河北省石家庄市复兴中学高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学案
高中数学 必修四 教案：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙讨论结果:略（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1,3-2)=(1,1),=(-2-1,5-2)=(-3,3),∴·=1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.∴△ABC 是直角三角形.变式训练在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则⊥,所以·=0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±. 例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴·=3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=∙=∙AC AB(2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则 cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1). 同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得·=1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.。
高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案
高中数学必修四2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角导学案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【学习目标】1.掌握平面向量数量积运算规律；能利用数量积的性质解决有关问题；2.掌握向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，能解决一些简单问题.【知识梳理】知识回顾：1．两个向量的数量积的性质：设与为两个非零向量(1)、  (2)、当与同向时，  = ，当与反向时， 特别的： =_____或，|  | ≤ | || |， =________新知探究：已知非零向量，，怎样用和的坐标表示 ？1、平面两向量数量积的坐标表示：即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.2. 平面内两点间的距离公式（1）设，则或（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定：设，，则 4.两向量夹角的余弦（） = =思考感悟:向量不能比较大小，也不能与数0比较大小，但能否有  0（0）？对点练习：1.已知a→=(—3,4),b→=(5,2), 则a→b→等于( )A. —14B. —D. 82.已知a→=(—3,4),b→=(5,2),c→=(1,—1), 则(a→b→)c→等于 ( )A. —14B. —(7,—7) D. (—7,7)3.已知A(—1,1),B(1,2), 则|AB→|等于 ( )A. 5 B—1 D. 74. 已知a→=(3,4),b→=(5,12), 则a→,b→夹角的余弦为( )A. 6365 BD. 13【合作探究】典例精析：例1.已知向量，；（1）求，；（2）求的值；（3）求的值；变式1：已知向量，；（1）求向量与的夹角；（2）若向量与垂直，求的值；例2.设 = (5，7)， = (6，4)，求及、间的夹角θ的余弦值。
高中数学必修四：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：1．平面向量数量积（内积）的定义：2．两个向量的数量积的性质：3．练习：（1）已知||=1，||=2，且(-)与垂直，则与的夹角是（ ）A.60° B .30° C.135° D.４５°（2）已知||=2，||=1，与之间的夹角为3π，那么向量=-4的模为（ ） A.2 B .23 C. 6 D.12二、讲解新课：探究：已知两个非零向量),(11y x =，),(22y x =，怎样用和的坐标表示∙？.1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即∙2121y y x x +=2. 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x =22y x +=22y x +=. （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，221221)()(y y x x -+-=(平面内两点间的距离公式)3． 向量垂直的判定 设),(11y x =，),(22y x b =，则⊥ ⇔02121=+y y x x4． 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，a 与b 之间的夹角为θ（πθ≤≤0）co s θ222221212121y x y x y y x x +++=二、讲解范例：例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.练习1、习题2.4 A 组第5题例2设a= (5，-7)，b= (-6，-4)，求a∙b，a、b间的夹角θ的余弦及│a-4b│。
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),且满足条件(8ab)· c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:∵a=(1,1),b=(2,5), ∴8a-b=8(1,1)-(2,5)=(8,8)-(2,5)=(6,3). ∴(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=6×3+3x=18+3x=30. ∴x=4. 答案:C
3π ������· ������ -5 2 = =- . |������||������| 5· 10 2
∵θ∈[0,π ],∴θ= 4 .
答案:(1)C (2)
3π 4
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打 “ ”,错误的 打“×”. (1)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2).a⊥b⇔x1x 2-y1y 2=0. ( ) (2)已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 所成角为 θ,则 cos
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二向量垂直的问题 【例3】 (1)已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a⊥(a-b),则实数x等于 ( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 (2)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分别在AB,AD上,且AE=1,则当 DE⊥CF时,AF= . 解析:(1)由已知得a-b=(1-x,4). ∵a⊥(a-b),∴a· (a-b)=0. ∵a=(1,2),∴1-x+8=0,∴x=9.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4. (2)∵a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4), 2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), ∴(a+b)· (2a-b)=(2,4)· (-5,2)=2×(-5)+4×2=-2. (3)(a· b)c=[(-1,2)· (3,2)](2,1) =(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1). a (b · c)=(-1,2)[(3,2)· (2,1)] =(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
高中数学必修4第二章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角A 级 基础巩固一、选择题1．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，则实数m 的值为( )A ．－32 B.32C ．2D ．6 解析：因为a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a·b ＝0，所以3×2＋m ·(－1)＝0，所以m ＝6.答案：D2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2，1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：由四边形ABCD 为平行四边形，知AC →＝AB →＋AD →＝(3，－1)，故AD →·AC →＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：A3．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝( ) A ．5 3 B ．3 5 C ．2 5 D ．2 2解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a －b |＝3 5.答案：B4．若a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量为( )A ．2 5B ．2 C. 5 D ．10解析：设a ，b 的夹角为θ，则|a |cos θ＝|a |·a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝2×3＋1×45＝2.答案：B5．(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8解析：法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0， 解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.答案：D二、填空题6．(2016·北京卷)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．解析：由题意得|a |＝1＋3＝2，|b |＝3＋1＝2，a ·b ＝1×3＋3×1＝2 3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6. 答案：π67．已知OA →＝(－2，1)，OB →＝(0，2)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是________．解析：设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2，1)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎨⎧－2（x ＋2）＝0，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6.所以点C 的坐标为(－2，6)．答案：(－2，6)8．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．解析：由于a 与b 的夹角为锐角，所以a·b >0，且a 与b 不共线同向．由a·b >0⇒－3λ＋10>0，解得λ<103. 当向量a 与b 共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65， 因此λ的取值范围是λ<103且λ≠－65. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫λ⎪⎪⎪λ<103且λ≠－65 三、解答题9．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，(1)当x 为何值时，使(a ＋2b )∥(2a －b )?(2)当x 为何值时，使(a ＋2b )⊥(2a －b )?解：由a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，得a ＋2b ＝(2x ＋1，4)，2a －b ＝(2－x ，3)．(1)因为(a ＋2b )∥(2a －b )，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，解得x ＝12. (2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(2x ＋1)(2－x )＋12＝0，解得x ＝－2或x ＝72. 10．设平面三点A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，(1)试求向量2AB →＋AC →的模；(2)若向量AB →与AC →的夹角为θ，求cos θ；(3)求向量AB →在AC →上的投影．解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2，5)，所以AB →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AC →＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)，所以2AB →＋AC →＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)，所以|2AB →＋AC →|＝ （－1）2＋72＝5 2.(2)由(1)知AB →＝(－1，1)，AC →＝(1，5)，所以cos θ＝（－1，1）·（1，5）（－1）2＋12×12＋52＝21313. (3)由(2)知向量AB →与AC →的夹角的余弦为cos θ＝21313，且|AB →|＝2.所以向量AB →在AC →上的投影为|AB →|cos θ＝2×21313＝ 22613. B 级 能力提升1．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)、B (4，1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)．因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C2.如图所示，已知点A (1，1)，单位圆上半部分上的点B 满足OA →·OB →＝0，则向量OB →的坐标为________．解析：设B (x ，y )，y >0，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y ＝0，⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝22，所以OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，22 3．已知向量a ＝(2，0)，b ＝(1，4)．(1)求|a ＋b |的值；(2)若向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，求k 的值；(3)若向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，求k 的取值范围． 解：(1)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以a ＋b ＝(3，4)，则|a ＋b |＝5.(2)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)； 因为向量k a ＋b 与a ＋2b 平行，所以8(2k ＋1)＝16，则k ＝12. (3)因为a ＝(2，0)，b ＝(1，4)，所以k a ＋b ＝(2k ＋1，4)，a ＋2b ＝(4，8)； 因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎪⎨⎪⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12，解得k >－92或k ≠12.。
高中数学必修4人教A242平面向量数量积的坐标表示模夹角(教学案)word资料7页
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教材分析本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
二．教学目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。
2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。
3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、三、教学重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示.难点：向量数量积的坐标表示的应用.四、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。
因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。
我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。
理解掌握向量的模、夹角等公式。
能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。
2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。
人教A版高中数学必修42.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
- 9 - λ ≠0
规律总结：
设两个非零向量a =(x1, y1),b=(x2, y2 )的夹角为θ，则
(1) θ = 900 ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0;
(2) θ = 00 或180 0 ⇔ x1 y2 - x2 y1 = 0;
(3) 00 < θ < 900 ⇔
x1x2 + y1 y2 > 0 x1 y2 - x2 y1 ≠0；
定 义： a •b = a b cosθ
模长公式： a = a • a 夹角公式： cosθ = a •b
ab
垂直关系： a ⊥b⇒a•b=0
探究新知
问题2：平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向 量的加法、减法、数乘都可以用坐标表示， 向量的数量积可否类比也用坐标表示呢？
新课引入
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用a与b的坐标表示a·b?
解: (1)由已知得 3• λ+1×(- 3) = cos450 32 +12 λ2 +(- 3)2
即 3λ - 3= 5 • λ2 +9
解得 λ = 6. (2)若夹角θ 为锐角，则有 cosθ > 0, 且 cosθ ≠1,
∴a • b > 0且a与b不同向。
3λ - 3 > 0
即
解得 λ >1.
3λ - 3 > 0
即
解得 λ >1.
- 9 - λ ≠0
故a与b的夹角θ是锐角时， λ的取值范围为
(1，ư + y1 y2
例2、已知 a =(3,1),b =(λ，-3)，
x12 + y12 x22 + y22
高中数学必修四1：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
(2)
(ar )
r barr Nhomakorabea(b)(ar
r b
)
(3) (a＋b) ·c = a·c＋b·c (分配律)
复习回顾
已知两个非零向量a
和b ，作
uuur r uuur r OA a，OB b
，则∠AOB=θ （0°≤θ
≤180°）叫做向量a 与b 的夹角。
B
θ
O
A
新课引入
一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）
解：设所求向量为 b cos , sin
∵ a 与b 成 45
∴ ab 2 8 2
2
另一方面 3 1cos 3 1sin 2
∴ 3 1 cos 3 1 sin 2 … …①
拓展提升：
又 sin 2 cos2 1
②
联立解之：cos
1 2
，sin
3 2
或
cos
③ j i ___0___ ④ j j ___1__ 能否推导出 a b 的坐标公式?
a b x1i y1 jx2i y2 j
x1x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 y2 j2 x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
a b x1x2 y1 y2
2 5
课堂练习
（3）RtABC 中，AB 2,3 ，AC 1, k ，求k 的值.
①A 90时k 2 ②B 90时k 11
3
3
③C 90时k 3 13 2
归纳小结
（1） 掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积之和； （2） 要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角 度、方程、及垂直问题.
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2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学案
班级 姓名 小组 号
【学习目标】
1. 平面向量数量积的坐标表示及其应用
2. 掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式
3. 掌握两个平面向量的夹角的坐标公式
4 . 能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；
【教学重点】
1.掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式
2. 掌握两个平面向量的夹角的坐标公式
【自主学习探究】
阅读教材第106—107页，回答以下问题：
1、设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则a ⋅b =
2、设),(y x a = ，则= = 特别地,设),11y x A （与),22y x B （,则两点间的距离即为的模长,由此可得 两点间的距离公式为AB =
3、设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则_______;________a b a b ⊥⇔//⇔
4、两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
， co s θ = = 【课堂精讲】
例1. 以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.
例2. 在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.
例3. 已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围
例4. 已知a ＝（3，4），b ＝（4， 3），若(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1. 求x ,y
例5. 已知(2,3),(2,1),(1,4)(7,4)A B D ----判断AB 与CD 是否共线？
【课堂训练】
1. 已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影
2. a =(2,3),b =(—2,4), 求(a +b )·(a —b );a b +
3. 平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==,则OAB ∆的面积等于
【课堂内化】：
1. 课堂小结：
2.本节课学习内容中的问题和疑难。