基于时间序列分析的动态变形预测模型研究

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最小二乘法所估计 的 A R ( n) 参 数白 噪声 e ^( t)是
式( 8) 中的某些系数为零的问题 。
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参数估计的序贯最小二乘解法
引入向量 : … an , b0 , …, bn ) = θ = ( a1 ,
T T ( θ1 , …, θn , θn + 1 , …, θ2 n + 1 ) T
i)+ e( t)
( 6)
这样 , 依次由低阶到高阶建模 A R M A ( 1, 0) ,
收 稿日 期: 2005-03-14 。
( 2)
i)+ ^ e( t)
( 7)
2
武 汉大 学学报·信息 科学版
2005 年 6 月
式中 , α ^ i 是基 于对 X ( t) 的 N 个 观测 数 据用 序 贯 时, 其均方误差为 : 相应的模型残差 。 可 证明 ( 略) : 当 N→ ∞ , n→ ∞ E( e( t)- → e ^( t) )→0
文章编号 : 1671-8860( 2005) 06-0483-05
文献标志码 : A
基于时间序列分析的动态变形预测模型研究
2 潘国荣1 ,
( 2
同 济大 学现 代 工程 测 量国 家 测绘 局重 点 实验 室 , 上海 市 四平 路 1239 号 , 200092 )
( 1
同济 大 学测 量 与国 土 信息 工程 系 , 上海 市 四平 路 1239 号 , 20 0092 )
特性 模 型类 参 数个 数 定阶 法 参数 估计 方法 时间 序列 类 计 算量
3 .1
初值取为 θ( ^ 0) = θ0 , P( 0) = P0 。 考虑时变特性的序贯解法
t) ] p( t - 1) p( t)= [ I - k( t) φ (
( 13)
( 12)
非线 性 LS 方法 线性 RLS 方 法
t t- i
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邻近点变形因素项的动态模型
在对地表数据 动态模型的辨识 过程中 , 为考
[ 4]
虑相邻点
邻近点变形因素项的自回归 C A R 模型 。
变形 的影 响 , 将 A R 模型 推 广到 考 虑
残差平方和可写为 : f( θ)=
i= 1
加一个考虑因素项序列 u( t) , 并由 低阶开 始对 系 统建模 , 然后 逐 次 增 加 模型 阶 数 , 并用 F 检 验 对 这些模型进行自动筛选 。 用 C AR( n) 模型描写为 : 设时间序列 y ( t) 、 考 虑 因素 项 序列 u ( t) , 可
可逆的 A R M A ( p , q) 模型 可 显然 , α0 = 1 。 因此 , 用无穷阶 A R ( ∞) 模型表示为 : x( t)= t∑α x (
i= 1 i ∞
( 5)
应的采样模型是 A R M A ( n, n - 1) , 因 此, 提出了 一建模方法 :
基于如下 的 A R M A ( n, n - 1) 模 型对 时间 序列 统 x( t)- a1 x( t - 1 )- … - an x ( t - n) =
通常 , 传统时间 序列 x( t) 的建 模方法基 于
所服从的 A R M A ( n, n - 1) 模型 , 避免了定阶的 困 难, 改进和简化了 B o x 和 Jenkin s 的建模方法 。 式( 1) 可简写为 : B - … - cq B 。
q
法, 通常只需建立 n + 1 个模型就可得到时间序列 引入单位延 迟 算 子 B, Bx ( t)= x ( t - 1) , 则 B) · e( t) A( B) · x( t)= C(
时间序列自相关函数的选择阶的猜测法 。 由于决
没给出决定 p 、 q 的 有效 方法 , 只给 出 了基 于考 察
参数 ai 、 ci , 但 用 M L 方法 的计 算量 很 大 , 并且也
定阶 p 、 q 的困 难 , 因 而, 对时间序列要选择一个 的 A R M A 模 型, 这 使得 建 模 的 工 作量 很 大 。 对 此, 吴贤铭和 Pa ndit
[ 1]
合适的模型 , 通 常事 先要 建立 许多 可 能的 不同 阶 从系统分析角度出发 , 证明
其中 , 系数 α i 用 比 较 如 下 等 式 两 边 B 的 系 数 计 算: A( B)= C( B) ( α0 + α1 B + …)
∑α B
i= 0 i
∞
i
( 4)
了任何一个由白噪声激发的 n 阶随机微分方程对
统一建模 , 优点是对 A R( n) 模 型可 用序贯 线性 最 和存 储 量 很 小 , 在 计 算 机 上, 进 行 20 阶 左 右 的 要求 , 因而大 大改 进了 传 统的 建 模方 法
[ 2]
因此 , 可基于有限阶 A R ( n) 模 型对时 间序 列
小二乘法估计其参数 , 其算法十分简单 , 且计算量
( 1)
C( B) = 1 - c1 式中 , A ( B) = 1 - a1 B - … - ap B ; C( B) 的零点在单位圆外 , 此时式 ( 1) 可表达为 : 展开可得 : A( B) x( t)= e( t) C( B) A( B) = C( B)
( 3)
式( 1) 为 可 逆, 假 如以 B 为自 变元 多项 式
y( t)= a1 y ( t - 1 )+ … + an y ( t - n)+
t) θ( ^ t - 1) ) θ ^( t)= θ( ^ t - 1 )+ k( t) ( y( t)- φ ( k( t)=
T 1 [ I - k( t) φ ( t) ] p( t - 1) λ
b0 u( t)+ b1 u( t - 1)+ … + bn u ( t - n)+ e( t)
在系统辨识领 域 中 , 最小 二乘 法 是应 用最 广
( 15)
则子阶为 n 或 m; 若 b0 ≠ 0 或 b0 = … = 而 bm ≠ 0 ,
A R 的阶为 n 或 s; 若 bn ≠ 0 或 bn = … = bm - 1 = 0 , 而 bk ≠ 0 , 则模型的时滞为 0 或 k。 这样 , bk - 1 = 0 ,
采用等区间搜 索的方法 。 设搜寻 区间为 [ 0, 1] , 则 间[ 0, 1] 四等分, 得到 3 个计算点 1 / 4 、 1 / 2、 3 / 4 。假 中 f( 1 / 2) 最 小, 那么极小点一定落在区间
t) θ( ^ t - 1) ) θ ^( t)= θ( ^ t - 1 )+ k( t) ( y( t)- φ T ( k( t)=
Comparison Bet ween Time Series M odeling Methods
AR M A( p, q) 猜 测法 , χ 2 检验 平 稳或 非平稳 很大 M L 方法 p+ q Bo x 和 Je nki s 方 AR MA ( n, n - 1) F 检验 平稳 或非 平稳 较大 2n- 1 吴 贤 铭和 P a di t 方 法 本文 方 A R( n) n F 检验 平稳或 非平 稳 小
就 可 把 决 定 模 型 的 阶、 子 阶和时滞 归结为检 验
的 。 RL S 算法 参 数 估 计是 一 致 的 充 分 条 件 是 模 型噪声 e( t) 是白噪 声 , 此时 称式 ( 15 ) 为标 准的 最
假如当 t→∞ , θ ^( t) → θ, 则 称参 数估计 是一 致
第 30 卷第 6 期
是均值为零 、 方差 为 σ e2 的 白 噪 声 。 当 所 有 ci = 0
ci 为 模型 的 参数 ; e( t) 式中 , p、 q 为模 型 的阶 ; ai 、
e( t)+ c1 e( t - 1)+ … + cq e ( t - q)
t - 1)- … - ap x ( t - p) = x( t)- a1 x (
e( t)+ c1 e( t - 1 )+ … + cn - 1 e( t - n + 1)
∞) , 因此 , 当 n 充分大时 , AR M A( p, q) 模型可用 如下的有限阶 A R ( n) 模型逼近到任意精度 : x( t)= ^ x( t∑α
i= 1 i n
i→ 当 C( B) 的 零 点 在 单 位 圆 外 时, αi → 0 (
CA R 模型辨 识 原理 是 在 A R 模型 基 础 上 增
当 λ <1 时 , 就体现了在残差平方和中强调新数 据 最小二乘解法 。
∑λ
( y( i)- φ ( i) θ)
T 2
的作用 。 当 λ = 1 时 , 即为不考虑时变特性的序 贯 得到如下考虑时变特性的序贯解法公式 :
T
平行于式 ( 11) ～ 式( 13 ) 的 序贯 解法 推 导 , 可 p( t - 1) φ( t) T ( λ +φ ( t) p( t - 1) φ( t) )
表1 Tab . 1
[ 3]
经推导 , 在时刻 t 的 θ 的 R L S 估值为 : p( t - 1) φ( t) T t) p( t - 1) φ( t) ) ( 1 +φ (
T
( 10) ( 11)
可由所 拟 合 的 A R 模 型 得 到 相 应 的 A R M A 模 比较见表 1 。
时间序列建模方法比较
潘国荣 : 基于时间序列分析的动态变形预测模型研究
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小二乘法结构 。 若 e( t) 是 有色噪声 , 则 通常 R L S 3 .2 算法参数估计将是有偏的 。 衰减因子优选法 笔者在这里提出了一种衰减因子的优选方法 ,