高三数学立体几何练习题及答案

高三数学立体几何练习

题及答案

Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】

江苏省盐城高级中学2009届高三数学立体几何周练一．填空题

1

平面图形的面积是

2

方体木块的个数是 5 ．

3．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得到这个几何体的体积是___________

4

3

π

____3

cm．

4．已知m n

、是不重合的直线，αβ

、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,//

n m n

αβ=，则//,//

m m

αβ；

（2）若,

m m

αβ

⊥⊥，则//

αβ；

（3）若//,

m m n

α⊥，则nα

⊥；

（4）若,

m n

αα

⊥?，则.

m n

⊥

其中所有真命题的序号是(2)(4)．

俯视

主视图左视图

主视图左视图

俯视图

x′

5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 1345 （写出所有正确结论的编号．．

）。 ①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。

6. 已知一正方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为,p 表面积为q ，若

2m p =，则n

q = 6π

7．给出下列四个命题：

⑴ 过平面外一点，作与该平面成θ00(090θ<≤）角的直线一定有无穷多

条；

⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行； ⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；

⑷ 对两条异面的直线,a b ，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；

其中正确命题的序号为_____24________（请把所有正确命题的序号都填上）．

８．已知三条不重合的直线两个不重合的平面，有下列命题：

①若||,m n n α?，则||m α；②若,l m αβ⊥⊥，且||l m ，则||αβ；③若

,,||,||,m n m n ααββ??则||αβ；④若

,,,m n n m αβαββ⊥=?⊥，则n α⊥。

其中正确的序号为 ②④

9.有两个相同的直三棱柱，高为a 2

，底面

三角形的三边长分别为)0(5,4,3>a a a a 用

它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是____0

3

15

______ 10．正四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，AB=3，BB 1=4.长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R –PQMN 的体积是 6

4a 5a

3a

2a

4a 5a

3a

2a

D A C B M N R

11．如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1,EF AC EF A D ⊥⊥ 则EF 和BD 1的关系是 平行

12. 如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是线段B 1C

13．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB 、△PAC 、△PBC 的面积分别为

1.5cm 2

，2cm 2

，6cm 2

，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 26π cm 2．

14．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底

面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平

二．解答题：（每题15分）

15．如图，已知正三棱柱111C B A ABC -中，12AA AB =,点D 为11C A 的中点。

求证：（1）D AB BC 11//平面； （2）D AB C A 11平面⊥.

证明：（1）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， 连结A 1B ，设AB 1∩A 1B =O .

连结OD .△DA 1BC 1中，A 1D =DC 1，A 1O =OB ， ∴OD ∥BC 1.

∵OD ?平面AB 1D . BC 1?平面AB 1D . ∴BC 1∥平面AB 1D .

（2）在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1. ∵B 1D ?平面A 1B 1C 1中，D 为A 1C 1中点，∴B 1D ⊥A 1C 1.

F

B

D

C

P

M

∵AA 1∩A 1C 1=A 1，∴B 1D ⊥平面AA 1C 1C .

.,11111D B C A C C AA C A ⊥∴?平面

?=∠=∠==∴

=90,2

2

,2111111AC A A DA AC AA AA D A AA AB ∴△DA 1A ∽△A 1AC . ∴∠ADA 1=∠CA 1A . ∵∠DA 1C +∠CA 1A =90°，

∴∠ADA 1+∠DA 1C =90°. ∴A 1C ⊥AD . ∵AD ∩B 1D =D ，∴A 1C ⊥平面AB 1D . 16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，

CD AC CD AD AB CD AB AD ⊥∴⊥,||, a AD =,

2

1

AB DC AD == a AB a CD 2,==∴ADC ?

90=∠ADC a AC DAC DCA DC AD 2,45,==∠=∠∴=

ACB ?

45,2,2=∠==CAB a AC A AB a CAB ABCOS AC AB AC BC 222=∠?-+=∴222AB BC AC =+ BC AC ⊥C

PC AC PAC PC PAC AC PC BC =???⊥,,,平面平面 PAC BC 平面⊥∴BC PA PAC PA ⊥∴?,平面 M PB PAD CM 平面||AP F .,,DF FM CM AB FM AB FM 2

1

,||=

CD FM CD FM AB CD AB CD =∴=

.||,2

1

,|| 是平行四边形四边形CDFM ∴DF CD ||∴PAD DF 平面? PAD CM 平面?PAD CM 平面||∴2

1

;

EO CD ⊥3?FO ?ECD ,OG EG ?,EOG CD ⊥,EOG OE ?.

EO CD ⊥1222

,CD FG ?,CDF （1）求证：;AC GN ⊥（7分）

（2）当FG=GD 时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP8分）

G

O

F E D C

B

A

a

a a

俯视图

左视图

主视图G E F N

M D C

B A

证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF=AD=DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥AD FD ⊥CD ，

∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC ∴AC ⊥面FDN FDN GN 面? ∴GN ⊥AC

（2）点P 在A 点处

证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA G 是DF 的中点，∴GS//FC,AS//CM ∴面GSA//面FMC GSA GA 面?

∴GA//面FMC 即GP//面FMC

19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝

6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3．

（Ⅰ）求证：AC ⊥DE ；

（Ⅱ）求四棱锥P －ABCD 的体积．

（Ⅰ）证明：连接BD ，设AC 与BD 相交于点F ． 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ． (2)

分

又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以PD ⊥AC ． 而AC ∩BD ＝F ，所以AC ⊥平面PDB ．

E 为PB 上任意一点，DE ?平面PBD ，所以AC ⊥DE ．

（Ⅱ）连EF ．由（Ⅰ），知AC ⊥平面PDB ，EF ?平面PBD ，所以AC ⊥EF ．

S △ACE ＝12

AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB ． S △ACE ＝3，12

×6×EF ＝3，解得EF ＝1． 由△PDB ∽△FEB ，得

PD PB

EF FB

=

．由于EF ＝1，FB ＝4，PB = 所以PB ＝4PD 4PD =．解得PD V P —ABCD ＝13S □ABCD ·PD ＝13×24．

A

（第19

C

D

E P

F

B

20如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点。（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1；

（Ⅱ）求证：⊥11C B 平面11A ABB ；

（Ⅲ）在1CC 上是否存在一点E ，使得∠1BA E =45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面1A BD 与平面BDE 是否垂直若不存在，请说明理由。 证明：如图，连接1AB 与B A 1相交于M ，则M 为B A 1的中点。连结MD ，又D 为AC 的中点，

MD C B //1∴，又?C B 1平面BD A 1，

//1C B ∴平面BD A 1 。

（Ⅱ）B B AB 1= ，∴四边形11A ABB 为正方形，

11AB B A ⊥∴。又⊥1AC 面BD A 1

B A A

C 11⊥∴，⊥∴B A 1面11C AB ，111C B B A ⊥∴。

又在直棱柱111C B A ABC -中，111C B BB ⊥，

⊥∴11C B 平面A ABB 1。

（Ⅲ）当点E 为C C 1的中点时，∠1BA E =45°，且平面⊥BD A 1平面BDE 。 设AB=a ，CE=x

，∴11,,22

A B A D a BD CD ==

==，

DE =，

∴1A E ==

BE

在1A BE 中，由余弦定理，得22211112cos 45BE A B A E A B A E =+-???， 即

22222222

a x a x a +=++-?

，∴3a =， ∴x=1

2

a ，即E 是C C 1的中点。

D 、

E 分别为AC 、C C 1的中点，1//AC DE ∴。

1AC 平面BD A 1，⊥∴DE 平面BD A 1。

又?DE 平面BDE ，∴平面⊥BD A 1平面BDE 。