用Abaqus进行压电(Piezoelectric)悬臂梁模拟入门详解_第二版
ABAQUS使用解答(整理)
Abaqus 使用问答Q:abaqus的图形如何copy?A:file>print>file格式为png，可以用Acdsee打开。
Q:用Abaqus能否计算[Dep]不对称的问题?A:可以，并且在step里面的edit step对话框other里面的matrix solver有个选项。
Q: 弹塑性矩阵【D】与ddsdde有何联系?A: stress=D*stran；d(stress)=ddsdde*d(stran)。
Q:在abaqus中，如果采用umat,利用自己的本构，如何让abaqus明白这种材料的弹塑性应变，也就是说，如何让程序返回弹性应变与塑性应变，好在output中输出，我曾想用最笨地方法，在uvarm中定义输出，利用getvrm获取材料点的值，但无法获取增量应力，材料常数等，研究了帮助中的例子，umatmst3.inp,umatmst3.for,他采用mises J2 流动理论，我在output history 显示他已进入塑性状态，但他的PE仍然为0！！?A: 用uvar( )勉强成功 。
Q: 本人在用umat作本构模型时，*static,1,500,0.000001,0.1 此时要求的增量步很多，即每次增量要很小，*static1,500 时，在弹性向塑性过度时，出现错误，增量过大，出现尖点.?A: YOU CAN TRY AS FOLLOWS:*STEP,EXTRAPOLATION=NO,INC=2000000*STATIC0.001,500.0,0.00001,0.1。
Q: 模型中存在两个物体的接触，计算过程中报错，怎么回事?A: 接触问题不收敛有两个方面不妨试试：一、在*CONTACT PAIR 里调试ADJUST参数；二、调一些模型参数，比如FRICTION等。
。
Q: 在边界条件和加载时，总是有initial这个步，然后是我们自己定义的加载步，请问这个initial步,主要作用是什么？能不能去掉？A: 不能去掉,所有的分析都有,是默认的步。
基于ABAQUS的悬臂梁模态及动力响应分析
基于ABAQUS的悬臂梁模态及动力响应分析发表时间：2008-10-31T17:13:40.890Z 来源：《中小企业管理与科技》作者：亓彦涛王志军[导读] 基于有限元分析软件ABAQUS，构建了悬臂梁的参数化模型。
对其进行了模态以及稳态动力响应的分析，得到了系统固有频率、振型图和稳态动力响应的应力与位移结果，为进一步的动态特性优化提供理论指导。
摘要：基于有限元分析软件ABAQUS，构建了悬臂梁的参数化模型。
对其进行了模态以及稳态动力响应的分析，得到了系统固有频率、振型图和稳态动力响应的应力与位移结果，为进一步的动态特性优化提供理论指导。
关键词：悬臂梁；ABAQUS 模态分析动力响应中图分类号：TP391 文献标识码：A1有限元软件ABAQUS简介ABAQUS是美国ABAQUS公司（原名HKS公司，即Hibbitt，Karlsson&Sorensen，Inc.）的产品。
ABAQUS已成为国际上最先进的大型通用有限元力学分析软件之一，ABAQUS是一套功能强大的进行工程模拟的有限元软件，其解决问题的范围从相对简单的线性分析到许多复杂的非线性问题。
ABAQUS拥有CAE工业领域最为广泛的材料模型，它可以模拟绝大部分工程材料的线形和非线形行为，可以进行结构的静态和动态分析，如应力、变形、振动、热传导以及对流等。
也可以模拟广泛的材料性能，如金属、橡胶、塑料、弹性泡沫等，而且任何一种材料都可以和任何一种单元或复合材料的层一起用于任何合适的分析类型。
ABAQUS核心模块主要有3个，两个分析模块（ABAQUS/Standard、ABAQUS/Explicit）和一个集成化的人机交互图形工作界面ABAQUS/CAE（Complete Abaqus Environment），其中ABAQUS/Standard是通用分析模块，ABAQUS/Explicit是显式分析模块，ABAQUS/CAE是前后处理模块。
基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析
基于ABAQUS的悬臂梁的弹塑性弯曲分析学院：航空宇航学院专业：工程力学指导教师：姓名：学号：1. 问题描述考虑端点受集中力F 作用的矩形截面的悬臂梁，如图1所示，长度l=10m ，高度h=1m ，宽度b=1m 。
材料为理想弹塑性钢材（如图2），并遵守Mises 屈服准则，屈服强度为MPa Y 380=σ，弹性模量GPa E 200=，泊松比3.0=υ。
图1 受集中力作用的悬臂梁 图2 钢材的应力-应变行为首先通过理论分析理想弹塑性材料悬臂梁的弹塑性弯曲，得到悬臂梁的弹塑性弯曲变形的规律和塑性区形状，确定弹性极限载荷e F 和塑性极限载荷Y F ；其次利用ABAQUS 模拟了该悬臂梁受集中载荷作用的变形过程，得出弹性极限载荷e F 、塑性极限载荷Y F 、塑性区形状和载荷-位移曲线，与理论分析的结果进行对比，验证有限元分析的准确性。
2. 理论分析2.1梁的弹塑性纯弯曲对于矩形截面Euler-Bernoulli 梁，受弯矩M 作用，如图3所示，根据平截面假定，有图3 矩形截面梁受弯矩M 的作用y κε= （1）其中κ为弯曲后梁轴的曲率，规定梁的挠度w 以与y 同向为正，则在小变形情况有22-dx w d =κ （2）当弯矩M 由零逐渐增大时，起初整个截面都处于弹性状态，这是Hooke 定律给出()y E E y κεσ== （3） 再由平衡方程，可得到κEI M = （4） 其中，3121bh I =是截面的惯性矩。
将EI M /=κ带入（3）式，可知 I y /M =σ显然，最外层纤维的应力值最大。
当M 增大时，最外层纤维首先达到屈服，即Y h y bh M σσ==±=22/61/ （5）这时的弯矩是整个截面处于弹性状态所能承受的最大弯矩，即为弹性极限弯矩，它等于261bh M Y e σ= （6）对应的曲率可由式（4）求得Eh EI M Y e e /2/σκ== （7）当e M M >时，梁的外层纤维的应变继续增大，但应力值保持为Y σ不再增加，塑性区将逐渐向内扩大。
悬臂梁—有限元ABAQUS线性静力学分析报告实例
线性静力学分析实例——以悬臂梁为例线性静力学问题是简单且常见的有限元分析类型，不涉及任何非线性（材料非线性、几何非线性、接触等），也不考虑惯性及时间相关的材料属性。
在ABAQUS 中，该类问题通常采用静态通用（Static ，General ）分析步或静态线性摄动（Static ，Linear perturbation ）分析步进行分析。
线性静力学问题很容易求解，往往用户更关系的是计算效率和求解效率，希望在获得较高精度的前提下尽量缩短计算时间，特别是大型模型。
这主要取决于网格的划分，包括种子的设置、网格控制和单元类型的选取。
在一般的分析中，应尽量选用精度和效率都较高的二次四边形/ 六面体单元，在主要的分析部位设置较密的种子；若主要分析部位的网格没有大的扭曲，使用非协调单元（如CPS4I、C3D8I）的性价比很高。
对于复杂模型，可以采用分割模型的方法划分二次四边形/ 六面体单元；有时分割过程过于繁琐，用户可以采用精度较高的二次三角形/ 四面体单元进行网格划分。
悬臂梁的线性静力学分析1.1 问题的描述一悬臂梁左端受固定约束，右端自由，结构尺寸如图1-1 所示，求梁受载后的Mises 应力、位移分布。
材料性质：弹性模量 E 2e3 ，泊松比0.3均布载荷：F=103N图1-1 悬臂梁受均布载荷图1.2 启动ABAQUS启动ABAQUS有两种方法，用户可以任选一种1）在Windows 操作系统中单击“开始” -- “程序” --ABAQUS 6.10 -- ABAQUS/CA。
E（2）在操作系统的DOS窗口中输入命令：abaqus cae 。
启动ABAQUS/CA后E ，在出现的Start Section （开始任务）对话框中选择Create Model Database 。
1.3 创建部件在ABAQUS/CA顶E 部的环境栏中，可以看到模块列表：Module：Part ，这表示当前处在Part （部件）模块，在这个模块中可以定义模型各部分的几何形体。
第二个问题的实作范例1——悬臂梁应力分析——操作指导
第二个问题的实作范例1——悬臂梁受均布压力载荷的弯曲问题1.问题描述与解析解有一个如图0所示的悬臂梁（截面为10mm*10mm的矩形，长度100mm），受均布压力载荷10N/m2。
试求出该悬臂梁的最大应力和最大挠度。
（它的解析解已经解完了，在图0的下面，挠度7.5e-6mm，应力0.003MPa，即3000Pa。
）图0 悬臂梁的问题描述2. 用CATIA中的工程分析模块（即CAE模块）求解该问题的思路1）. 启动CATIA，建立一个悬臂梁的3D模型，设置单位，加材料。
（这一步已经做完了。
）2）. 然后，进入工程分析模块，加固定约束，加均布载荷，求解，查看结果。
3）. 分析两次计算，第一次线性单元的边长为6mm，计算精度很低。
第二次抛物线单元的边长为3mm，CATAI得到的挠度、应力与解析解基本一致。
3 在CATIA求解该问题的操作指导1）. 启动CATIA，打开xuanbiliang目录下的xuanbiliang.CATPart文件，在该文件中的几何模型中已经加好了材料（钢）。
2）. 进入创成式零件有限元分析模块，如图1。
之后点击“确定”，如图2。
图1图23）. 在零件的有限元模块中选择工具条中的按钮，按照如图3所示的方式选择梁的一个端面，点击“确定”，即可完成悬臂约束的施加。
（该约束限制了空间中的6各自由度。
）图34）. 选择工具条中的按钮，并选择悬臂梁的上表面，在pressure中输入10N_m2，如图4、图5。
施加了载荷与约束的悬臂梁如图6。
图4图5图65）. 在特征树的finite element model.1——nodes and elements 下的上双击，如图7。
弹出如图8的对话框，在size中输入6mm的单元边长，点击确定。
图7 图86）. 选择工具条中的按钮，在弹出的对话框中分别点击“确定”、YES，即可自动完成计算，如图9。
如图9 7）. 选择工具条中按钮查看受力后的变形形状。
ABAQUS线性静力学分析实例
ABAQUS线性静力学分析实例ABAQUS（全称为Abaqus FEA）是一种广泛使用的有限元分析软件。
它可用于进行结构、热、电、磁、多物理场等各类工程问题的数值模拟和分析。
在本文中，我们将介绍一个ABAQUS线性静力学分析的实例。
假设我们要分析一个悬臂梁的变形和应力分布。
悬臂梁是一种常见的结构，通常由一根固定在一端的梁杆组成，另一端悬空。
我们将使用ABAQUS来计算这个悬臂梁的变形和应力。
首先，我们需要创建模型。
在ABAQUS中，可以通过几何建模或直接输入节点和单元的方式来创建模型。
这里我们使用几何建模来构建一个悬臂梁。
在ABAQUS的图形用户界面中，选择"Part"，然后使用"Sketch"工具绘制悬臂梁的剖面。
在剖面绘制完成后，选择"Extrude"工具将其拉伸为所需长度。
接下来，我们需要定义材料特性。
在这个实例中，我们假设悬臂梁是由钢材料构成的。
在ABAQUS中，可以通过创建相应的材料属性来定义材料的性能。
选择"Material"，然后创建一个具有适当材料属性的钢材料。
随后，我们需要定义悬臂梁的边界条件。
在这个实例中，我们将在悬臂梁的固定端施加一个约束，防止其发生位移。
在ABAQUS中，可以选择"Assembly"，然后选择"Constraints"来设置边界条件。
在这里我们选择固定一个端点。
完成边界条件的设置后，我们需要划分网格。
在ABAQUS中，使用网格划分将悬臂梁划分成小的单元，以便数值计算。
选择"Mesh"，然后选择适当的网格划分方式和单元类型。
然后，我们需要定义加载条件。
在这个实例中，我们将在悬臂梁的空悬端施加一个垂直向下的加载。
在ABAQUS中，可以选择"Loading"，然后选择适当的加载类型和大小。
现在，所有的模型设置都完成了，我们可以进行分析。
abaqus悬臂梁例题
abaqus悬臂梁例题
ABAQUS是一种常用的有限元分析软件，用于模拟和分析工程结构的行为。
下面是一个简单的ABAQUS悬臂梁的例题，以便说明如何进行有限元分析：
问题描述：
考虑一个简单的悬臂梁，长度为L，截面为矩形，要分析该梁的挠度和应力分布。
步骤：
1.建立模型：首先，在ABAQUS中建立一个新模型。
定义悬臂梁的几何参数，如长度L 和梁截面的宽度和高度。
2.创建网格：划分悬臂梁的几何形状，创建有限元网格。
可以选择合适的单元类型，如梁单元或壳单元，以模拟结构行为。
3.应用边界条件：定义悬臂梁的支持条件，通常悬臂梁的一端是固定支持，另一端是自由端。
在ABAQUS中，你可以定义这些支持条件。
4.施加载荷：定义悬臂梁所受的载荷，如集中力、分布载荷等。
5.设置材料属性：指定悬臂梁所用的材料属性，如弹性模量、泊松比等。
6.运行分析：运行有限元分析，ABAQUS将计算悬臂梁的挠度和应力分布。
7.分析结果：分析完成后，你可以查看和可视化分析结果，包括挠度云图、应力云图等，以了解悬臂梁的行为。
这只是一个简单的悬臂梁分析示例，ABAQUS提供了广泛的功能来进行复杂结构的有限元分析。
具体的模型参数和步骤可能会因实际情况而有所不同。
你可以根据你的具体问题和需求来调整和扩展这个示例。
需要在软件中具体设置和模拟这个问题，以获得详细的分析结果。
Abaqus基本操作中文教程
Abaqus基本操作中文教程目录1 Abaqus软件基本操作 (3)1.1 常用的快捷键 (3)1.2 单位的一致性 (3)1.3 分析流程九步走 (3)1.3.1 几何建模（Part） (4)1.3.2 属性设置（Property） (5)1.3.3 建立装配体（Assembly） (6)1.3.4 定义分析步（Step） (7)1.3.5 相互作用（Interaction） (8)1.3.6 载荷边界（Load） (10)1.3.7 划分网格（Mesh） (11)1.3.8 作业（Job） (15)1.3.9 可视化（Visualization） (16)1 Abaqus软件基本操作1.1 常用的快捷键旋转模型—Ctrl+Alt+鼠标左键平移模型—Ctrl+Alt+鼠标中键1.2 单位的一致性CAE软件其实是数值计算软件，没有单位的概念，常用的国际单位制如下表1所示，建议采用SI (mm)进行建模。
例如，模型的材料为钢材，采用国际单位制SI (m)时，弹性模量为2.06e11N/m2，重力加速度9.800 m/s2，密度为7850 kg/m3，应力Pa；采用国际单位制SI (mm)时，弹性模量为2.06e5N/mm2，重力加速度9800 mm/s2，密度为7850e-12 T/mm3，应力MPa。
1.3 分析流程九步走几何建模（Part）→属性设置（Property）→建立装配体（Assembly）→定义分析步（Step）→相互作用（Interaction）→载荷边界（Load）→划分网格（Mesh）→作业（Job）→可视化（Visualization）1.3.1 几何建模（Part ） 关键步骤的介绍： 部件（Part ）导入Pro/E 等CAD 软件建好的模型后，另存成iges 、sat 、step 等格式；然后导入Abaqus 可以直接用，实体模型的导入通常采用sat 格式文件导入。
部件（Part ）创建简单的部件建议直接在abaqus 中完成创建，复杂的可以借助Pro/E 或者Solidworks 等专业软件进行建模，然后导入。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用ABAQUS 进行压电（Piezoelectric ）悬臂梁模拟入门详解作者：X.C. Li 2014.8 （第二版）本文着重讲述在用ABAQUS 模拟压电材料时，材料常数的设置。
希望对入门者有所帮助。
如果发现错误请发邮件到：Lxc1975@ 。
1. 问题描述柱状体10×4×2如下图左端固定，右端自由；上表面受均匀压力500；上、下表面电压分别为50V 、0V 。
压电材料PZT-4，选z-方向（该方向上尺寸为2）为极化方向，文献Haojiang Ding, Jian Liang ： The fundamental solutions for transversely isotropic piezoelectricity and boundary element method 给出的材料常数111213334466111212.6, 7.78, 7.43, 11.5,2.56, 0.5()c c c c c c c c ======-（10210N m -⨯⋅）；15313312.7, 5.2, 15.1 e e e ==-=（-2C m ⋅）；-121103300=730, =635, =8.8541910 λελεε⨯⨯⨯（1-1C V m -⋅）这些常数在ABAQUS 中的输入将在本文2.3中详细说明。
必须说明的是以上材料常数所对应的的本构关系：111213121113131333444466 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 xx xx yy yy zz zz yz yz zx xy c c c c c c c c c c c c σεσεσεσγσγσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦31313315150 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0x y z zx xy e e E e E e E e γ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 15111511333131330 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 00 0 0 0 0xx yy x x zz y y yz z z zx xy E D e D E e e e e D E εελελγλγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 求解过程2.1. Part 模块选3D ，Deformable ，Solid ，通过Extrusion 构造一个Piezoelectric 梁。
2.2. Property 模块2.2.1 在这个模块中要进行3种参数输入：1）material editor: Mechanical->Elasticity->Elastic : Type : Orthotropic ；输入应力与应变之间的关系系数，弹性模量，一般为正交各向同性Type : Orthotropic 。
2）material editor: Other->Electrical->Piezoelectric : Type: Stress or Strain ；输入力与电耦合关系系数。
在文献中压电常数最为常见，与之对应的是Type: Stress 。
3）material editor: Other ->Electrical ->Dielectric : Type: Isotropic or Orthotropic or Anisotropic ；输入介电常数。
论文中常见横观各向同性，与之对应的是Type: Orthotropic 。
2.2.2 压电材料的本构方程压电材料的本构方程有多种形式，每种形式当然对应一组材料常数。
在ABAQUS 中，如果选择material editor: Other ->Electrical ->Piezoelectric : Type: Stress ，压电材料的本构方程使用的e -form （the constitutive equations in the e -form are used ）:在文献中常用i D 表示电位移分量，ijkl c 表示弹性模量，ij λ表示介电常数（也常用ij ε表示介电常数，但这与应变符合冲突）。
ABAQUS 中用i q 表示电位移分量，ijkl D 表示弹性模量，ij D 表示介电常数。
如果选择material editor: Other ->Electrical ->Piezoelectric : Type: Strain ，压电材料的本构方程使用的g –form （The constitutive equations in the g -form can also be expressed as ）：2.2.3 材料常数输入规则这里仅讨论e -form 的本构关系。
在ABAQUS 中，双下标二阶张量记号11, 22, 33, 12, 13, 23分别对应矢量分量1, 2, 3, 4, 5, 6。
因此按照这种排序规则，前面提到的Ding 和Liang 的论文中的本构关系应该写成如下形式，强调一下，3-方向为极化方向。
11121311112212111322333313133312126613442344 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 c c c c c c c c c c c c σεσεσεσγσγσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦313113323151315230 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0e e E e E E e e γ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11221511113321511212333331313313230 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0e E D D e E D E e e e εελελγλγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦以上本构方程，用ABAQUS 中的符号给出，其形式如下：1111112211331122112222223322333311332233331212121323 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 D D D D D D D D D D σσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3 111122 3 2233 3 3312 1 13131313 2 2323230 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 e e e e D e D εεεγγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12323 0E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11221 131111332 2 232221233333 11 3 22 3 3313230 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0e D E q q e D E q D E e e e εεεγγγ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥⎥⎢⎥⎦ 通过以上两组本构方程的对照，不难看出将在ABAQUS 中1111D 位置应该输入11c ，以此类推， 2 23e 位置应该输入15e ，11D 位置应该输入11λ。
111111112212113313333333232344121266111212.6, 7.78, 7.43,11.5, 2.56, 0.5()D c D c D c D c D c D c c c ============-（10210N m -⨯⋅）；1112134466111212.6, 7.78, 11.5, 2.56, 0.5()c c c c c c c =====-1 1315 3 1131 3 333312.7, 5.2, 15.1 e e e e e e ====-==（-2C m ⋅）；-1211110333300=730, =635, =8.8541910 D D λελεε=⨯=⨯⨯（1-1C V m -⋅）此外，由于是横观各向同性，有111122222323131311332233, , D D D D D D ===； 1 13 2 23 3 11 3 22, e e e e ==；1122 D D =。
再补充一点，同一种材料，当极化方向用不同记号表示时，其压电系数矩阵是不同的。
上面是用3-方向表示极化方向的压电常数矩阵，如果用1-方向表示极化方向的压电常数矩阵应该是1 11 1 22 1 33 2 12 3 13 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，转置形式为 1 111 221 33 2 12 3 13 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0e e e e e ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦变换的规则就是指标轮换，也就是3->1,1->2,2->3。
比如，用3-方向表示极化方向时的 1 13e ，在用1-方向表示极化方向时变换为 2 21e ，即 2 12e ，放在系数矩阵的第2行第4列。
或者，将1-方向为极化方向时，本构方程写为写成2222223322112233223333331133112211331111112323232131 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 D D D D D D D D D D σσσσσσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1 222233 1 3311 1 1123 2 21212121 3 3131310 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 e e e e D e D εεεγγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦23131 0E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 222211223312221113111133313144232366111212.6, 7.78, 7.43,11.5, 2.56, 0.5() 2.41D c D c D c D c D c D c c c ============-=（10210N m -⨯⋅）；2 2115 1 2231 1 113312.7, 5.2, 15.1 e e e e e e ====-==（-2C m ⋅）；-9-92211011330-120=730=6.46310, =635=5.62210, =8.8541910D D λελεε=⨯⨯=⨯⨯⨯（1-1C V m -⋅） 此外，由于是横观各向同性，有 222233333131212122113311, ,D D D D D D ===； 2 21 3 31 1 22 1 33, e e e e ==；2233 D D =。