环群，都是Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则 G=(a)是循环群，可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元，由命题可 知G也是Abel群.
性质6 设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构 成的集族，Sr为H的所有右陪集构成的集族，则
| Sl | = | Sr |.
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近世 代数
Lagrange定理
定理1 （Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则
| G | = | H | ·[G:H] 其中[G:H] 是H在G中的不同左陪集(或右陪集) 个数， 称为H在G 中的指数.
性质2′ 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈Hb b∈Ha ba1∈H Ha=Hb .
性质3′ 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，Ha≠ ; (2) a, b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = ; (3) ∪Ha = G .
性质4′ 设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成
的集族是G的一个划分.
10
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = (a).
证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元. 任取a∈G，a ≠ e，则(a)是G的子群. 根据Lagrange 定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是 p或1. 显然 (a)的阶不是1，这就推出G = (a).
H(13)={(13), (123)}=H(123)
H(23)={(23), (132)}=H(132)
不同的右陪集只有3个, 即H, H(13), H(23).
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近世 代数
左陪集的基本性质
性质1 设H是群G的子群，则 (1) eH = H; (2) a∈G 有a∈aH.
性质2 设H是群G的子群，则a, b∈G有 a∈bH b∈aH a1b∈H aH=bH .