子群与陪集

正交群 O(n) = { A | AAT= E }
洛仑兹(Lorentz)群
Er Er L( n, r ) { A | A E A E , | A | 0 } n r n r
下面讨论子群的陪集。目的是定义集合G上的一个 等价关系及划分，由此得到群的一些重要性质。 • 设( G, ∘)是一个群，H为其子群，则可定义集合G 上的一个等价关系～如下： a～b ⇔ a ∘b-1∈ H
定理7.4.2 群( G, ∘)的一个非空子集 H构成 G的子 群的充要条件是： 若a, b ∈ H, 则 a ∘b-1 ∈ H。
定理7.4.3 群( G, ∘)的一个非空有限子集H构成G的 子群的充要条件是： 若a, b ∈ H, 则 a ∘b ∈ H。
• 设H，S是群( G, ∘)的非空子集， 若H是包含S的唯 一的最小的子群，则称 S是子群 H的生成子集， 记为<S>=H。
于是有(13)H ≠ H(13)， (23)H ≠ H(23)。
定理7.4.4 设H为群( G, ∘)的一个子群，则H的左陪 集数与右陪集数相等。 即由～和 ∾ 诱导的 G的二个划分的基数相等。
证. 设子群 H的左陪集的集合为Pl ，右陪集的集合记为Pr 。 作 f : Pl →Pr , aH →Ha-1 。下面证明 f 是一个双射。 首先，若 aH=bH，则 b-1∘a ∈ H，即b-1∘(a-1)-1 ∈ H，从而 Ha-1 =Hb-1。说明 f 是一个映射。 其次，若Ha-1 =Hb-1，则 b-1∘a =b-1∘(a-1)-1 ∈ H，从而 aH=bH，故 f 是单射；对任意的 Ha∈ Pr，有a-1H ∈ Pl ， 使得 f (a-1H)= Ha ，故 f 是满射。 2 由上述等价关系～决定的 G 中元素的每 个等价类，都称为子群H的一个右陪集。 以 a 为代表元的右陪集记为Ha。
• 用右陪集这个术语以及记号，是基于下面结论： 集合Ha恰好由在～下所有与 a等价的元素组成。 b～a ⇔ b ∘ a-1∈ H ⇔ b=h ∘a ⇔ b ∈ Ha h= b ∘a-1 h∈ H 故有 Ha={ h∘a | h ∈ H }
例7.4.4 考察三次对称群S3及其子群 H={(1), (12)} S3的阶是6；H的阶是2；H有3个右陪集，因此 H 在 S3中的指数是3。 当然2和3都整除6，并且6=2x3。 S3的6个元素是(1), (12), (13), (23), (123), (132)，它 们的阶分别是1 2 2 2 3 3，都能整除S3的阶。 S3的6子群是{(1)}, {(1), (12)}, {(1), (13)}, {(1), (23)}, {(1), (123), (132)}, {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
证. 设 H是有限群G的子群，则子群H的阶及 H在G中的指数 m都是有限正整数。 G中的|G|个元素被划分成 m 个右陪 集，而每个右陪集都恰好有|H|个元素，因此 |G|=|G:H||H|
推论7.4.6 设G是有限群，g ∈ G，则元素g的阶能 整除G的阶。 证 设元素g的阶是n，则元素g生成一个阶为n的循环 子群<g>，于是n 是子群<g> 的阶，因此n能整 除群G的阶。
• 若H为群( G, ∘)的子群，则|Ha|=|aH|=|H|。 • 一般地，H的左、右陪集并不相等。
• 设Ha，Hb是H的二个右陪集，则要么 Ha = Hb， 要么 Ha∩Hb = ∅。
定义7.4.4 群( G, ∘)中子群H的不同右(或左)陪集的 个数，称为H在G中的指数，记为|G:H|。 定理7.4.6 (Lagrange) 设G是有限群，则子群H的阶 数和H在G中的指数都能整除G的阶数，并且有如 下的关系: |G|=|G:H||H|。
• 给定一个G的非空子集 S，则 S生成唯一的一个G 的子群H ；反之不然，即给定一个G的子群H ， 则一般来说生成 H 的子集不唯一。通常，称生成 H的子集中一个最小的子集为H 的生成元集。
• G的子群H的生成元集是不唯一的。
例. 几个重要的群： 一般线性群 GL(n,R) = { A | |A|≠0 }
例7.4.3 n对于S3的子群H={(1), (12)} ，
故有： (1)H={(1), (12)}，H(1) ={(1), (12)}； (13)H={(13), (132)}， H(13) ={(13), (123)}； (23)H ={(23), (123)}，H(23) ={(23), (132)}。
例7.4.2 设H={(1), (12)}，则 H 是S3的一个子群。 由于，H = H(1) = H(12) ={(1), (12)} ， H(13) = H(123) ={(13), (123)} ， H(23) = H(132) ={(23), (132)} 。 因此，子群H 将S3划分成了三个互不相交的右陪 集并， S3=H(1)∪H(13)∪H(23)。
关系～满足下面的条件： （1）（自反性） a ∈ G，因为 a ∘a-1 ∈ H，故a～a； （2）（对称性）若a～b，则 a ∘b-1∈ H，因为H是子群，故 b ∘a-1 = (a ∘b-1)-1∈ H，即b～a； （3）（传递性）若a～b 且 b～c，则 a ∘b-1, b ∘c-1∈ H，故 a ∘c-1= a ∘b-1∘b ∘c-1 ∈ H，即a～c。 因此关系～是等价关系。
定理7.4.5 群( G, ∘)中子群H的每对右(或左)陪集之 间都存在一个双射。 证 只需证明在每一个右陪集与H之间都存在一个双 射。 作映射 f : H→Ha, h→h∘a 即得双射。
例. (p132-7.17) 设σ是集合S ={1,2,⋯,n}上的置 换，定义 S上的等价关系： i～j ⇔∃k∈Z , σk(i)= j。 称以i为代表元的等价类为 i 在σ下的轨道。 设S={1,2,⋯,8}, σ=(78)(465)(13), 求σ所有的轨道 解. σ2=(456),σ3=(78)(13),σ4=(465),σ5=(78)(456)(13) σ6=(1)， 1,3 的轨道{1, 3}, 2的轨道{2}, 4,5,6的轨道{4, 5, 6}, 7, 8的轨道{7, 8}。
7.4 子群与陪集
定义7.4.1 设( G, ∘)是群，H 是G的一个非空子集， 若H 关于运算 ∘ 构成一个群，则称H是( G, ∘)的一 个子群。
• 任何群( G, ∘)都至少有两个子群：群G本身，以及 只包含单位元的集合{e}。称为群 G的平凡子群。
定理7.4.1 群( G, ∘)的一个非空子集 H构成 G的子 群的充要条件是： （1）若a, b ∈ H, 则 a∘b ∈ H, （2）若a ∈ H, 则 a-1∈ H。 推论7.4.1 若 H是群( G, ∘)的一个子群，则H的单位 元就是G的单位元；H的任意一个元素在H中的逆 元就是它在G中的逆元。
定义7.4.3 设( G, ∘)是一个群，H为其子群，则定义 集合G中的一个等价关系 ∾ 如下： a ∾ b ⇔ b-1∘a ∈ H 由等价关系 ∾ 决定的G中元素的每个等价类，都 称为子群H的一个左陪集。 以 a为代表元的左陪集记为 aH。 • 与H的右陪集的结论类似地有： aH={ a∘h | h ∈ H }