刚体的复合运动2011
第2章 刚体运动与复合运动
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动 过程中， 过程中， 其上所有 点的运动 始终平行 于某一固 定平面。 定平面。
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 —定点运动 第 2章
第2 章
刚体运动与复合运动
2010年12月10日
目录 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的定义及其运动形式 第1节 刚体运动的向量-矩阵描述 第2节 刚体定点运动 第3节 刚体平面运动 第4节 点的复合运动 第5节 刚体复合运动
刚体的定义 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体是质点间距离始终保持不变 距离始终保持不变的质 距离始终保持不变 点系。 刚体是抽象的力学模型 力学模型。 力学模型 真实物体受力以后都会变形。 当物体的变形和运动尺度相比小的多 时，则可简化为刚体。
刚体的运动 — 平动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，其上 刚体运动过程中， 任一条直线始终保持与 其自身原位置平行。 其自身原位置平行。
刚体的运动 — 定轴转动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过 程中， 程中，刚体 或其延拓部 或其延拓部 分上有一直 线始终保持 不动。 不动。
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，刚体或 刚体运动过程中， 其延拓部分上某一点始终 保持不动。 保持不动。
刚体的运动 — 定点运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
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工程力学-刚体的复合运动
（平面运动的分解）
现在用复合运动的方法来研究平面图形的运动。 平面图形的运动分解成平动和转动
EXAMPLE
y
y′
x′
O′
x
车轮的平面运动可以分解成两个运动：随动系 O′x′y′ 的平动---牵连运动；绕动系 O′x′y′ 的转动----相对运动。
GENERAL IDEA:
求：轮 IV 角速度 ω4 。
解：建立动系 Oxy 与曲柄固结
ωe = ω 0 ωr1 = ω 0
ω r4 = ω r4 ⋅ ω r2 = R3 ⋅ R1 ω r1 ω r3 ω r1 R4 R2
ωr4
=
R3 R1 R4 R2
ω0
ω4
= ωr4
−ωe
=
R3 R4
R1 R2
− 1ω 0
b
=
R1 + R2 R3 R1
R2 R4
平面图形的运动分解成转动和转动，绕平行轴转动的合成
1.用转动坐标系将平面运动分解为两个绕平行轴的转动
若平面图形S在运动过程中，其上有一点A到定系中某一固 定点O的距离始终保持不变，则点A在定系中的轨迹是以点O为 圆心，OA为半径的圆周曲线。对于满足上述条件的平面运动，
引入一与O、A两点连线固连的动系。动系相对定系绕O轴作定
3. 转动偶的概念
(1) 刚体作绕两平行轴转动的合成，若 ωe = Const. , ωr = Const., ,
ωr = −ωe 则合成运动 ωa =0，即两个转动合成一个平动，
此平动称为转动偶。
(2) 在下图中，I轮固定，II轮与I轮用皮带传动，曲柄角速度， ω = Const. 研究II轮的运动
第3章复合运动
dA dt
~ dA dt
(3.2)
8
§3.4
点的复合运动的矢量解法
M
r
O
3.4.1 动点的运动方程
(1) 确定参考点：
O 定系中任一确定点 O 动系中任一确定点
r
O
(2) 动点M的变化规律：
绝对运动方程 相对运动方程
牵连运动方程 rO rO (t ) 点O 相对点O 的矢径 在任意时刻t r t rO t r t
ve vN vO e r
(3.33) (3.34)
于是
va ve vr
速度合成定理
（矢量方程式，在任意瞬时均成立）
速度合成定理：
在任一瞬时，动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。 速度合成定理的适用范围：
速度合成定理虽然是在牵连运动为平面运动时推导所得，但当牵连运动为其 12 他形式的刚体运动时，依然成立。
方向由 vr 顺 e 的转向转 90 得到。
aC
vr
15
当 0 或 180 时， e // vr aC 0 (3) 综合上述：
e
一般情况下，
将 vr 正交分解，得到 vr ，vr ， 大小
vr
vr
aC
其方向为 vr 顺 e 的转向转过 90 (如
4. 运动合成与分解的应用
（1）某些工程机构，只有用上述方法才能求出机构中各构件的运动关系； （2）实际问题需要在不同的参考空间研究物体的运动。
这种利用动系和定系来分析运动的方法（或运动的合成与分解），不仅在 工程技术上有广泛应用，而且还是在非惯性参考系中研究动力学问题的基 础。
6第六章刚体基本运动与点的复合运动资料
由于转速n与w 有如下关系：
w 2n
60
w1 n1 成正比 w 2 n2
齿轮传动比
i1,2
2018年11月2日 理论力学CAI
w1 n1 r2 z2 w2 n2 r z1 1
25
2018年11月2日 理论力学CAI
26
减速箱由四个齿轮构成， 如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装
2018年11月2日 理论力学CAI 1
6.1 刚体的平移和定轴转动
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
2
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
3
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
4
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
5
1. 平移 —— 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点C在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s)
(rad)
0
v (m/s)
π （水平向右） 0 4
at (m/s2)
an (m/s2)
π2 2 （铅直向上） 0l 16
0
2
理论力学CAI
0
π 0l 16
0
0
30
航母以 20 节的速度前进，直升飞机以每小时 10km 的速 度垂直降落。求直升飞机相对于航母的速度。
2018年11月2日 理论力学CAI
31
2018年11月2日 理论力学CAI
32
振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作
第三章刚体力学(2)
J 00 ( J 0 mR )
2
J 00 ( J 0 0)
0
J 00 J 0 mR2
R
O’ Cபைடு நூலகம்
B
（2） 球与环及地球为系统，机械能守恒
势能零点
1 1 2 1 2 2 J 00 mg 2 R mv J 00 2 2 2
v 2 gR
环上C点处对惯性系的速度为零
d A M d
1 2 Ek J 2
A Md
1
2
定轴转动动能定理 势能 刚体的机械能
1 1 2 A J 2 J 12 2 2
E p mghc
1 2 E E p Ek mghc J 2 A外 A非保 E
A外+A非保=0 ΔE=0
*
机械能守恒
三、定轴转动定理定律 力矩 角动量
M r F
L J L J z
dLz M z J dt
定轴转动定律
分析问题：对刚体列出定轴转动定律方程
对质点列出牛顿定律方程 线量与角量的关系 M = 0 L = 常量——角动量守恒 J = 常量
力（力矩）对刚体的功 定轴转动动能
各质点的位置和速度 某点的位矢 = 质心的位矢 + 该质点相对质心的位矢 某点的速度 = 质心的平动速度 + 该质点相对质心的速度
y
ri rc ri
vi vc vi vc ri
mi
ri
ri′ rc
x
质心系
ω是该质点相对质心做转动时的角速度
O
八．细杆长l,质量m.从水平位置释放后与物 体碰撞,物体质量m,与地面摩擦系数u，撞后 滑行S停止,求碰后杆质心C上升的最大高度. 解: 分三阶段考虑 杆机械能守恒
工程力学(第二版)PPT吴玉亮主编-第12章 点和刚体的复合运动
1
绝对运动
2
相对运动
3
牵连运动
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.1.3 点的速度合成定理 如图12-4所示，设一运动平面S上有一曲线槽AB，槽内有动点M沿槽运动。将动
参考系o′x′y′固结在平面S上，静参考系oxy固结在地面上。
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.2 刚体的平面运动
平面图形在其平面上的位置可以用图形内的任意直线段o′M的位置来确定，如图 12-11所示。
第12章 点和刚体的复合运动
12.3 平面图形上各点的运动分析
如图12-12所示，在平面图形上任取一点O′，称为平面图形的基点。将动坐标系 O′x′y′固结在这点上，并随O′点作平动，而平面图形又相对于动坐标系绕基点O′转动。
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.1.2 绝对运动、相对运动及牵连运动 在工程中，把固定于地面的坐标系称为静参考系，把固结于相对于地面运动的物
体上的坐标系称为动参考系。在图12-1的例子中，动参考系固结在车厢上。用点的合 成运动分析点的运动时，除了要选定两个参考系外，还应区分三种运动：
12.1.1 点的合成运动的概念 如图12-2所示，桥式起重机在起吊重物时，假设起重机的横梁不动，起重机小车
沿横梁作水平运动，同时，小车上悬挂的重物M向上运动。站在地面上观察重物M时， 重物M的运动轨迹为曲线。
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.1.1 点的合成运动的概念
从图12-1中可看出：如果以车厢作为参考系，则点M对于车厢的运动是简单的圆 周运动，车厢相对于地面的运动是简单的平动。这样，轮缘上一点的运动就可以看成 两个简单运动的合成，也就是点M相对于车厢作圆周运动，同时，车厢相对地面作平 动。
刚体运动的基本原理
刚体运动的基本原理刚体运动是物体在空间中做整体性的运动，不发生形变的运动。
刚体运动的基本原理可以通过以下几个方面来解释：一、质点的运动质点可以看作是质量无限大的一个点，它不发生形变，仅产生平移运动。
质点的平移运动可以用牛顿第一定律来描述，即物体在不受外力作用时将保持静止或者匀速直线运动。
这是因为质点不受力的影响，所以它的速度和位置都不会改变。
二、刚体的自由度刚体在空间中的运动由其自由度决定。
自由度是指刚体能够独立运动的最小数量。
对于一个刚体而言，它的自由度取决于它的维度。
在三维空间中，一个刚体有6个自由度，分别为三个平移自由度和三个转动自由度。
三、刚体的平移运动刚体的平移运动是指它在空间中沿着直线运动，整体上保持不变。
刚体的平移运动可以由质点的运动来描述。
当一个刚体受到一个外力时，该外力会作用在刚体的重心上，使得刚体产生平移运动。
刚体的平移加速度与作用在刚体上的合力成正比，与刚体的质量成反比。
四、刚体的转动运动刚体的转动运动是指它在空间中绕轴线旋转，整体上保持不变。
刚体的转动运动可以由刚体的转动惯量来描述。
转动惯量是刚体旋转惯性的量度，与刚体的质量分布以及轴线的位置有关。
当一个刚体受到一个力矩时，该力矩会使刚体产生转动运动。
刚体的转动加速度与作用在刚体上的合力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
五、刚体的复合运动刚体可以进行平移和转动的复合运动。
当一个刚体受到既有平移又有转动的外力时，刚体既会发生平移运动，也会发生转动运动。
刚体的平移和转动是相互独立的，但它们会同时发生。
六、刚体碰撞的基本原理当两个刚体碰撞时，根据动量守恒定律和动能守恒定律，可以得到碰撞前后刚体的动量和动能之间的关系。
在完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中既满足动量守恒定律，也满足动能守恒定律。
在非完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中会发生能量损失，动能不守恒。
总结：刚体运动的基本原理包括质点的运动、刚体的自由度、刚体的平移和转动运动，以及刚体碰撞的原理。
3-1点的复合运动
R RE A
R0
sin x cos y
S
et 0
et 0
R0 cos et r0 cos mt cos r0 sin mt sin
A B
x
cos e sin t R
O
C t
当
OCA π 2
时， t
R cos e2 R2
e R
2 2
e sin e2 R2
R
e t
vAB x e R2 e2 / R
2013-11-20
34
第1节 点的复合运动
R
R*
x
第1节 点的复合运动
R RO r RO A
P
z
Z
R
RO
Z
y
r
O
r A(t ) ρ
Y
X
x
Y
r Aρ Aρ AAT r Aρ
dr ω r + dr dt dt
Aρ 和 ρ
同一个向量在不 同坐标系的列阵
O0
X
y
Y
o
cos sin
复合运动知识如何得到月球的复杂轨迹？
R RE r
R cos e t RE E 0 E R0 sin e t
动点、定系、动系选择？
cos A sin sin cos
e
y
m
E
r0
M
x
x r0 cos m t y r0 sin mt
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3-23曲柄III 连接定齿轮I 的1O 轴和行星齿轮II 的2O 轴，齿轮的啮合可为外啮合（图a ）也可为内啮合（图b ）。
曲柄III 以角速度3ω绕1O 轴转动。
如齿轮半径分别为1r 和2r ，求齿轮II 的绝对角速度2ω和其相对曲柄的角速度23ω。
解：取曲柄III 为为动系，牵连角速度为3e ωω=。
齿轮I 和II 的相对运动均为定轴转动。
对于图(a)，两个齿轮的相对角速度分别为：
133ωω=-，112313322
r r r r ωωω=-=
（逆时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 1222332
e r r r ωωωω+=+=（逆时针） 对于图(b)，两个齿轮的相对角速度分别为：
133ωω=-，112313322
r r r r ωωω=
=-（顺时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 2122332
e r r r ωωωω-=+=（顺时针）
3-27差动齿轮构造如图所示，曲柄III 可绕固定轴AB 转动，在曲柄上活动地套一行星齿轮IV ，此行星齿轮由两个半径各为51=r cm ，22=r cm 的锥齿轮牢固地叠合而成，两锥齿轮又分别与半径为101=R cm 和52=R cm 的两个锥齿轮I 和II 啮合；齿轮I 和II 可绕AB 轴转动，但不与曲柄相连。
今两齿轮I 和II 的角速度分别为1ω＝4.5rad/s 及92=ωrad/s ，且转
向相同，求曲柄III 的角速度3ω及行星齿轮对于曲柄的相对角速度43ω
解：齿轮II 与齿轮IV 啮合处速度为 2232432R R r ωωω=+。
齿轮I 与齿轮IV 啮合处速度为 1131431R R r ωωω=-。
联立以上方程，可得 37 rad/s ω=，43 5 rad/s ω=。
1
ω2ω3
43
ω
3－28正方形框架以2 r/min 绕轴AB 转动。
圆盘以2 r/min 绕着与框架对角线相重合的轴BC 转动。
求此圆盘的绝对角速度和角加速度。
解：取框架为动系，圆盘的相对运动为定轴转动，则
2 r/min 0.21 rad/s e ω==
2 r/min 0.21 rad/s r ω==
所以：
3.7 r/min 0.39 rad/s ω==
20.210.21cos450.031 rad/s e r εωω=⨯=⨯⨯=
3-37圆盘绕杆AB 以角速度100=Ωrad/s 转动，AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度
10=ωrad/s 转动。
已知140=R mm ，当︒=90θ，5.2=θ
rad/s ，0=θ 时，试求圆盘上两相互垂直半径端点C 点及D 点的速度和加速度。
解：圆盘的运动是由三个定轴转动组成的复合运动，且三个轴交于O 点。
取O 点为基点，建立动坐标系Oxyz ，Oxyz 绕铅垂轴以角速度ω转动，则牵连角速度e ω=-ωk 。
圆盘相对于动坐标系的运动是由框架绕Ox 轴的转动和圆盘绕Oy 轴的转动组成，则圆盘的相对角速度为：
r θ
=-+Ωωi j 所以圆盘的绝对角速度为：
r θ
ω'=-+Ω-e ω=ω+ωi j k C 点及D 点的矢径分别为：
0.140.5 m C =-+r i j
0.50.14 m D =+r j k
由公式=⨯v ωr 可得C 点及D 点的速度：
5 1.412.75 m/s C C '=⨯=++v ωr i j k
190.35 1.25 m/s D D '=⨯=+-v ωr i j k
下面来求加速度。
首先求圆盘相对于动系的相对角加速度r ε，在动系中，我们可以步将
框架绕Ox 轴的转动看作牵连运动，牵连加速度为1e θ=-ωi ，牵连角加速度为1
e =εθ ；将圆盘绕Oy 轴的转动看作相对运动，相对角速度为1r =Ωωj ，相对角加速度为10r ==εΩ。
则根据角加速度合成公式e e r r =+⨯+εεωωε并由此时0θ
= 可得： 211250 rad/s r e r θ
=⨯=-⨯Ω=-εωωi j k
接下来求圆盘的绝对角加速度，再次利用角加速度合成公式，并由0e =ε可得：
2100025250 rad/s e r r '=⨯+=+-εωωεi j k
利用公式()=⨯+⨯⨯a εr ωωr 可得C 点及D 点的加速度 ：
2141416.875 m/s C =+a i j
27333.1252400.875 m/s D =--a i j k。