子群的陪集
子群的陪集教案
h H ，也就是说 b ~ a ，
b a
定义 1： 由上面的等价关系 ~ 所决定的类叫做子群 H 的右陪集，包含元 a 的右陪集用符号 Ha 表示。 由引理 1 右陪集既是等价类，又是子集的乘法 aH ， 有等价类的性质可以推出右陪集的一些性质 （1） Ha Hb ab H （2） b Ha Ha Hb （3） He H
Ha Hb ab1 H ba 1 H a 1H b1H
所以 是一个单射。证毕 定义 3：一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪 集）的个数叫做 H 在 G 里的指数。 4．拉格朗日定理 定理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群， 那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并 且 N nj 证明：G 的阶 N 既是有限， H 的阶 n 和指数 j 也都 是有限正整数。 G 的 N 个元被分成 j 个右陪集，而 且由引理，每一个右陪集都有 n 个元，所以 N nj 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶。 证明： a 生成一个阶是 n 的子群，有以上定理， n 整 除 G 的阶。 约瑟夫· 拉格朗日
1
1
H 13 H 132 13 , 132 H 23 H 123 23 , 123
e H ，所以 a ~ a
（ 2 ） ab H ab
1 1
ba 1 H ， 所 以
a ~ bb ~ a
（3）
ab1 H , bc1 H ab1 bc 1 ac 1 H
所以 a ~ b, b ~ c a ~ c 则~是一个等价关系。利用这个等价关系，可以得到
第8节 子群的陪集
近世 代数
Lagrange定理的推论
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有 an = e.
证 任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子. (a)是由a生成的子群，若|a| = r，则
(a) = {a0=e, a1, a2, …, ar1} 即(a)的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e.
6
近世 代数
有关陪集的问题
设H是群G的子群。 H的所有左陪集都是G的非空子集。 请问：H的左陪集一定是G的子群吗？
判别群G的非空子集是其子群的方法？ 判别群G的非空子集不是其子群的方法？
7
近世 代数
陪集的基本性质
性质5 设H是群G的子群，则 a, b∈G，|aH|=|bH|=|H|=|Ha|=|Hb| .
性质3 设H是群G的子群, 则 (1) a∈G，aH≠ ; (2) a, b∈G，aH = bH 或 aH∩bH = ; (3) ∪aH = G .
性质4 设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的
集族是G的一个划分.
5
近世 代数
右陪集的基本性质
性质1′ 设H是群G的子群，则 (1) He = H; (2) a∈G 有a∈Ha.
证 设[G:H] = r，a1, a2, …, ar分别是H 的r个不同右陪 集的代表元素，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har | G | = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由|Hai| = |H|，i = 1, 2, …, r, 得
| G | = | H |·r = | H | ·[G:H]
近世 代数
第8节 子群的陪集
主要内容:
子群的陪集
本章对群论作进一步的讨论，对群论中的某 些重要概念进行专题研究。
利用群G的一个子群H的陪集，定义商群和正 规子群. 利用商群和正规子群，定义群G的同态和 证明群同态基本定理——群论的基本定理. 最后讨 论群的直积和介绍群的一些应用.
|G|=
∑ x H ＝s H ＝m s
i＝1 i
s
由拉格朗日定理不难得到如下推论: 推论: (1)当|G|=n有限时，H≤G，|H|=m，则 m|n， 即子群H的阶是n的因子。 (2)当|G|=n有限时，任意x∈G，则o(x)|n，从而 xn=e。 (3). 当|G|=p为素数，则G=Cp是p阶循环群，即素 数阶群必为循环群。 例. 在例1中, |G|=|S3|=6 |H|=|xH|=|Hx|=2 则 [G:H]=6/2=3
一个群的左陪集aH和右陪集Ha一般情况下不一 定相等，但对于两个不同的左陪集xH、yH，考虑映 射f : xH→yH，对于xh∈xH，f(xh)=yh。 可以证明 f 是一个双射，从而 |xH|=|yH|=|eH|=|H|， 即每一个左陪集与H具有相同的基数。 同样地也可以证明，每一个右陪集与He=H也有 相同的基数，并且存在左陪集分解L(H)到右陪集R(H) 的双射φ: aH→Ha-1 ，从而L(H)与R(H)具有相同的基 数，称为H在G中的指数(index)，记作[G:H]。 当G为有限时，则子群H的阶数|H|和指数[G:H] 也是有限的，并且有下面的关系。
证明：⑴ a∈ aH.
事实上，a=ae∈ aH.
⑵ aH= H的充分必要条件是a∈H. 首先，若aH= H，根据⑴ a∈ aH，所以a∈H.
反之，若a∈H，则a-1∈H.从而 aHH H = H， H =( aa-1)H= a(a-1H) aH, 所以aH= H.
《子群的陪集》课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
子群的陪集
答：由于 G 不一定是交换群,所以 Ha aH 未必成立.
比如,在引例 2 中, 123H 123,23，而 H 123 123,13，123H H 123
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二、陪集的性质． 1) a aH ．同理， a Ha 。 证明 因为 H 是子群， e H ，故 a aeaH . 2) aH aH H ． 证明 设 aH H ．则由 1)知，a aH ，故 a H ． 反之，设 a H ，但因 H 是子群，故 aH H ；
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五、Lagrange 定理 定理 5 (Lagrange 定理) 设 H G ,如果 G N, H n ,
且有G : H j ,那么 N nj.
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证明: G : H j ,这表明 H 在 G 中的右陪集只
有 j 个,从而有 G 的右陪集分解: G Ha1 Ha 2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ） 由引理知, Ha1 Ha2 Ha j n 所以 G Ha1 j N nj . 由上等式“ N nj ”知子群 H 的阶 n 是 G 的 阶 N 的因子，于是可得到下面的推论
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是群 G 的陪集分解,那么
G H a1H a2 H a3 H am H
未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 四、右陪集与左陪集的对应关系
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定理
群 的任何两个陪集(包括左陪集与右陪集)含有相同个数的元素.
证明 设 为 的子群,
.令
;
.
如果
,
,则
XY xy x Z,y Y
特别地,如果Y y是一个单元集,而设 X x1, x2 , ,那么 X 与Y 的积为
子群的左右陪集例题
子群的左右陪集例题摘要：一、子群的定义与性质1.子群的定义2.子群的性质二、左右陪集的概念与性质1.左右陪集的定义2.左右陪集的性质三、子群的左右陪集例题解析1.子群G 与左陪集L 的关系2.子群G 与右陪集R 的关系3.子群G 的左陪集与右陪集的关系四、结论与拓展1.子群左右陪集在数学中的应用2.子群左右陪集在实际问题中的应用正文：子群的左右陪集是群论中的一个重要概念，它涉及到子群的定义、性质以及与左右陪集的关系。
本文将详细解析子群的左右陪集例题，帮助读者更好地理解这一概念。
首先，我们需要了解子群的定义与性质。
子群是群G 的一个子集，满足群G 的运算性质。
子群具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
其次，我们需要了解左右陪集的概念与性质。
左陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有h·g∈L（h∈L）。
右陪集是群G 的一个子集，满足G 的运算性质，且对任意g∈G，有g·h∈R（h∈R）。
左右陪集具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
接下来，我们通过例题来解析子群的左右陪集。
假设群G={e, a, b, a^2, b^2}，其中运算为乘法，且满足结合律。
我们可以求出G 的子群H={e,a^2}，以及左陪集L={e, a^2}和右陪集R={e, a, a^2, b, b^2}。
通过例题，我们可以发现子群G 与左陪集L、右陪集R 之间的关系，以及左陪集L 与右陪集R 之间的关系。
最后，我们总结子群左右陪集的概念、性质及应用。
子群左右陪集在数学中有着广泛的应用，例如，通过对子群的左右陪集的研究，可以更好地理解群的性质，进而研究更复杂的数学问题。
此外，子群左右陪集在实际问题中也有应用，例如，在密码学、编码理论等领域，子群左右陪集的概念和性质可以帮助我们设计更安全的加密算法和更高效的编码方案。
近世代数课件-2-7子群的陪集
§2.7 子群的陪集
一.等价关系与陪集 二.左陪集的定义与性质 三.右陪集的定义与性质 四.左、右陪集之间的关系 五.指数的定义与拉格朗日定理 六.子群乘积的性质
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一、等价关系和陪集
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一、等价关系、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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二、左陪集的定义与性质
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三. 右陪集的定义和性质
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三. 右陪集的定义和性质
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本节教学目的与要求： 辨清陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H的联系；
了解群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项；掌握陪集 和陪集的代表元所形成的系列性质； 掌握Lagrange定理和推 论及其有关理论应用。
对陪集概念的了解和拉格朗日定理的应用是重点，学会并 掌握有关陪集理论的等式命题证明方法掌握其中的定理证明方 法是难点。
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三. 右陪集的定义和性质
注：例1中有
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四.左、右陪集之间的关系
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五. 指数的定义及Lagrange定理
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五. 指数的定义及Lagrange定理
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五. 指数的定义及Lagrange定理
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
子群及其陪集
设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证 aHa-1={aha-1 |hH}是G的子群。也称共扼子群。
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6.4.2 子群的判别条件
判别条件一 定理6.4.1 群G的一个子集H是G的一个子群 的充分必要条件是：
(1) 若a∈H，b∈H，则ab∈H； (2) 若a∈H，则a-1∈H； (3) H非空。
精品PPT
例子
例 设H和K都是群G的子群，令 HK={xy|xH,yK}。试证若HK=KH，则HK是 G的子群（此题的逆命题就是书中习题6.4的14） 因为1H,1K，故1HK，即非空。
对于任意的x=hk, y=h1k1,这里h, h1H, k, k1K， 有xy- 1 =(hk)(h1k1)-1=h(kk1-1)h-1。
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例子
例 设(G,*)是群，对G中任意a,令H={x|x*a=a*x, xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。
证明：显然1H,即H非空，对H中任意x,y 有 (x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y )，故x*yH，即H中*运算封闭。在H中*运算显 然仍满足结合律。对H中任意x 有x*a=a*x，于是 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a， 即x-1 H。证毕
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判别条件一
证明： 必要性
若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要证（2）.
先证H中的单位元就是G中的单位元。
设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。 任取a∈H，则在H中有： 1H a=a， 故在G中也成立。以a-1右乘得
(1H a)a-1 =aa-1，即，1H (aa-1) =1G ， 1H 1G = 1G ，
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第 12 讲§9 子群的陪集 （Coset of subgroup ）P 89—99本讲的教学目的和要求：在第一章中，我们曾介绍了集合的分类与集合上的等价关系——他们是互相兼容的两个代数概念。
在群中引人一种特殊等价关系，由此对该群进行分类——群的陪集分解。
进而引出拉格朗日（Lagrange ）定理，得到了“每个子集（元素）的阶都是有限母群阶的因子” 这一重要结论。
在本讲的学习中要求（1） 陪集的形成以及它们与母群的关系与子群H 的联系要分辩清楚。
（2）陪集和陪集的代表元所形成的系列性质，要能掌握。
（3） 群的陪集分解中对左右边旁的要求和注意事项需要了解。
（4） Lagrange 定理和推论本身的掌握以及有关理论应用需要掌握。
本讲的重点和难点： 本节的内容中重点是对陪集概念的了解和lagrange 定理的应用，而难点在于学会并掌握有关陪集理论的等式命题证明。
一、陪集的引入引例1 对整数加群{}+,Z 而言，取定模4，则可确定Z 的一个分类：[][][][]{}3,2,1,04=Z 。
其中Z 中的4个剩余类分别为：[]{} ,8,4,0,4,8,0--=[]{} ,9,5,1,3,7,1--=[]{} 10,6,2,2,6,2--=[]{} ,11,7,3,1,5,3--=现利用群的观点，分析上述事实，可得到如下启示：(1) 在4Z 中剩余类[]{} ,8,4,0,4,8,0--=Z n n Z ∈∀==44是整数加群{}+,Z 的一个子集. 而其余的剩余类[]1,[]2,[]3都不是{}+,Z 的子群.(2) 其余的任何一个剩余类与这个特殊的剩余类[] 有着密切的联系.譬如, []1就是用代表元1与[]0中每个元素相加所成的剩余类, []1即恰是用[]0中每个元素都加上1而形成的.一般地, 4Z 中的每个剩余类[]i 都是由[]0中每个元素普遍加上i (或加上[]i 中任取定的一个元素)而形成的.其中3,2,1,0=i . 引例2. 给定三次对称群()()()()()(){}132123,23,13,12,13=S 的一个分类{}M K H ,,=Ω.其中这三个分列为: ()(){}12,1=H ， ()(){}123,13=K ，()(){}132,23=M 。
同上例一样可以发现：(1) 分类Ω中只有H 是3S 的子群，而M K ,都不是3S 的子群。
(2) K 恰是由(13)右乘H 中每个元素而形成的类:()()()13131=， ()()()1231312=(或者说是由(123)右乘H 中每个元素而形成的类).同理,M 是由(23)(或(132))右乘H 中每个元素形成的类.总之, Ω中每个类,都是由本类中任取定一元素右乘H 中每个元素而得到的.上述二引例中,虽然一个是加群,另一个是乘群,但它们的分类都有一个共同的特点：① 分类中存在一个特殊的类是子群,而其余的类都不是子群.② 每个类正好是这个子群中的所有元素都加(乘)上这个类中任取定的一个元素.具有上述特点的群分类正是本节中研究的主要内容.(在下面 的讨论中,都是在乘群上展开的).定义1. (集合的积) 设X 和Y 是群G 的二个非空子集,于是X 与Y的积记为 Y y Z x xy XY ∈∀∈∀=,特别地,如果{}y Y =是一个单元集,而设{} ,,21x x X =,那么X 与Y 的积为 {}{} ,,21y x y x y X XY ==.此时我们记XY 为Xy ,并称Xy 为元素y 右乘X 的积.定义2. (子群的陪集) 设G 为任意的群,G H ≤而,G a ∈∀, 那么(1) 形如Ha 的子集,叫做子群H 的一个右陪集,其中a 叫做代表元.(2) 形如aH 的子叫做子群H 的一个左陪集,其中a 叫做代表元.由此可见,子群H 的陪集正是H 与元素a 相乘的积,当a 从右方去乘H 时,则得到右陪集. 反之得到左陪集.(下面只对右陪集展开讨论).明示1. 在引例2中,自然有()()()12313,1H H K H H ===,()()13223H H M ==. 所以有3S 的分类()()23133H H H S =.思考题1 若G H ≤,又设G a ∈,那么“aH Ha =”成立吗?为什么? 答：由于G 不一定是变换群,所以aH Ha =未必成立.比如,在引例2中,()()(){}23,123123=H ，而()()(){}13,123123=H ，()()123123H H ≠∴.二、陪集的性质.二个右陪集相等是什么意思?在什么条件下才会发生呢? 明示2. 设G H ≤,令{} ,,,,321h h h e H =, 若取G b a ∈,,那么有陪集{} ,,,,321a h a h a h a Ha = {} ,,,,321b h b h b h b Hb =.如果“Hb Ha =”,那么代表着二个集合相等而千万不能记为 “b h a h i i =”, ,3,2,1=i明示3. 设M N ,都是群G 的非空子集(不一定是子群)如果,M N =,则取任意G a ∈,必有 Ma Na =.定理1. 设G H ≤, G b a ∈∀,,于是有(1)H ab Hb Ha Hb a ∈⇔=⇔∈-1 (2) H ba Hb Ha Ha b ∈⇔=⇔∈-1.证明： (只需证明(1),因为(2可同理证得))(ⅰ) ()Hb Ha Hb a =⇒∈Hb a ∈ , 由陪集的含义可知,必存在H h ∈使 hb a =,即 .1a h b -=H h Ha x ∈∃⇒∈∀1使 ()()b h h hb h a h x 111===H hh G H ∈⇒≤1 ()Hb Ha Hb h h x ⊆⇒∈=∴1.H h Hb y ∈∃⇒∈∀2使 ()()a h h a h h b h y 12122-===同理 H h h ∈-12 ()Ha Hb Ha a h h y ⊆⇒∈=∴-12由上分析知,Hb Ha =.(ⅱ) ()H ab Hb Ha ∈⇒=-1.Hb Ha = , ∴ 当任取Hb Ha ha =∈ 时H h ∈∃⇒' 使b h ha '=,经调整得,H h h ab ∈=--'11,即1-ab H ∈. (ⅲ) ()Hb a H ab ∈⇒∈-1H ab ∈-1, 则存在H h ∈使h ab =-1,于是 Hb hb a ∈=即 Hb a ∈ .由上述(ⅰ)(ⅱ)和(ⅲ)知 (1)成立.明示4. 利用定理1和明示3可知下列命题必是等价的：H Hba H Hab Hb Ha Ha b Hb a =⇔=⇔=⇔∈⇔∈--11 H ba H ab ∈⇔∈⇔--11明示5. 利用定理1知, 每个陪集中任一个元素都可以“担任”该陪集的代表元,进而知,每个陪集一般其表示形式是不唯一的.定理2. 设G H ≤,设G b a ∈,,那么(1) Ha a ∈.(2) 对于陪集Ha 和Hb 而言,只有二种关系：Hb Ha = 或 ∅=Hb Ha(3) Ha G Ga ∈= . 证明：(1) G H ≤ a ea H e =∈∴而 .,Ha a Ha ea a ∈∈=∴即(2) 如果 ∅≠Hb Ha ,,Hb Ha x ∈∃⇒由定理1Hb Hx Hx Ha ==⇒,, Hb Ha =∴.(3) 每个陪集Ha 都是G 的子集⇒这些陪集的并也是G 的子集, Ha G Ga ∈⊇∴ .别外,G g ∈∀ 由 (1)Hg g ∈⇒. 但Ha 是G 的陪集,即Ha Hg G a ∈⊆ , Ha g Ga ∈∈∴ .由g 的任意性 Ha G G a ∈⊆⇒ , 所以 Ha G Ga ∈⊆ . 可以利用引例2对定理2作进一步的解释：设3S H ≤,其中()(){},12,1=H 用3S 中全部b 个元素做代表元,则变得b 个陪集：()()(){},12,11=H()()(){}1,1212=H . ()()(){}123,1313=H ()()(){}.132,2323=H()()(){},13,123123=H ()()(){}.23,132132=H首先,从上全部陪集中看到：每个陪集的代表元都含在该陪集内.其次,上列中任二个陪集要么相等,要么不相交.最后,将上列不重复的全部陪集并起来后恰好等于3S .注意：Ha Ga ∈ 似乎表明全部陪集的并，然而由集合论的知识知道，只需取那些不重复的陪集作并即可，例如，3S 中全部的右陪集共6有个，然而不重复的只有3个，故()()2313H H H S =。
三．群的陪集分解由定理1知，“H ab ∈-1”的真正含义是“a 与b 同在一个陪集之中”，那么将“同在一个陪集”看作是群的一个关系，这个关系有何性质？定理3 设G H ≤,在G 中定义关系“～”：,,G b a ∈∀a ～b H ab ∈⇔-1 那么“～”必是个等价关系。
证明： (1) G a ∈∀. H e aa ∈=-1 ∴a ～a(2)若a ～b H ab ∈⇒-1,由明示4⇒,1H ba ∈- ∴ b ～a .(3) 若a ～b 且a ～c ,则有H ab ∈-1且H bc ∈-1. ()()H ac bc ab G H ∈=⇒≤---111, 即 a ～c .由(1),(2),(3)知关系“～”是中的一个等价关系.由第一章§10知,集合中的每个等价关系都可确定一个分类,所以,上述群G 的等价关系“～”决定了G 的一个分类：Ha G Ga ∈= . 定义3 设G 是群,而G H ≤,由a ～b H ab ∈⇔-1决定的G 中的分类Ha G Ga ∈= 叫做G 的一个陪集分解. 譬如 ()()23133H H H S =或 ()()1321233H H H S =()()132133H H H S =由上例可见群的陪集分解有下列特点：① 分解式中必含有子群H (即以单位元为代表的陪集)而其余的陪集都不是3S 的子群.② 陪集分解式中出现的陪集彼此都不相交.③ 分解式中每个陪集的代表元都可以适当替换.④ 分解式中陪集的“边旁”要一致(要么都是右陪集,要么都是左陪集)明示6 在三次对称群的陪集分解式()()132133H H H S =中, 易发现, ()()H H H S 132133 ≠. 这个事实告诫我们：群的陪集分解式一旦遇到边旁过渡时(即以右(左)陪集过渡到左(右)陪集)陪集的代表元可能要重新考虑,一般地,如果m Ha Ha Ha Ha H G 321=是群G 的陪集分解,那么H a H a H a H a H G m 321=未必会是群的陪集分解.(即等号未必能成立). 在这个问题上,可以从N ·Jacobson 著《/》中得到启发.四、右陪集第与左陪集的对应关系设G H ≤，若H 的所有不重复的右陪集做成的集合用R S 表示类似地用L S 表示H 的全部不重复的左陪集做成的集合。