专题22 立体几何中的角-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
1.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（）
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33 2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，
2BQ CR QC RA
==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则（ ）
A ．γ<α<β
B ．α<γ<β
C ．α<β<γ
D ．β<γ<α
3.【2014新课标，理11】直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）
A. 110
B. 25
C. 3010
D. 22 4.【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（）
A ．3[,1]3
B ．6[,1]3
C ．622[,]33
D ．22[,1]3
5.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α
平面ABCD =m ,α
平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32 (B)22 (C)33 (D)13
6.【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）
A. A DB α'∠≤
B. A DB α'∠≥
C. A CB α'∠≤
D. A CB α'∠≤
7.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点。
设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则θcos 的最大值为.
8.【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）
9.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．
10.【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.
11.【2017课标II ，理19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2
AB BC AD BAD ABC ==∠=∠=E 是PD 的中点。
（1）证明：直线//CE 平面P AB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M AB D --的余弦值。
12.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD =6，AB=4．
（I ）求证：M 为PB 的中点；
（II ）求二面角B -PD -A 的大小；
（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
13.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱P A ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A =AC =4，AB =2.
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（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721
，求线段AH 的长. 14.【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABC D ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AD BC //，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．
15.【2017江苏，22】如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 13
120BAD ∠=︒. （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值. P
A
B C D E
16.【2015高考天津，理17】（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D 中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB ,
12,5AC AA AD CD ,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.
(I)求证：//MN 平面ABCD ；
(II)求二面角11D AC B 的正弦值；
(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13
，求线段1A E 的长 17.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；
（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
18.【2014天津，理17】如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．
C
A B D E
F
D
C
B D 1B 1
C 1
A 1
A (第22题)
E P
A D
B C
（Ⅰ）证明：BE DC ；
（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ，求二面角F AB P 的余弦值．
19.【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN 平面PAB ；
（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.。
高中理科数学(2017-2015)三年高考真题分项专题汇编：立体几何中的综合问题解析版
高中理科数学（2017-2015）三年高考真题分项专题汇编：立体几何中的综合问题1.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△F AB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.2.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.【答案】(1)证明略；.【解析】（2）由题设及（1）知，,,OA OB OC 两两垂直，以O 为坐标原点，OA的方向为x 轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB的中点，得12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故 ()()11,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ . 设()=x,y,z n 是平面DAE 的法向量，则AD AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 0，0，n n即0,102x z x y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩。
立体几何中的角-三年高考(2016-2018)数学(理)试题分项版解析+Word版含解析
专题23 立体几何中的角2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S-AB-C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】 D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选 D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.2．【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】 C点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）详解：方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知设平面的法向量.由即可取.。
2015-2017高考数学(理)真题立体几何的位置关系含答案详解
1.【2014高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线1l .2l .3l .4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14//l lC .1l .4l 既不平行也不垂直D .1l .4l 的位置关系不确定2.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n3.【2015高考安徽，理5】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4.【2015高考福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥ ”是“//l α的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.【2014辽宁理4】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥7.【2016新课标2理数】,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号）8.【2017江苏，15】如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .9.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A -PB -C 的余弦值. 10.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.(第15题)ADBC EF11.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=．（Ⅰ）证明：D H'⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．12.【2014北京理第17题】（本小题满分13分）如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.13.【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE⊥平面AOC ，求a 的值．14.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知BC AC ⊥，1CC BC =，设1AB 的中点为D ，E BC C B =11 .求证：（1）C C AA DE 11//平面；（2）11AB BC ⊥.15.【2014江苏，理16】如图在三棱锥-P ABC 中，,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===， 求证（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE⊥平面ABC.AB CD E A 1B 1C 11.【2014高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线1l .2l .3l .4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是( )A .14l l ⊥B .14//l lC .1l .4l 既不平行也不垂直D .1l .4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l .4l 的位置关系不确定，故选D .2.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（）A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知,l l αββ=∴⊂ ，,n n l β⊥∴⊥ ．故选C ． 考点：空间点、线、面的位置关系．【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．3.【2015高考安徽，理5】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确；由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D 项，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确.所以选D.4.【2015高考福建，理7】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究．5. 【2015高考北京，理4】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质. 6.【2014辽宁理4】已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B 【解析】【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系及垂直关系.解题分关键是熟记相关性质定理、判定定理等，首先利用举反例排除错误选项，是解答此类问题的常用方法.本题属于基础题，覆盖面较广，难度不大.7.【2016高考新课标2理数】,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④ 【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④. 考点：空间中的线面关系.【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.8.【2017江苏，15】如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC AB B = ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.9.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.(第15题)ADBC EF（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A -PB -C 的余弦值. 【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得A ，P ，B ，(C .所以(PC = ，CB = ，PA = ，(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n，即00x y z ⎧+-=⎪=，可取(0,1,=-n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m，即00x z y =⎪=⎩， 可取(1,0,1)=m .则cos ,||||⋅==<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为. 是解题的关键.10.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111A C A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE A C又因为DE ⊄平面1111,A C F A C ⊂平面11A C F 所以直线DE//平面11A C F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,A C A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂= ，平面平面 所以11A C ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A A C A A F A A C A F A ⊥⊂⊂= F ，平面平面 所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面 考点：直线与直线、平面与平面位置关系11.【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '=．（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（I ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF .因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ===.由//EF AC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，3D H DH '==. 于是1OH =，22223110D H OH D O ''+=+==，故D H OH '⊥.又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面.（II ）如图，以H 为坐标原点，HF的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -， 则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC = ，()3,1,3AD '= .设()111,,m x y z = 是平面ABD '的法向量，则00m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ ，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =- .设()222,,n x y z = 是平面'ACD 的法向量，则00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 12.【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱FD ，PC 分别交于G ，H . （1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】因为⊄AB 平面PDE ，所以//AB 平面PDE ，因为⊂AB 平面ABF ，且平面 ABF 平面PDE FG =， 所以FG AB //.（2）因为⊥PA 底面ABCDE ，所以AB PA ⊥，AE PA ⊥，如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,1(),0,0,0(B A ，)2,0,0(),0,1,2(P C ，)1,1,0(F ，)0,1,1(=BC ，设平面ABF 的法向量为),,(z y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00AF AB n n ，即⎩⎨⎧=+=00z y x ，令1=z ，则1-=y ，所以)1,1,0(-=n ， 设直线BC 与平面ABF 所成的角为α，则21|||||,cos |cos =⋅=><=BC BC n n α， 因此直线BC 与平面ABF 所成的角为6π，设点),,(w v u H ，因为点H 在棱PC 上，所以可设)10(<<=λλPC PH ， 即)2,1,2()2,,(-=-λw v u ，所以λλλ22,,2-===w v u ， 因为向量n 是平面ABF 的法向量，所以0=∙AH n ， 即0)22,,2()1,1,0(=-∙-λλλ，解得32=λ，所以点H 的坐标为)32,32,34(， 所以2)32()32()34(222=++=PH . 考点：空间中线线、线面、面面的平行于垂直，用向量法求线面角，即空间距离.13. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF △为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF BC ∥，4BC =，2EF a =，60EBC FCB ∠=∠=︒，O 为EF 的中点．(Ⅰ) 求证：AO BE ⊥；(Ⅱ) 求二面角F AE B --的余弦值； (Ⅲ) 若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．【答案】(1)证明见解析，（2）-，（3）43a = 【解析】予以取舍。
专题32选修部分-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析(原卷版)
1 xt ,
直线 l 的极坐标方程为 (sin 3cos ) 0 ，曲线 C 的参数方程为
t ( t 为参数 ) ， l 与 C 相交于
yt1
t
A , B 两点，则 | AB |
.
x 3cos ,
10.【2017 课标 1，理 22】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
（ θ为参数），直线 l 的
1.【 2017 天津，理 11】 在极坐标系中，直线 ___________.
4 cos(
) 1 0 与圆 6
2 sin 的公共点的个数为
2.【 2017 北京，理 11】在极坐标系中， 点 A 在圆 2 2 cos 4 sin 4 0 上，点 P 的坐标为 （ 1,0），
则 |AP|的最小值为 ___________.
y sin ,
参数方程为
x a 4t, （t 为参数） .
y 1 t, （ 1）若 a=-1 ，求 C 与 l 的交点坐标； （ 2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a. 11.【2017 课标 1，理】 已知函数 f（x） =–x2+ax+4，g(x)= │x+坐 标 系 中 x Oy 中 , 已 知 直 线 l 的 参 考 方 程 为
t
y
2
( t 为 参 数 ), 曲 线 C 的 参 数 方 程 为
x 2s2 , ( s 为参数 ).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 .
y 2 2s
D. ［选修 4-5：不等式选讲］ （本小题满分 10 分） 已知 a, b,c, d 为实数，且 a 2 b 2 4, c 2 d 2 16, 证明 ac bd ≤ 8.
备考2018-三年高考(2015-2017)数学(理)试题分项版解析：专题10三角函数图象与性质(原卷版)
（A ）
2
，
3
12
2
（B）
，
3
1
（C）
，
12
3
1
，
3
24
（D ） 24
4.【 2016 高考新课标 1 卷】已知函数 f ( x) sin( x+ )(
0，
), x
2
为 f (x) 的 4
零点 , x
为 y f ( x) 图像的对称轴 ,且 f (x) 在
，5 单调 ,则 的最大值为 (
)
4
18 36
5π (,
0) ，求
的最小值 .
12
19.【 2015 高考福建，理 19】已知函数 f( x) 的图像是由函数 g( x) = cos x 的图像经如下变换
得到： 先将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的
像向右平移 p 个单位长度 . 2
(Ⅰ )求函数 f( x) 的解析式，并求其图像的对称轴方程；
2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图
(Ⅱ )已知关于 x 的方程 f( x) + g( x) = m 在 [0, 2p ) 内有两个不同的解 a, b ．
（1) 求实数 m 的取值范围；
2m2 （2)证明： cos( a - b ) = - 1.
5
20. 【 2017 山东，理 16】 设函数 f (x) sin( x ) sin( x ) ，其中 0
6
2
f( ) 0. 6
（Ⅰ）求 ；
3 .已知
（Ⅱ）将函数 y f ( x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再将得到
的图象向左平移 个单位，得到函数 y g( x) 的图象，求 g( x) 在 [ , 3 ] 上的最小值 .
专题24 立体几何中综合问题—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(原卷版)
AB ⊥ AD ， AB = 1， AD = 2 ， AC = CD C = 5.
1 求证
PD ⊥
面 PAB 面 PCD 所成角的 弦值 面 PCD ？若存在，求
2 求直线 PB 3 在棱 PA
是否存在点 M ，使得 BM / /
AM 的值 若 存 AP
在，说明理由. 7. 2015 高考陕西，理 18 本小题满分 12 分 如图 1 ，在直角梯形 ΑΒCD 中，ΑD//ΒC ，
的直角 只需写 出结论 若面 DEF 若 是 是，说明理由 面 ABCD 所成二面角的大小为 AB
π DC ，求 的值． 3 BC
∠ΒΑD =
π
2
， ΑΒ = ΒC = 1 ， Ε 是 ΑD 的中点， Ο 是 ΑC ΑD = 2 ，
ΒΕ 的交点． 的交点 将 ∆ΑΒΕ
沿 ΒΕ 折起到 ∆Α1ΒΕ 的位置，如图 的位置 2．
I 证明 II 若
CD ⊥
面 Α1ΟC 面 ΒCDΕ ，求 面 Α1Β C 面 Α1CD 夹角的余弦值． 夹角的余弦值
10.
2014 安徽理 20 (本题满分 13 分)
如图， 四棱柱 ABCD − A1 B1C1 D1 中， A1 A ⊥ 底面 ABCD ． 四边形 ABCD 为梯形， 为梯形 AD // BC ,
且 AD = 2 BC ．过 A1 , C , D 1 证明 2 求
点的 面记为 α ， BB1
α 的交点为 Q ．
高考四川理数
如图，在四棱锥 P-ABCD ABCD 中，AD∥BC， ∠ ADC= ∠ PAB=90°，BC=CD C=CD= 边 AD 的中点，异面直线 PA CD 所成的角为 90°.
1 AD，E 为 2
三年高考(2016-2018)数学(理)真题分项专题23 立体几何中的角(含解析)
专题23 立体几何中的角2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ1【答案】D【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而因为，所以即，选D.点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.2．【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】C点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）详解：方法一：（Ⅰ）由得，所以.故.由，得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.2017年高考全景展示1.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】C【考点】 异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。
专题09-三角恒等变换与求值—三年高考(2015-2017)数学(理)真题分项版解析(解析版)
1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725 （B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D 【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.考点：三角恒等变换.2.【2015高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A）B（C ）12-（D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.3.【2015高考，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin coscos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos2sin sin 510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos10ππ==，选C .【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.4.【2015理6】“sin cos αα=”是“cos 20α=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】因为22cos 2cos sin 0ααα=-=，所以sin cos αα=或sin cos αα=-，因为“sin cos αα=”⇒“cos 20α=”，但“sin cos αα=”⇐/“cos 20α=”，所以“sin cos αα=”是“cos 20α=”的充分不必要条件，故选A ． 【考点定位】1、二倍角的余弦公式；2、充分条件与必要条件．【名师点晴】本题主要考查的是二倍角的余弦公式和充分条件与必要条件，属于容易题．解题时一定要注意p q ⇒时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．5.【2017课标II ，理14】函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。
专题18 立体几何中—三年高考(2015-2017)数学(文)真题分项版解析(原卷版)
【名师点睛】(1)由实物图画三视图或判断、选择三视图,此时需要注意“长对正、高平齐、宽 相等”的原则. (2)由三视图还原实物图,解题时首先对柱、锥、台、球的三视图要熟悉,再复杂的几何体也是 由这些简单的几何体组合而成的；其次,要遵循以下三步：①看视图,明关系；②分部分,想整 体；③综合起来,定整体． 19.【2014 高考北京文第 11 题】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.
专题 18 立体几何中三视图及其应用
1.【2017 课标 II，文 6】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的 三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A. 90π B. 63π C. 42π D. 36π
2.【2017 北京，文 6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
2018 年暑假系统班，全国钜惠，99 元 16 课时
（A）18 36 5 （B） 54 18 5 （C）90
（D）81
15.【2015 高考湖南，文 10】某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一 个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材 料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）（）
20.【2016 高考四川文科】已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积.
2018 年暑假系统班，全国钜惠，99 元 16 课时
21.【2015 高考天津，文 10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m）,则该几何体的体积
为 m3 . 22【. 2014 天津文 10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 m3 .
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2015-2017立体几何全国卷高考真题
2015-2017立體幾何高考真題1、（2015年1卷6題）《九章算術》是我國古代內容極為豐富の數學名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺。
問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內牆角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐の四分之一），米堆為一個圓錐の四分之一），米堆底部の弧長為8尺，米堆の高為5尺，問米堆の體積和堆放の米各為多少?”已知1斛米の體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛の米約有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B【解析】設圓錐底面半徑為r ，則12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆の體積為211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放の米約為3209÷1.62≈22，故選B.考點：圓錐の性質與圓錐の體積公式2、（2015年1卷11題）圓柱被一個平面截去一部分後與半球（半徑為r ）組成一個幾何體，該幾何體三視圖中の正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體の表面積為16 + 20π，則r=（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱の組合體，圓柱の半徑與球の半徑都為r ，圓柱の高為2r ，其表面積為22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故選B.考點：簡單幾何體の三視圖；球の表面積公式、圓柱の測面積公式 3、（2015年1卷18題）如圖，四邊形ABCD 為菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一側の兩點，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC.（Ⅰ）證明：平面AEC ⊥平面AFC ；（Ⅱ）求直線AE 與直線CF 所成角の余弦值. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）連接BD ，設BD∩AC=G，連接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨設GB=1易證EG ⊥AC ，通過計算可證EG ⊥FG ，根據線面垂直判定定理可知EG ⊥平面AFC ，由面面垂直判定定理知平面AFC ⊥平面AEC ；（Ⅱ）以G 為座標原點，分別以,GB GC の方向為x 軸，y 軸正方向，||GB 為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz ，利用向量法可求出異面直線AE 與CF 所成角の余弦值. 試題解析：（Ⅰ）連接BD ，設BD∩AC=G，連接EG ，FG ，EF ，在菱形ABCD 中，不妨設GB=1，由∠ABC=120°，可得 由BE ⊥平面ABCD ，AB=BC 可知，AE=EC ，又∵AE ⊥EC ，∴EG ⊥AC ，在Rt △EBG 中，可得DF=2.在Rt △FDG 中，可得在直角梯形BDFE 中，由BD=2，可得 ∴222EG FG EF +=，∴EG ⊥FG ，∵AC∩FG=G，∴EG ⊥平面AFC ，∵EG ⊂面AEC ，∴平面AFC ⊥平面AEC.（Ⅱ）如圖，以G 為座標原點，分別以,GB GC の方向為x 軸，y 軸正方向，||GB 為單位長度，建立空間直角坐標系G-xyz ，由（Ⅰ）可得A （00），E （，F （－1,0，C （00），∴AE =（1，CF =（-1，）.…10分故cos ,3||||AE CF AE CF AE CF ⋅<>==-. 所以直線AE 與CF 考點：空間垂直判定與性質；異面直線所成角の計算；空間想像能力，推理論證能力4、（2015年2卷6題）一個正方體被一個平面截去一部分後，剩餘部分の三視圖如右圖，則截去部分體積與剩餘部分體積の比值為（ ）A ．81 B ．71 C ．61 D ．51 【解析】由三視圖得，在正方體1111ABCD A BC D -中，截去四面體111A A B D -，如圖所示，，設正方體棱長為a ，則11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩餘幾何體體積為3331566a a a -=，所以截去部分體積與剩餘部分體積の比值為51，故選D ．考點：三視圖．5、（2015年2卷9題）已知A,B 是球O の球面上兩點，∠AOB=90,C 為該球面上の動點，若三棱錐O-ABC 體積の最大值為36，則球O の表面積為（ ） A ．36π B ．64π C ．144π D ．256π【解析】如圖所示，當點C 位於垂直於面AOB の直徑端點時，三棱錐O ABC -の體積最大，設球O の半徑為R ，此時2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，則球O の表面積為24144S R ππ==，故選C ．考點：外接球表面積和椎體の體積．6、（2015年2卷19題）（本題滿分12分）如圖，長方體1111ABCD A BC D -中,=16AB ，A1=10BC ，18AA =，點E ，F 分別在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．過點E ，F の平面α與此長方體の面相交，交線圍成一個正方形．（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）； （Ⅱ）求直線AF 與平面α所成角の正弦值． 【解析】（Ⅰ）交線圍成の正方形EHGF 如圖：（Ⅱ）作EM AB ⊥，垂足為M ，則14AM AE ==，18EM AA ==，因為EHGF 為正方形，所以10EH EF BC ===．於是226MH EH EM =-=，所以10AH =．以D為座標原點，DA の方向為x 軸の正方向，建立如圖所示の空間直角坐標系D xyz -，則(10,0,0)A ，(10,10,0)H ，(10,4,8)E ，(0,4,8)F ，(10,0,0)FE =，(0,6,8)HE =-．設(,,)n x y z =是平面E H G F の法向量，則0,0,n FE n HE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即100,680,x y z =⎧⎨-+=⎩所以可取(0,4,3)n =．又(10,4,8)AF =-，故45cos ,15n AF n AF n AF⋅<>==⋅．所以直線AF 與平面α所成角の正弦值為45．考點：1、直線和平面平行の性質；2、直線和平面所成の角．7、（2016年1卷6題）如圖,某幾何體の三視圖是三個半徑相等の圓及每個圓中兩條相互垂直の半徑.若該幾何體の體積是283π,則它の表面積是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28πD D CAE FA B CB【解析】試題分析： 該幾何體直觀圖如圖所示：是一個球被切掉左上角の18,設球の半徑為R ,則37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它の表面積是78の球面面積和三個扇形面積之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故選A ．考點：三視圖及球の表面積與體積8、（2016年1卷11題）平面α過正方體ABCD -A 1B 1C 1D 1の頂點A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,則m 、n 所成角の正弦值為(B (D)13試題分析：如圖,設平面11CB D 平面ABCD ='m ,平面11CB D 平面11ABB A ='n ,因為//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,則,m n 所成の角等於','m n 所成の角.延長AD ,過1D 作11//DE B C ,連接11,CE B D ,則CE 為'm ,同理11BF 為'n ,而111//,//BD CE B F A B ,則','m n 所成の角即為1,A B BD 所成の角,即為60︒,故,m n ,選A. 考點：平面の截面問題,面面平行の性質定理,異面直線所成の角.【名師點睛】求解本題の關鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角の步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補.9、（2016年1卷18題）如圖,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 為頂點の五面體中,面ABEF 為正方形,AF =2FD ,90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 與二面角C -BE -F 都是60．（I ）證明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （II ）求二面角E -BC -A の余弦值．試題解析：（I ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）過D 作DG F ⊥E ,垂足為G ,由（I ）知DG ⊥平面F ABE ．以G 為座標原點,GF の方向為x 軸正方向,GF 為單位長度,建立如圖所示の空間直角坐標系G xyz -．由（I ）知DF ∠E 為二面角D F -A -E の平面角,故DF 60∠E =,則DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D ．由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CDAB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 為二面角C F -BE -の平面角,C F 60∠E =．從而可得(C -．所以(C E =,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-． 設(),,n x y z =是平面C B E の法向量,則C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即040x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, CABDEF所以可取(3,0,n =．設m 是平面CD AB の法向量,則C 0m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,同理可取()0,3,4m =．則219cos ,n m n m n m ⋅==- 故二面角C E -B -A の余弦值為考點：垂直問題の證明及空間向量の應用【名師點睛】立體幾何解答題第一問通常考查線面位置關係の證明,空間中線面位置關係の證明主要包括線線、線面、面面三者の平行與垂直關係,其中推理論證の關鍵是結合空間想像能力進行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類題目難度不大,以中檔題為主.第二問一般考查角度問題,多用空間向量解決.10、（2016年2卷6題）右圖是由圓柱與圓錐組合而成の幾何體の三視圖，則該幾何體の表面積為（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 解析：幾何體是圓錐與圓柱の組合體，設圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為． 由圖得，，由畢氏定理得：，，故選C ．11、（2016年2卷14題）α，β是兩個平面，m ，n 是兩條線，有下列四個命題：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那麼αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那麼m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那麼m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那麼m 與α所成の角和n 與β所成の角相等．r c l h2r =2π4πc r ==4l =21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=其中正確の命題有 .(填寫所有正確命題の編號） 【解析】②③④12（2016年2卷19題）（本小題滿分12分）如圖，菱形ABCD の對角線AC 與BD 交於點O ，5AB =，6AC =，點E ，F 分別在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 於點H .將△DEF 沿EF 折到△D EF 'の位置OD '=（I ）證明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--の正弦值.【解析】⑴證明：∵，∴，∴． ∵四邊形為菱形，∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，， ∴，∴，∴，∴， ∴．又∵，∴面．⑵建立如圖坐標系．，，，， ，，， 設面法向量，由得，取， ∴．同理可得面の法向量， 54AE CF ==AE CFAD CD=EF AC ∥ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥EF D H ⊥EF DH'⊥6AC =3AO =5AB =AO OB ⊥4OB =1AE OH OD AO=⋅=3DH D H '==222'OD OH D H '=+'D H OH ⊥OH EF H =I 'D H ⊥ABCD H xyz -()500B ，，()130C ，，()'003D ，，()130A -，，()430AB =u u u r ，，()'133AD =-u u u r ，，()060AC =u u u r ，，'ABD ()1n x y z =，，u r1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩()1345n =-u r ，，'AD C ()2301n =u u r，，∴，∴．13、（2016年3卷9題）如圖，網格紙上小正方形の邊長為1，粗實現畫出の是某多面體の三視圖，則該多面體の表面積為（ ）（A）18+ （B）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B考點：空間幾何體の三視圖及表面積．【技巧點撥】求解多面體の表面積及體積問題，關鍵是找到其中の特徵圖形，如棱柱中の矩形，棱錐中の直角三角形，棱臺中の直角梯形等，通過這些圖形，找到幾何元素間の關係，建立未知量與已知量間の關係，進行求解． 14、（2016年3卷10題）在封閉の直三棱柱111ABC A B C -內有一個體積為V の球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，則V の最大值是（ ） （A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B試題分析：要使球の體積V 最大，必須球の半徑R 最大．由題意知球の與直三棱柱の上下底面都相切時，球の半徑取得最大值32，此時球の體積為334439()3322R πππ==，故選B ．考點：1、三棱柱の內切球；2、球の體積．【思維拓展】立體幾何是の最值問題通常有三種思考方向：（1）根據幾何體の結構特徵，變1212cos n n n n θ⋅=u r u u r u r u ur sin θ=動態為靜態，直觀判斷在什麼情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數，通過求函數の最值來求解． 15、（2016年3卷19題）（本小題滿分12分） 如圖，四棱錐P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 為線段AD 上一點，2AM MD =，N 為PC の中點．（I ）證明MN平面PAB ；（II ）求直線AN 與平面PMN 所成角の正弦值.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（Ⅰ）取PB の中點T ，然後結合條件中の數據證明四邊形AMNT 為平行四邊形，從而得到MNAT ，由此結合線面平行の判斷定理可證；（Ⅱ）以A 為座標原點，以,AD AP 所在直線分別為,y z 軸建立空間直角坐標系，然後通過求直線AN の方向向量與平面PMN 法向量の夾角來處理AN 與平面PMN 所成角．試題解析：（Ⅰ）由已知得232==AD AM ，取BP の中點T ，連接TN AT ,，由N 為PC中點知BC TN //，221==BC TN .又BC AD //，故TN AM，四邊形AMNT 為平行四邊形，於是AT MN //.因為⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB.設(,,)n x y z =為平面PMN の法向量，則⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-0225042z y x z x ，可取(0,2,1)n =，於是||85|cos ,|||||n AN n AN n AN ⋅<>==.考點：1、空間直線與平面間の平行與垂直關係；2、棱錐の體積． 【技巧點撥】（1）證明立體幾何中の平行關係，常常是通過線線平行來實現，而線線平行常常利用三角形の中位線、平行四邊形與梯形の平行關係來推證；（2）求解空間中の角和距離常常可通過建立空間直角坐標系，利用空間向量中の夾角與距離來處理． 16、（2017年1卷7題）某多面體の三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形の邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體の各個面中有若干是梯形，這些梯形の面積之和為A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】B【解析】由三視圖可畫出立體圖該立體圖平面內只有兩個相同の梯形の面()24226S =+⨯÷=梯6212S =⨯=全梯故選B17、（2017年1卷16題）如圖，圓形紙片の圓心為O ，半徑為5cm ，該紙片上の等邊三角形ABC の中心為O ，D 、E 、F 為元O 上の點，DBC △，ECA △，FAB △分別是一BC ，CA ，AB 為底邊の等腰三角形，沿虛線剪開後，分別以BC ，CA ，AB 為折痕折起DBC △，ECA △，FAB △，使得D ，E ，F 重合，得到三棱錐．當ABC △の邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：3cm ）の最大值為_______．【答案】【解析】由題，連接OD ，交BC 與點G ，由題，OD BC ⊥OG =，即OG の長度與BC の長度或成正比設OG x =，則BC =，5DG x =-三棱錐の高h2132ABC S x =⋅=△則213ABC V S h =⋅=△令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-令()0f x '>，即4320x x -<，2x <則()()280f x f =≤ 則38045V ⨯=≤∴體積最大值為3415cm18、（2017年1卷18題）如圖，在四棱錐P ABCD -中，AB CD ∥中，且90BAP CDP ∠=∠=︒．（1）證明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA PD AB DC ===，90APD ∠=︒，求二面角A PB C --の余弦值． 【解析】（1）證明：∵90BAP CD P ∠=∠=︒∴PA AB ⊥，PD CD ⊥又∵AB CD ∥，∴PD AB ⊥又∵PD PA P =，PD 、PA ⊂平面PAD ∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面PAD（2）取AD 中點O ，BC 中點E ，連接PO ，OE ∵AB CD∴四邊形ABCD 為平行四邊形 ∴OE AB由（1）知，AB ⊥平面PAD∴OE ⊥平面PAD ，又PO 、AD ⊂平面PAD ∴OE PO ⊥，OE AD ⊥ 又∵PA PD =，∴PO AD ⊥ ∴PO 、OE 、AD 兩兩垂直∴以O 為座標原點，建立如圖所示の空間直角坐標系O xyz -設2PA =，∴()002D -，，、()220B ，，、()002P ，，、()202C -，，， ∴()022PD =--，，、()222PB =-，，、()2200BC =-，，設()n x y z =,,為平面PBC の法向量由00n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20y +=-=⎪⎩ 令1y =，則z =，0x =，可得平面PBCの一個法向量(01n =, ∵90APD ∠=︒，∴PD PA ⊥又知AB ⊥平面PAD ，PD ⊂平面PAD ∴PD AB ⊥，又PA AB A = ∴PD ⊥平面PAB即PD 是平面PABの一個法向量，(0PD =,,∴cos 23PD n PD n PD n⋅===⋅, 由圖知二面角A PB C --為鈍角，所以它の余弦值為19、(2017年2卷4題)如圖，網格紙上小正方形の邊長為1，學 科&網粗實線畫出の是某幾何體の三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體の體積為（ ） 【解析】 A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π【解析】【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體三視圖及體積，以考查考生の空間想像能力為主目の. 【解析】 【解析】解法一：常規解法【解析】從三視圖可知：一個圓柱被一截面截取一部分而剩餘の部分，具體圖像如下：【解析】從上圖可以清晰の可出剩餘幾何體形狀，該幾何體の體積分成兩部分，部分圖如下：從左圖可知：剩下の體積分上下兩部分陰影の體積，下麵陰影の體積為面部分體積即第二種體積求法：V 20、(2017年2卷10題)已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，則異面直線1AB 與1C B 所成角の余弦值為（ ）A B C D 【命題意圖】本題考查立體幾何中の異面直線角度の求解，意在考查考生の空間想像能力 【解析】解法一：常規解法在邊F 由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面直線 通過幾何關係求得FH 21、(2017年2卷19題) 如圖，四棱錐P -ABCD 中，側面PAD 為等比三角形且垂直於底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD の中點. （1）證明：直線//CE 平面PAB （2）點M 在棱PC 上，且直線BM 與底面ABCD 所成銳角為o45 ，求二面角M -AB -D の余弦值【命題意圖】線面平行の判定，線面垂直の判定，面面垂直の性質，線面角、二面角の求解 【標準答案】（1）證明略；（2【基本解法1】（1）證明：取PA 中點為F ，連接EF 、AF 因為90BAD ABC ∠=∠=︒，12BC AD =所以BC 12AD 因為E 是PD の中點，所以EF12AD ，所以EF BC 所以四邊形EFBC 為平行四邊形，所以//EC BF 因為BF ⊂平面PAB ，EC ⊄平面PAB 所以直線//CE 平面PAB（2）取AD 中點為O ，連接OC OP 、因為△PAD 為等邊三角形，所以PO ⊥AD因為平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD 所以PO ⊥平面ABCD因為AO BC ，所以四邊形OABC 為平行四邊形，所以//AB OC 所以OC AD ⊥以,,OC OD OP 分別為,,x y z 軸建立空間直角坐標系，如圖設1BC =，則(0,0,3),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)P A B C --，所以(1,0,PC = 設(,,)M x y z ，則(,,3)PM x y z =-，(1,0,0)AB =因為點M 在棱PC 上，所以(01)PM PC λλ=≤≤，即(,,(1,0,x y z λ= 所以()M λ，所以(1,1)BM λ=- 平面ABCD の法向量為(0,0,1)n = 因為直線BM 與底面ABCD 所成角為45︒， 所以|||sin 45||cos ,|2||||(BM n BM n BM n λ⋅︒=<>===解得12λ=-()22BM =-- 設平面MAB の法向量為(,,)m x y z =，則020AB m x BM m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令1z =，則(0,m =所以cos ,5||||6m n m n <>==⋅ 所以求二面角M AB D --の余弦值522、（2017年3卷8題）已知圓柱の高為1，它の兩個底面の圓周在直徑為2の同一個球の球面上，則該圓柱の體積為（）A ．πB ．3π4C．π２ D ．π4【答案】B【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑r =，則圓柱體體積23ππ4V r h ==，故選B.23、（2017年3卷16題）為空間中兩條互相垂直の直線，等腰直角三角形ABC の直角邊AC 所在直線與，都垂直，斜邊AB 以直線AC 為旋轉軸旋轉，有下列結論：①當直線AB 與成60︒角時，AB 與成30︒角； ②當直線AB 與成60︒角時，AB 與成60︒角； ③直線AB 與所成角の最小值為45︒； ④直線AB 與所成角の最大值為60︒．其中正確の是________（填寫所有正確結論の編號） 【答案】②③【解析】由題意知，a b AC 、、三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設圖中所示正方體邊長為1， 故||1AC =，AB =斜邊AB 以直線AC 為旋轉軸旋轉，則A 點保持不變， B 點の運動軌跡是以C 為圓心，1為半徑の圓．以C 為座標原點，以CD 為軸正方向，CB 為軸正方向， CA 為軸正方向建立空間直角坐標系． 則(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直線の方向單位向量(0,1,0)a =，||1a =． B 點起始座標為(0,1,0)，直線の方向單位向量(1,0,0)b =，||1b =． 設B 點在運動過程中の座標(cos ,sin ,0)B θθ'，其中為B C '與CD の夾角，[0,2π)θ∈．那麼'AB 在運動過程中の向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．設AB '與所成夾角為π[0,]2α∈，則(cos ,sin ,1)(0,1,0)cos sin |a AB θθαθ--⋅=∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正確，④錯誤．設AB '與所成夾角為π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='.當AB '與夾角為60︒時，即π3α=， sin3πθα====．∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ=∴1cos |cos |2βθ==． ∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此時AB '與夾角為60︒．∴②正確，①錯誤．24、（2017年3卷19題）如圖，四面體ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ∠=∠，AB BD =．（1）證明：平面ACD ^平面ABC ；（2）過AC の平面交BD 於點E ，若平面AEC 把四面體ABCD 分成體積相等の兩部分．求二面角D AE C --の余弦值．【解析】⑴取AC 中點為O ，連接BO ，DO ； ABC ∆為等邊三角形 ∴BO AC ⊥∴AB BC = AB BCBD BDABD DBC=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. DA B CED BC EO∴AD CD =,即ACD ∆為等腰直角三角形，ADC ∠ 為直角又O 為底邊AC 中點∴DO AC ⊥令AB a =，則A B A C B C B D a ====易得：O D a =，OB =∴222OD OB BD +=由畢氏定理の逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥OD AC OD OBAC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直の判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由題意可知V V D ACE B ACE --=即B ,D 到平面ACE の距離相等即E 為BD 中點以O 為原點，OA 為軸正方向，OB 為軸正方向，OD 為軸正方向，設AC a =，建立空間直角坐標系，則()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 設平面AED の法向量為1n ，平面AEC の法向量為2n ，則1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(13,1,n =2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(20,1,n = 若二面角D AE C --為，易知為銳角，則12127cos n n n n θ⋅==⋅主要考點：1、能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等の簡易組合)の三視圖,能識 別上述三視圖所表示の立體模型,會用斜二側法畫出它們の直觀圖 .2、瞭解球、棱柱、棱錐、臺の表面積和體積の計算公式 .3、能運用公理、定理和已獲得の結論證明一些空間圖形の位置關係の簡單命題4、掌握空間向量の線性運算及其座標表示.5、掌握空間向量の數量積及其座標表示,能運用向量の數量積判斷向量の共線與垂直.6、理解直線の方向向量與平面の法向量.7、能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面の夾角の計算問題,瞭解向量方法在研究立體幾何問題中の應用.。