子群的陪集
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子群的陪集教案
h H ，也就是说 b ~ a ，
b a
定义 1： 由上面的等价关系 ~ 所决定的类叫做子群 H 的右陪集，包含元 a 的右陪集用符号 Ha 表示。 由引理 1 右陪集既是等价类，又是子集的乘法 aH ， 有等价类的性质可以推出右陪集的一些性质 （1） Ha Hb ab H （2） b Ha Ha Hb （3） He H
Ha Hb ab1 H ba 1 H a 1H b1H
所以 是一个单射。证毕 定义 3：一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪 集）的个数叫做 H 在 G 里的指数。 4．拉格朗日定理 定理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群， 那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并 且 N nj 证明：G 的阶 N 既是有限， H 的阶 n 和指数 j 也都 是有限正整数。 G 的 N 个元被分成 j 个右陪集，而 且由引理，每一个右陪集都有 n 个元，所以 N nj 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶。 证明： a 生成一个阶是 n 的子群，有以上定理， n 整 除 G 的阶。 约瑟夫· 拉格朗日
1
1
H 13 H 132 13 , 132 H 23 H 123 23 , 123
e H ，所以 a ~ a
（ 2 ） ab H ab
1 1
ba 1 H ， 所 以
a ~ bb ~ a
（3）
ab1 H , bc1 H ab1 bc 1 ac 1 H
所以 a ~ b, b ~ c a ~ c 则~是一个等价关系。利用这个等价关系，可以得到
第8节 子群的陪集
9
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集
第二章：群的进一步讨论 Chapter 2 Extension of Group Theory
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
《子群的陪集》课件
《子群的陪集》PPT 课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。
本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们需要了解子群的定义与性质。
子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。
子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。
左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。
右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。
左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。
假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。
我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。
通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。
最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。
子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。
此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。
近世代数课件-2-7子群的陪集
2020/4/27
§2.7 子群的陪集
一.等价关系与陪集 二.左陪集的定义与性质 三.右陪集的定义与性质 四.左、右陪集之间的关系 五.指数的定义与拉格朗日定理 六.子群乘积的性质
2020/4/27
18:22
一、等价关系和陪集
2020/4/27
18:22
一、等价关系、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
二、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
二、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
二、左陪集的定义与性质
2020/4/27
18:22
三. 右陪集的定义和性质
2020/4/27
18:22
三. 右陪集的定义和性质
2020/4/27
本节教学目的与要求： 辨清陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系；
了解群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项；掌握陪集 和陪集的代表元所形成的系列性质； 掌握Lagrange定理和推 论及其有关理论应用。
对陪集概念的了解和拉格朗日定理的应用是重点，学会并 掌握有关陪集理论的等式命题证明方法掌握其中的定理证明方 法是难点。
18:22
三. 右陪集的定义和性质
注：例1中有
2020/4/27
18:22
四.左、右陪集之间的关系
2020/4/27
18:22
五. 指数的定义及Lagrange定理
2020/4/27
18:22
五. 指数的定义及Lagrange定理
2020/4/27
18:22
五. 指数的定义及Lagrange定理
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
§2.7 子群的陪集
一.等价关系与陪集 二.左陪集的定义与性质 三.右陪集的定义与性质 四.左、右陪集之间的关系 五.指数的定义与拉格朗日定理 六.子群乘积的性质
2020/4/27
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一、等价关系和陪集
2020/4/27
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一、等价关系、左陪集的定义与性质
2020/4/27
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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三. 右陪集的定义和性质
2020/4/27
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三. 右陪集的定义和性质
2020/4/27
本节教学目的与要求： 辨清陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系；
了解群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项；掌握陪集 和陪集的代表元所形成的系列性质； 掌握Lagrange定理和推 论及其有关理论应用。
对陪集概念的了解和拉格朗日定理的应用是重点，学会并 掌握有关陪集理论的等式命题证明方法掌握其中的定理证明方 法是难点。
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三. 右陪集的定义和性质
注：例1中有
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四.左、右陪集之间的关系
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五. 指数的定义及Lagrange定理
2020/4/27
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五. 指数的定义及Lagrange定理
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五. 指数的定义及Lagrange定理
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
子群及其陪集
使用同样办法可以证明下面练习：
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
精品PPT
6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
精品PPT
例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
精品PPT
例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
精品PPT
判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
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6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
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例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
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例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
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判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题一、子群的定义和性质子群是群的一个重要概念。
给定一个群G和一个子集H，如果子集H中的元素满足封闭性、结合律和单位元、逆元等群性质，那么称子集H是一个子群。
子群内部的元素具有一定的组合规律，我们可以利用子群来研究群的性质和结构。
二、陪集的概念和作用陪集是群论中的一个重要概念。
给定一个群G和一个子集H，对于子集H 中的每一个元素h，我们可以找到一个与h等价的元素g，使得陪集GH={g}。
陪集在研究群结构、子群关系等方面具有重要作用。
三、子群的左右陪集的求解方法子群的左右陪集是指子群G中元素与子群H中元素的对应关系。
求解子群的左右陪集的方法主要有以下几种：1.直接法：对于子群G和子群H，我们可以通过列出G中元素与H中元素的对应关系来求解左右陪集。
2.传输矩阵法：对于子群G和子群H，可以构造一个传输矩阵，通过矩阵的乘法得到左右陪集。
3.拉格朗日插值法：利用拉格朗日插值多项式求解子群的左右陪集。
四、例题解析以下以一个具体的例子来说明如何求解子群的左右陪集：已知群G={1, 2, 3, 4, 5}，子群H={1, 3}。
1.求解G关于H的左陪集：根据直接法，我们可以得到G关于H的左陪集为：LG={(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1)}2.求解G关于H的右陪集：根据直接法，我们可以得到G关于H的右陪集为：RG={(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}五、总结与拓展本文介绍了子群的定义和性质、陪集的概念和作用，以及子群的左右陪集的求解方法。
通过具体例题的解析，加深了对子群和陪集的理解。
在实际应用中，子群和陪集的研究有助于揭示群的内在结构，为后续的群论研究打下基础。
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思考题 1 若 H G ,又设 a G ,那么“ Ha aH ”成立吗? 为什么?
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
XY X y x1 y, x2 y,
此时我们记 XY 为 Xy ,并称 Xy 为元素 y 右 乘 X 的积.
2020/6/18
定义 2 (子群的陪集) 设 G 为任意的群, H G 而 a G, 那么 1）形如 Ha 的子集,叫做子群 H 的一个右陪集,其中
2020/6/18
说明 在三次对称群的陪集分解式
S3 H H 13 H 132 中, 易发现, S3 H 13H 132 H .
这个事实告诫我们：群的陪集分解式一旦遇到边 旁过渡时(即以右(左)陪集过渡到左(右)陪集)陪集 的代表元可能要重新考虑,一般地,如果
G H Ha1 Ha2 Ha3 Ham
2020/6/18
一、陪集的引入
引例 1 对整数加群Z,而言，取定模 4，则可确定 Z 的
一个分类： Z4 0,1,2,3。其中 Z 中的 4 个剩余类分别为： 0 ,8,4,0,4,8, 1 ,7,3,1,5,9, 2 ,6,2,2,6,10 3 ,5,1,3,7,11,
分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都 不是子群；每个类正好是这个子群中的所有元素都 加(乘)上这个类中任取定的一个元素.
具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内 容.(在下面的讨论中,都是在乘群上展开的).
2020/6/18
定义 1 (集合的积) 设 X 和Y 是群 G 的二个 非空子集,于是 X 与Y 的积记为
设 H S3,其中 H 1,12, 用 S3 中全部 6 个
元素做代表元,则变得 6 个陪集：
H1 1,12,
H 12 12,1.
H13 13,123
H 23 23,132 .
H 123 123,13,
H 132 132 ,23.
2020/6/18
首先,从上全部陪集中看到：每个陪集的代表元
,
.
则 是 到 的双射. 事实上
(1) 如果
, 那么
,故
, 所以,
. 于是, 为 到 的
映射.
(2) 任给
,有
, 因此, 为满射.
(3) 如果
, 那么
, 因此
, 从而得 为双射.即 在 中
左陪集的个数与右陪集的个数相同.
2020/6/18
定义 4 设 H G ,那么 H 的右(左)陪集的个数叫
做 H 在 G 中的指数,记为G : H . 在引例 1 中,令 H 0. Z : H 4 在引例 2 中,令 H 1,12, S3 : H 3 .
都含在该陪集内.
其次,上列中任二个陪集要么相等,要么不相交.
最后将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于 S3 .
注意： Ha 似乎表明为全部陪集的并，然而由集合
aG
论的知识知道，只需取那些不重复的陪集作并即可，例
如 S3 中全部的右陪集共 6 有个，然而不重复的只有 3 个，
故
S H H 13 H 23。
H（13） H (132) {(13),(132)};
2020/6/18
H (23) H (123) {(23),(123)}.
说明 1 在引例 2 中,自然有 H H1, K H13 H123 , M H 23 H 132 . 所以有 S3 的分类 S3 H H 13 H 23.
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
2020/6/18
第 12 讲
第二章 群 论
§7 子群的陪集 (2课时)
（Coset of subgroup）
2020/6/18
本讲的教学目的和要求： 在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集
. 故 是单射. 又任给 ah∈aH,存在
,
使得 (h)=ah, 故 为满射, 从而 为双射.
同理可证 也是双射.
从而知道, 任一陪集都与 含有相同个数的元素. 进而可知, 的任何两个陪集 都含有相同个数的元素.
2020/6/18
定理 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明 设 , 分别表示 在 中的左、右陪集所组成的集合. 令
合上的等价关系——互相兼容的两个代数概念。 本讲我们在群中引人一种特殊等价关系，由此对 该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格 朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子群（元 素）的阶都是有限群阶的因子” 这一重要结论。
2020/6/18
在本讲的学习中要求
（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群 H 的 联系要分辩清楚。
113 13， 1213 123
(或者说是由(123)右乘 H 中每个元素而形成的类).同理, M 是由 (23)(或(132))右乘 H 中每个元素形成的类.
2020/6/18
总之, 中每个类,都是由本类中任取定一元素右 乘 H 中每个元素而得到的.
上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但 它们的分类都有一个共同的特点：
a 叫做代表元. 2）形如 aH 的子集叫做子群 H 的一个左陪集,其中 a 叫
做代表元. 由此可见,子群 H 的陪集正是 H 与元素 a 相乘的积,当
a 从右方去乘 H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.
2020/6/18
例 1 设 H {(1),(12)},求 S3 关于 H 的所有左陪集以 及右陪集.
2020/6/18
推论 1
有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.
证明 设 G 的元 a 的阶为 n, 则 a 生成一个阶是 n 的子群，由 以上定理，n 整除 G 的阶。
推论 2
设 为有限群.
, 则对任意的 ,
.
证明 对 G 的任意元素 a，设其阶为 j,则由推论 1，j 整除 n,于是
n=rj a n a rj (a j )r er e
两个元素 a 与 b 同在一类当且仅当 a1b H ．
2020/6/18
定 2 设 H G ,设 a,b G ,那么
(1) a Ha . (2) 对于陪集 Ha 和 Hb 而言,只有 二种关系：
Ha Hb 或 Ha Hb (3) G Ha .
aG
2020/6/18
可以利用引例 2 作进一步的解释：
解 S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)},
H 的所有左陪集为: (1)H (12)H {(1), (12)} H ;
(13)H (123)H {(13),(123)} ;
(23)H (132)H {(23),(132)}．
H 的所有右陪集为: H (1) H (12) {(1), (12)};
a1b H (或 b1a H )．
证明 设 aH bH ，则 a1aH a1bH , H a1bH ．
于是由 2)知 a1b H ．反之，若 a1b H ，则依上倒 推回去即得 aH bH ．
2020/6/18
应注意，把 3)与 4)两条合起来，就是
定理 1 b aH ，即 a 与 b 属于同一个左陪集
aH bH a1b H (或 b1a H )．
5) 若 aH I bH ，则 aH bH ．
证明 设 c aH I bH ，则 c aH ， c bH ．于是 由 3)知 aH bH cH ．
这个性质表明，对任二左陪集来说，要么相等，要么无
公共元素(即其交为空集)．这样，群 G 中每个元素必属 于一个左陪集，而且不能属于不同的左陪集．因此， G 的全体不同的左陪集构成群 G 的元素的一个分类，而且
2020/6/18
拉格朗日（Lagrange），法国数学家，力学家，天文学家。生于 意大利都灵的一个陆军会计官家里是 11 个兄弟姐妹的最长者。17 岁时，在偶然读到哈雷的一篇介绍牛顿微积分的短文《论分析方 法的优点》后，对数学产生了兴趣。1753 年他尚未毕业于都灵炮 兵学校，就担任了该校数学课教学工作。1755 年 9 月成为该校教授。 1756 年经欧拉推荐，被提名为柏林科学院通讯院士。1759 年成为 院士，1776 年被评为彼得堡科学院名誉院士，1783 年成为都灵科学 院名誉主席及伦敦皇家学会会员。1795 年任新成立的巴黎高等师范 学院数学教授，巴黎理工学院的第一位几何教授与第一任校长。后 被路易十六授与伯爵爵位。
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
2020/6/18
二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
2020/6/18
五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
2020/6/18
证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
2020/6/18
是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
2020/6/18
定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
XY X y x1 y, x2 y,
此时我们记 XY 为 Xy ,并称 Xy 为元素 y 右 乘 X 的积.
2020/6/18
定义 2 (子群的陪集) 设 G 为任意的群, H G 而 a G, 那么 1）形如 Ha 的子集,叫做子群 H 的一个右陪集,其中
2020/6/18
说明 在三次对称群的陪集分解式
S3 H H 13 H 132 中, 易发现, S3 H 13H 132 H .
这个事实告诫我们：群的陪集分解式一旦遇到边 旁过渡时(即以右(左)陪集过渡到左(右)陪集)陪集 的代表元可能要重新考虑,一般地,如果
G H Ha1 Ha2 Ha3 Ham
2020/6/18
一、陪集的引入
引例 1 对整数加群Z,而言，取定模 4，则可确定 Z 的
一个分类： Z4 0,1,2,3。其中 Z 中的 4 个剩余类分别为： 0 ,8,4,0,4,8, 1 ,7,3,1,5,9, 2 ,6,2,2,6,10 3 ,5,1,3,7,11,
分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都 不是子群；每个类正好是这个子群中的所有元素都 加(乘)上这个类中任取定的一个元素.
具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内 容.(在下面的讨论中,都是在乘群上展开的).
2020/6/18
定义 1 (集合的积) 设 X 和Y 是群 G 的二个 非空子集,于是 X 与Y 的积记为
设 H S3,其中 H 1,12, 用 S3 中全部 6 个
元素做代表元,则变得 6 个陪集：
H1 1,12,
H 12 12,1.
H13 13,123
H 23 23,132 .
H 123 123,13,
H 132 132 ,23.
2020/6/18
首先,从上全部陪集中看到：每个陪集的代表元
,
.
则 是 到 的双射. 事实上
(1) 如果
, 那么
,故
, 所以,
. 于是, 为 到 的
映射.
(2) 任给
,有
, 因此, 为满射.
(3) 如果
, 那么
, 因此
, 从而得 为双射.即 在 中
左陪集的个数与右陪集的个数相同.
2020/6/18
定义 4 设 H G ,那么 H 的右(左)陪集的个数叫
做 H 在 G 中的指数,记为G : H . 在引例 1 中,令 H 0. Z : H 4 在引例 2 中,令 H 1,12, S3 : H 3 .
都含在该陪集内.
其次,上列中任二个陪集要么相等,要么不相交.
最后将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于 S3 .
注意： Ha 似乎表明为全部陪集的并，然而由集合
aG
论的知识知道，只需取那些不重复的陪集作并即可，例
如 S3 中全部的右陪集共 6 有个，然而不重复的只有 3 个，
故
S H H 13 H 23。
H（13） H (132) {(13),(132)};
2020/6/18
H (23) H (123) {(23),(123)}.
说明 1 在引例 2 中,自然有 H H1, K H13 H123 , M H 23 H 132 . 所以有 S3 的分类 S3 H H 13 H 23.
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2020/6/18
第 12 讲
第二章 群 论
§7 子群的陪集 (2课时)
（Coset of subgroup）
2020/6/18
本讲的教学目的和要求： 在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集
. 故 是单射. 又任给 ah∈aH,存在
,
使得 (h)=ah, 故 为满射, 从而 为双射.
同理可证 也是双射.
从而知道, 任一陪集都与 含有相同个数的元素. 进而可知, 的任何两个陪集 都含有相同个数的元素.
2020/6/18
定理 设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数相同.
证明 设 , 分别表示 在 中的左、右陪集所组成的集合. 令
合上的等价关系——互相兼容的两个代数概念。 本讲我们在群中引人一种特殊等价关系，由此对 该群进行分类——群的陪集分解。进而引出拉格 朗日（Lagrange）定理，得到了“每个子群（元 素）的阶都是有限群阶的因子” 这一重要结论。
2020/6/18
在本讲的学习中要求
（1）陪集的形成以及它们与母群的关系与子群 H 的 联系要分辩清楚。
113 13， 1213 123
(或者说是由(123)右乘 H 中每个元素而形成的类).同理, M 是由 (23)(或(132))右乘 H 中每个元素形成的类.
2020/6/18
总之, 中每个类,都是由本类中任取定一元素右 乘 H 中每个元素而得到的.
上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但 它们的分类都有一个共同的特点：
a 叫做代表元. 2）形如 aH 的子集叫做子群 H 的一个左陪集,其中 a 叫
做代表元. 由此可见,子群 H 的陪集正是 H 与元素 a 相乘的积,当
a 从右方去乘 H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.
2020/6/18
例 1 设 H {(1),(12)},求 S3 关于 H 的所有左陪集以 及右陪集.
2020/6/18
推论 1
有限群 的任一元素的阶都是群 的阶数的因子.
证明 设 G 的元 a 的阶为 n, 则 a 生成一个阶是 n 的子群，由 以上定理，n 整除 G 的阶。
推论 2
设 为有限群.
, 则对任意的 ,
.
证明 对 G 的任意元素 a，设其阶为 j,则由推论 1，j 整除 n,于是
n=rj a n a rj (a j )r er e
两个元素 a 与 b 同在一类当且仅当 a1b H ．
2020/6/18
定 2 设 H G ,设 a,b G ,那么
(1) a Ha . (2) 对于陪集 Ha 和 Hb 而言,只有 二种关系：
Ha Hb 或 Ha Hb (3) G Ha .
aG
2020/6/18
可以利用引例 2 作进一步的解释：
解 S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)},
H 的所有左陪集为: (1)H (12)H {(1), (12)} H ;
(13)H (123)H {(13),(123)} ;
(23)H (132)H {(23),(132)}．
H 的所有右陪集为: H (1) H (12) {(1), (12)};
a1b H (或 b1a H )．
证明 设 aH bH ，则 a1aH a1bH , H a1bH ．
于是由 2)知 a1b H ．反之，若 a1b H ，则依上倒 推回去即得 aH bH ．
2020/6/18
应注意，把 3)与 4)两条合起来，就是
定理 1 b aH ，即 a 与 b 属于同一个左陪集
aH bH a1b H (或 b1a H )．
5) 若 aH I bH ，则 aH bH ．
证明 设 c aH I bH ，则 c aH ， c bH ．于是 由 3)知 aH bH cH ．
这个性质表明，对任二左陪集来说，要么相等，要么无
公共元素(即其交为空集)．这样，群 G 中每个元素必属 于一个左陪集，而且不能属于不同的左陪集．因此， G 的全体不同的左陪集构成群 G 的元素的一个分类，而且
2020/6/18
拉格朗日（Lagrange），法国数学家，力学家，天文学家。生于 意大利都灵的一个陆军会计官家里是 11 个兄弟姐妹的最长者。17 岁时，在偶然读到哈雷的一篇介绍牛顿微积分的短文《论分析方 法的优点》后，对数学产生了兴趣。1753 年他尚未毕业于都灵炮 兵学校，就担任了该校数学课教学工作。1755 年 9 月成为该校教授。 1756 年经欧拉推荐，被提名为柏林科学院通讯院士。1759 年成为 院士，1776 年被评为彼得堡科学院名誉院士，1783 年成为都灵科学 院名誉主席及伦敦皇家学会会员。1795 年任新成立的巴黎高等师范 学院数学教授，巴黎理工学院的第一位几何教授与第一任校长。后 被路易十六授与伯爵爵位。